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Engineering Mathematics II

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(1)

Bong-Kee Lee

School of Mechanical Engineering Chonnam National University

Engineering Mathematics II

11. Fourier Series, Integral, and Transforms

11.1 Fourier Series

 주기함수(periodic function)

– 함수 f(x),

• 모든 실수 x에 대하여 정의

• 어떤 양수 p가 존재하여, 모든 x에 대하여 f(x + p)=f(x) – 예. sin x, cos x (주기 2π)

– 주기함수가 아닌 예. x, x2, x3, ex, cosh x, ln x 등

– 주기함수의 성질

주기함수 (periodic function)

주기 (period)

□ 함수 f(x)의 주기가 p이면, 모든 x에 대하여 f(x + np) = f(x) (n=1, 2, 3, …)

□ f(x)와 g(x)의 주기가 p이면, af(x)+bg(x)의 주기도 p이다. (a, b: 임의의 상수)

(2)

School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II

11.1 Fourier Series

 삼각급수(trigonometric series)

– 삼각함수 계(trigonometric system)

• 주기 2π인 함수들로 이루어진 계

– 삼각급수(trigonometric series)

• 삼각급수가 수렴할 경우, 그 합은 주기가 2π인 주기함수

,cos ,sin , ,

2 sin , 2 cos , sin , cos ,

1 x x x x nx nx

 

1 0

2 2

1 1 0

sin cos

2 sin 2 cos sin

cos

n

n

n nx b nx

a a

x b x a x b x a

a

계수(coefficient)

  

 

1

0 cos sin

n

n

n nx b nx

a a x

f 푸리에 급수

(Fourier series)

11.1 Fourier Series

 푸리에 급수(Fourier series)

– 푸리에 계수(Fourier coefficients)

• 푸리에 급수의 계수들

• 오일러 공식(Euler formulas)에 의하여 결정할 수 있음

  

 

1

0 cos sin

n an nx bn nx

a x f

 

 

 

1,2,3,

1 sin 1 cos 2

1

0

n

nxdx x f b

nxdx x f a

dx x f a

n n

(3)

School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II

11.1 Fourier Series

 푸리에 급수(Fourier series)

– Ex. 1 주기적인 직사각형파(rectangular wave)

   

 

f

x

f

 

x

x k

x x k

f  



  

 & 2

0

0

       

     

     





 



 

 



 







 



 

 



 



 

  



 

 

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0

0 0

0

cos cos

sin 1 1 sin

sin 1 sin

1 sin

0 sin 0

sin cos 1

1 cos

cos 1 cos

1 cos

0 2 0

1 2

1 2

1

n k nx n

k nx nxdx

k nxdx k

nxdx x f nxdx x f nxdx

x f b

n a k nx n

k nx nxdx

k nxdx k

nxdx x f nxdx x f nxdx

x f a

a kdx

dx k dx

x f dx x f dx

x f a

n

n n

11.1 Fourier Series

 푸리에 급수(Fourier series)

 

   

 

   

 

 

 

 

4 5 1 3 1 1 5

1 3 1 1 4 2

5 5sin 3 1 3sin sin 1 4

5 5 sin 3 4 3 sin sin 4 sin 4

even 0

4 odd

even 0

odd cos 2

even 1 1

odd cos 1

cos 2 1 1 cos cos

cos 1 cos

1

1

0 0

 

 



 

   



 

 



 

   





 



 

 



 







 

k k f

x x

k x

k x k x

k x nx b x f

n n n

k b

n n n

n n n

n n n k n n

k n

k nx n

k nx b

n n

n n

(4)

School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II

11.1 Fourier Series

 푸리에 급수(Fourier series)

– 삼각함수 계의 직교성(orthogonality)

• 삼각함수 계는 구간 –π ≤ x ≤ π 에서 직교한다.

– 푸리에 급수에 의한 표현

 

 

n m n m

mxdx nx

m n mxdx nx

m n mxdx nx

or 0

cos sin

0 sin

sin

0 cos

cos

□ 함수 f(x)에 대하여,

: 주기가 2π 인 주기함수 & 구간 –π ≤ x ≤ π 에서 구분연속(piecewise continuous) & 각 점 에서 좌도함수(left-hand derivative)와 우도함수(right-hand derivative)를 가짐

⇒ 함수 f(x)의 푸리에 급수는 수렴한다.

