고 3 정답 및 해설 2019학년도 7월 전국연합학력평가
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나형 정답
1 ② 2 ③ 3 ⑤ 4 ③ 5 ① 6 ④ 7 ② 8 ③ 9 ② 10 ④ 11 ④ 12 ⑤ 13 ② 14 ① 15 ③ 16 ① 17 ⑤ 18 ① 19 ④ 20 ⑤ 21 ④ 22
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나형 해설
1. [출제의도] 지수 계산하기
×
×
× 2. [출제의도] 집합의 연산 이해하기
∩
이므로 , 따라서 3. [출제의도] 수열의 극한 계산하기
→ ∞
lim
lim
→ ∞
4. [출제의도] 역함수 이해하기
5. [출제의도] 정적분 계산하기
6. [출제의도] 함수의 연속 이해하기 함수 는 에서 연속이므로
lim
→
lim
→
따라서
7. [출제의도] 함수의 극한 이해하기
→
lim
lim
→
8. [출제의도] 유리함수의 성질 이해하기 직선 는
함수
의 두 점근선의 교점 를 지나므로
9. [출제의도] 사건의 독립 이해하기 P
P
두 사건
,
가 서로 독립이므로
P
∩
P
P
×
× P
따라서 P
10. [출제의도] 무리함수의 그래프 이해하기 함수
의 그래프와 함수
의 그래프가 일치하므로 , 따라서
11. [출제의도] 조건부확률을 활용하여 문제해결하기 이 고등학교 학년 학생 명 중 임의로 선택한
명이 영화 관람을 희망한 학생일 사건을
, 뮤지컬 관람을 희망한 학생일 사건을
라 하면P
P
P
∩
12. [출제의도] 로그의 성질 이해하기 log
log log log
log
, log
따라서 log log
13. [출제의도] 정규분포를 활용하여 문제해결하기 전기 자동차 배터리 개의 용량을 확률변수
라 하면
는 정규분포 N
을 따른다.
가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P
≥ P
≥
P
≥
14. [출제의도] 등차수열의 성질 이해하기 등차수열
의 첫째항을 , 공차를 라 하면 ,
⋯
×
× ×
×
15. [출제의도] 집합의 연산을 활용하여 추론하기
∪
따라서 (참고)
16. [출제의도] 중복조합을 활용하여 문제해결하기
개의 레인 번호 중 어느 두 번호도 연속되지 않도록 선택한 개의 레인 번호를 각각
,
,
라 하자.
,
,
를 선택하는 경우의 수는 다음과 같다.
보다 작은 레인 번호의 개수를 ,
보다 크고
보다 작은 레인 번호의 개수를 ,
보다 크고
보다 작은 레인 번호의 개수를 ,
보다 큰 레인 번호의 개수를 라 하면 ≥ ≥ ≥ ≥
′ , ′
′ ′ ≥ ′ ≥ ′ ≥ ≥
HC
개의 레인 번호
,
,
를 명의 학생이 선택하는 경우의 수는
따라서 ×
17. [출제의도] 등차수열과 등비수열의 성질 이해하기 등차수열
의 공차를 ,등비수열
의 공비를 라 하면 , ×
이므로 는 의 배수
,
는 의 배수이므로
,
×
×
18. [출제의도] 확률변수의 평균을 구하는 과정 추론하기
꺼낸 장의 카드의 앞면에 적혀 있는 수를 차례로 , , 라 할 때, 이를 순서쌍
와 같이 나타내자.
인 사건은앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 모두 같은 경우이므로 의 가지
P
인 사건은앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 카드의 개수가 인 경우이다.
앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 과 로 같은 경우는 의 가지,
앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가
과 또는 와 으로 같은 경우도 각각
가지이므로 P
×
인 사건은앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 카드의 개수가 인 경우이다.
앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 로 같은 경우는
의 가지, 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가
또는 으로 같은 경우도 각각 가지이므로 P
×
인 사건의 경우에는 P
E
×
×
×
×
,
,
따라서
19. [출제의도] 등비급수를 활용하여 추론하기 선분 BC, CA을 로 내분하는 점이 각각 B, C이므로 BC , CC 선분 BC을 지름으로 하는 반원의 넓이는
× ×
BC
선분 BC, BC의 중점을 각각 M, N이라 하고, 선분 BC를 지름으로 하는 반원의 호와
2019학년도 7월
전국연합학력평가 정답 및 해설 고 3
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선분 BC의 교점을 D이라 하자.
