적분정리

EE ngineering Mathematics II ngineering Mathematics II

Prof. Dr. Yong-Su Na g (32-206, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9^th Edition, Wiley (2006)

Ch. 10 Vector Integral Calculus.

Ch. 10 Vector Integral Calculus.

Ch. 10 Vector Integral Calculus.

Ch. 10 Vector Integral Calculus.

Integral Theorems Integral Theorems

10.1 Line Integrals

10.2 Path Independence of Line Integralsp g 10.3 Calculus Review: Double Integrals 10 4 Green’s Theorem in the Plane

10.4 Green s Theorem in the Plane 10.5 Surfaces for Surface Integrals 10.6 Surface Integrals

10.7 Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss 10.8 Further Applications of the Divergence Theorem 10.9 Stokes’s Theorem

10.9 Stokes s Theorem

2

Ch. 10 Vector Integral Calculus.

Ch. 10 Vector Integral Calculus.

Ch. 10 Vector Integral Calculus.

Ch. 10 Vector Integral Calculus.

Integral Theorems Integral Theorems

10.1 Line Integrals

10.2 Path Independence of Line Integralsp g 10.3 Calculus Review: Double Integrals 10 4 Green’s Theorem in the Plane

10.4 Green s Theorem in the Plane 10.5 Surfaces for Surface Integrals 10.6 Surface Integrals

10.7 Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss 10.8 Further Applications of the Divergence Theorem 10.9 Stokes’s Theorem

10.9 Stokes s Theorem

3

Ch. 10 Vector Integral Calculus.

Ch. 10 Vector Integral Calculus. gg Integral Theorems

Integral Theorems

((벡터적분법

벡터적분법

적분정리

z

적분을 곡선(선적분), 면(면적분), 고체에 대한 적분으로 확장

((벡터적분법

벡터적분법

적분정리

적분을 곡선(선적분), 면(면적분), 체에 대한 적분 확장 : 고체역학, 유체흐름, 열역학에서 공학적 기본 응용으로 활용

적분의 변환은 계산을 간단히 하거나, 유용한 일반적인 공식을

얻기 위해 수행

예. 퍼텐셜 이론(Potential Theory)

적분변환 공식

: Green의 공식, Gauss 공식, Stokes 공식

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

z 선적분의 개념: 미적분학에서 공부한 정적분의 간단한 일반화

• 선적분(Line Integral) 또는 곡선적분(Curve Integral)

: 피적분함수(Integrand)를 공간(혹은 평면)내의 곡선을 따라 적분.

• 적분경로(Path of Integration) : 곡선

• 적분경로(Path of Integration) : 곡선

( )t [x( ) ( ) ( )t , y t , z t ] x( )t y( )t z( ) (t a t b)

C:r = = i+ j+ k ≤ ≤

™ 일반적인 가정

: 선적분의 모든 적분경로를 구분적으로 매끄럽다(Piecewise Smooth) z 선적분의 정의와 계산

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

dt dt d

t t

d t

C: ^b

a C

r r r

r F r

r F r

F

r

^{에서 벡터함수 의 선적분 :}

• =

• ^{' '} = 곡선

( ) ∫( ) (∫b )

∫ ^{• = + + = + +}

a C

C

dt z F y F x F dz

F dy F dx F

dr _{1 2 3 1} ' ₂ ' ₃ '

r F

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

Ex.1 평면에서 선적분의 계산

( )^r [ ^{y xy}] ^{yi xyj이고 C가 A에서 B까지의원호일때선적분의값을 구하라.}

F( )^r =[− ^y, −^xy]=−^yi−^{xyj이고 C가 A에서 B까지의원호일때선적분의값을 구하라.}

F ,

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

Ex.1 평면에서 선적분의 계산

( )^r [ ^{y xy}] ^{yi xyj이고 C가 A에서 B까지의원호일때선적분의값을 구하라.}

F( )^r =[− ^y, −^xy]=−^yi−^{xyj이고 C가 A에서 B까지의원호일때선적분의값을 구하라.}

F ,

( ) [ ] ( )

( )

