 특수 상대성 이론의 기본 가설

1장 상대론 I

1.1 특수 상대론

 특수 상대성 이론의 기본 가설

1.

와 같은 기본 법칙들은 서로에 대해

일정한 속도로 움직이고 있는 모든 관찰자에게 동일 한 수학적 형태를 가진다

2.

⁸

 빛의 속력은 일정한 속도로 움직이는 모든 관찰자 에게 동일하다

/

F dp dt



1.2 상대성 원리

 뉴턴의 법칙들은 관성 기준틀에서 유효하다

 관성틀 (관성계)

•

•

 뉴턴의 상대성 원리

• 역학의 법칙은 모든 관성 기준틀에서 같아야 한다

뉴턴의 상대성 원리

 모든 관찰자는 동등하고

 자연의 법칙은 모든 관찰자에게 동일한 수학적

형태를 갖는다

갈릴레이 좌표 변환

 정지한 관성계 S와

ᇱ

방향으로 등속도 로 움직이는 관성계

 시간은 두 관성틀에서 같다고 가정 되어 있다

•

x x vt

y y z z t t

  

 

 

 

갈릴레이 변환 – 힘의 불변성

 두 지점간의 거리가 불변하다  힘의 불변성

 갈릴레이의 속도 덧셈 법칙

 길이 ( ), 시간 간격, 가속도

 갈릴레이 변환에 대해 불변하다.

2 1 ( 2 2) ( 1 1) 2 1

x x x x vt x vt x x x





dx

dx vdt

dt

dt dx dx dt dt v

  



x x

u   _x u _x  v

u   u  v du ^x _{x x} a a dt

   

 ^{x x x} du a a

dt

   



Δx

빛의 속력

 맥스웰

•

을 보였다

 빛파동이 움직이기 위해서는

에테르라고 하는 어떤 분명한 매질이 있어야 한다

•

•

•

 에테르와 에테르 기준틀의 존재

•

8 0 0

1/ 3.00 10 m/s

c

 

에테르 기준틀

 지구 자체를 움직이는 기준틀로 사용

•

순풍방향 역풍방향

바람에 수직인 방향

순풍이나 역풍 방향에서 측정하여 빛의 속력 변화를 측정

 10⁴ 분의 1정도까지 측정가능

1.3 마이컬슨-몰리 실험







2 1

1 2

2 1

L L L v

t c v c v c c

 

       

2 1/2

2 2 2 2

2 2

L L

v

t c v c c

 

    

  

2

1 2 3

t t t Lv

    _{1 2} Lv c ₃ ² t t t

    c

마이컬슨-몰리 실험의 결과

 시간차에 해당하는 경로차

 이에 해당하는 무늬의 이동

 결과

•

• 에테르에 대한 지구의 운동은 감지할 수 없다

2 2

Δ (2Δ ) 2

Lv

d c t

 

c

2 2

shift 2

Lv

 c



11 m

L

2.2 10 m^7

 

500 nm

 

 0.40

마이컬슨-몰리 실험 결과의 해석

 수많은 과학자들이 마이컬슨 -몰리 실험의 결과를 설명하고 에테르의 개념과 빛에 대한 갈릴레이의 속도 덧셈 법칙이 성립함을 유지하려고 노력

 피츠제럴드 -로렌츠의 해석

•

v로 움직이는 물체의 길이가 움직이는 방향으로

•

경로차를 없애는 방향으로 간섭계 팔 한쪽의 길이를 변화시키는 것이라고 생각

2 2

1

v c

상대성 원리

 공변성 (covariance)이 있다

•

 실험적 관점에서 아인슈타인의 상대성 원리는

•

하나의 절대 정지 기준틀을 설정할 수 없고

모든 관성 기준틀은 실험적으로 동일하다는 사실을 의미

물리학의 모든 법칙은

모든 관성 기준틀에서 동일한 형태를 갖는다

광속의 불변성

 만일 광속이 하나의 관성틀에서만 c라면

•

 마이컬슨 -몰리의 실험

•

측정된 광속값에 영향을 미치지 않고

c가 된다

•

• 위상 변화가 전혀 관찰되지 않았다.

