수학으로 배우는 역학

Chap. 1

수학으로 배우는 역학

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서론

Chap. 1 수학으로 배우는 역학

l 역학이란?

- 물체에 작용하는 힘에 대한 물체의 응답을 다루는 물리학의 한 분야 l 역학의 분야

l 동역학

- 속도 및 가속도와 같은 물리량이 시간의 정확한 측정에 의존하고 있으므로 정역 학보다 훨씬 늦게 발전

- 뉴톤(Issac Newton, 1642-1727)에 이르러 역학의 기본원리 완성

① 강체역학(정역학, 동역학) ② 변형체역학 ③유체역학

동역학의 형성

l 아이작 뉴턴 (Isac Newton)

- 갈릴레오, 호이헨스에 이어 동역학을 완성

- 역학(Mechanics)의 불후의 금자탑, 운동의 3법칙 제안

- 운동의 원인으로 힘의 개념을 도입, 이전까지 운동학이 비로소 운동역학이 됨 - 수학의 효현형식으로 기하학적 방법을 사용

- 대수식은 하나도 없음, 즉 문장과 기하학(도형)만으로 설명

- 자연현상을 수학의 형태로 바꾸어 나타내고, 이를 풀어 현상을 해명한다 는 획기적인 방법을 제안 : 위대한 최대의 공적

Chap. 1 수학으로 배우는 역학

동역학의 정의

동역학 (정의) - 역학적 의미

물체에 작용하는 힘(모멘트 포함)과 이로 인해 발생하는 운동과의 관계를 다루는 분야 (힘의 합력≠0)

힘

운동

(시변) (시변)

물 체

Note

① 힘의 합력 = 0 (물체가 평형을 이루고 있을 때) ⇒ 물체가 정지해 있을 때의 역학

⇒ _{정 역 학}

Note

② 정역학 - 물체가 평형을 이룰 때, 물체의 작용하는 힘들이 만족해야 하는 조건식을 다루는 분야 (평형조건식을 이용하여 정역학적 미지수를 계산)

운 동 학 운동의 원인인 힘은 고려하지 않고 운동변수 사이의 관계 식을 여러좌표계를 사용하며 다루는 분야

운동역학 운동과 작용하는 힘 사이의 관계를 다루는 분야

충격량과 운동량의 원리 일과 에너지의 원리

뉴톤의 제 2법칙 역학의 원리

뉴톤 동역학 변위에 대한 적분

시간에 대한 적분

③ 동역학

동역학의 정의 – 역학적 의미

동역학 (정의) - 포괄적 의미

입력

(과거, 현재, 미래) (현재)

출력

자연과학계

인문사회과학 현상계

Dynamic System

Dynamic System

- 현재의 출력이 과거, 현재, 미래의 입력에 의해 결정 될 때

- Mechanical System 같은 Causal System은 현재의 출력은 과거 및 현재의 입력에 의해 결정

- 지배방정식이 미적분 형태의 방정식으로 표시 가능 - 자연과학현상은 모델링 비교적 정확

- 인문사회현상은 모델링이 어려움

( ) ( ( )),

y t = f u t t £ t

Static System

- 현재의 출력이 현재의 입력에만 의존하여 결정될 때 Static System

Static System

입력

(현재) (현재)

출력

정역학 (정의) - 포괄적 의미

동역학(포괄적 의미에서 기계적 역학 의미로 축소)

입력 힘 Dynamic System 출력 운동

기계적 물체

물체

l 질점

- 질량이 한 점에 집중되어 있는 물체 - 부피 X , 크기 X

- 회전운동은 하지않고 병진운동만 한다. (DOF 3) - DOF = 물체의 운동을 유일하게 기술하는데 필요한

최소한의 좌표수







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물체

l 강체

- 힘을 받을 때 변형이 없는 물체 - 무한개의 질점

- 질점 상호간의 거리가 일정하게 유지되는 물체 - 부피 O

- 병진운동 회전운동 모두한다. (DOF 6)

l 변형체

- 변형이 가능한 물체

- 병진운동, 회전운동과 변형운동을 포함한다. (DOF ∞)

 ) 인공위성

- 변형운동이 병진과 회전운동에 영향을 많이 줄 때 변형체로 가정







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힘

l  =  란 ?

