Bong-Kee Lee
School of Mechanical Engineering Chonnam National University
Engineering Mathematics II
11. Fourier Series, Integral, and Transforms
11.1 Fourier Series
주기함수(periodic function)
– 함수 f(x),
• 모든 실수 x에 대하여 정의
• 어떤 양수 p가 존재하여, 모든 x에 대하여 f(x + p)=f(x) – 예. sin x, cos x (주기 2π)
– 주기함수가 아닌 예. x, x2, x3, ex, cosh x, ln x 등
– 주기함수의 성질
주기함수 (periodic function)
주기 (period)
□ 함수 f(x)의 주기가 p이면, 모든 x에 대하여 f(x + np) = f(x) (n=1, 2, 3, …)
□ f(x)와 g(x)의 주기가 p이면, af(x)+bg(x)의 주기도 p이다. (a, b: 임의의 상수)
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.1 Fourier Series
삼각급수(trigonometric series)
– 삼각함수 계(trigonometric system)
• 주기 2π인 함수들로 이루어진 계
– 삼각급수(trigonometric series)
• 삼각급수가 수렴할 경우, 그 합은 주기가 2π인 주기함수
,cos ,sin , ,
2 sin , 2 cos , sin , cos ,
1 x x x x nx nx
1 0
2 2
1 1 0
sin cos
2 sin 2 cos sin
cos
n
n
n nx b nx
a a
x b x a x b x a
a
계수(coefficient)
1
0 cos sin
n
n
n nx b nx
a a x
f 푸리에 급수
(Fourier series)
11.1 Fourier Series
푸리에 급수(Fourier series)
– 푸리에 계수(Fourier coefficients)
• 푸리에 급수의 계수들
• 오일러 공식(Euler formulas)에 의하여 결정할 수 있음
1
0 cos sin
n an nx bn nx
a x f
1,2,3,
1 sin 1 cos 2
1
0
n
nxdx x f b
nxdx x f a
dx x f a
n n
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.1 Fourier Series
푸리에 급수(Fourier series)
– Ex. 1 주기적인 직사각형파(rectangular wave)
f
x
f
xx k
x x k
f
& 2
0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 0
0
cos cos
sin 1 1 sin
sin 1 sin
1 sin
0 sin 0
sin cos 1
1 cos
cos 1 cos
1 cos
0 2 0
1 2
1 2
1
n k nx n
k nx nxdx
k nxdx k
nxdx x f nxdx x f nxdx
x f b
n a k nx n
k nx nxdx
k nxdx k
nxdx x f nxdx x f nxdx
x f a
a kdx
dx k dx
x f dx x f dx
x f a
n
n n
11.1 Fourier Series
푸리에 급수(Fourier series)
4 5 1 3 1 1 5
1 3 1 1 4 2
5 5sin 3 1 3sin sin 1 4
5 5 sin 3 4 3 sin sin 4 sin 4
even 0
4 odd
even 0
odd cos 2
even 1 1
odd cos 1
cos 2 1 1 cos cos
cos 1 cos
1
1
0 0
k k f
x x
k x
k x k x
k x nx b x f
n n n
k b
n n n
n n n
n n n k n n
k n
k nx n
k nx b
n n
n n
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.1 Fourier Series
푸리에 급수(Fourier series)
– 삼각함수 계의 직교성(orthogonality)
• 삼각함수 계는 구간 –π ≤ x ≤ π 에서 직교한다.
– 푸리에 급수에 의한 표현
n m n m
mxdx nx
m n mxdx nx
m n mxdx nx
or 0
cos sin
0 sin
sin
0 cos
cos
□ 함수 f(x)에 대하여,
: 주기가 2π 인 주기함수 & 구간 –π ≤ x ≤ π 에서 구분연속(piecewise continuous) & 각 점 에서 좌도함수(left-hand derivative)와 우도함수(right-hand derivative)를 가짐
⇒ 함수 f(x)의 푸리에 급수는 수렴한다.
