문항카드 2

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문항카드 2

[울산대학교 문항정보]

1. 일반정보

유형 ☑ 논술고사 □ 면접 및 구술고사

전형명 논술전형, 지역인재특별전형

해당 대학의 계열(과목) /

문항번호 의학계열(수리논술) / 문제2

출제 범위

수학과

교육과정 과목명 수학 I, 수학 II, 미적분 I, 미적분 II

핵심개념 및 용어 도형의 이동, 수열의 합, 합성함수의 미분

예상 소요 시간 15분 / 전체 150분

2. 문항 및 제시문

【문제 2】(120점) 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수   가 다음 조건을 만족시킨다.

(가)   가 나타내는 도형을 축에 대하여 대칭이동한 후, 축의 방향으로 2만큼 평행이동한 도형의 방정식은    이다.

(나)   가 나타내는 도형을 축에 대하여 대칭이동한 후, 축의 방향으로 100만큼 평행이동한 도형의 방정식은    이다.

(다)      ⊂        이다.

(라)      인 모든 에 대하여  ′   이다.

다음 물음에 답하시오.

(1) 모든 실수 에 대하여     를 만족시키는 양수  를 하나만 구하시오.

(2) 실수 전체의 집합에서 정의된 합성함수    ∘ 에 대하여 다음을 만족시키는 자연수 의 최솟값을 구하시오. (단,  ≥  이다.)

_{  }



^  ′  

3. 출제 의도

본 문제는 평행이동한 도형의 방정식을 나타낼 수 있는지와 이 함수의 합성함수가 가지는 성질을 수학적으로 이용할 수 있는지를 평가하고자 한다.

문제2-1. 평행이동한 도형의 방정식을 나타낼 수 있는지를 평가하는 문제이다.

문제2-2. Σ의 뜻을 알고, 그 성질을 이해하고, 이를 활용할 수 있느지 합성함수의 미분을 구할 수 있는지를 평가하는 문제이다.

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6 4. 출제 근거

가) 교육과정 및 관련 성취기준

문항 및 제시문 관련 성취기준

제시문 (가)

교육과정^*

[수학I] - (다) 도형의 방정식 – 4 도형의 이동

① 평행이동의 의미를 이해한다.

② 원점, x축, y축, 직선 y=x에 대한 대칭이동의 의미를 이해하고, 이를 설명할 수 있다.

성취기준･성취 수준^**

수학1341. 평행이동의 의미를 이해하고, 평행이동한 도형의 방정식을 구할 수 있다.

수학1342-1. 원점, x축, y축, 직선 y=x에 대한 대칭이동의 의미를 이해하고, 대칭이동한 도형의 방정식을 구할 수 있다.

제시문 (나)

교육과정

성취기준･성취 수준^*

제시문 (다)

교육과정 [수학Ⅱ] - (가) 집합과 명제 - 1 집합 ② 두 집합 사이의 포함 관계를 이해한다.

성취기준･성취 수준

[수학Ⅱ] - (가) 집합과 명제 - 1 집합

수학2112. 두 집합 사이의 포함 관계를 기호를 사용하여 나타낼 수 있다.

제시문 (라)

교육과정

[미적분 I] - (다) 다항함수의 미분법 - 1 미분계수

① 미분계수의 뜻을 알고, 그 값을 구할 수 있다.

② 미분계수의 기하학적 의미를 안다.

[미적분 I] - (다) 다항함수의 미분법 - 1 미분계수

미적1311/1312. 미분계수의 뜻과 기하학적 의미를 알고, 그 값을 구할 수 있다.

문제 2-1

교육과정

문제 2-2

교육과정

[수학Ⅱ] - (다) 수열 -  수열의 합

① Σ의 뜻을 알고, 그 성질을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

[미적분Ⅱ] - (다) 미분법 -  여러 가지 미분법 ② 합성함수를 미분할 수 있다.

[수학Ⅱ] - (다) 수열 -  수열의 합

수학2321. Σ의 뜻을 알고, 그 성질을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

[미적분Ⅱ] - (다) 미분법 - (가) 여러 가지 미분법 미적2312. 합성함수를 미분할 수 있다.

*: 교육과학기술부 고시 제 2011-361호 [별책 8] “수학과 교육과정”

**: 교육과학기술부 발간 「2009 개정 교육과정에 따른 성취기준･성취수준: 고등학교 수학」(교육과학기술부 발간등록번호 11-1341000-002322-01)

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나) 자료 출처

참고자료 도서명 저자 발행처 발행년도 쪽수

고등학교 교과서

수학 I 정상권 외 금성출판사 2014 179-186

수학 II 김원경 외 비상교육 2014 131-136

미적분 I 김창동 외 교학사 2014 91-96

미적분 II 이강섭 외 미래엔 2014 107-114

5. 문항 해설

원점, x축, y축, 직선 y=x에 대한 대칭이동의 이동은 기존의 도형을 이동할 때 고려하는 가장 기본적인 수학적인 도구로, 현대 건축과 토목, 그리고 첨단 과학에 이르기까지 광범위한 분야에서 널리 활용된다. 본 문항의 핵심적인 내용은 ｢수학 I｣의 ‘도형의 방정식, ｢수학 II｣의

‘집합과 명제’, ｢미적분I｣의 ‘다항함수의 미분법’과 ｢미적분Ⅱ｣의 ‘미분법’ 단원에서 다루어진다. 따라서 본 문항을 통해 학생들이 제시문을 읽고 이동된 도형의 방정식을 구할 수 있는지, 합성함수를 미분할 수 있는지, 풀이 과정을 논리적으로 전개할 수 있는지를 평가한다.

6. 채점 기준

하위 문항 채점 기준 배점

2-1

도형의 이동 정의를 이용하여         ^와

        ^{를 안다.} ²⁰

항등식           으로부터 모든 실수 ^{에 대하여}

      ^{임을 안다.} ²⁰

2-2

 ≤   이면 _{  }



^ ^{′ }^{임을 안다.} ²⁰

  





′ ^{임을 안다.} ²⁰

 ≤   ^이면_{  }



^ ^{′ }^이다. ⁴⁰

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8 7. 예시 답안

2-1. ⓛ (가)에 의하여         이고 (나)에 의하여         이므로 모든 실수 에 대하여            이다.

②   를 로 치환하면 모든 실수 에 대하여         이다.

2-2 ⓛ  ≤   이면 _{  }



^ ^{′ } 이다. 그 이유는 다음과 같다.

(다)와 (라)에 의하여  ≤   인 에 대하여 ′    ′   ′     이므로



  



′ 을 만족시키는 의 값은 50 이상이다.

②



  



′ 이다. 그 이유는 다음과 같다.

′     ′    ′     ′    ′   ′ 이므로 ′      ′  이고 그 결과 ′    이다.

따라서



  



′ ′    ′ ⋯ ′    ′  ′     이다.

③  ≤   이면 _{  }



^ ^{′ } 이다. 그 이유는 다음과 같다.

  





′



  



′ ′   



  



′



  



′



    



′  





  

  

′



    



′ ′   



  

  

′ 