-  = 힘,  = 질량,  = 속도,  = 가속도 -  =   = / ( )

-  = / ( )에서 질량은 변하지 않는다는 전제 -  = / ( ) =  / =  로 나타냄

  - 운동량

- 힘이란 어떤 질량을 가진 물체의 운동량을 변화시키는 외부인자

 

- 힘이란 어떤 질량을 가진 물체에 가속도를 유발시키는 외부인자

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정역학과 동역학

l 합력

- 가운데 점은 질량을 가지고 있는 물체의 질량중심 - 각각의 화살표는 질량중심에 가해지는 벡터 F_, F_, F_, … - 모든 힘들을 합친 것을 합력이라고 하며 아래와 같이 표현

 F = _ + _ + _ + ⋯ + _ =  

l 정역학과 동역학의 차이점 F_

F_

F_

F_ F_ - 강체의 질량중심에 대해서 ∑ F = 0

- 강체의 질량중심에 대하여 ∑ F =   정역학

동역학

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운동학

l 운동학

- 역학은 물체의 운동을 연구하는 학문이다. 문체의 운동을 정의하기 위해 공간 시간 질량 같은 물리에서 정의한 개념을 필요로 한다.

a. 위치

- 물체의 운동이 일어나는 곳으로 운동에 대한 위치를 구하기 위해 좌표계를 설정 해주어야 한다.

b. 질량

- 물체가 운동을 할 때 운동을 방해하거나 유지하는 정도를 수치로 나타내는 것 두개의 물체에 똑같은 크기의 힘을 작용시켰을 때 가속도의 크기를 결정하는 양으로 생각할 수 있다.





= 



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운동학

l 운동학(계속)

c. 질량

- 물체의 운동이 일어나는 곳으로 운 동에 대한 위치를 구하기 위해좌표 계를 설정 해주어야 한다.

d. 속도

- 시각 에 물체의 위치가 이고 시각

^에서  + ∆라면 P와 P′ 사이를이동 하는 거리를 시간에 따른 평균 속도 로 정의할 수 있다.



 + ∆

′

 + ∆







 

∆

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운동학

l 운동학(계속)

c. 가속도(acceleration)

- 물체가 운동을 할 떄 속도가 변화가능

- 속도의 변화는 가속도라는 양으로 표현 가능

- 에서 물체의 속도가였고  + ∆에서  + ∆라면 두 점의 위치가 근접시 가속도는 아래와

같다.

c. 각속도와 각가속도

- 고정축 에 대하여 회전하는 강체가 있을 때 강체의 각속도를라고 지칭

- 중심축에서  만큼 떨어진 점에서 회전축에 대한 각도의 시간변과는 각속도라고 지칭

  = lim

∆→

∆

∆ = 

 = ^  = ^ ()

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뉴톤의 운동법칙

l 뉴턴의 운동 법칙

- 움직임을 나타내기 위한 가장 기본적이며 중요한 법칙이다. 일상 생활 뿐만 아니라 기계시스템에 적용되고 있다.

I. 제 1 법칙

- 물체에 힘이 작용하지 않으면 정지한 물체는 계속 정지해 있고,

운동하고 있는 물체는 현재의 속도를 유지한 채 일정한 속도로 운동을 한다.

II. 제 2 법칙

- 운동의 변화는 작용하는 힘에 비례하여 발생하며, 힘이 작용하는 직선 방향으로 운동이 발생한다.

III. 제 3 법칙

- 반작용은 항상 작용과 크기가 같고 방향은 반대이다. 즉, 두 물체 사이에 작용하는 힘은 항상 크기가 같고 방향은 반대이다.

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뉴톤의 운동법칙

l 제1 법칙

- 작용하는 힘에 의해 운동의 상태가 바뀌지 않는 한, 모든 물체는 정지상태 혹은 직선상의 균일한 운동을 유지한다.