^{= cos cos sin}

^{= cos sin sin 0 / 2}

⇒

≤

≤ +

=

=

t t

y t t

x

π t , t t

t t, t

C

를

로 표현

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) [

ⁱ

ⁱ

'

sin cos sin

sin ,

cos

+

−

−

=

−

−

=

⇒

=

=

⇒

t t

t t

t

t t t

t y t x t y t

t t

y t t

x

j i

j i

j i

r F

( ) [ ]

( ) [

^{sin cos sin}

^{sin cos}

cos sin

cos sin

'

2

0

−

•

−

−

=

•

⇒

+

−

=

−

=

∫

∫

π

dt t t, t

t t,

d

t t

t t, t

C

r r F

j i

r

( ) ( ) ( )

^{0 . 4521}

3 0 1 2 4

cos 2 1

sin 1 cos sin

0

1 2 2

0 2

0

2

2

− = − − − = − − ≈

=

π π

du u

dt t dt

t t t

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

Ex.1 평면에서 선적분의 계산

( )^r [ ^{y xy}] ^{yi xyj이고 C가 A에서 B까지의원호일때선적분의값을 구하라.}

F( )^r =[− ^y, −^xy]=−^yi−^{xyj이고 C가 A에서 B까지의원호일때선적분의값을 구하라.}

F ,

( ) [ ] ( )

( )

^{= cos cos sin}

^{= cos sin sin 0 / 2}

⇒

≤

≤ +

=

=

t t

y t t

x

π t , t t

t t, t

C

를

로 표현

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) [

ⁱ

ⁱ

'

sin cos sin

sin ,

cos

+

−

−

=

−

−

=

⇒

=

=

⇒

t t

t t

t

t t t

t y t x t y t

t t

y t t

x

j i

j i

j i

r F

( ) [ ]

( ) [

^{sin cos sin}

^{sin cos}

cos sin

cos sin

'

2

0

−

•

−

−

=

•

⇒

+

−

=

−

=

∫

∫

π

dt t t, t

t t,

d

t t

t t, t

C

r r F

j i

r

( ) ( ) ( )

^{0 . 4521}

3 0 1 2 4

cos 2 1

sin 1 cos sin

0

1 2 2

0 2

0

2

2

− = − − − = − − ≈

=

π π

du u

dt t dt

t t t

Example 2

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

z 선적분의 일반적인 성질

( )

∫

∫

^{• = •}

C C

k d

k d

kF r F r

는 상수

( )

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+

• +

•

=

• +

C C

C

d d

d

d d

d

F F

F

r G r

F r

G F

∫

∫

∫

^{• = • + •}

2

1 C

C C

d d

dr F r F r

F

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

Ex.3 변하는 힘에 의해 행하여진 일

•

• ^곡선 ( )^{를 따르는변위에서힘 가 변할 때,행해진일 는 의작은 현을따른변위에서}

이다.

일 의한 에 힘 일정한 변위에서

따른 를 직선분

C W F

t C:

d F W F

d r

•

=

• 선적분으로 를 정하는 것과 같다.

있다.

수 정의할 극한으로

합의 일의 행해진

W

Ex.4 행해진 일은 운동에너지에서 증가와 같다.

( )

( ) ( )

b

d dt

t =

∫

∫

r v

F가 힘이면선적분은 일이다. 를 시간이라 하면 는 속도이다.

( )

( ) ( )

( ) ( ) ^b ( ) ( ) ^{b t b}

a C

dt m m

dt t t ' m W

t ' m t '' m Newton

dt t t

d W

=

⎟ =

⎜ ⎞

= ⎛ •

•

=

⇒

=

=

⇒

•

=

•

=

∫

∫

∫

∫

' v2

v v v

v v

r F v

r F r F

제2법칙

의 ( ) ( ) ( ) ( )

a a t

a

dt m

dt t t m W

t m t m Newton

=

⎟ =

⎜ ⎠

= ⎝

•

=

⇒

=

=

⇒ ^{F r v} ∫ ^{v v} ∫ _{2 2} ^v

제2법칙 의

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

Ex.3 변하는 힘에 의해 행하여진 일

•

• ^곡선 ( )^{를 따르는변위에서힘 가 변할 때,행해진일 는 의작은 현을따른변위에서}

이다.

