01 2

(1)

AD”=DE”이므로 AB”=BC”=AC”=15

∴ EC”=BC”-BE”=15-5=10

△DBE와 △ECF에서

∠B=∠C=60˘,

∠BDE+∠BED=120˘이고

∠BED+∠CEF=120˘이므로 ∠BDE=∠CEF

∴ △DBEª△ECF(AA 닮음) DE”：EF”=DB”：EC”에서 7：EF”=8：10 ∴ EF”=

∴ AF”=EF”=

닮음비가 5：10=1：2이므로

x：8=1：2

∴` x=4 y`⁄

y：12=1：2 ∴` y=6

y`¤

3：z=1：2 ∴` z=6

y`‹

∴ x+y+z=4+6+6=16 y`›

△ABC와 △ADB에서

AB”：AD”=AC”：AB”=4：3, ∠A는 공통이므로

△ABCª△ADB(SAS 닮음) y`⁄

BC”：DB”=4：3이므로

15：DB”=4：3 ∴ BD”=45(cm) y`¤

4

20

19

35 4

18

정답과해설_ 개념편

⁄ x의 값 구하기

¤ y의 값 구하기

‹ z의 값 구하기

› x+y+z의 값 구하기

30%

10%

채점 기준 배점

⁄ △ABCª△ADB임을 알기

¤ BD”의 길이 구하기

60%

40%

01 삼각형과 평행선

△EFC

△ADEª△EFC(AA 닮음)이므로 AD”：EF”=AE”：EC”에서 DB”=EF”

∴ AD”：DB”=AE”：EC”

⑴ x= , y= ⑵ x= , y=

⑴ 4：7=3：x ∴ x=

4：3=y：2 ∴ y=

⑵ x：3=14：4 ∴ x=

5：y=4：10 ∴ y=

⑴ x=3, y=9 ⑵ x= , y=

⑴ 8：4=(9-x)：x ∴ x=3

8：12=6：y

∴ y=9

⑵ 3：7=x：6 ∴ x=

3：7=y：4

∴ y=12 7 18

7

12 7 18 1 7

유제

25 2 21

2 8 3 21

4

25 2 21

2 8

3 21 1 4

필수`예제 개념확인

2 ^{닮음의 활용}

P. 112

△ADE, ∠ADE

△ABC와 △ADE에서

AB”：AD”=AC”：AE”=3：2, ∠A는 공통

∴ △ABCª△ADE(SAS 닮음)

따라서 ∠ABC=∠ADE, 즉 동위각의 크기가 같으므로 BC”//DE”

②, ⑤

AB”：AD”=AC”：AE”인지 확인한다.

DE”

4.5：6+4：5

따라서 DF””와 BC”는 평행하지 않다.

6：4.5=8：6

∴ DE”//AC”

8 6

D

E 4.5 6

A

B C

4.5 6

A

B C

4 5 D F

유제2 2 필수`예제 개념확인

P. 113

P. 111 시험에 나오는 스토리텔링

△ABCª△BCDª△CDEª△DEF(AA 닮음)이고 BC”：CD”=1.6：1에서

64：CD”=1.6：1 ∴ CD”=40 CD”：DE”=1.6：1에서

40：DE”=1.6：1 ∴ DE”=25 DE”：EF”=1.6：1에서

25：EF”=1.6：1 ∴ EF”=125 8 125

답 8

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(2)

개 념 편

Ⅲ.도형의닮음

P. 116 개념누르기한판

1 ⑴ x=3, y= ⑵ x=6 2 ⑤ 3 36 cm¤

4 ⑴ △ACF, △CDF ⑵ 2 cm ⑶ 2：3 5 2：3 10

3

⑴ 6：(6+4)=x：5 ∴ x=3

6：(6+4)=2：y

∴ y=

⑵ 3：x=6：12 ∴ x=6

⑤ DE”：BC”=AE”：AC”에서

DE”：10=4：7 ∴ DE”= (cm) [참고]DE”：BC”`+`AE”：EC”임에 주의한다.

BD”：CD”=AB”：AC”=12：8=3：2이므로

△ABD：△ADC=3：2

∴ △ABD= △ABC= _60=36 (cm¤ )

⑴ △ABE와 △ACF에서

∠AEB=∠AFC=90˘, ∠BAE=∠CAF이므로

△ABEª△ACF(AA 닮음)

△BDE와 △CDF에서

∠BED=∠CFD=90˘, ∠BDE=∠CDF`(맞꼭지각) 이므로 △BDEª△CDF(AA 닮음)

⑵ △ABEª△ACF이므로 BE”：CF”=AB”：AC”에서 BE”：3=4：6 ∴ BE”=2 (cm)

⑶ △BDEª△CDF이므로 BD”：CD”=BE”：CF”=2：3

[참고] 내각의 이등분선의 비에 대한 설명이 이루어진다.

⑵, ⑶에서 AB”：AC” (=BE”：CF”)=BD”：CD”

BD”：CD”=AB”：AC”=5：3이므로 BC”：CD”=2：3

∴ △ABC：△ACD=BC”：CD”=2：3

5

4

3 5 3

5

3

40 7

2

10 3

1

5：4+6：8

따라서 FE””와 AB”는 평행하지 않다.

A

B C

4 5

8 6

F

E

⑴ 이등변삼각형, BD” ⑵ 이등변삼각형, BD”

⑴ △BCE에서 BA”：AE” =BD”：DC”이고,

△ACE는 이등변삼각형이므로 AE”=AC”

∴ AB”：AC” =BD”：CD”

⑵ △BDA에서 BA”：FA”=BD”：CD”이고,

△AFC는 이등변삼각형이므로 FA”=AC”

∴ AB”：AC”=BD”：CD”

⑴ 9 ⑵

⑴ x：6=6：4 ∴ x=9

⑵ 6：8=x：(10-x) ∴ x=30 7 30

3 7 필수`예제 개념확인

P. 114

⑴ 12 cm ⑵ 6 cm

⑴ ∠BAD=∠BEC(동위각), ∠DAC=∠ACE(엇각) 이므로 ∠ACE=∠AEC이다.

따라서 △ACE는 이등변삼각형이다.

∴ AE”=AC”=12 cm

⑵ △BCE에서 BA”：AE”=BD”：DC”이므로 16：12=8：DC” ∴ DC”=6 (cm)

16 cm¤

BD”：DC”=9：12=3：4이므로

즉, 12：△ADC=3：4 ∴ △ADC=16 (cm¤ ) 35 cm¤

BD”：DC”=AB”：AC”=5：2이므로

즉, △ABD：14=5：2 ∴ △ABD=35 (cm¤ )

⑴ 12 ⑵ 3

⑴ 10：8=15：x ∴ x=12

⑵ 6：x=8：4 ∴ x=3 필수`예제5

4 유제

4 필수`예제

3 유제

P. 115

10 cm DB”=x cm라 하면

12：8=(x+5)：x ∴ x=10

∴ DB”=10 cm [다른 풀이]

점 B를 지나고 AD” ”에 평행한 직 선을 그어 AC”와 만나는 점을 E라 하면 △CAD에서

4：8=5：DB”

∴ DB”=10(cm)

5cm 4cm x

8cm A

D B C

E 유제5

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(3)

⑴ 3, 1, 1, 3, 4

⑵ 6, 2, 3, 2, 2, 2, 4

점 A를 지나고 DC”에 평행한 직선을 그으면 △ABH에서

AE”：EB”=5：2이므로 5：7=3：x ∴ x=

∴ BC”=

+4=

⑴ x= ⑵ x= , y=5

⑴ △ABH에서

3：8=x：4 ∴ x=

⑵ △CDA에서 CG”：CA”=2：5이므로

2：5=x：4

∴ x=

△ABC에서 3：5=3：y ∴ y=5 8

5 3 2

A

E G

B H

5

4 5

3 5 x 8

5 3

2 2 유제

41 5 21

5

21 5

A

E

B H C

F 4 D

4 4 3

x 41

2 5 필수`예제 개념확인

P. 118

⑴ △CDE, 1, 2, △BDC, BD”, 3

⑵ cm

⑵ △BCD에서 BE”：BD”=1：3이므로 EF”：2=1：3 ∴ EF”= (cm)

⑴ AB”// EF”// DC” ⑵ cm ⑶ cm

⑴ 동위각의 크기가 90˘로 같으므로 AB”// EF”//DC”

⑵ △ABEª△CDE(AA 닮음)이고 닮음비가 2：3이므로 BE”：ED”=2：3

즉, △BCD에서 2：(2+3)=EF”：6

∴ EF”= (cm)

⑶ △BCD에서 BF”：FC”=BE”：ED”=2：3

∴ CF”= BC”= _8= (cm)