진공에서 빛의 속력은

관찰자의 속도나 광원의 속도와 무관하게

모든 관성틀에서 동일한 값 c = 3.00×10 ⁸ m/s를 갖는다

갈릴레이 변환과 로렌츠 변환

 갈릴레이 변환

•

•

• 낮은 속력으로 움직이는 경우만 적용

 로렌츠 변환

•

좌표와 시간 변환이다.

동조된 기준틀

 어떤 사건을 기술하는 데 사용되는 기준틀은

•

동시성과 시간의 상대성

 뉴턴 역학의 기본 전제

•

보편적 , 절대적인 시간 스케일 이 존재한다

•

그 본성으로부터 다른 어떤 외부의 요인과 관계없이 한결같이 흐른다

•

 아인슈타인의 관점

•

그 측정이 행해지는 기준틀에 의존

아인슈타인의 사고실험

 O에서 동시에 일어나는 것처럼 보이는 두 사건이 에게는 동시가 아닌 것으로 보인다

 동시성은 관찰자의 운동 상태에 의존하는 개념이다

 상대성 원리에 의하면 선택된 관성 기준틀은 없다

•

O

시간의 지연

 시계에 대해 움직이는 관찰자가 측정한 는 정지해 있는 관찰자가 측정한 보다 길다

Δ 2 d t   c

Δt Δt

2

d



2 2

2

2 2

c t v t

  d

     

   

   

2 2

1 ( / )

t t t

v ^ c 

 

   

 ^{2 2} 1 ( / )

t t t

v ^ c 

 

   



고유시간

 시간 간격 : 고유시간

•

• 항상 시계와 같이 움직이는 관찰자가 측정한 시간

 움직이는 시계는

정지해 있는 시계보다 γ만큼 느리게 간다

•

Δt

t  t p

   t  t _p

  

시간지연의 예 – 우주선 뮤온

 뮤온

•

•

• 비행거리 ~ 650 m

•

•

v = 0.99c γ = 7.1

•

• 비행거리

16

s







( ) 4700 m

v 

 

시간지연의 예 – CERN 실험

 v = 0.9994c

• γ = 28.9

•

시간지연의 예 – 제트기 실험

 1971년 세슘 원자시계를 비행기에 싣고 지구 주위 를 비행시킨 후 지상의 시계와 비교

•

• 시간을 잃었다는 것은

시간이 느리게 갔다는 증거임!

•

길이의 수축

 두 점 사이의 거리는 기준틀에 의존한다

 어떤 물체의 고유 길이

•

 고유 시간

•

물체에 대해 움직이는 기준틀에 있는 관찰자가

측정한 길이는 항상 고유길이보다 짧다

길이의 수축의 증명

 지구에 정지해 있는 관찰자가 측정한 거리 : L _p

•

•

 우주 여행자가 측정한 거리

•

p /

t L v



t t



 

2 1/2

1 2 p

p

L v

L v t L

 c



 

      

 

2 1/2

1 2 p

p

L v

L v t L

 c



 

      

 

쌍둥이 역설

 20세인 이름이 스피도와 고슬로인 일란성 쌍둥이

•

• 우주선은 고슬로의 관성틀에 대해 0.500c의 속력으로 날아감

• 스피도가 지구에 돌아왔을 때 고슬로의 나이는 60세

• 스피도는 34.6살

•

• 만일 운동이 상대적이라면

• 쌍둥이는 서로 대칭적 상황에 있으며

• 각자의 관점은 등등해야 한다.

•

• 자신이 정지해 있으며 고슬로가 빠른 속력으로 우주여행을 함

• 고슬로와 지구가 17.3년 동안 멀어지는 방향으로 여행

쌍둥이 역설

 특수 상대성 이론이 서로에 대해 일정한 속력으로 움직이는 관성 기준틀을 다루어야 한다 .

•

• 그의 운동 상태는 항상 일정하지 않고

• 결과적으로 스피도는 관성틀에 있지 않다

─ 스피도는 항상 정지해 있고

─ 고슬로가 일정한 운동을 하고 있다고 생각할 수 없다.