: f(x)가 불연속인 점을 제외한 모든 점에서의 급수 합 = f(x)
: 불연속인 점에서의 급수의 합 = f(x)의 좌극한값과 우극한값의 평균
11.2 Functions of Any Period p=2L
임의의 주기(p=2L)을 가지는 함수
– 주기가 2π인 함수를 주기가 2L인 함수로 단순히 주기의 척도만을 변화시킴
1
0 cos sin
n n n x
L b n L x a n a x
f
1,2,3,
1 sin 1 cos 2
1
0
n
L dx x x n L f b
L dx x x n L f a
dx x L f a
L n L
L n L
L L
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.2 Functions of Any Period p=2L
임의의 주기(p=2L)을 가지는 함수
– Ex. 1 주기적인 직사각형파
1 2
& 2 4 20
1 1
1 2 0
p L L
x x k
x x
f
, 11 , 7 , 2 3
, 9 , 5 ,
2 1even
0 sin 2 2 sin 2 sin 2
sin 2 cos 2
2 1 cos 2
2 cos 1
1
2 4
1 4
1 2
1
1 1 1
1 2
2 1
1 2
0 2
n n k n n
k n
n n
k nx n
n k
x n n dx k x k n xdx
x n f L dx
x x n L f a
kdx k dx
x f dx x L f a
L n L
L L
11.2 Functions of Any Period p=2L
임의의 주기(p=2L)을 가지는 함수
– Ex. 1 주기적인 직사각형파
x x
x k x
k
k x k x
k x k x
k
L x b n L x a n a x f
n n n
k
x n n dx k x k n xdx
x n f L dx
x x n L f b
n n n
L n L
2 cos7 7 1 2 cos5 5 1 2 cos3 3 1 cos2 2 2
2 cos7 7 2 2 cos5 5 2 2 cos3 3 2 cos2 2 2
sin cos
2 0 2 cos cos
cos 2 sin 2
2 1 sin 2
2 sin 1
1
1 0
1
1 1
1 2
2
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions
푸리에 코사인 급수 & 푸리에 사인 급수
– 푸리에 코사인 급수(Fourier cosine series)
• 주기가 2L 인 우함수(even function; g(-x)=g(x))의 푸리에 급수
– 푸리에 사인 급수(Fourier sine series)
• 주기가 2L 인 기함수(odd function; h(-x)=-h(x))의 푸리에 급수
, 3 , 2 , 1 2 cos
1 ,
cos
0 0 0
1 0
n L dx
x x n L f a dx x L f a
L x a n a x f
L n L
n n
, 3 , 2 , 1 2 sin
sin
0 1
n L dx
x x n L f b
L x b n x f
L n
n n
11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions
푸리에 코사인 급수 & 푸리에 사인 급수
– 합과 스칼라곱
• 함수의 합인 f1+f2 의 푸리에 계수는 f1 과 f2 각각에 해당하는 푸리 에 계수의 합과 같다.
• 함수 cf 의 푸리에 계수는 f 의 해당 푸리에 계수에 c 를 곱한 것과 같다.
– Ex. 3 톱니파(sawtooth wave)
2 1
2 1
&
2
&
f x f
f f f
x f x
f x
x x f
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions
푸리에 코사인 급수 & 푸리에 사인 급수
x x
x x
x x
x x
x
nx b a
L x b n f
b a a f
n n n
n
n dx nx n
nx nxdx x
x L dx
x x n L f b
a a x
f
n n n
n
n n L
n
n
3 3sin 2 1 2sin sin 1 2 3
3sin 2 2 sin sin 2
3 sin 3 3cos 2 2 sin 2 cos sin cos 2
sin sin
0 ,
:
2cos cos
2
cos cos
sin 2 sin 2
2
0 function
odd :
1 0
1 0 2
0 0 0
0 1
0 1
11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions
반구간 전개(half-range expansions)
– 주어진 함수(L)를 주기적인 함수(주기 2L)로 확장
• 주기적인 우함수로 확장(even periodic extention)
• 주기적인 기함수로 확장(odd periodic extention)
• 함수 f는 길이 2L의 주기 구간의 반구간 범위 내에서 주어짐
주어진 함수(0≤x≤L)
주기가 2L인 우함수로 확장
주기가 2L인 기함수로 확장
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions
반구간 전개(half-range expansions)
– Ex. 4
L L x x L L
k
x L L x
k x f
2 2
0 2 2
1 2 cos
cos 4 2 cos 2
cos 2 1
4 cos
cos 2 2 cos
2 sin 2 1
2 cos 2 sin
4
cos 4 cos
2 cos
2 4 2 2
2 2
1 1
cos
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 / 2
/ 2 0 0
2 2 2
/ 2 / 2 0 2
/ 2
/ 0 0 0
1 0
n n n
k n n
n n
L L
k
n n n
L n n L n
n L n n L L
k
L dx x x n L L dx
x x n L dx k L
x x n L f a
k L L dx k x L L xdx
dx k x L L xdx k L
k dx L
x L f a
L x a n a x f
L L L
L n
L L L
L L L
L
n n
11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions
반구간 전개(half-range expansions)
L x L x
Lx k
L x x k
L x k
L x k
f
n n
k n
n L n n L n n
L n n L L
k
L dx x x n L L dx
x x n L dx k L
x x n L f b
L x b n x f
L x L x
k x k
L x k
L k x k
f
L L L
L n
n n
sin5 5
1 sin3
3 sin 1 8
sin5 5
8 sin3
3 sin 8 1
8
sin 2 8 sin 2
cos 2 2 sin 2
cos 2 2 4
sin 4 sin
2 sin sin
cos6 6
1 cos2
2 1 16 2 cos6
6 16 cos2
2 16 2
2 2
2
2 2 2
2 2
2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2 / 2
/ 2 0 0
1
2 2
2 2
2 2
2
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.4 Complex Fourier Series
복소 푸리에 급수(complex Fourier series)
it it
it it it
it
e e t
e e t
t i t e
t i t e
2 sin 1
2 cos 1
sin cos
sin cos
1,2,3,
1 sin 1 cos 2
1
sin cos
0
1 0
n
nxdx x f b
nxdx x
f a
dx x f a
nx b nx a a x f
n n
n n n
0, 1, 2,
2 1
n
dx e x f c
e c x f
inx n
n inx n
0, 1, 2,
2
1 /
/
n
dx e x L f c
e c x f
L L
L x in n
n
L x in n
복소 푸리에 급수
복소 푸리에 급수(주기 2L인 함수) 푸리에 급수
11.4 Complex Fourier Series
복소 푸리에 급수(complex Fourier series)
– Ex. 1
n n inx n
inx n
n n
in n n
in x in
x x in x
in inx
n x
n e e in
c x f
n in in
in in
n n n e
e ine
e in e
ine dx
e dx
e x f c
x f x
f x
e x f
2 2
1 1 1
1
1 1 1 sinh
1 1 1 1 sinh
sinh 1 2
1 1
1 2
1
1 cos
sin cos
1 1 1 2
1
1 1 2
1 1
1 2
1 2
1 2
1
2
&
복소 푸리에 급수 (complex Fourier series)
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.4 Complex Fourier Series
복소 푸리에 급수(complex Fourier series)
x
x x
x
x x
x x
n e e in
c e x f
nx n nx e
in e
in
nx i nx in nx n nx nx i nx in e
in
nx i nx in nx n nx nx i nx in e
in
n n inx n
inx n x
inx inx
inx inx
2 sin 2 2 2 cos 1 sin 1 1 cos
1 1 2 1 sinh 2
2 sin 2 2 cos 2 2 1
1 sin sinh
cos 1 2 1
1 sinh sinh
1 1 1 sinh
sin cos
2 1
1
sin cos sin
cos sin cos 1 1
sin cos sin
cos sin cos 1 1
2 2
2 2
2
실 푸리에 급수 (real Fourier series)
11.5 Forced Oscillations
강제진동
– Ex. 1
r
t
rt tt
t t
t r
t r y y y t r ky cy my
2
&
2 0 2 0
25 ' 05 . 0 '' '
''
, 5 , 3 , 1 4 cos 25 ' 05 . 0 ''