A
B C
A
B
C N
M D H
MC CC , ∠C 이므로 삼각형 CCM은 정삼각형
∠BMC
삼각형 MCB는 MB MC 인 이등변삼각형이므로 ∠ MCB
삼각형 BCC는 ∠C 인 직각삼각형
BC BC CC
BC
,같은 방법으로 AB CA
이므로 삼각형 ABC는 정삼각형삼각형 NBD은
∠ BND ,
NB ND
인 이등변삼각형 부채꼴 NBD의 넓이는
× BN×
×
×
점 N에서 선분 BD에 내린 수선의 발을 H이라 하면,
NH
, BH
BD BH
삼각형 NBD의 넓이는
× BD× NH
×
×
선분 BC을 지름으로 하는 반원의 넓이 (부채꼴 NBD의 넓이)
(삼각형 NBD의 넓이
다음은 그림
의 일부이다. ≥ A
B C
A
B
C
정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 이라 하면
B C
, CC
삼각형 B CC 은
∠C 인 직각삼각형이므로
,
그림
에 새로 색칠된 부분의 넓이를 이라 하면
,
수열
은 첫째항이
이고,공비가
인 등비수열이다.
lim
→ ∞
lim
→ ∞
20. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기
이고 방정식 의
서로 다른 실근의 개수가 이므로
, ′
, ㄱ. (참) ㄴ.
, ,
′
′ ′ (참) ㄷ.
O
곡선 위의 점 에서의 접선 의 기울기는 ′ 점 에서 곡선 에 그은 접선 중 하나를 라 할 때,
접점을
≠ 이라 하자.직선 의 기울기는
′
직선 의 방정식은
직선 가 점 을 지나므로
,
′
×
함수 의 그래프와 직선
의 교점의 개수는 (ⅰ)
일 때, 개
(ⅱ)
일 때, 개
(ⅲ)
일 때, 개 (ⅳ) ≥ 일 때, 개
그러므로 방정식 의 서로 다른 실근의 개수가 이 되도록 하는 양수 의 범위는
(참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ
21. [출제의도] 접선의 방정식과 합성함수를 활용하여 문제해결하기
점 를 지나는 직선이
곡선 와 접할 때의 접점을
라 하자. ′ 이므로 접선의 방정식은
이고, 이 접선이 점 를 지나므로
는 곡선 와 직선 의 교점의 개수이다.
라 하면,
′
′ ′
,
O
고 3 정답 및 해설 2019학년도 7월 전국연합학력평가
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함수 에서 (ⅰ)
인 경우
일 때, 이므로 조건(가)를 만족시키지 않는다.
(ⅱ)
인 경우
,
일 때,
,
일 때,
일 때, 함수 의 치역의 원소의 개수가 이므로 조건(나)를 만족시키지 않는다.
(ⅲ)
인 경우 실수 전체의 집합에서
≤
이므로 이다.
이는 조건(가), (나)를 모두 만족시킨다.
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 주어진 조건을 만족시키는 의 범위는 × 자연수 의 최솟값 ,
따라서
22. [출제의도] 순열 계산하기
P ×
23. [출제의도] 미분계수 계산하기
′ , ′
24. [출제의도] 이항정리 이해하기
C ×
,
따라서 의 계수는 C×
25. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 점 P 의 시각 ≥ 에서의 속도 는
× ×
따라서
26. [출제의도] 수열의 귀납적 정의 이해하기 판별식
수열
의 모든 항이 양수이므로 수열
은 첫째항이 , 공비가 인 등비수열이다.따라서
27. [출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기
,
이므로
, 이므로
따라서 ×
28. [출제의도] 조합을 활용하여 문제해결하기
≤ , ≤ , ≤ , ≤
함수 가 일대일 대응이므로
, ,
가 될 수 있는 값은 ,
이 될 수 있는 값은 , , , (ⅰ) 인 경우
일 때,
, , 이 될 수 있는 값은 , ,
을 정하는 경우의 수는 C 남겨진 두 수 중에서 작은 수를 , 큰 수를 에 대응시키면 되므로
C×
, 일 때, , , 을 정하는 경우의 수도 각각 이므로
함수 의 개수는 × (ⅱ) 인 경우
(ⅰ)의 경우와 같은 방법으로 함수 의 개수는 ×
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 함수 의 개수는
29. [출제의도] 수열의 합을 활용하여 추론하기 수열
의 첫째항을 ≠ ,공차를 라 하면
이므로
,
,
, ⋮
,
,
,
, ⋯집합
의 원소의 개수가 이 되도록 하는 자연수 의 값은 , , ⋯ , 따라서 모두 자연수 의 값의 합은
⋯
30. [출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기 모든 실수 에 대해서 ′≥ 이고,
′ 이므로
≥ 에서 ′≥ 이므로 함수
′ 는 증가한다.
삼차함수 는
과 에서 극값을
가지므로 의 최고차항의 계수가 양수이면
에서 는 증가한다.
이때, 함수 는 실수 전체의 집합에서 증가하므로 극솟값을 갖지 않는다.
따라서 삼차함수 의 최고차항의 계수는 음수이다.
O
′
(ⅰ) 일 때,
(ⅱ) ≤ 일 때,
′
′
(ⅲ) ≥ 일 때,
′
함수 는 에서 연속이므로
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
⋯⋯ ㉠
⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡을 연립하면 ,
′
이라 하면
≠ 이므로
≥
×
따라서
(참고)
함수 의 그래프의 개형
O