•

• 스피도가 지구로 돌아오려면 스피도는 반드시 속력을 줄이고 운동 방향을 되돌려, 지구를 향해 일정하게 움직이는 다른 관성 틀에 있게 된다.

•

상대론적 도플러 이동

 시간 지연의 다른 중요한 결과

•

obs source

1 ( / ) 1 ( / )

f v c f

v c

 

obs  source

1 ( / ) 1 ( / )

f v c f

v c

 



적색이동

 광원과 관찰자의 상대속력 v에만 의존한다

•

•

 적색 이동

•

obs source

f

f 



obs source

f

f 



obs source

1 ( / ) 1 ( / )

f v c f

v c

 

obs  source

1 ( / ) 1 ( / )

f v c f

v c

 



예제 1.6 히드라 은하의 후퇴속력



가 되어 이므로 상대론적 도플러 이동은



obs source

1 ( / ) 1 ( / )

f v c f

v c

 



c

f 

v c



v c 



obs source





obs source

f

f

2 2

obs source

2 2

obs source

v c

 

 

 



1.6 로렌츠 변환

 상대 속력 v로 움직이고 있는 두 관성 관찰자의 공 간과 시간 좌표를 관련시키는 공식의 집합

 로렌츠 역변환

•

프라임과 프라임이 없는 변수를 단순히 바꾸고

( )

x   G x vt 

에서 하나의 사건을

에서 하나의 사건으로 대응

S

S

G

x

t

v/c

( )

x G x    vt 

/ 0 1

v c  G 

로렌츠 변환의 유도

•

 로렌츠 변환

 

 ^1/

^{1 ( / )} 

t   G t  G  x v ^dx dt   ^{ } G dt ^{G dx vdt}

 ^

G



x v

1 (1/ 2 1)( / )

x x

x

u v u dx

dt G u v

 

  

 1 (1/  ²  1)( / )

x x

x

u v u dx

dt G u v

 

  

  

u

c u

c

2 2

1

1 /

G    v c



1

1 /

G    v c



x



x vt

x

 x vt

x x

 

x x

v v

2

t t vx



c

    

 ² 

t t vx



c

    

 

로렌츠 변환과 역변환



일어나는 한 사건 사이의 완전한 좌표변환



2

( )

x x vt y y

z z t t vx

c





  

 

 

 

    





( )

x x vt y y

z z t t vx

c





  

 

 

 

    

 

S

x y z t S

x y z t

2

( )

x x vt

y y z z t t vx

c





 

 

 

 

   

   

 ²  ( )

x x vt

y y z z t t vx

c





 

 

 

 

   

   

 

역변환

0

c

, , ,

x    x vt y   y z   z t   t

2 / 2 1

v c

예제 1.7 시간지연

S 기준틀에서

t ₁

t ₂

(b) 빛이 켜졌다 꺼진 지점 사이의 거리를 에서 측정하면?

S에서는 사건 1과 사건 2가 같은 지점에서 일어났다 에서는

0 0 0

( , , )

x y z S

S

S

사건 1 (빛 켜짐)

0, 1

x t

1 ( 0 1)

x

 x

vt

2

1 ( 1 0 / )

t

 t

vx c

사건 2 (^{빛 꺼짐})

0, 2

x t

2 ( 0 2)

x

 x

vt

2

2 ( 2 0 / )

t

 t

vx c

2 1 2 1

Δ

t

t

t



t

t



t

S

S

x

x

x

 v t

t

?