⑴ x= , y=5 ⑵ x=

⑴ △ABEª△CDE(AA 닮음)이고 닮음비가 5：3이므로 BE”：ED”=5：3

즉, BE”：BD”=5：(5+3)=5：8이므로

△BCD에서 x：3=5：8 ∴ x=

y：8=5：8

∴ y=5

⑵ △AEBª△CED(AA 닮음)이고 닮음비가 3：4이므로 BE”：ED”=3：4

즉, BE”：BD”=3：(3+4)=3：7이므로

△BDC에서 x：8=3：7 ∴ x=24 7 15

8 24

7 15

3 8 유제

24 5 3

5 3 5 12

5

24 5 12

3 5 필수`예제

2 3 2

3 개념확인

P. 119

1 ⑴ x= ⑵ x=15, y=

2 ⑴ x=12, y= ⑵ x=

3 ③

4 ⑴ x=2, y= ⑵ x=20, y=15 3 20

3

9 2 52

3

24 5 36

5

⑴ 6：4=x：(12-x) ∴ x=36

1

5

02 평행선과 선분의 길이의 비

[그림] a', b' a', b' [비례식] a', b'

⑴ ⑵

⑴ x：18=20：16 ∴ x=

⑵ 4：(x-4)=6：10 ∴ x=

⑴ x= , y= ⑵ x=10

⑴ (10-x)：x=4：8 ∴ x=

10：3=12：y

∴ y=

⑵ 12：6=x：(15-x) ∴ x=10 18

5 20

3 18

5 20 1 3

유제

32 3 45

2 32

3 45 1 2 필수`예제 개념확인

P. 117

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(4)

개 념 편

Ⅲ.도형의닮음

⑴ SAS, ABC, BC”, 2,

⑵ 1, NC”

5

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 MN”= BC”= _10=5

AC”=12, BC”=10

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 NC”=AN”=6 ∴ AC”=6+6=12

BC”=2MN”=2_5=10 유제1

1 2 1 2 1 필수`예제

1 개념확인 2

P. 121

15

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 DE”= AC”, EF”= AB”, DF”= BC”

∴ DE”+EF”+DF”= (AC”+AB”+BC”)

=

_(8+12+10)=15

⑴ △AMN™△CME ⑵ 4 cm

⑴ △AMN과 △CME에서

∠MAN=∠MCE(엇각), AM”=C’M”,

∠AMN=∠CME(맞꼭지각) 이므로

△AMN™△CME(ASA 합동)

⑵ △AMN™△CME이므로 AN”=CE”

△DBE에서 DA”=AB”, AN”” //BE”이므로 DN”=NE”이고, AN”= BE”= _8=4 (cm)

∴ CE”=AN”=4 cm

⑴ 4 cm ⑵ 6 cm

⑴ 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해

△ABF에서 DE”//BF”이므로

△CED에서 DE”=2PF”=2_2=4 (cm) 유제3

1 2 1 2

M

B C

A N

D

8 cm E 필수`예제2

1 2 1 2

1 2 1

2 1

2 2 유제

P. 122

⑵ 10：4=x：6

∴ x=15

10：4=12：y

∴ y=

⑴ 점 A를 지나고 DC”에 평행한 직선을 그으면 △ABG에서

10：5=x：6 `∴ x=12 10：15=(y-12)：8

∴ y=

⑵ 점 A를 지나고 DC”에 평행한 직선 을 그으면 △ABG에서

2：5=1：(x-2)

∴ x=

△AODª△COB(AA 닮음)이고 닮음비가 2：3이므로 AO”：OC”=DO”：OB”=2：3

△ABC에서 2：5=EO”：6 ∴ EO”= (cm)

△DBC에서 2：5=OF”：6 ∴ OF”= (cm)

∴ EF”=EO”+OF”=

+

= (cm)

⑴ △ABEª△CDE`(AA` 닮음)이고 닮음비는 2：1이므로

BE”：ED”=2：1

즉, BE”：BD”=2：(2+1)=2：3이므로

△BCD에서 x：3=2：3 ∴ x=2

y：10=2：3

∴ y=

⑵ △AFBª△DFC(AA 닮음)이고 닮음비는 4：5이므로

AF”：FD”=4：5

즉, AF”：AD”=4：(4+5)=4：9이므로

△ACD에서 x：15=4：9 ∴ x=

12：y=4：5

∴ y=15

20 3 20

3

4

24 5 12

5 12

5

12 5 12

5

3

9 2

2 2

A D

E F

B G C

2

2 3

3 x-2

x 1 52

3

A D

E F

B G C

12

12 20

10

5 y-12x

6 8

12

2

24

5 y

10 12

4

l

m n 10

4 6 x

l

m n

03 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질

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(5)

⑵ 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해

△ABF에서 BF”=2DE”=8 (cm)

∴ BP”=BF”-PF”=8-2=6 (cm) 평행사변형

대각선 BD를 그으면 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해

△ABD에서 P’SÚ//BD”, P’SÚ= BD”

△CDB에서 QR”//BD”, QR”= BD”

따라서 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 PQRS는 평행사변형이다.

34 cm

PQ”=SR”= AC”, PS”=QR”= BD”

∴ PQ”+QR”+RS”+SP”=AC”+BD”

=16+18=34 (cm) 1

2 1

2 4

유제

1 2 1 2

A S

P

B Q C

R D 필수`예제3

x=5, y=7

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 AD”//MÚN”//BC”이므로

△ABD에서 x= AD”= _10=5

△DBC에서 y= BC”= _14=7

⑴ 25 cm ⑵ 5 cm

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 AD”//MN” //BC”이므로

⑴ △ABC에서 MÚQ”= BC”= _30=15 (cm)

△ACD에서 QN”= AD”= _20=10 (cm)

∴ MN”=MQ”+QN”=15+10=25 (cm)

⑵ △ABD에서 MP”= AD”= _20=10 (cm)

∴ PQ”=MQ”-MP”=15-10=5 (cm) 8 cm

AD”//MN” //BC”이므로

△ABC에서 MP”= BC”= _12=6 (cm)

∴ PN”=MN”-MP”=10-6=4 (cm)

△ACD에서 AD”=2PN”=2_4=8 (cm) 1

2 1 2 5

유제

1 2 1

2 1 2 1

2 1 2 1 2 필수`예제4

1 2 1 2

1 2 1

2 개념확인

P. 123

1 3 cm 2 4 cm 3 7 cm

4 ⑴ 마름모 ⑵ 마름모 ⑶ 직사각형 ⑷ 정사각형 5 x=16, y=2

1 30 2 9 cm 3 15 cm 4 12 cm

P. 124 한번더연습

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해

△ABC에서 BC”=2MN”=2_10=20

△DBC에서 PQ”= BC”= _20=10

∴ PQ”+BC”=10+20=30 AN”//BC”이므로

△AMN™△CME(ASA 합동)

∴ MN”=MÚE”=3 cm

△DBE에서

DA”=AB”, AN”//BE”이므로 DN”=NE”=3+3=6 (cm)

∴ D’M”=DN”+NM”=6+3=9 (cm) [참고]DN”：NM”：ME”=2：1：1

△ABF에서 DE”//BF”이고, BF”=2DE”=2_10=20 (cm)

△CED에서 GF”= DE”= _10=5 (cm)

∴ BG”=BF”-GF”=20-5=15 (cm)

△AEC에서 DF”//EC”이고, DF”= EC”= _8=4 (cm)

△DBG에서 DG”=2EC”=2_8=16 (cm)

∴ FG”=DG”-DF”=16-4=12 (cm) 1

2 1 2

4

1 2 1 2

3

3cm 6cm A

B C

M N

3cm D

E

2

1 2 1 2

1

14 cm

AD”//MN” //BC”이므로

△ABD에서 MP”= AD”= _8=4 (cm)

∴ MQ”=MP”+PQ”=4+3=7 (cm)

△ABC에서 BC”=2MQ”=2_7=14 (cm) 1

2 1

2 유제6

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(6)

개 념 편

Ⅲ.도형의닮음

따라서 네 변의 길이가 같고 네 내각의 크기가 90˘이므로 PQRS는 정사각형이다.

AD”//MÚN”//BC”이므로

△ABC에서 MQ”= BC”= _20=10 MÚP”=QN”=MÚN”-MQ”=18-10=8 이므로

y=MQ”-MP”=10-8=2

△ABD에서 x=2MÚP”=2_8=16 1 2 1 2

5

△DBC에서 BC”=2PQ”=2_5=10 (cm)

△ABC에서 MN”= BC”= _10=5(cm)

∴ RN”=MN”-MR”=5-2=3(cm)

점 D를 지나고 BC”에 평행한 직선을 그어 AF”와 만나는 점을 G라 하면

△DEG™△CEF(ASA 합동)이므로 DG”=CF”

△ABF에서 DG”= BF”

따라서 FC”= BF”이므로

BC”=BF”+FC”=BF”+ BF”= BF”=6 (cm)

∴ BF”=4 (cm)

△CEB에서 BE”=2DF”이므로 21+GE”=2DF” y`㉠

BE”//DF”이므로 △ ADF에서 DF”=2GE” y`㉡

㉡을 ㉠에 대입하면 21+GE”=4GE”

∴ GE”=7 (cm)

⑴ 등변사다리꼴이므로 AC”=BD”

PQ”=SR”= AC”, P’S’=QR”= BD”

따라서 네 변의 길이가 같으므로 PQRS는 마름모이다.