일 의한 에 힘 일정한 변위에서

따른 를 직선분

C W F

t C:

d F W F

d r

•

=

• 선적분으로 를 정하는 것과 같다.

있다.

수 정의할 극한으로

합의 일의 행해진

W

Ex.4 행해진 일은 운동에너지에서 증가와 같다.

( )

( ) ( )

b

d dt

t =

∫

∫

r v

F가 힘이면선적분은 일이다. 를 시간이라 하면 는 속도이다.

( )

( ) ( )

( ) ( ) ^b ( ) ( ) ^{b t b}

a C

dt m m

dt t t ' m W

t ' m t '' m Newton

dt t t

d W

=

⎟ =

⎜ ⎞

= ⎛ •

•

=

⇒

=

=

⇒

•

=

•

=

∫

∫

∫

∫

' v2

v v v

v v

r F v

r F r F

제2법칙

의 ( ) ( ) ( ) ( )

a a t

a

dt m

dt t t m W

t m t m Newton

=

⎟ =

⎜ ⎠

= ⎝

•

=

⇒

=

=

⇒ ^{F r v} ∫ ^{v v} ∫ _{2 2} ^v

제2법칙 의

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

z ^{선적분의 다른 형식}

( )

_∫

_∫

∫

선적분 벡터인

값이

_∫

_∫

_∫

a a

C

dt t F t F t F dt

t

dt F r r r r

r

F ₁ , ₂ , ₃

: 선적분 벡터인

값이

Ex.5 ^{나선을 따라서} F( )r =[xy, yz,z]^{를적분하라.} ( )

( ) ² [ ²]

0 2 2

2

0

6 , 6 , 2 0

3 , cos 3 sin 3 , 2cos

1 π π

π π

−

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡− −

∫^{F r t dt} = ^{t t t t t}

z 경로 관련성

선적분은 일반적으로 피적분함수와 경로의 끝점과 관련이 있을 뿐 아니라 적분이 취해지는 경로 그 자체와도 관련이 있다.

Ex.6 ⁰≤t≤¹에서직선 C1:r1( )t =[t, t, ⁰]과 포물선 C2:r2( )t =[t, t², ⁰]을 취해서 F=^[0, xy, ^0]를 적분해보자^.

( )

(^{r1 t} )^•r1'( )^{t =t2 ⇒}

∫

F( ( )) ( ) ( )

( )

( ) ( )

∫

∫

=

•

⇒

=

•

2 1

5 2

2 '

3

2 2 4

2 2

1 1 1

1

C C

d t

t

t r F r r

r F

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

z ^{선적분의 다른 형식}

( )

_∫

_∫

∫

선적분 벡터인

값이

_∫

_∫

_∫

a a

C

dt t F t F t F dt

t

dt F r r r r

r

F ₁ , ₂ , ₃

: 선적분 벡터인

값이

Ex.5 나선을 따라서 F( )r =[xy, yz,z]를적분하라.

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ² [ ²]

0 2 2

2

0

6 , 6 , 2 0

3 , cos 3 sin 3 , 2cos 1

] 3 , sin 3 , sin [cos

π π

π π

−

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡− −

=

=

∫ ^{t dt t t t t t}

t t t t t t

r F

r F

z 경로 관련성

선적분은 일반적으로 피적분함수와 경로의 끝점과 관련이 있을 뿐 아니라 적분이 취해지는 경로 그 자체와도 관련이 있다.

Ex.6 ⁰≤t≤¹에서직선 C1:r1( )t =[t, t, ⁰]과 포물선 C2:r2( )t =[t, t², ⁰]을 취해서 F=^[0, xy, ^0]를 적분해보자^.