연습문제 5 길이수축

로렌츠 변환을 이용하여 길이의 변환식을 유도하여라 움직이는 물체의 길이는 양 끝을 동시에 측정한다

• 기준틀

S’

• 기준틀 S에서 움직이는 막대의 길이는 인 조건에서

S S

( , )x t1 1  ( , )x t₂ ₂

1 ( 1 1)

x

 x

vt

2

1 ( 1 1 / )

t

 t

vx c

2 ( 2 2)

x

 x

vt

2

2

(

/ )

t   t ^  vx c ^

0 2 1

L

x

x

1 2

t  t L x 

 x

2 2

1 1 2 2

( t vx c / ) ( t vx c / )

 ^  ^   ^  ^ t

t

v x

x

c

vL c

2 1

( ) ( ) {( ) ( )}

L x x

x vt x vt x x v t t

  

 

       

       

로렌츠 속도변환



 u _x

1 (1/ 2 1)( / )

x x

x

u v

u dx

dt G u v

 

  

   ^{2 2}

1

1 /

G

 v c



1 ( / )2 x

x

x

u v

u u v c

  

 ² 1 ( / )

x x

x

u v

u u v c

  



[1 ( / )]

y

x

dy u

u dt  u v c

   

 [1 (  / )]

y y

x

dy u

u dt  u v c

   

 

z z

x

dz u

u dt  u v c

   

 [1 ( / )]²

z z

x

dz u

u dt  u v c

   

 

x,

u v c u

u

v

1 ( / )

u c v c

cv c

   



1 ( / )

x

u c v c

cv c

   

 ^S

c

c

S

예제 1.8 우주선의 상대속도

A에 대한 B의 속도는?

• 기준틀 을 우주선 A^{와 함께} 움직이도록 설정

• 지구를 기준틀

S

• A^{에 대한} B^{의 상대속도는 에서 측정한 속도 이므로}

S

0.750

v

0.850

u

c

S u

2 2

0.850 0.750

0.997 1 / 1 (0.750 )( 0.850 ) /

x x

x

u v c c

u c

vu c c c c

  

    

  

한 기준틀에서 c보다 작은 속력을 갖는 한 물체는

다른 모든 기준틀에서도 c보다 작은 속력을 가져야 한다.

예제 1.9 질주하는 오토바이

정지해 있는 관찰자가 보는 공의 속력은?

• 정지한 기준틀에서 측정한 오토바이의 속력

• 운전자의 기준틀 에서 공의 속력

0.800

v

c

S

0.700

u

c

2

2

1 /

0.700 0.800 1 (0.700 )(0.800 ) / 0.962

x x

x

u v

u u v c

c c

c c c

c

  

 

 





예제 1.10 상대론적 두목

두목 알파가 두목 베타를 보았을 때 두목 베타의 속력은?

• 기준틀

S 에서

• 두목 알파를 기준틀 으로 잡으면

• 두목 베타의 속력

• 두목 알파가 바라본 두목 베타의 속력은

x 0.75

u

c u

x 0

u

u

c

S v

c

2 2

0 0.75 1 / 1 (0)(0.75 ) / 0.75

x x

x

u v c

u c

u v c c c

 

    

 

2 2 2

(0.75 )

( 0.90 ) 1 0.60 (1 / )

y y

x

u c

u c c

u v c c

 





1.7 시공간과 인과율

 상대론에서는 공간과 시간 좌표가 독립적으로 다루어 질 수 없음을 보여주었다

 로렌츠 변환

•

 시간의 지연과 길이의 수축

•

x

 x vt

( / )

t    t vx c 

Δ

 

t

L L



시공간도표



• 그 입자선의 세계선 의 기울기에 반비례 한다

u

slope

x

x x c

u c

t ct

 

 

  

두 사건의 시공간 간격

 사건 E

과 사건 E

사이의 시공간 간격

•

관성계 에게도 같은 값을 가진다

2 2 2

2 2

2 1 2 1

( ) ( ) ( )

( ( )) ( )

s c t x

c t t x x







   

 s

2 2 2

2 2

2 1 2 1

2

( ) ( ) ( )

( ( )) ( )

( )

s c t x

c t t x x

s

  



    

   

   



2 2 2

2 2

2 1 2 1

2

( ) ( ) ( )

( ( )) ( )

( )

s c t x

c t t x x

s

  



    

   

   



민코프시키 도표

 민코프스키 도표

•

•

•

•

•

•

두 사건 사이의 간격의 분류

 시간꼴 – 사건 V, W

•

•

 빛꼴 – 사건 A, B

 공간꼴 – 사건 C, D

c t 

 x _{( )}  _s

 ₀

c t    x

 s