⑵ 직사각형이므로 AC”=BD”

PQ”=SR”= AC”, P’S’=QR”= BD”

따라서 네 변의 길이가 같으므로 PQRS는 마름모이다.

⑶ 마름모이므로 AC”⊥BD”

BD”//PS”//QR”, AC”//PQ” //SR” 이므로

∠PQR=90˘

따라서 네 내각의 크기가 90˘이 므로 PQRS는 직사각형이다.

⑷ 정사각형이므로 AC”=BD”, AC”⊥BD”

PQ”=SR”= AC”, PS”=QR”= BD”이고,

BD”//PS”//QR”, AC”//PQ”//SR”이므로

∠SPQ=90˘

1 2 1 2

A D

B

P R

C Q S A

D B

P

R C Q

S 1

2 1 2

A D

B

P R

C Q S 1

2 1 2

A D

B

P R

Q C

4

S

3

3 2 1 2 1

2 1 2

A

B F C

6 cm

D G

E

2

1 2 1 2

1 04 삼각형의 무게중심

△DEG, 2, 1, △DHF, 2, 1

⑴ x=6, y=8 ⑵ x=6, y=12

⑴ 점 D는 BC”의 중점이므로

x=

BC”= _12=6 AG”：GD”=2：1이므로

y：4=2：1 ∴ y=8

⑵ △ADF에서 AG”：AD”=2：3이므로

x：9=2：3

∴ x=6

BG”：GE”=2：1이므로

y：6=2：1 ∴ y=12

[다른 풀이] 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질 이용 하기

BD”=DC”, BE”//DF”이므로

x+y=2_9=18

∴ x=18_

=6 , y=18_ =12

⑴ x=15, y=10 ⑵ x=16, y=6

⑴ 직각삼각형에서 빗변의 중점 D는 외심이므로 AD”=BD”=CD”

∴ x= AB”= _30=15 CG”：GD”=2：1이므로

y=15_

=10

⑵ △ADF에서 AG”：GD”=2：1이므로 AE”：4=2：1 ∴ AE”=8 AB”=AC”이므로

x=AC”=2AE”=2_8=16

△EBC에서 점 D는 BC”의 중점이고 BE”//DF”이므로

y=

BE”=1_12=6

2 1 2

2 3

1 2 1

2 1

유제

2 3 1

3 1 2 1 2 1 필수`예제 개념확인

P. 126

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(7)

⑴ , , 15 ⑵ , , , 5

⑴ 20 cm¤ ⑵ 10 cm¤

⑴ AFGE= △ABC= _60=20 (cm¤ )

⑵ △BGE= △BGA=

_{ △ABC}

= △ABC= _60=10 (cm¤ )

36 cm¤

△AGE=△BDG= _12=6 (cm¤ )

∴ △ABC=6△AGE=6_6=36 (cm¤ ) 1

2 유제2

1 6 1

6

1 3 1 2 1

2

2 6 2

6 2

필수`예제

1 6 1 6 1 3 1

2 1 개념확인 2

P. 127

⑴ 2 cm ⑵ BP”=4 cm, PQ”=4 cm, QD”=4 cm

⑴ DO”=BO”=6 cm이므로 QO”= DO”= _6=2 (cm)

⑵ BD”=2BO”=2_6=12 (cm)이므로 BP”=PQ”=QD”= BD”= _12=4 (cm)

15 cm

OA”=OC”이므로 두 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중심이다.

∴ BP”=2PO”, DQ”=2QO”

∴ BD”=BP”+PQ”+QD”

=2PO”+PO”+QO”+2QO”

=3(PO”+QO”)=3PQ”=3_5=15 (cm) 8 cm

OA”=OC”이므로 두 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중심이다.

∴ PQ”=PO”+OQ”= BO”+ DO”

= (BO”+DO”)= BD”= _24=8 (cm)

4 cm¤

OA”=OC”이므로 점 P는 △ABC의 무게중심이다.

∴ △APO= △ABC= _{ ABCD}

= ABCD= 1 _48=4 (cm¤ ) 12

1 12

1 2 1 6 1

6 유제4

1 3 1 3 1

3

1 3 1 3 유제3

필수`예제3

1 3 1 3 1 3 1 3 개념확인

P. 128

1 ⑴ x= , y= ⑵ x=4, y=2 ⑶ x=4, y=3 2 ⑴ 2 cm ⑵ 3：1：2 `⑶ 4배 3 36 cm¤ 4 10 cm¤

:¡3º:

;3%;

⑴ 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 GD”= AD”= _15=5 점 G'이 △GBC의 무게중심이므로

x=

GD”= _5=

y=

GD”= _5=

⑵ 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 AG”：G’M”=2：1

즉, x：2=2：1 ∴ x=4 A’M”이 중선이므로 B’M”=MÚC”=3

△ABM에서 y：3=2：3 ∴ y=2

⑶ 빗변의 중점 E는 직각삼각형 ABC의 외심이므로 BE”=AE”=CE”= AC”= _12=6

⑵점 G가 △ABC의 무게중심이므로 BG”：GE”=2：1

∴ x= BE”= _6=4 GE”= BE”= _6=2 이므로

△ADF에서 2：y=2：3 ∴ y=3

⑴ △CGHª△DGF(AA 닮음)이므로 GH”：GF”=CG”：DG”=2：1 이때

GH”= AH”= _12=4 (cm)

∴ FG”= GH”

= _4=2 (cm)

⑵ AF”= AH”= _12=6 (cm)

∴ AF”：FG”：GH”=6：2：4=3：1：2

⑶ △GBC= _8_4=16 (cm¤ )

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 DE”= BC”= _8=4(cm)

△GDE=

_4_2=4 (cm¤ )

따라서 △GBC의 넓이는 △GDE의 넓이의 4배이다.

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2 1

2 1 2 1 2

1 3 1

3

A

E 12 cm G

8 cm F

H C B

D

2

1 3 1 3

2 3 2

3

1 2 1 2

:¡3º:

2 3 2 3

5 3 1 3 1

3

1 3 1

3

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(8)

개 념 편

Ⅲ.도형의닮음

G’G'”：G’'D”=2：1이므로

△GBG'：△G'BD=2：1

∴ △GBD= △GBG'= _4=6 (cm¤ )

∴ △ABC=6△GBD=6_6=36 (cm¤ )

평행사변형 ABCD에서 BP”=PQ”=QD”이므로

△APQ= △ABD= _{ ABCD}

= ABCD=1_60=10 (cm¤ ) 6

1 6

1 2 1 3 1

3

4

3 2 3

2

3 05 닮은 도형의 넓이와 부피

⑴ 2：3 ⑵ 2：3 ⑶ 4：9

⑶ 2¤ ：3¤ =4：9 [확인] ⑵ 8：12=2：3

⑶ (2_2)：(3_3)=2¤ ：3¤ =4：9

⑴ 1：2 ⑵ 24 cm¤

⑴ BC”：EF”=4：8=1：2

⑵ 넓이의 비는 1¤ ：2¤ =1：4이므로

6：△DEF=1：4 ∴ △DEF=24 (cm¤ )

64 cm¤

△AODª△COB(AA 닮음)이고 닮음비가 12：16=3：4이므로 넓이의 비는 3¤ ：4¤ =9：16 즉, 36：△COB=9：16 ∴ △COB=64 (cm¤ )

⑴ 4：9 ⑵ cm¤

⑴ △EDAª△EBC(AA 닮음)이고 닮음비가 6：9=2：3이므로 넓이의 비는 2¤ ：3¤ =4：9

⑵ AE”：EC”=2：3이므로 AE”：AC”=2：5

△AFEª△ABC(AA 닮음)이고 닮음비가 2：5이므로 넓이의 비는 2¤ ：5¤ =4：25

즉, 6：△ABC=4：25 ∴ △ABC=75(cm¤ ) 2 75

2 2 유제 유제1

1 필수`예제 개념확인

P. 130

⑴ 2：3 ⑵ 4：9 ⑶ 8：27

⑵ 2¤ ：3¤ =4：9

⑶ 2‹ ：3‹ =8：27 개념확인

P. 131

⑴ 3 cm ⑵ 500 m(=0.5 km)

⑴ (축도에서의 길이)=0.3 km_

=30000 cm_

=3 cm

⑵ (실제 거리)=5 cm÷

=5 cm_10000

=50000 cm

=500 m(=0.5 km) 640 m

(축척)=

= =

따라서 축척이 인 축도에서 거리가 4 cm인 두 지점 사이의 실제 거리는

4 cm÷ 1 =4 cm_16000=64000 cm=640 m 16000

1 16000

1 16000 3 cm

48000 cm 3 cm

480 m 유제5

1 10000

1 10000 1 10000 필수`예제3

P. 132 [확인] ⑵ (2¤ _6)：(3¤ _6)=2¤ ：3¤ =4：9

⑶ (2_2_2)：(3_3_3)=2‹ ：3‹ =8：27

⑴ 2：3 ⑵ 100 cm¤ ⑶ 270 cm‹

두 원뿔 A와 B의 닮음비는 2：3

⑵ 옆넓이의 비는 2¤ ：3¤ =4：9이므로 (A의 옆넓이)：225=4：9

∴ (A의 옆넓이)=100 (cm¤ )