( )

(^{r1 t} )^•r1'( )^{t =t2 ⇒}

∫

F( ( )) ( ) ( )

( )

( ) ( )

∫

∫

=

•

⇒

=

•

2 1

5 2

2 '

3

2 2 4

2 2

1 1 1

1

C C

d t

t

t r F r r

r F

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

z ^{선적분의 다른 형식}

( )

_∫

_∫

∫

선적분 벡터인

값이

_∫

_∫

_∫

a a

C

dt t F t F t F dt

t

dt F r r r r

r

F ₁ , ₂ , ₃

: 선적분 벡터인

값이

Ex.5 나선을 따라서 F( )r =[xy, yz,z]를적분하라.

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ² [ ²]

0 2 2

2

0

6 , 6 , 2 0

3 , cos 3 sin 3 , 2cos 1

] 3 , sin 3 , sin [cos

π π

π π

−

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡− −

=

=

∫ ^{t dt t t t t t}

t t t t t t

r F

r F

z 경로 관련성

선적분은 일반적으로 피적분함수와 경로의 끝점과 관련이 있을 뿐 아니라 적분이 취해지는 경로 그 자체와도 관련이 있다.

Ex.6 ⁰≤t≤¹에서직선 C1:r1( )t =[t, t, ⁰]과 포물선 C2:r2( )t =[t, t², ⁰]을 취해서 F=^[0, xy, ^0]를 적분해보자^.

( ) 1

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

∫

∫

=

•

⇒

=

•

=

•

⇒

=

•

1

5 2

2 '

3 1

'

2 2 4

2 2

1 1 2

1 1

C

d t

t t

d t

t t

r r F r

r F

r r F r

r F

( )

( ) ( )

∫

2

2 5

2 2

2

C

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

z ^{선적분의 다른 형식}

( )

_∫

_∫

∫

선적분 벡터인

값이

_∫

_∫

_∫

a a

C

dt t F t F t F dt

t

dt F r r r r

r

F ₁ , ₂ , ₃

: 선적분 벡터인

값이

Ex.5 나선을 따라서 F( )r =[xy, yz,z]를적분하라.

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ² [ ²]

0 2 2

2

0

6 , 6 , 2 0

3 , cos 3 sin 3 , 2cos 1

] 3 , sin 3 , sin [cos

π π

π π

−

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡− −

=

=

∫ ^{t dt t t t t t}

t t t t t t

r F

r F

z 경로 관련성

선적분은 일반적으로 피적분함수와 경로의 끝점과 관련이 있을 뿐 아니라 적분이 취해지는 경로 그 자체와도 관련이 있다.

Ex.6 ⁰≤t ≤¹에서직선 C1:r1( )t =[t, t, ⁰]과 포물선 C2:r2( )t =[t, t², ⁰]을 취해서 F=[⁰, xy, ⁰]를 적분해보자^.

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ∫ ( )

∫

=

•

⇒

=

•

=

•

⇒

=

•

1

2 2 '

3 1

'

4

1 1 2

1 1

C

d t

t t

d t

t t

r r F r

r F

r r F r

r F

( )

( )^• ( )^{= ⇒} ∫ ( )^{• =}

2

5

2 _{2 2}

2 2

C

d t

t

t r F r r

r F

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

z ^{선적분의 다른 형식}

( )

_∫

_∫

∫

선적분 벡터인

값이

_∫

_∫

_∫

a a

C

dt t F t F t F dt

t

dt F r r r r

r

F ₁ , ₂ , ₃

: 선적분 벡터인

값이

Ex.5 나선을 따라서 F( )r =[xy, yz,z]를적분하라.

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ² [ ²]

0 2 2

2

0

6 , 6 , 2 0

3 , cos 3 sin 3 , 2cos 1

] 3 , sin 3 , sin [cos

π π

π π

−

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡− −

=

=

∫ ^{t dt t t t t t}

t t t t t t

r F

r F

z 경로 관련성

선적분은 일반적으로 피적분함수와 경로의 끝점과 관련이 있을 뿐 아니라 적분이 취해지는 경로 그 자체와도 관련이 있다.

Ex.6 ⁰≤t ≤¹에서직선 C1:r1( )t =[t, t, ⁰]과 포물선 C2:r2( )t =[t, t², ⁰]을 취해서 F=[⁰, xy, ⁰]를 적분해보자^.