: f(x)가 불연속인 점을 제외한 모든 점에서의 급수 합 = f(x)

: 불연속인 점에서의 급수의 합 = f(x)의 좌극한값과 우극한값의 평균

11.2 Functions of Any Period p=2L

 임의의 주기(p=2L)을 가지는 함수

– 주기가 2π인 함수를 주기가 2L인 함수로 단순히 주기의 척도만을 변화시킴

  



 

 

1

0 cos sin

n n n x

L b n L x a n a x

f  

 

 

 

1,2,3,

1 sin 1 cos 2

1

0

n

L dx x x n L f b

L dx x x n L f a

dx x L f a

L n L

L n L

L L

(5)

School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II

11.2 Functions of Any Period p=2L

 임의의 주기(p=2L)을 가지는 함수

– Ex. 1 주기적인 직사각형파

   

 

1 2

& 2 4 2

0

1 1

1 2 0





p L L

x x k

x x

f

   

   

 

 

 







 

 

 , 11 , 7 , 2 3

, 9 , 5 ,

2 1even

0 sin 2 2 sin 2 sin 2

sin 2 cos 2

2 1 cos 2

2 cos 1

1

2 4

1 4

1 2

1

1 1 1

1 2

2 1

1 2

0 2

n n k n n

k n

n n

k nx n

n k

x n n dx k x k n xdx

x n f L dx

x x n L f a

kdx k dx

x f dx x L f a

L n L

L L

11.2 Functions of Any Period p=2L

 임의의 주기(p=2L)을 가지는 함수

– Ex. 1 주기적인 직사각형파

   

 



 

    



 

 



 

 

x x

x k x

k

k x k x

k x k x

k

L x b n L x a n a x f

n n n

k

x n n dx k x k n xdx

x n f L dx

x x n L f b

n n n

L n L

2 cos7 7 1 2 cos5 5 1 2 cos3 3 1 cos2 2 2

2 cos7 7 2 2 cos5 5 2 2 cos3 3 2 cos2 2 2

sin cos

2 0 2 cos cos

cos 2 sin 2

2 1 sin 2

2 sin 1

1

1 0

1

1 1

1 2

2

(6)

School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions

 푸리에 코사인 급수 & 푸리에 사인 급수

– 푸리에 코사인 급수(Fourier cosine series)

• 주기가 2L 인 우함수(even function; g(-x)=g(x))의 푸리에 급수

– 푸리에 사인 급수(Fourier sine series)

• 주기가 2L 인 기함수(odd function; h(-x)=-h(x))의 푸리에 급수

 

     

 

   

, 3 , 2 , 1 2 cos

1 ,

cos

0 0 0

1 0

n L dx

x x n L f a dx x L f a

L x a n a x f

L n L

n n

 

   

 

  

, 3 , 2 , 1 2 sin

sin

0 1

n L dx

x x n L f b

L x b n x f

L n

n n

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions

 푸리에 코사인 급수 & 푸리에 사인 급수

– 합과 스칼라곱

• 함수의 합인 f1+f2 의 푸리에 계수는 f1 과 f2 각각에 해당하는 푸리 에 계수의 합과 같다.

• 함수 cf 의 푸리에 계수는 f 의 해당 푸리에 계수에 c 를 곱한 것과 같다.

– Ex. 3 톱니파(sawtooth wave)

       

2 1

2 1

&

2

&

f x f

f f f

x f x

f x

x x f

(7)

School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions

 푸리에 코사인 급수 & 푸리에 사인 급수

 

 

 

 



 

   



 





 







 

x x

x x

x x

x x

x

nx b a

L x b n f

b a a f

n n n

n

n dx nx n

nx nxdx x

x L dx

x x n L f b

a a x

f

n n n

n

n n L

n

n

3 3sin 2 1 2sin sin 1 2 3

3sin 2 2 sin sin 2

3 sin 3 3cos 2 2 sin 2 cos sin cos 2

sin sin

0 ,

:

2cos cos

2

cos cos

sin 2 sin 2

2

0 function

odd :

1 0

1 0 2

0 0 0

0 1

0 1

 

 

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions

 반구간 전개(half-range expansions)

– 주어진 함수(L)를 주기적인 함수(주기 2L)로 확장

• 주기적인 우함수로 확장(even periodic extention)

• 주기적인 기함수로 확장(odd periodic extention)

• 함수 f는 길이 2L의 주기 구간의 반구간 범위 내에서 주어짐

주어진 함수(0≤x≤L)

주기가 2L인 우함수로 확장

주기가 2L인 기함수로 확장

(8)

School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions

 반구간 전개(half-range expansions)

– Ex. 4

 

 





 

  



 

  

L L x x L L

k

x L L x

k x f

2 2

0 2 2

 

     

   



  



 

   



 



 

 

 

 



 

 

 

 



  



 

  



 

  

