11주차: 문제해결 지도(2)
광주교육대학교 수학교육과 이 대 현
수학과 교육 2-강의 자료
학습 내용: 대수의 역사(1)
✔대수의 역사는 3000년 이상: 이집트의 수학자인 Ahmes(약 B.C. 1680- B.C.1620)가 파피루스에 남긴 일원일차연립방정식의 풀이에서 시작
✔대수의 역사에서 기호와 문자의 사용은 중요한 역할 1) 언어적 대수(rhetorical algebra)
=Diophantus(약 246-약 330) 이전 시대
일상적인 언어 표현을 사용하여 문제를 해결
미지수를 표현하기 위해서 특정 부호나 기호를 사용하지 않은 것이 특징 풀이의 전체적인 과정이 일상 언어로만 표현된 단계
2) 생략적 대수(syncopated algebra)
=Diophantus시대에서부터 16세기말까지 해당
자주 반복되어 사용되는 개념이나 계산을 축약된 용어나 머리글자와 같은 생략 기호를 사용 (예) 르네상스 시대에는 +(plus)를 p로 -(minus)를 m으로 방정식은 수로 된 계수만을 가지고 있었고, 해는 수치로 된 값으로만 표현 문자를 사용한 일반적인 풀이 방법은 나타나지 않았다.
학습 내용: 대수의 역사(2)
3) 기호적 대수(symbolic algebra)
=프랑스의 수학자 Viète(1540-1603)에 의한 대수 발전의 단계로 기호 대수 단계 가 시작
문자는 미지의 양뿐만 아니라 주어진 양까지도 나타내는 데 사용
대수는 일반해를 나타내는 도구로, 수치관계를 나타내는 규칙을 입증하는 도구로 사용
=수학의 문제를 일반적이고 형식적인 방법으로 취급하는 결정적인 계기 해법을 공식화하고 그 원리와 방법의 타당성을 연역적 추론에 의해 처리 기호적 대수 단계에서 일반해를 나타내는 것, 법칙을 증명하는 도구로써 대수를 사용
[토론] 두 수의 합과 곱을 알 때, 두 수를 구하는 방법을 생략적 대수와 기호적 대수 시기의 해결 방법으로 논하여라.
학습 내용: 문자의 의미
① 특정한 수의 이름: π, 와 같이 특정한 수의 이름을 나타낸다.
π: 원의 둘레와 지름 사이의 비(π=3.14ㆍㆍㆍ )
② 특정 미지수: 방정식 에서 인 것과 같이 문자는 특정한 미지수
방정식과 부등식에 이용되는 문자는 특정한 미지수의 의미로 이용
③ 일반적인 미지수: 문자는 일반적인 값을 나타내는 기호로 이용
자연수의 집합에서 성립하는 교환법칙을 와 같이 나타낼 때 는 임의의 자연수 ④ 변수: 함수 와 같이 문자의 값의 변화를 나타내는데 이용
⑤ 형식적 조작의 대상: 문자는 어떤 성질을 만족하는 임의의 대상을 나타내는 기호로 간주된다. 특히 대수에서 다루는 군, 환, 체와 같은 추상적인 구조에서 나타나는 문자는 임의의 대상으로 생각된다. 학교수학에서는 전개나
인수분해와 같이 형식적인 조작의 대상으로 다루는 것을 들 수 있다.
학습 내용: 식의 의미(1)
✔식: 대상기호, 술어기호, 논리기호, 보조기호 등에서 몇 가지를 선택하여 일정한 수학적 규칙에 따라 조합하고 배열한 것
대상기호: 상수기호, 변수기호, 특징기호 술어기호 연산기호, 함수기호, 관계기호 논리기호: ∧, ∨, →, ⇒, ⇔,∀, ∃, ㆍㆍㆍ 보조기호: ( ), { }, [ ], ㆍㆍㆍ
✔식을 구성하는 규칙
① 대상기호는 그 자체만으로 식(단항식)이 된다.
(예) 2, 5, 0.3, 등
② 두 식을 연산기호나 관계기호로 연결한 것도 식 다항식, 명제, 등식, 부등식 등
(예) 5+3=8, ,
학습 내용: 식의 의미(2)
✔관계기호가 없는 식은 다음과 같은 역할
① 어떤 대상에 대하여 어떤 차례로 어떤 조작을 하는가를 나타낸다.
② 어떤 대상에 조작을 한 결과를 나타낸다.
③ 대상사이의 수학적 구조를 나타낸다.