, 5 , 3 , 1 4 cos
5 5 cos 3 1 3 cos cos 1 1
1 cos 4
cos 2 1
cos 2 1 , 0 :
ts coefficien Fourier
2 2
2 2
2 1 2
0 2
n n nt
y y y
n n nt
t r
t t
t nt
n n t r
n n a b a
n
n n
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.5 Forced Oscillations
강제진동
5 3 1
2 2 2 2
2 2 2
05 . 0 25
2 , . , 0 25 4
4 cos 25
' 05 . 0 ''
sin cos
as :
, 5 , 3 , 1 4 cos 25 ' 05 . 0 ''
y y y y t y t y
n n
D D B n D n A n
n nt y y y
nt B nt A y t y t y
t y y y y n
n nt y y y
n n
p steady
n n n n n
n n n
n
n n
n n p
steady
p p h
특성방정식의 모든 근이 음수 또는 음의 실수부를 가짐 (안정성)
미정계수법
11.6 Approximation by Trigonometric Polynomials
근사 이론(approximation theory)
– 푸리에 급수의 주된 응용 분야의 하나 – 어떤 함수의 근사값을 단순한 함수로 표현 – 기본 개념
• f(x): 주기가 2π 인 푸리에 급수로 표현 가능한 주기함수
→ N차 부분합: f(x)에 대한 근사값
– N차의 삼각다항식(N고정)을 이용하여 최적으로 함수 f를 근사화
N n
n n
n n n
nx b nx a a x f
nx b nx a a x f
1 0
1 0
sin cos
sin cos
x A
A nx B nx
f
xF N
n n n
0 1 cos sin
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.6 Approximation by Trigonometric Polynomials
근사 이론(approximation theory)
– 제곱 오차(square error)
• 구간 –π ≤ x ≤ π 에서 함수 F의 함수 f에 관한 제곱 오차
– 최소 제곱 오차
• 구간 –π ≤ x ≤ π 에서 F의 f에 관한 제곱 오차는 F의 계수가 f의 푸리에 계수이면 최소가 된다.
– N이 증가함에 따라 f의 푸리에 급수 부분합은 제곱 오차 관점에서 점 점 더 f를 잘 근사화하게 됨
f F dx
E 2
N
n an bn
a dx f E
1 2 2 2 0
2 2
*
11.6 Approximation by Trigonometric Polynomials
근사 이론(approximation theory)
– Bessel의 부등식(Bessel’s inequality)
– Parseval의 정리(Parseval’s theorem)
f dx
b a a
n n
n 2
1 2 2 2 0
2 1
f dx
b a a
n n
n 2
1 2 2 2 0
2 1
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.7 Fourier Integral
Ex.1
– 주기가 2L인 함수에서 주기가 L→∞가 될 경우
2 2
1 0
1 1 1
1 0
L
L x
x x L x
fL
L n
L n L L n n
L dx L L
x n L
L dx x n dx L
L x x n L f a
dx L dx L
x L f a
b x
f
x x f x f
L n L
L L
n L L
/ / sin sin 2
cos 2 2
1 cos 1 cos
1 2
1 2
1
0 function
even :
&
otherwise 0
1 1 lim 1
1 0
1 1 1 0 1
11.7 Fourier Integral
Ex.1
1 0
/ / cos
/ sin 2 1
/ / sin
& 2 1
n L
n
L x L n
n L n L x L
f
L n
L n a L
a L
진폭 스펙트럼 (amplitude spectrum)
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.7 Fourier Integral
푸리에 적분(Fourier integral)
0 1 1
1 1 0
sin sin
cos 1 cos
lim
sin sin
cos 1 cos
2 1
1
sin sin
cos 1 cos
2 1
sin cos
dw wvdv v
f wx wvdv v
f wx x
f x f
vdv w v f w x w vdv w v f w x w dv
v L f
L L n L w n w w
vdv w v f x w vdv w v f x L w
dv v L f
L w n x w b x w a a x f
L L
n
L
L L n
n L
L L n
n L
L L n n
n
L
L L n
n L
L L n
n L
L L
n
n n n n n
L
wvdv v
f w
B wvdv v
f w
A
dw wx w B wx w A x f
1 sin