1 2 cos

cos 4 2 cos 2

cos 2 1

4 cos

cos 2 2 cos

2 sin 2 1

2 cos 2 sin

4

cos 4 cos

2 cos

2 4 2 2

2 2

1 1

cos

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 / 2

/ 2 0 0

2 2 2

/ 2 / 2 0 2

/ 2

/ 0 0 0

1 0

 

 

 

n n n

k n n

n n

L L

k

n n n

L n n L n

n L n n L L

k

L dx x x n L L dx

x x n L dx k L

x x n L f a

k L L dx k x L L xdx

dx k x L L xdx k L

k dx L

x L f a

L x a n a x f

L L L

L n

L L L

L L L

L

n n

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions

 반구간 전개(half-range expansions)

 

 

   

 



 

   



 



 

 



 

 



 

  



 

  

L x L x

Lx k

L x x k

L x k

L x k

f

n n

k n

n L n n L n n

L n n L L

k

L dx x x n L L dx

x x n L dx k L

x x n L f b

L x b n x f

L x L x

k x k

L x k

L k x k

f

L L L

L n

n n

sin5 5

1 sin3

3 sin 1 8

sin5 5

8 sin3

3 sin 8 1

8

sin 2 8 sin 2

cos 2 2 sin 2

cos 2 2 4

sin 4 sin

2 sin sin

cos6 6

1 cos2

2 1 16 2 cos6

6 16 cos2

2 16 2

2 2

2

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

2 / 2

/ 2 0 0

1

2 2

2 2

2 2

2

(9)

School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II

11.4 Complex Fourier Series

 복소 푸리에 급수(complex Fourier series)

 

 





 

it it

it it it

it

e e t

e e t

t i t e

t i t e

2 sin 1

2 cos 1

sin cos

sin cos

   

 

 

 

1,2,3,

1 sin 1 cos 2

1

sin cos

0

1 0

n

nxdx x f b

nxdx x

f a

dx x f a

nx b nx a a x f

n n

n n n

 

 

0, 1, 2,

2 1



n

dx e x f c

e c x f

inx n

n inx n

 

 

0, 1, 2,

2

1 /

/



n

dx e x L f c

e c x f

L L

L x in n

n

L x in n

복소 푸리에 급수

복소 푸리에 급수(주기 2L인 함수) 푸리에 급수

11.4 Complex Fourier Series

 복소 푸리에 급수(complex Fourier series)

– Ex. 1

       

 

     

   

     





 

 

 

 

 

 

 

 

 

n n inx n

inx n

n n

in n n

in x in

x x in x

in inx

n x

n e e in

c x f

n in in

in in

n n n e

e ine

e in e

ine dx

e dx

e x f c

x f x

f x

e x f

2 2

1 1 1

1

1 1 1 sinh

1 1 1 1 sinh

sinh 1 2

1 1

1 2

1

1 cos

sin cos

1 1 1 2

1

1 1 2

1 1

1 2

1 2

1 2

1

2

&

 

 

복소 푸리에 급수 (complex Fourier series)

(10)

School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II

11.4 Complex Fourier Series

 복소 푸리에 급수(complex Fourier series)

    

    

     

   

   

   

 

  

 

 

 

 

 





x

x x

x

x x

x x

n e e in

c e x f

nx n nx e

in e

in

nx i nx in nx n nx nx i nx in e

in

nx i nx in nx n nx nx i nx in e

in

n n inx n

inx n x

inx inx

inx inx

2 sin 2 2 2 cos 1 sin 1 1 cos

1 1 2 1 sinh 2

2 sin 2 2 cos 2 2 1

1 sin sinh

cos 1 2 1

1 sinh sinh

1 1 1 sinh

sin cos

2 1

1

sin cos sin

cos sin cos 1 1

sin cos sin

cos sin cos 1 1

2 2

2 2

2

실 푸리에 급수 (real Fourier series)

11.5 Forced Oscillations

 강제진동

– Ex. 1    

   

 

r

t

  

rt t

t

t t

t r

t r y y y t r ky cy my





 

 

 

2

&

2 0 2 0

25 ' 05 . 0 '' '

''

 

   

   

, 5 , 3 , 1 4 cos 25 ' 05 . 0 ''

, 5 , 3 , 1 4 cos

5 5 cos 3 1 3 cos cos 1 1

1 cos 4

cos 2 1

cos 2 1 , 0 :

ts coefficien Fourier

2 2

2 2

2 1 2

0 2



 

   

n n nt

y y y

n n nt

t r

t t

t nt

n n t r

n n a b a

n

n n

 

 

(11)