⑶ 부피의 비는 2‹ ：3‹ =8：27이므로

80：(B의 부피)=8：27

∴ (B의 부피)=270 (cm‹ )

⑴ 1：2 ⑵ 1：4 ⑶ 1：8 두 구 O와 O'의 닮음비는 2：4=1：2

⑵ 1¤ ：2¤ =1：4

⑶ 1‹ ：2‹ =1：8

⑴ 27：125 ⑵ 196 mL

⑴ 원뿔 모양으로 물이 담긴 부분과 원뿔 모양의 그릇의 닮음비가 12：20=3：5이므로 부피의 비는 3‹ ：5‹ =27：125

⑵ 부은 물의 양이 54 mL이므로 가득 찼을 때 물의 양을 VmL라 하면

54：V=27：125 ∴ V=250

따라서 더 부어야 하는 물의 양은 250-54=196 (mL) 12 cm

물 그릇

20 cm 4

유제 유제3

2 필수`예제

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(9)

3.2 m

입사각의 크기와 반사각의 크기는 같으므로

△ABCª△DEC(AA 닮음) AB”：DE”=BC”：E’C”에서

1.6：DE”=2：4 ∴ DE”=3.2 (m)

따라서 국기게양대의 높이는 3.2 m이다.

6 m

△ABCª△DBE(AA 닮음)이므로 1.5：DE”=2：8 ∴ DE”=6(m) 따라서 나무의 높이는 6 m이다.

6 유제

A

B C

D

4 m E 2 m

1.6m

입사각 반사각 필수`예제4

1 ⑴ △EBD, 64：25 ⑵ △CFB, 9：16 2 cm¤

3 ⑴ 1：4 ⑵ 1：2 ⑶ 12 cm¤ 4 54 cm‹ 5 50 m :™2∞:

⑴ △ABCª△EBD`(AA 닮음)

닮음비가 8：5이므로 넓이의 비는 8¤ ：5¤ =64：25

⑵ △AFEª△CFB`(AA 닮음)

닮음비가 6：8=3：4이므로 넓이의 비는 3¤ ：4¤ =9：16

△ABCª△ADB(AA 닮음)이고

닮음비가 6：4=3：2이므로 넓이의 비는 3¤ ：2¤ =9：4 즉, △ABC：10=9：4 ∴ △ABC= (cm¤ )

∴ △DBC=△ABC-△ABD= -10= (cm¤ )

⑴ △AODª△COB(AA 닮음)이고 닮음비가 4：8=1：2이므로 넓이의 비는 1¤ ：2¤ =1：4

⑵ △AOD와 △ABO는 높이가 같고 DO”：OB”=1：2이므로 넓이의 비는 1：2

⑶ △AOD=a라 하면

△ABO=△DOC=2a,

△OBC=4a이므로

a+2a+2a+4a=36 ∴ a=4

∴ △ABD=3a=3_4=12 (cm¤ )

C B

D a

4a 2a 2a A

O B

A D h

O

3

25 2 45

2 45

2

1

원뿔 모양으로 물이 담긴 부분과 원뿔 모양의 그릇의 닮음비 가 3：5이므로 부피의 비는 3‹ ：5‹ =27：125

즉, (물의 부피)：250=27：125

∴ (물의 부피)=54 (cm‹ ) 높이가 1 m인 막대기의 그림 자의 길이가 1m일 때, 피라 미드의 높이를 xm라 하면

1：x=1：(20+30)

∴ x=50

따라서 피라미드의 높이는 50 m이다.

1 m 1 m x m

(20+30)m

5 4

교과서 확인과 응용 P. 134~137

1 cm 2 ③ 3 ⑤ 4 cm 5 4 cm

6 cm 7 8 cm 8 ④ 9 ④ 10 12

11 25 12 54 cm¤ 13 12 cm 14 24 cm 15 ③ 16 12 cm 17 12 cm 18 ⑴ cm ⑵ 72 cm¤

19 ③ 20 ④ 21 18 cm¤ 22 12 cm¤ 23 66 cm¤

24 36p cm¤ 25 ⑴ 4：9 ⑵ 8：27 26 ⑤ 27 10 cm, 과정은 풀이 참조

28 8 cm¤ , 과정은 풀이 참조

;3*;

:™7¶:

:¡3º:

;2#;

△ABC에서 BC”//DE”이므로

6：(6+DB”)=8：10 ∴ DB”= (cm)

∠A=∠E(엇각)이므로 AB”//DE”

5：7=x：y, 7x=5y ∴ x=

y

마름모 DBFE의 한 변의 길이를 x cm라 하면 AD”=(16-x)cm

△ABC에서 DE”//BC”이므로

(16-x)：16=x：12 ∴ x=

∴ EF”= cm

△ABC에서 BC”//DE”이므로 AE”：EC”=AD”：DB”=3：2

△AFC에서 BE”//FC”이므로 AB”：BF”=AE”：EC”=3：2

즉, 5：BF”=3：2 ∴ BF”=10(cm) 3

4

48 7

3

5 7

2

3 2

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(10)

개 념 편

Ⅲ.도형의닮음

AD”//EF”가 되도록 CD” 위에 점 F를 잡으면 △CAD에서

`EF”：AD”=1：3이므로 EF”：BD”=1：3 또 BD”//EF”이므로

EF”：BD”=PE”：PB”에서 PE”：PB”=1：3

∴ PE”= BE”= _16=4 (cm)

AD”는 ∠BAC의 이등분선이므로 AB”：AC”=3：2 9：AC”=3：2 ∴ AC”=6 (cm)

BE”는 ∠ABC의 이등분선이므로 B’A”：BC”=AE”：CE”=9：5

A’E”：(6-AE”)=9：5 ∴ AE”= (cm)

△AEDª△MEB(AA 닮음)이므로 AD”：MB”=DE”：BE”에서 DE”：BE”=2：1

∴ BE”= BD”= _24=8 (cm)

△ABEª△FCE(AA 닮음)이므로 AB”：FC”=BE”：CE”에서 AB”：FC”=3：2 즉, 6：CF”=3：2 ∴ CF”=4 (cm) AB”：AC”=BD”：CD”에서

BD”：CD”=9：6=3：2이므로 BC”：CD”=1：2 따라서 △ABC：△ACD=1：2이므로

△ABD=3△ABC=3_24=72 (cm¤ ) 10：8=15：x ∴ x=12

점 A를 지나고 DC”에 평행한 직선을 그으면 △ABF에서

AM”：AB”=MÚE”：BF”이므로 1：3=MÚE”：3 ∴ MÚE”=1

∴ MÚN”=MÚE””+EN”=1+24=25

동위각의 크기가 90˘로 같으므로 AB”//EF”//DC”

△ABEª△CDE(AA 닮음)이므로 BE”：ED”=AB”：CD”=2：3

△BCD에서 EF”：DC”=BE”：BD”=2：5 즉, EF”：15=2：5 ∴ EF”=6 (cm)

∴ △EBC= _18_6=54 (cm¤ )

PQ”+QR”+PR”= AC”+ AB”+ BC”

=1

_(7+9+8)=12 (cm)

2

1 2 1 2 1

13

2

1 2

12

24 24

24 27 3

A D

B

M E N

F

C

11 10 9 8

1 3 1 3

7

27 7

6

1 4 1 4

A

D E

B

P F C

5

등변사다리꼴이므로 AC”=BD”=12 cm

PQ”=S’R’= AC”=6 (cm), P’SÚ=QR”= BD”=6 (cm) 따라서 네 변의 길이가 같으므로 PQRS는 마름모이다.

∴ ( PQRS의 둘레의 길이)=4_6=24(cm)

AB”의 삼등분점 중 나머지 하나를 F라 하고 FD”를 그으면

△BCE에서 FD”//EC”이므로

△AFD에서

FD”=2EP”=2_3=6 (cm) 따라서 △BCE에서

CE”=2FD”=2_6=12 (cm)

AD” //MÚN”이므로 △ABD에서

MÚE”= AD”= _6=3 (cm) ∴ EF”=MÚE”=3 cm MÚN”//BC”이므로 △ABC에서

BC”=2MÚF”=2_(3+3)=12 (cm)

점 G가 △ABC의 무게중심이므로 BF”=FC”

AG”：AF”=2：3이므로

2：3=4：FC” ∴ FC”=6 (cm)

∴ BC”=BF”+FC”=6+6=12 (cm)

⑴ 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 GD”= AD”= _12=4 (cm) 점 G'이 △GBC의 무게중심이므로 GÆ’G'”= GD”=

_4=

(cm)

⑵ G’G'”：G’'D”=2：1이므로

△GG'C：△G'DC=2：1

∴ △GDC= △GG'C= _8=12 (cm¤ )

∴ △ABC=6△GDC=6_12=72 (cm¤ )

ㄷ. DF”=FG”이고 점 H는 DF”의 중점이므로 GF”：FH”=2：1

ㄹ. △AEG에서 점 H는 AE”의 중점이고, 중선 GH를 2：1로 나누는 점 F는 △AEG의 무게중심이다.