예시

§ 정지 관성

- 이불을 두드리면 먼지가 떨어져나온다. (먼지)

- 식탁보 위에 유리컵을 놓고 식탁보를 갑자기 잡아 당기 유리컵은 제자리에 있다.(유리컵)

(https://www.youtube.com/watch?v=0oyJmFe3ffg)

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뉴톤의 운동법칙(1법칙)

예시

§ 운동 관성

- 버스가 갑자기 정지하면 승객은 앞쪽으로 쏠린다.(승객) - 삽으로 흙을 떠서 던지면 흙이 멀리 날아간다

- 체조 선수들의 도약

(https://www.youtube.com/watch?v=qvTpRwjvOFQ)

§ 기계시스템 적용(운동 관성)

- 인공위성 : 저항(외력)이 없는 대표적인 공간인 우주에서 인공위성은 다른 행성까지 가는 동안 관성을 이용하여 간다.

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뉴톤의 운동법칙(2법칙)

l 제 2 법칙

- 물체의 가속도는 그 물체에 작용하는 힘의 크기에 비례하고, 물체의 질량에는 반비례한다.

3

1 2

1 2 3

m m

m

= = = =

=

å

F F F

F F

a a a L a

a 비례상수(질량)

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뉴톤의 운동법칙(3법칙)

l 제 3 법칙

- 반작용은 항상 작용과 크기가 같고 방향은 반대이다. 즉, 두 물체 사이에 작용하는 힘은 항상 크기가 같고 방향은 반대이다.

(https://www.youtube.com/watch?v=mNM5tHou4IQ)

 _ +  _ = 0

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



항공기에 적용되는 대표적인 힘

l 항공기에 작욯하는 4가지 힘

① 양력(Lift) : 비행기를 위로 뜨게하는 힘

② 중력(Gravity) : 지구가 아래로 잡아 당기는힘

③ 추력(Trust) : 비행기를 앞으로 나아가게 하는힘

④ 항력(Drag) : 비행기가 앞으로 나아가는데 방해하 는힘

항공기의 4가지 힘

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항공기에 적용되는 수학개념

l 항공기에 작용하는 모멘트모멘트 발생축 - X축 : 롤링모멘트를 발생시키는 축 - Y축 : 피칭모멘트를 발생시키는 축 - Z축 : 요잉모멘트를 방생시키는 축 l 모멘트

- 회전력을 나타내는 개념

- 회전방향을 중심으로 힘의 작용점의 수직거리의 곱 M = F  d

 = 모멘트 F = 힘

 = 회전방향을 중심으로, 힘의 작용점과 수직거리 (모멘트 암)

항공기 축

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일과 에너지

l 역학적 에너지

- 물체가 가지고 있는 위치에너지와 운동에너지의 합 - 역학적 에너지(E) = 운동에너지(T) + 위치에너지(U)

- 역학적 에너지 보존법칙 에서는 마찰이나 공기저항을 무시한다면 에너지의 총 량은 물체 높이에 관계없이 일정하다.

l 위치에너지(T)

- 외력에 의해 생기는 힘

- 위치에너지의 식은 아래와 같다.

 =  ℎ

 = 지구 중력장 에서 물체의 질량 에 대해 기준높이로부터 측정된 위치에너지

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일과 에너지

l 운동 에너지(T)

- 아래와 같은 식으로 정의된다.

1

2^ = 

l 역학적 에너지 전환

- 롤러 코스터의 에너지 전환 내려갈 때 : 속력이 점점 증가

위치에너지 → 운동에너지 올라올 때 : 속력이 점점 감소

운동에너지 → 위치에너지

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일과 에너지

l 역학적 에너지 전환(계속) - 비스듬히 던져올린 공

- 진자의 에너지 전환 내려올 때 : A, B점 → O점

운동에너지 → 위치에너지

위치 에너지가 운동 에너지로 전환 올라갈 때 : O점 → A, B점

위치에너지 → 운동에너지

운동 에너지가 위치 에너지로 전환 올라갈 때 : 속력이 점점 감소

운동에너지 → 위치에너지 내려올 때 : 속력이 점점 증가

위치에너지 → 운동에너지

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단위계

l 역학의 단위

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QUANTITY DIMENSIONAL SYMBOL

SI UNITS U.S CUSTOMARY UNITS UNIT SYMBOL UNIT SYMBOL

Mass M

Base units

kilogram kg

Base units

slus −

Length L meter* m foot ft

Time T second s second sec

Force F netwon N pound lb