School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II

11.5 Forced Oscillations

 강제진동

 

     

     

   

 

5 3 1

2 2 2 2

2 2 2

05 . 0 25

2 , . , 0 25 4

4 cos 25

' 05 . 0 ''

sin cos

as :

, 5 , 3 , 1 4 cos 25 ' 05 . 0 ''

y y y y t y t y

n n

D D B n D n A n

n nt y y y

nt B nt A y t y t y

t y y y y n

n nt y y y

n n

p steady

n n n n n

n n n

n

n n

n n p

steady

p p h

특성방정식의 모든 근이 음수 또는 음의 실수부를 가짐 (안정성)

미정계수법

11.6 Approximation by Trigonometric Polynomials

 근사 이론(approximation theory)

– 푸리에 급수의 주된 응용 분야의 하나 – 어떤 함수의 근사값을 단순한 함수로 표현 – 기본 개념

• f(x): 주기가 2π 인 푸리에 급수로 표현 가능한 주기함수

→ N차 부분합: f(x)에 대한 근사값

– N차의 삼각다항식(N고정)을 이용하여 최적으로 함수 f를 근사화

   

    

N n

n n

n n n

nx b nx a a x f

nx b nx a a x f

1 0

1 0

sin cos

sin cos

 

x A

A nx B nx

f

 

x

F N

n nn

0 1 cos sin

(12)

School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II

11.6 Approximation by Trigonometric Polynomials

 근사 이론(approximation theory)

– 제곱 오차(square error)

• 구간 –π ≤ x ≤ π 에서 함수 F의 함수 f에 관한 제곱 오차

– 최소 제곱 오차

• 구간 –π ≤ x ≤ π 에서 F의 f에 관한 제곱 오차는 F의 계수가 f의 푸리에 계수이면 최소가 된다.

– N이 증가함에 따라 f의 푸리에 급수 부분합은 제곱 오차 관점에서 점 점 더 f를 잘 근사화하게 됨

 

f F dx

E 2

 

 

  

N

n an bn

a dx f E

1 2 2 2 0

2 2

*

11.6 Approximation by Trigonometric Polynomials

 근사 이론(approximation theory)

– Bessel의 부등식(Bessel’s inequality)

– Parseval의 정리(Parseval’s theorem)

 

f dx

b a a

n n

n 2

1 2 2 2 0

2 1

 

f dx

b a a

n n

n 2

1 2 2 2 0

2 1

(13)

School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II

11.7 Fourier Integral

 Ex.1

– 주기가 2L인 함수에서 주기가 L→∞가 될 경우

   

 

 

2 2

1 0

1 1 1

1 0

 



L

L x

x x L x

fL

     

 

 

 

 

L n

L n L L n n

L dx L L

x n L

L dx x n dx L

L x x n L f a

dx L dx L

x L f a

b x

f

x x f x f

L n L

L L

n L L

/ / sin sin 2

cos 2 2

1 cos 1 cos

1 2

1 2

1

0 function

even :

&

otherwise 0

1 1 lim 1

1 0

1 1 1 0 1



   

11.7 Fourier Integral

 Ex.1

 

  

   

1 0

/ / cos

/ sin 2 1

/ / sin

& 2 1

n L

n

L x L n

n L n L x L

f

L n

L n a L

a L

 

진폭 스펙트럼 (amplitude spectrum)

(14)

School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II

11.7 Fourier Integral

 푸리에 적분(Fourier integral)

   

     

 

         

          

  

  



 



   

 



 



 

 

0 1 1

1 1 0

sin sin

cos 1 cos

lim

sin sin

cos 1 cos

2 1

1

sin sin

cos 1 cos

2 1

sin cos

dw wvdv v

f wx wvdv v

f wx x

f x f

vdv w v f w x w vdv w v f w x w dv

v L f

L L n L w n w w

vdv w v f x w vdv w v f x L w

dv v L f

L w n x w b x w a a x f

L L

n

L

L L n

n L

L L n

n L

L L n n

n

L

L L n

n L

L L n

n L

L L

n

n n n n n

L

       

         

wvdv v

f w

B wvdv v

f w

A

dw wx w B wx w A x f

1 sin

&

1 cos

sin

0 cos

푸리에 적분(Fourier integral)

11.7 Fourier Integral

 푸리에 적분(Fourier integral)

• 모든 유한 구간에서 구분연속

• 모든 점에서 좌도함수와 우도함수가 존재

• 아래 적분의 유한한 극한이 존재(절대 적분 가능, absolutely integrable)