따라서 AI”는 중선, 즉 점 I는 GE”의 중점이다.

ㅁ. AF”=2FIÚ

④ GH”= DH”= AH”= _4=4(cm) 3 1 3 1

3 1

20

3

19

3 2 3

2

8 3 2 3 2 3

1 3 1

3

18

17

1 2 1

2

16

A

B C

E F

D 3 cm P

15

1 2 1

2

14 http://zuaki.tistory.com

(11)

AD”가 중선이므로

△ABD=△ADC= △ABC

= _72=36 (cm¤ ) y`⁄

△ADC에서 AF”：FC”=AG”：GD”=2：1이므로

△ADF：△FDC=2：1

∴ △ADF= △ADC= _36=24 (cm¤ ) y`¤

△ADF에서 AG”：GD”=2：1이므로

△AGF：△GDF=2：1

∴ △GDF= △ADF=1_24=8 (cm¤ ) y`‹

3 1

3

2 3 2

3 1 2

1 2

28

점 P는 △ABC의 무게중심이므로

PMCO= △ABC= _{ ABCD}

= ABCD= _54=9 (cm¤ ) 점 Q는 △ACD의 무게중심이므로

OCNQ= △ACD= _{ ABCD}

= ABCD= _54=9 (cm¤ )

∴ (색칠한 부분의 넓이)= PMCO+ OCNQ

=9+9=18 (cm¤ ) 오른쪽 그림에서

△ABC™△CDA(SSS 합동)이고, 두 점 M, N은 각각 △ABC,

△CDA의 무게중심이므로

△MBQ=△MQC

=△MCO=△NOC

∴ MQCN=3△MBQ=3_4=12 (cm¤ )

△ABCª△ADE(AA 닮음)이고 닮음비가 14：8=7：4 이므로 넓이의 비는 7¤ ：4¤ =49：16

즉, △ABC：32=49：16 ∴ △ABC=98(cm¤ )

∴ DBCE=△ABC-△ADE=98-32=66(cm¤ ) 그림자의 반지름의 길이를 xcm라 하고,

주어진 상황을 원뿔의 단면의 일부로 나타 내면 오른쪽 그림과 같다.

10：20=3：x ∴ x=6

따라서 지면에 생기는 원 모양의 그림자의 넓이는 p_6¤ =36p (cm¤ )

닮음비가 4：6=2：3이므로

⑴ 겉넓이의 비는 2¤ ：3¤ =4：9

⑵ 부피의 비는 2‹ ：3‹ =8：27

겉넓이의 비가 1：9=1¤ ：3¤ 이므로 닮음비는 1：3 따라서 부피의 비는 1‹ ：3‹ =1：27

즉, B구슬 한 개를 녹이면 A구슬을 27개까지 만들 수 있다.

△ABC에서 AE”：AB”=EN”：BC”이므로

3：4=EN”：16 ∴ EN”=12 (cm) y`⁄

△ABD에서 BE”：BA”=E’M”：AD”이므로

1：4=E’M”：8 ∴ E’M”=2 (cm) y`¤

∴ MN”=EN”-E’M”=12-2=10 (cm) y`‹

27 26 25

10 cm

10 cm 3 cm x cm

24 23

A

B C

P D O

Q M

N

22

1 6 1

6

1 2 1 3 1

3

1 6 1

6

1 2 1 3 1

3

21

⁄ △ADC의 넓이 구하기

¤ △ADF의 넓이 구하기

‹ △GDF의 넓이 구하기

20%

40%

⁄ EN”의 길이 구하기

¤ EM”의 길이 구하기

‹ MN”의 길이 구하기

40%

20%

배

실제 에펠탑의 높이가 320 m이고, 에펠탑 미니어처의 높이 가 m이므로 실제 에펠탑과 에펠탑 미니어처의 닮음비 는 320： =15：1

따라서 부피의 비는 15‹ ：1‹ =3375：1이므로 에펠탑 미니 어처를 만들 때 필요한 재료의 양은 실제 에펠탑에 사용된 재 료의 양의 1 배이다.

3375 64

3 64

3 1 답 3375

P. 138 시험에 나오는 스토리텔링

1 ② 2 ③ 3 cm 4 ③ 5 ④

6 ② 7 cm 8 cm 9

10 과정은 풀이 참조 ⑴ 2 cm ⑵ 10 cm ⑶ 2Scm¤

11 cm12 PQ”= cm, BQ”= cm 13 ② 14 6 cm 15 16 16 cm, 과정은 풀이 참조 17 ② 18 ① 19 4 cm¤ 20 8 cm 21 4 cm¤

22 ④ 23 ④ 24 ② 25 ④ 26 54pcm‹

27 2500m¤ 28 10 m 14

3 16

5 12

5 15

4

12 5 25

2 15

4

5 2

P. 139~142 기출문제로단원마무리

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(12)

개 념 편

Ⅲ.도형의닮음

ㄱ, ㅁ, ㅂ의 3개이다.

△ABCª△ACD(AA 닮음)이므로 AB”：AC”=AC”：AD”에서

AB”：9=9：6 ∴ AB”= (cm)

△ABDª△ACE(AA 닮음)이므로 AB”：AC”=AD”：AE”에서

6：4=AD”：1 ∴ AD”= (cm)

∴ CD”=AC”-AD”=4- = (cm)

∠C=∑, ∠DAC=×로 나타내면

△ADC에서 ∑+^×=90˘

이와 같이 ∑+^×=90˘인 ∑, ^×를 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

∴ △ADCª△AEF

ª△BDFª△BEC(AA 닮음)

∠A=90˘, AD”⊥BC””이므로 AC”¤ =CD”_CB”

8¤ =CD”_10 ∴ CD”= (cm)

∠A=90˘, AD”⊥BC”이므로 AD”¤ =DB”_DC”

2¤ =DB”_1 ∴ DB”=4 (cm)

∠BED=∠BAC=90˘이므로 AC”//ED”

따라서 △BCA에서 AE”’：EB”=CD”：DB”=1：4 BC”// DE”이므로

△AQC에서 AP”：AQ”=PE”：QC”=5：8

△ABQ에서 DP”：BQ”=AP”：AQ”=5：8 DP”：6=5：8 ∴ DP”= (cm)

BC”：5=10：4 ∴ BC”= (cm)

AE”가 ∠A의 이등분선이므로 AB”：AC”=BE”：CE”

∴ BE”：CE”=6：4=3：2

△BCA에서 AC”//DE”이므로 BE”：BC”=DE”：AC”

즉, 3：(3+2)=x：4 ∴ x=

[다른 풀이]

△ADE에서 ∠DAE=∠CAE=∠DEA(엇각)이므로 DA”=DE”=x

△BCA에서 AC”//DE”이므로 BD”：BA”=DE”：AC”

(6-x)：6=x：4 ∴ x=

12 5

9

25

8

2

15 4

7

6

32 5

5

C B

A

D E F

4

5 2 3 2

3 2

3

27 2

2

1

⑴ AD”가 ∠A의 이등분선이므로

AB”：AC”=BD”：CD”에서 6：4=3：CD”

6CD”=12 ∴ CD”=2 (cm) y`⁄

⑵ AE”가 ∠A의 외각의 이등분선이므로

AB”：AC”=BE”：CE”에서 6：4=(5+CE”)：CE”

6CE”=4(5+CE”) ∴ CE”=10 (cm) y`¤

⑶ △ABC와 △ACE는 높이가 같으므로 넓이의 비는 밑변 의 길이의 비와 같다.