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ∫ ( )

∫

=

•

⇒

=

•

=

•

⇒

=

•

1

2 2 '

3 1

'

4

1 1 2

1 1

C

d t

t t

d t

t t

r r F r

r F

r r F r

r F

( )

( )^• ( )^{= ⇒} ∫ ( )^{• =}

2

5

2 _{2 2}

2 2

C

d t

t

t r F r r

r F

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

10

10.1 Line Integrals .1 Line Integrals

((선적분 선적분))

PROBLEM SET 10.1

HW 10 18 19 20 HW: 10, 18, 19, 20

17

10

10.2 .2 Path Independence of Path Independence of Line Integrals pp Line Integrals gg

((선적분의 선적분의 경로 경로 무관성 무관성))

z ^{경로 무관성}

• 공간의영역 D에서 F₁, F₂, F₃가 연속인선적분은만약 F=[F₁, F₂, F₃]가 어떤함수 f 의

( ) ( ) ( )

∫

⎟⎟ ⇒

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

∂

=∂

∂

= ∂

=grad ₁ , ₂ , ₃ ^B _{1 2 3} .

A f B f dz F dy F dx f F

f F f F

F f F

무관하다 경로에

영역에서 기울기이면

•

•

( ) ( ) ( )

∫

⎟⎠

⎜⎝ ¹ ∂ , ² ∂ , ³ ∂ ^{1 2 3} g

A

f f

z y y

f x

경로무관하다.

에서 영역

적분은 이면,

적분값이 선적분의

곡선에서 닫힌

모든 의

영역 D 0 D

를 계수함수

연속적인 에서

영역 가

미분형식 F• rd =Fdx+F dy+Fdz D F F F

z 완전(E t)

무관하다.

경로 에서 영역

선적분은 완전하면,

가지고

를 , , 계수함수 연속적인

에서 영역

가 미분형식

D

F F F D

dz F dy F dx F

d = ₁ + ₂ + _{3 1 2 3}

• r F

z 완전(Exact)

성립 관계가 의

존재하여 가

함수 미분가능한 곳에서

모든 의

영역 D f F• rd =df

10

10.2 .2 Path Independence of Path Independence of Line Integrals pp Line Integrals gg

((선적분의 선적분의 경로 경로 무관성 무관성))

Ex.1 경로 무관성

(2 2 4 )가 임의영역에서경로 무관함을 보이고 적분 xdx ydy zdz

C∫ ^{+ +}

(0, 0, 0)에서 B:(2, 2, 2)까지적분값을 구하라. A:

C

[2 2 , 4z] grad 2 ₁, 2 ₂, = 4 = ₃ ⇒ = ² + ² +2 ²

∂

= ∂

∂ =

= ∂

∂ =

⇒ ∂

=

= z F f x y z

z F f y y

F f x x

f f y

x, F

(2 +2 +4 )= ( ) ( )− = (2, 2, 2) (− 0, 0, 0)= 4+4+8=16

∴

∫ ^{xdx ydy zdz f B f A f f}

C

무관하다.

경로와 적분은

10

10.2 .2 Path Independence of Path Independence of Line Integrals pp Line Integrals gg

((선적분의 선적분의 경로 경로 무관성 무관성))

Ex.1 경로 무관성

(2 2 4 )가 임의영역에서경로 무관함을 보이고 적분 xdx ydy zdz

C∫ ^{+ +}

(0, 0, 0)에서 B:(2, 2, 2)까지적분값을 구하라. A:

C

[2 2 , 4z] grad 2 ₁, 2 ₂, = 4 = ₃ ⇒ = ² + ² +2 ²

∂

= ∂

∂ =

= ∂

∂ =

⇒ ∂

=

= z F f x y z

z F f y y

F f x x

f f y

x, F

(2 +2 +4 )= ( ) ( )− = (2, 2, 2) (− 0, 0, 0)= 4+4+8=16

∴

∫ ^{xdx ydy zdz f B f A f f}

C

무관하다.

경로와 적분은