→ f(x)는 푸리에 적분으로 표현이 가능

(f(x)가 불연속인 점에서의 푸리에 적분값은 그 점에서 f(x)의 좌극한 값과 우극한값의 평균과 같음)

       

         

wvdv v

f w

B wvdv v

f w

A

dw wx w B wx w A x f

1 sin

&

1 cos

sin

0 cos

    



b

a b

a f x dx f x dx

0

0 lim

lim

(15)

School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II

11.7 Fourier Integral

 푸리에 적분(Fourier integral)

– Ex. 2

     

     

          

0 0

0

1 1 1

1

1 1 1

1

sin cos cos 2

sin sin 2

cos

0 1cos

sin 1 sin 1

1

sin sin 2

1 cos 1

cos 1 1

w dw w wxdw wx

w dw w

wx w B wx w A x f

w wv wvdv

wvdv v

f w

B b

w wv w

wvdv w wvdv

v f w

A a

v v v v

   

 



 

1 0

1 1

x x x

f

     

 

 





1 0

1 4 /

1 0 2 / 2

sin cos sin

cos 2

0

0 x

x x x

f w dw

w x wx

f w dw

w

wx

 

Dirichlet의 불연속인자(discontinuous factor)

11.7 Fourier Integral

 푸리에 적분(Fourier integral)

 

 

 

     





u dw

w u w w dw

x w

x x

x w dw

w wx

0 0

0

Si sin 2 0 sin

1 0

1 4 /

1 0 2 sin /

cos

사인 적분(sine integral)

     

 

x a

  

x

a

t dt dt t

t t

w dw wx dw w

w wx dw w

w w dw wx

w w x wx

f

a x a

x

a a

a

1 1Si 1 1Si sin 1 sin 1

sin 1 sin

1 sin

cos 2 sin

cos 2

1 0 1

0

0 0

0 0

 

 

(16)

School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II

11.7 Fourier Integral

 푸리에 적분(Fourier integral)

– 푸리에 코사인 적분(Fourier cosine integral)

• f(x)가 우함수일 때의 푸리에 적분

– 푸리에 사인 적분(Fourier sine integral)

• f(x)가 기함수일 때의 푸리에 적분

       

         

wvdv v

f w

B wvdv v

f w

A

dw wx w B wx w A x f

1 sin

&

1 cos

sin

0 cos

 

w 2

0f

 

vcoswvdv&B

 

w 0 f

 

x

0A

 

wcoswxdw

A

 

w 0&B

 

w 2

0f

 

vsinwvdv f

 

x

0B

 

wsinwxdw

A

11.7 Fourier Integral

 푸리에 적분(Fourier integral)

– Ex. 3 라플라스 적분

f

 

xekx

x0,k0

     

   

     

   

kx

kx kv

kx

kx kv

e w dw

k wx w

e w dw k

wx wxdw w

w B x f

w k wvdv w e

wvdv v

f w B b

ke w dw k

wx

e w dw k

wx wxdw k

w A x f

w k wvdv k e

wvdv v

f w

A a

 

 

 

 

 

 

 

 

2 sin

sin sin 2

/ sin 2

sin 2 2

2 cos

cos cos 2

/ cos 2

cos 2 2

0 2 2

0 2 2

0

2 0 2

0

0 2 2

0 2 2

0

2 0 2

0

 

 

라플라스 적분

라플라스 적분

(17)

School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II

11.8 Fourier Cosine and Sine Transforms

 적분 변환(integral transform)

– 주어진 함수를 다른 변수에 종속하는 새로운 함수로 만드 는 적분 형태의 변환 (예. 라플라스 변환)

– 푸리에 코사인 변환(Fourier cosine transform)

• 우함수인 f(x)에 대하여,

   

 

w f

 

v wvdv f

 

v wvdv f

 

w

A

wxdw w

A x f

ˆc

cos 2 2

cos 2

& 2

cos

0 0

0

 

 

     

   





0 0

ˆ cos 2

2 cos ˆ

wxdw w

f x

f

wxdx x

f w

f f

c c c

F푸리에 코사인 변환

푸리에 코사인 역변환

11.8 Fourier Cosine and Sine Transforms

 적분 변환(integral transform)

– 푸리에 사인 변환(Fourier sine transform)

• 기함수인 f(x)에 대하여,

   

 

w f

 

v wvdv f

 

v wvdv f

 

w

B

wxdw w

B x f

ˆs

sin 2 2

sin 2

& 2

sin

0 0

0

 

 

     

   





0 0

ˆ sin 2

2 sin ˆ

wxdw w

f x

f

wxdx x

f w

f f

s s s

F푸리에 사인 변환

푸리에 사인 역변환

참조

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