△ABC：△ACE=BC”：CE”이므로

S：△ACE=5：10, 5△ACE=10S

∴ △ACE=2S (cm¤ ) y`‹

△AODª△COB(AA 닮음)이고 닮음비가 3：5이므로

△ABC에서 AO”：AC”=3：8 3：8=EO”：5 ∴ EO”= (cm)

△DBC에서 DO”：DB”=3：8 3：8=OF”：5 ∴ OF”= (cm)

∴ EF”=EO”+OF”= + = (cm)

AB”//DC”이므로 AP”：PC”=4：6=2：3

△CAB에서 PQ”：4=3：(3+2)

∴ PQ”= (cm)

CA”：PA”=CB”：QB”에서 5：2=8：BQ”

∴ BQ”= (cm)

점 D를 지나고 BC”에 평행한 직선 을 그으면 △ABE에서

AN”=NE”=12 cm

또 △DFN™△CFE(ASA 합동) 이므로

EF”=NF”= NE”=6 (cm)

△CEB에서 BE”//DF”이므로

△ADF에서 GE”= DF”= _4=2 (cm)

△CEB에서 BE”=2DF”=2_4=8 (cm)

∴ BG””=BE””-GE”=8-2=6 (cm) 1 2 1 2

14

1 2

A

D

B E

N

C F

13

16 5 12

5

12

15 4 15

8 15

8

11

10

⁄ CD”의 길이 구하기

¤ CE”의 길이 구하기

‹ △ACE의 넓이 구하기

30%

40%

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(13)

AD”//MÚN”//BC”이므로 AC”를 그으면

MÚN”=MP”+PN”= BC”+ AD”

= (x+y)=8

∴ x+y=16

△CMD에서 DM” //BN”이므로

△ABN에서 BN”=x cm라 하면 PM”= BN”=

x (cm)

또 △CMD에서 D’M”=2BN”=2x(cm)

DM”=DP”+PM”이므로 2x=7+

x

y`⁄

x=7 ∴ x=

∴ BN”= cm y`¤

△ADHª△GDK(AA 닮음)이고 AG”：GD”=2：1이므로

AH”：GK”=AD”：GD”=3：1

점 G는 △ABC의 무게중심이므로 AG”=2GD”

△FGHª△CGD(AA 닮음)이고 닮음비가 1：2이므로 GD”=2GH”=2_3=6 (cm)

∴ AD”=3GD”=3_6=18 (cm)

△DBE에서 BG”：GE”=2：1이므로

△DBG：△DGE=2：1

∴ △DGE= △DBG= _{ △ABC}

= △ABC= _48=4 (cm¤ )

두 점 D, E는 각각 B’M”, C’M”의 중 점이므로

DE”= BC”= _24=12 (cm)

△ADE에서

A’G¡”：AD”=AG”™”：AE”=2：3이고, A’G¡”：AD”=G¡ÚG™”：DE”이므로 2：3=G’¡G™”：12 ∴ G’¡G™”=8 (cm)

1 2 1 2

A

D M E B

G¡ G™

C 24 cm

20

1 12 1

12

1 6 1 2 1

2

19 18 17

14 3

14 3 3

2

1 2 1

2 1 2

16

1 2

1 2 1 2

A

B C

D P

M 8 N

y

15

x

⁄ 식 세우기

¤ BN”의 길이 구하기

60%

40%

AG”를 그으면

△GAB=△GBC=△GCA

= △ABC

=

_12=4 (cm¤ )

∴ (색칠한 부분의 넓이)=△GAE+△GAF

= △GAB+ △GCA

= _4+ _4

=2+2=4 (cm¤ ) AC”를 그으면 두 점 P, Q는 각각

△ABC, △ACD의 무게중심이므로 AP”：AM”=AQ”：AN”=2：3

△AMN에서 2：3=6：MN”

∴ MN”=9 (cm)

△ABDª△CAD(AA 닮음)이고 닮음비가 6：8=3：4 이므로 넓이의 비는 3¤ ：4¤ =9：16

OC”를 반지름으로 하는 원의 둘레의 길이를 x cm라 하면 OB”, OC”를 각각 반지름으로 하는 두 원의 닮음비가 2：3이 므로 4p：x=2：3 ∴ x=6p

세 원의 닮음비가 1：2：3이므로 넓이의 비는 1：4：9 따라서 두 원에 의해 나누어진 세 부분의 넓이의 비는 1：(4-1)：(9-4)=1：3：5

△ADE, △AFG, △ABC를 각각 1회전하여 생기는 세 원 뿔의 닮음비가 1：2：3이므로 부피의 비는 1：8：27 따라서 △ADE, DFGE, FBCG에 의해 생기는 입체 도형의 부피의 비는 1：(8-1)：(27-8)=1：7：19 넓이의 비가 9：16=3¤ ：4¤ 이므로 닮음비는 3：4이고, 부피의 비는 3‹ ：4‹```=27：64이다.

작은 컵의 부피를 xcm‹ 라 하면

x：128p=27：64 ∴ x=54p

따라서 작은 컵의 부피는 54p cm‹ 이다.

(축척)= = = 이므로

지도에서의 땅의 넓이와 실제 땅의 넓이의 비는 1¤ ：5000¤ =1：25000000

∴ (실제 넓이)=1 cm¤ _25000000=2500 m¤

△ABCª△DEC(AA 닮음)이므로

AB”：2=2000：4 ∴ AB”=1000(cm)=10(m) 따라서 실제 건물의 높이는 10 m이다.

28

1 5000 10 cm

50000 cm 10 cm

500 m

27 26 25 24 23

A D

N M

P Q 6cm

B C

22

1 2 1 2

1 2 1

2 1

3 1 3

B C

A

E G F

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(14)

52

정답과해설

I. 확률

1 ^{경우의 수}

1 12가지 2 10가지 3 16개 4 120가지

1

단계 ^{P. 6~7}

1 3가지 2 8가지 3 4가지 4 ⑴ 216가지 ⑵ 21가지 5 12가지 6 ⑴ 24가지 ⑵ 48가지 7 321 8 ⑴ 72개 ⑵ 64개 ⑶ 136개 9 105가지10 20가지 11 30가지12 ⑴ 10개 ⑵ 10개

2

단계 ^{P. 8~10}

x=

을 y=ax+ , y=-x+b에 각각 대입하면

y= a+

, y=-

+b

y`⁄

a+ =- +b이므로 a-b=-1

y`¤

따라서 이 식을 만족하는 순서쌍 (a, b)의 개수는 (2, 2), (4, 3), (6, 4)의 3가지 y`‹

3의 배수가 나오는 경우의 수는 3, 6, 9, 12의 4가지 y`⁄

8의 약수가 나오는 경우의 수는 1, 2, 4, 8의 4가지 y`¤

따라서 구하는 경우의 수는 4+4=8(가지) y`‹

A주머니에서 짝수가 적힌 공이 나오는 경우의 수는 2, 4의 2

가지 y`⁄

B주머니에서 소수가 적힌 공이 나오는 경우의 수는 2, 3의 2

가지 y`¤

따라서 구하는 경우의 수는 2_2=4(가지) y`‹

3 2

1 2 1

2 1 2 1 2

1 2 1

2 1 2

1 2 1

1

2 두 눈의 수의 차가 2인 경우의 수는 (1, 3), (2, 4),

(3, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4)의 8가

지 y`⁄

두 눈의 수의 차가 4인 경우의 수는 (1, 5), (2, 6),

(5, 1), (6, 2)의 4가지

y`¤

따라서 구하는 경우의 수는

8+4=12(가지)

y`‹

A지점에서 B지점으로 가는 경우의 수는 3가지, B지점에서 C지점으로 가는 경우의 수는 3가지이므로 A지점에서 B지점을 거쳐 C지점으로 가는 경우의 수

는 3_3=9(가지) y`⁄

A지점에서 C지점으로 바로 가는 경우의 수는 1가지 y`¤

9+1=10(가지) y`‹

십의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수는 0을 제외한 1,

2, 3, 4의 4개 y`⁄

일의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수는 십의 자리의 숫

자를 제외한 4개 y`¤

따라서 두 자리의 정수의 개수는

4_4=16(개) y`‹

3 2 1

회장 1명을 뽑는 경우의 수는 6가지 y`⁄

부회장 1명을 뽑는 경우의 수는 회장 1명을 제외한 5가지 y`¤

총무 1명을 뽑는 경우의 수는 회장 1명과 부회장 1명을 제외

한 4가지 y`‹

6_5_4=120(가지) y`›

4

⁄ 십의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수 구하기

¤ 일의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수 구하기

‹ 두 자리의 정수의 개수 구하기

40%

20%

⁄ 두 눈의 수의 차가 2인 경우의 수 구하기

¤ 두 눈의 수의 차가 4인 경우의 수 구하기

‹ 두 눈의 수의 차가 2 또는 4인 경우의 수 구하기

40%

20%

⁄ A지점에서 B지점을 거쳐 C지점으로 가는 경우의 수 구하기

¤ A지점에서 C지점으로 바로 가는 경우의 수 구하기

‹ A지점에서 C지점으로 가는 경우의 수 구하기

40%

20%

⁄ 회장 1명을 뽑는 경우의 수 구하기

¤ 부회장 1명을 뽑는 경우의 수 구하기

‹ 총무 1명을 뽑는 경우의 수 구하기

› 답 구하기

30%

10%

⁄ x=1을 두 일차함수의 식에 각각 대입하기 2

¤ 식 세우기

‹ 답 구하기

30%

40%

30%

⁄ 3의 배수가 나오는 경우의 수 구하기

¤ 8의 약수가 나오는 경우의 수 구하기

‹ 답 구하기

40%

20%

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(15)