&
1 cos
sin
0 cos
푸리에 적분(Fourier integral)
11.7 Fourier Integral
푸리에 적분(Fourier integral)
• 모든 유한 구간에서 구분연속
• 모든 점에서 좌도함수와 우도함수가 존재
• 아래 적분의 유한한 극한이 존재(절대 적분 가능, absolutely integrable)
→ f(x)는 푸리에 적분으로 표현이 가능
(f(x)가 불연속인 점에서의 푸리에 적분값은 그 점에서 f(x)의 좌극한 값과 우극한값의 평균과 같음)
wvdv v
f w
B wvdv v
f w
A
dw wx w B wx w A x f
1 sin
&
1 cos
sin
0 cos
b
a b
a f x dx f x dx
0
0 lim
lim
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.7 Fourier Integral
푸리에 적분(Fourier integral)
– Ex. 2
0 0
0
1 1 1
1
1 1 1
1
sin cos cos 2
sin sin 2
cos
0 1cos
sin 1 sin 1
1
sin sin 2
1 cos 1
cos 1 1
w dw w wxdw wx
w dw w
wx w B wx w A x f
w wv wvdv
wvdv v
f w
B b
w wv w
wvdv w wvdv
v f w
A a
v v v v
1 0
1 1
x x x
f
1 0
1 4 /
1 0 2 / 2
sin cos sin
cos 2
0
0 x
x x x
f w dw
w x wx
f w dw
w
wx
Dirichlet의 불연속인자(discontinuous factor)
11.7 Fourier Integral
푸리에 적분(Fourier integral)
u dw
w u w w dw
x w
x x
x w dw
w wx
0 0
0
Si sin 2 0 sin
1 0
1 4 /
1 0 2 sin /
cos
사인 적분(sine integral)
x a
x
a
t dt dt t
t t
w dw wx dw w
w wx dw w
w w dw wx
w w x wx
f
a x a
x
a a
a
1 1Si 1 1Si sin 1 sin 1
sin 1 sin
1 sin
cos 2 sin
cos 2
1 0 1
0
0 0
0 0
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.7 Fourier Integral
푸리에 적분(Fourier integral)
– 푸리에 코사인 적분(Fourier cosine integral)
• f(x)가 우함수일 때의 푸리에 적분
– 푸리에 사인 적분(Fourier sine integral)
• f(x)가 기함수일 때의 푸리에 적분
wvdv v
f w
B wvdv v
f w
A
dw wx w B wx w A x f
1 sin
&
1 cos
sin
0 cos
w 2
0f
vcoswvdv&B
w 0 f
x
0A
wcoswxdwA
w 0&B
w 2
0f
vsinwvdv f
x
0B
wsinwxdwA
11.7 Fourier Integral
푸리에 적분(Fourier integral)
– Ex. 3 라플라스 적분
f
x ekx
x0,k0
kx
kx kv
kx
kx kv
e w dw
k wx w
e w dw k
wx wxdw w
w B x f
w k wvdv w e
wvdv v
f w B b
ke w dw k
wx
e w dw k
wx wxdw k
w A x f
w k wvdv k e
wvdv v
f w
A a
2 sin
sin sin 2
/ sin 2
sin 2 2
2 cos
cos cos 2
/ cos 2
cos 2 2
0 2 2
0 2 2
0
2 0 2
0
0 2 2
0 2 2
0
2 0 2
0
라플라스 적분
라플라스 적분
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.8 Fourier Cosine and Sine Transforms
적분 변환(integral transform)
– 주어진 함수를 다른 변수에 종속하는 새로운 함수로 만드 는 적분 형태의 변환 (예. 라플라스 변환)
– 푸리에 코사인 변환(Fourier cosine transform)
• 우함수인 f(x)에 대하여,
w f
v wvdv f
v wvdv f
wA
wxdw w
A x f
ˆc
cos 2 2
cos 2
& 2
cos
0 0
0
0 0
ˆ cos 2
2 cos ˆ
wxdw w
f x
f
wxdx x
f w
f f
c c c
F 푸리에 코사인 변환
푸리에 코사인 역변환
11.8 Fourier Cosine and Sine Transforms
적분 변환(integral transform)
– 푸리에 사인 변환(Fourier sine transform)
• 기함수인 f(x)에 대하여,
w f
v wvdv f
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F 푸리에 사인 변환
푸리에 사인 역변환