53

Ⅰ.확률

정 답 과 해설

⑴ 한 명이 한 손의 손가락을 0개부터 5개까지 펼 수 있으므 로 일어날 수 있는 모든 경우의 수는

6_6_6=216(가지) y`⁄

⑵ 태현, 승윤, 승훈이가 편 손가락의 개수를 각각 a, b, c라 하고 합이 5가 되는 경우를 (a, b, c)로 나타내면

a=0일 때, (0, 0, 5), (0, 1, 4), (0, 2, 3), (0, 3, 2),

(0, 4, 1), (0, 5, 0)

a=1일 때, (1, 0, 4), (1, 1, 3), (1, 2, 2), (1, 3, 1),

(1, 4, 0)

a=2일 때, (2, 0, 3), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 3, 0) a=3일 때, (3, 0, 2), (3, 1, 1), (3, 2, 0)

a=4일 때, (4, 0, 1), (4, 1, 0) a=5일 때, (5, 0, 0)

따라서 3명이 편 손가락의 개수의 합이 5가 되는 경우의 수는 6+5+4+3+2+1=21(가지) y`¤

부모님을 제외한 3명의 가족이 나란히 서는 경우의 수는

3_2_1=6(가지) y`⁄

부모님이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 2가지 y`¤

⑴ C를 세 번째에 고정시키고 나머지 4개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 4_3_2_1=24(가지) y`⁄

⑵ A와 B를 1개의 문자로 생각하여 4개의 문자를 일렬로 나 열하는 경우의 수는 4_3_2_1=24(가지) y`¤

A와 B가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2가지 y`‹

따라서 구하는 경우의 수는 24_2=48(가지) y`›

6 5 4

⁄ 3명이 나란히 서는 경우의 수 구하기

¤ 부모님이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수 구하기

‹ 부모님이 양 끝에 서는 경우의 수 구하기

40%

20%

백의 자리의 숫자가 1인 경우의 수는 3_2=6(가지) y`⁄

백의 자리의 숫자가 2인 경우의 수는 3_2=6(가지) y`¤

따라서 15번째인 수는 백의 자리의 숫자가 3인 수 중에서 세

번째로 작은 수이므로 321이다. y`‹

⑴ 백의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수는 0을 제외한 9개, 십 의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수는 0과 백의 자리의 숫 자를 제외한 8개이므로 9_8=72(개) y`⁄

⑵ 백의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수는 0과 5를 제외한 8 개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수는 5와 백의 자리 의 숫자를 제외한 8개이므로 8_8=64(개) y`¤

⑶ 5의 배수인 세 자리의 자연수는 일의 자리의 숫자가 0 또 는 5이므로 ⑴, ⑵에 의해

72+64=136(개) y`‹

회장 1명을 뽑는 경우의 수는 7가지 y`⁄

회장을 제외한 나머지 6명 중에서 부회장 2명을 뽑는 경우의

수는

=15(가지)

y`¤

5명의 학생 중 자신의 야구글러브를 꺼내는 2명을 뽑는 경우

의 수는 =10(가지) y`⁄

2명이 자신의 야구글러브를 꺼냈을 때, 나머지 3명이 다른 사 람의 야구글러브를 꺼내는 경우의 수는 2가지 y`¤

10_2=20(가지) y`‹

5_4 2

10 6_5 2 9

8 7

⁄ C를 세 번째에 나열하는 경우의 수 구하기

¤ 4개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수 구하기

‹ A와 B가 자리를 바꾸는 경우의 수 구하기

› A와 B를 이웃하여 나열하는 경우의 수 구하기

30%

10%

⁄ 백의 자리의 숫자가 1인 경우의 수 구하기

¤ 백의 자리의 숫자가 2인 경우의 수 구하기

‹ 답 구하기

40%

20%

⁄ 일의 자리의 숫자가 0인 세 자리의 자연수의 개수 구하기

¤ 일의 자리의 숫자가 5인 세 자리의 자연수의 개수 구하기

‹ 5의 배수인 세 자리의 자연수의 개수 구하기

40%

20%

⁄ 회장 1명을 뽑는 경우의 수 구하기

¤ 부회장 2명을 뽑는 경우의 수 구하기

‹ 답 구하기

40%

20%

⁄ 자신의 야구글러브를 꺼내는 2명을 뽑는 경우의 수 구하기

¤ 나머지 3명이 다른 사람의 야구글러브를 꺼내는 경우 의 수 구하기

‹ 답 구하기

40%

20%

⁄ A주머니에서 짝수가 적힌 공이 나오는 경우의 수 구 하기

¤ B주머니에서 소수가 적힌 공이 나오는 경우의 수 구 하기

‹ 답 구하기

40%

20%

⁄ 일어날 수 있는 모든 경우의 수 구하기

¤ 3명이 편 손가락의 개수의 합이 5가 경우의 수 구하기

40%

60%

채점 기준

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배점

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(16)

54

정답과해설

야채 5가지 중 2가지를 선택하는 경우의 수는

=10(가지)

y`⁄

견과 3가지 중 2가지를 선택하는 경우의 수는

=3(가지)

y`¤

따라서 구하는 경우의 수는 10_3=30(가지) y`‹

⑴ 5명 중에서 대표 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로

=10(개)

y`⁄

⑵ 5명 중에서 대표 3명을 뽑는 경우의 수와 같으므로

=10(개)

y`¤

5_4_3 3_2_1 5_4

2 12

3_2 2 5_4

2 11

⁄ 야채 2가지를 선택하는 경우의 수 구하기

¤ 견과 2가지를 선택하는 경우의 수 구하기

‹ 답 구하기

40%

20%

⁄ 만들 수 있는 선분의 개수 구하기

¤ 만들 수 있는 삼각형의 개수 구하기

50%

1 13개 2 ⑴ 14가지 ⑵ 6가지 ⑶ 84가지 3 13가지

3

단계 ^{P. 11}

이웃한 두 점 사이의 거리를 a라 하자.

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 a인 정삼

각형은 9개이다. y`⁄

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 2a인 정

삼각형은 3개이다. y`¤

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 3a인 정

삼각형은 1개이다. y`‹

따라서 정삼각형의 개수는

9+3+1=13(개) y`›

⑴ 집에서 우체국까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 다음 그

림과 같이 14가지이다. y`⁄

2 1

⑵ 우체국에서 도서관까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 다

음 그림과 같이 6가지이다. y`¤

⑶ 집에서 우체국을 거쳐 도서관까지 최단 거리로 가는 경우

의 수는 14_6=84(가지) y`‹

다음 그림에서 빨간 돌을 가진 사람이 3회에 이기려면 1회에 빨간 돌을 ㉠, ㉡, ㉢의 세 곳 중 한 곳에 놓으면 된다.

이때 게임판의 각 끝줄에는 각자 하나씩의 돌만 놓을 수 있으 므로 파란 돌을 놓을 수 있는 곳은 ㉠, ㉣, ㉤ 중 한 곳이다.

1회에 빨간 돌을 ㉠에 놓을 때, 2회에 파란 돌을 ㉣, ㉤에 놓 을 수 있고, 3회에 빨간 돌을 A, B에 놓을 수 있으므로 이기

는 경우의 수는 2_2=4(가지) y`⁄

1회에 빨간 돌을 ㉡에 놓을 때, 2회에 파란 돌을 ㉠, ㉣, ㉤에 놓을 수 있고, 3회에 빨간 돌을 B, C에 놓을 수 있으므로 이 기는 경우의 수는 3_2=6(가지) y`¤

1회에 빨간 돌을 ㉢에 놓을 때, 2회에 파란 돌을 ㉠, ㉣, ㉤에 놓을 수 있고, 3회에 빨간 돌을 C에 놓을 수 있으므로 이기는

경우의 수는 3_1=3(가지) y`‹

따라서 빨간 돌을 가진 사람이 3회에 이기는 경우의 수는

4+6+3=13(가지) y`›

㉣

㉠

㉡

㉢

㉤

A B

C D

E F 1

2

3

1 2 3 3

3 1 1

6

집

우체국

도서관 1

4 14 10 4 1 1

3 6

2 3

1 1 집

우체국

도서관

⁄ 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 개수 구하기

¤ 한 변의 길이가 2a인 정삼각형의 개수 구하기

‹ 한 변의 길이가 3a인 정삼각형의 개수 구하기

› 정삼각형의 개수 구하기

30%

10%

⁄ 빨간 돌을 ㉠에 놓을 때, 이기는 경우의 수 구하기

¤ 빨간 돌을 ㉡에 놓을 때, 이기는 경우의 수 구하기

‹ 빨간 돌을 ㉢에 놓을 때, 이기는 경우의 수 구하기

› 답 구하기

30%

10%

⁄ 집에서 우체국까지 가는 경우의 수 구하기

¤ 우체국에서 도서관까지 가는 경우의 수 구하기

‹ 집에서 우체국을 거쳐 도서관까지 가는 경우의 수 구하기 40%

40%

20%

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(17)

55

Ⅰ.확률

정 답 과 해설

모든 경우의 수는 6_6=36(가지) y`⁄

두 눈의 수의 합이 6의 배수인 경우는 6, 12이므로 경 우의 수는 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1),

(6, 6)의 6가지 y`¤

따라서 6의 배수일 확률은

=

y`‹

모든 경우의 수는

=21(가지)

2명 모두 여학생을 뽑는 경우의 수는

=3(가지)

2명 모두 여학생이 뽑힐 확률은

=

y`⁄

따라서 적어도 한 명은 남학생이 뽑힐 확률은

1- =

y`¤

모든 경우의 수는 6_6=36(가지)

두 눈의 수의 차가 3인 경우의 수는 (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)의 6가지이므로 확률은 y`⁄

두 눈의 수의 차가 4인 경우의 수는 (1, 5), (2, 6), (5, 1), (6, 2)의 4가지이므로 확률은 y`¤

따라서 구하는 확률은

+ = = 5

y`‹

18 10 36 4 36 6 36

4 36 6

36 3

6 7 1 7

1 7 3 21 3_2

2 7_6 2 2

1 6 6 36 1

2 ^확률

1 ¹₆ 2 ⁶₇ 3 ₁₈⁵ 4 ¹⁵₄₉

1

단계 ^{P. 12~13}

⁄ 모든 경우의 수 구하기

¤ 두 눈의 수의 합이 6의 배수인 경우의 수 구하기

‹ 두 눈의 수의 합이 6의 배수일 확률 구하기

40%

20%

A주머니에서 노란 공을 꺼낼 확률은 y`⁄

B주머니에서 파란 공을 꺼낼 확률은 y`¤

따라서 A주머니에서는 노란 공, B주머니에서는 파란 공을

꺼낼 확률은

_ = 15

y`‹

49 5 7 3 7

5 7 3 4 7

⁄ 2명 모두 여학생이 뽑힐 확률 구하기

¤ 적어도 한 명은 남학생이 뽑힐 확률 구하기

70%

30%

⁄ 두 눈의 수의 차가 3일 확률 구하기

¤ 두 눈의 수의 차가 4일 확률 구하기

‹ 두 눈의 수의 차가 3 또는 4일 확률 구하기

40%

20%

1 2 3 4 5

6 ⑴ ⑵ ⑶ 7 8

9 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 10

11 ⁴³₇₂ 12 ₂₇⁷

21 32 35

108 1

9 5 36 2

27

49 81 7

30 1

2 2 5 1 10

5 16 15

16 5

36 1

4 1

4

2

단계 ^{P. 14~16}

4의 배수인 경우의 수는 12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56, 64

의 9가지 y`¤

따라서 4의 배수일 확률은

=

y`‹

모든 경우의 수는 2_2_2_2=16(가지) y`⁄

A지점에 위치하려면 앞면이 3번, 뒷면이 1번 나와야 한다.

4번 중에서 앞면이 3번 나오는 경우의 수는 (앞, 앞, 앞, 뒤), (앞, 앞, 뒤, 앞), (앞, 뒤, 앞, 앞),

(뒤, 앞, 앞, 앞)의 4가지 y`¤

따라서 A지점에 위치할 확률은

= 1

y`‹

4 4 16 2

1 4 9 36 1

¤ A지점에 위치하는 경우의 수 구하기

‹ A지점에 위치할 확률 구하기

40%

20%

¤ 4의 배수인 경우의 수 구하기

‹ 4의 배수일 확률 구하기

40%

20%

⁄ A주머니에서 노란 공을 꺼낼 확률 구하기

¤ B주머니에서 파란 공을 꺼낼 확률 구하기

‹ A주머니에서 노란 공, B주머니에서 파란 공을 꺼낼 확률 구하기

40%

20%

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(18)

56

정답과해설

연립방정식 [ 에서

㉠-㉡_2를 하면 (a-2)x+0_y=b-4

해가 없으려면 a=2, b+4 y`¤

순서쌍 (a, b)의 개수는 (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 5),

(2, 6)의 5가지

y`‹

따라서 연립방정식의 해가 없을 확률은 y`›

모든 경우의 수는 2_2_2_2=16(가지)

4개 모두 틀리는 경우의 수는 1가지이므로 확률은 y`⁄

따라서 적어도 한 개 이상 맞힐 확률은

1- =

y`¤

모든 경우의 수는 2_2_2_2=16(가지)

등이 나오는 경우를 ◯, 배가 나오는 경우를 ×로 나타내면 도가 나오는 경우의 수는 (◯, ◯, ◯, ×), (◯, ◯, ×, ◯), (◯, ×, ◯, ◯), (×, ◯, ◯, ◯)의 4가지이므로 확률은

y`⁄

모가 나오는 경우의 수는 (◯, ◯, ◯, ◯)의 1가지이므로 확률

은 y`¤

따라서 도 또는 모가 나올 확률은

+ = y`‹

모든 경우의 수는 5_4_3_2_1=120(가지)

⑴ 여학생이 양 끝에 서는 경우의 수는 나머지 3명을 일렬로 세우고, 여학생이 서로 자리를 바꿀 수 있으므로

(3_2_1)_2=12(가지)

6 5 16 1 16 4 16

1 16

4 16 5

15 16 1 16

1 16 4

5 36 ax-2y=b y`㉠

x-y=2

y`㉡

3

즉, 확률은 = y`⁄

⑵ 여학생이 이웃하여 서는 경우의 수는 여학생을 한 명으로 생각하여 4명을 일렬로 세우고, 여학생이 서로 자리를 바 꿀 수 있으므로

(4_3_2_1)_2=48(가지)

즉, 확률은 = y`¤

⑶ ⑴, ⑵에 의해 여학생이 양 끝에 서거나 이웃하여 설 확률

은 + = = y`‹

모든 경우의 수는 6_5=30(가지) 를 순서쌍 (a, b)로 나타내면

가 2의 배수인 경우의 수는 (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 4), (3, 6)의 5가지이므로 확률은 y`⁄

가 3의 약수인 경우의 수는 (1, 3), (2, 6)의 2가지이므로

확률은 y`¤

따라서 가 2의 배수이거나 3의 약수일 확률은

+ = y`‹

첫 번째 경기에서 이길 확률은 y`⁄

두 번째 경기에서 이길 확률은 y`¤

따라서 두 번의 경기에서 모두 이길 확률은

_

=

49

y`‹

81 7 9 7 9

7 9 7 8 9

7 30 2 30 5 30

b a 2 30 b a

5 30 b

a b a 7

1 2 5 10 2 5 1 10

2 5

48 120

1 10

12 120

⁄ 4개 모두 틀릴 확률 구하기

¤ 적어도 한 개 이상 맞힐 확률 구하기

70%

30%

⁄ 도가 나올 확률 구하기

¤ 모가 나올 확률 구하기

‹ 도 또는 모가 나올 확률 구하기

40%

20%

⁄ 첫 번째 경기에서 이길 확률 구하기

¤ 두 번째 경기에서 이길 확률 구하기

‹ 두 번의 경기에서 모두 이길 확률 구하기

40%

20%

⁄ 여학생이 양 끝에 설 확률 구하기

¤ 여학생이 이웃하여 설 확률 구하기

‹ 여학생이 양 끝에 서거나 이웃하여 설 확률 구하기

40%

20%

¤ a, b의 조건 구하기

‹ 순서쌍 (a, b)의 개수 구하기

› 연립방정식의 해가 없을 확률 구하기

20%

30%

20%

⁄ b가 2의 배수일 확률 구하기 a

¤ b가 3의 약수일 확률 구하기 a

‹ b가 2의 배수이거나 3의 약수일 확률 구하기 a

40%

20%

01 2

x：8=1：2

y：12=1：2 ∴` y=6

3：z=1：2 ∴` z=6

20

19

18

01 삼각형과 평행선

8：12=6：y

3：7=y：4

2 닮음의 활용

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개 념 편

6：(6+4)=2：y

5

4

3

2

1

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+4=

3：8=x：4 ∴ x=

2：5=x：4

y：8=5：8

1

02 평행선과 선분의 길이의 비

10：3=12：y

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개 념 편

_(8+12+10)=15

10：4=12：y

10：5=x：6 `∴ x=12 10：15=(y-12)：8

2：5=1：(x-2)

+

y：10=2：3

12：y=4：5

4

3

2

03 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질

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4

3

2

1

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개 념 편

y=MQ”-MP”=10-8=2

5

4

3

2

1

04 삼각형의 무게중심

x=

y：4=2：1 ∴ y=8

x：9=2：3

y：6=2：1 ∴ y=12

x+y=2_9=18

=6 , y=18_ =12

y=15_

x=AC”=2AE”=2_8=16

y=

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_{ △ABC}

x=

y=

_4_2=4 (cm¤ )

2

1

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개 념 편

4

3

05 닮은 도형의 넓이와 부피

= =

80：(B의 부피)=8：27

54：V=27：125 ∴ V=250

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1.6：DE”=2：4 ∴ DE”=3.2 (m)

2 ^{닮음의 활용}