✔관계기호가 있는 식은 다음과 같은 역할
① 수량 사이의 조작이나 조작의 차례, 또는 그 결과 사이의 양적 관계를 간결하게 나타낸다.
② 어떤 수량에 어떤 조작을 시행하는 과정이나 결과가 어떻게 되는지를 나타낸다.
③ 수량사이의 형식적 처리가 가능하다.
④ 여러 가지 수량사이의 관계를 하나의 수학적 대상으로 하여 그 성질을 탐구하고 이를 이용할 수 있다.
학습 내용: 방정식의 지도
✔닫힌 문장(closed sentence): 정수만으로 된 수학적 문장 참, 거짓이 확정되는 명제 열린 문장(open sentence): 변수를 포함하는 수학적 문장
변수가 취하는 값에 따라 참, 거짓이 결정
✔방정식: 등식으로 나타난 열린 문장
이차, 삼차, 사차방정식 등과 같은 다항방정식과 분수방정식, 무리방정식 등 미지의 양을 알기 위하여 □나 등의 대수사를 써서 방정식으로 나타낸다
✔방정식의 지도에서는 다음에 유의
① 미지수의 의미나 식이 갖는 규약 등을 바르게 이해하도록 한다.
② 등식으로 나타낸 수량 사이의 관계를 바르게 이해하도록 해야 한다.
③ 논리적 사고에 의한 방정식 풀이의 충분한 경험을 가져야 한다.
④ 등식이 갖는 성질을 이해하고 이를 방정식의 변형에 이용할 수 있게 한다.
⑤ 기능적인 면만을 강조하여 기계적 이항이나 조작이 되지 않게 한다.
학습 내용:식의 지도
✔수량이나 구체물 사이의 관계를 지도할 때에는 실물이나 교구를 이용하여 표현
수량이나 구체물 사이의 관계를 말이나 글로 설명
말이나 글보다 문자를 이용하여 표현하는 것이 더 간결하고 정확하다는 것을 알고, 문자의 필요성을 인식
문자의 필요성을 인식하면 수량과 그들 사이의 관계를 문자로 표현하는 경험
✔미지수를 포함하는 식: □나 문자를 사용 1, 2학년: □
6학년: x를 사용하여 표현
① 덧셈식에서 미지수 구하기 ② 뺄셈식에서 미지수 구하기 ③ 곱셈식에서 미지수 구하기
학습 내용: 문제해결의 방법 지도(1)
1) 실제로 해보기
✔문제 상황을 모델 또는 구체물로 나타내고 조작활동을 통하여 해결하는 전략 문제 상황을 재현하는 조작가능한 물리적 모델이나 구체물을 이용하여 실제 로 해보는 전략
(문제) 그림의 흰 바둑돌을 빈칸의 위치로 옮기는데 필요한 최소한의 움직임의 수를 구하여라. 단, 흰 바둑돌과 검은 바둑돌은 위-아래, 좌-우로만 움직일 수 있다.
2) 그림그리기
✔문제 상황을 그림으로 나타내어 문제에 주어진 정보를 명확히 파악하고 해결하는 전략
자세한 그림보다는 정보를 정확하게 표현하는 필수적인 정보들을 그리도록 지도
(문제) 경민이네 학교 6학년 학생들은 반별로 발야구를 하기로 하였다. 6학년이 모두 일곱 반인데, 모든 반과 한 번씩 발야구 경기를 하기로 하였다. 모두 몇 번의 경기를 해야 되는지 구하여라.
학습 내용: 문제해결의 방법 지도(2)
3) 식 만들기
✔문제 상황을 식으로 번안하여 문제를 해결하는 전략
식의 이용은 양적인 수학적 대상 사이의 관계를 나타내는데 효과적인 방법 미지의 양을 나타내기 위하여 □나 영어 알파벳을 주로 이용, 문제에 주어진 조건을 방정식이나 부등식으로 표현
4) 규칙 찾기
✔문제에 주어진 조건을 분석하여 어떤 규칙을 찾아내고 이 규칙을 이용하여 계산을 함으로써 문제를 해결하는 전략
표를 만들고 난 후에 그 표에서 규칙을 찾는 것과 같이 다른 문제해결 전략과 자주 병행
학습 내용: 문제해결의 방법 지도(3)
5) 거꾸로 풀기
✔가정과 결론 부분으로 나누었을 때 구하고자 하는 부분이 가정에 있는 문제에 적용
종점을 설정해 놓고 행동을 거꾸로 실행하는 것
방정식을 풀기 위한 역연산 기능을 익히는데 도움이 된다.
✔분석법(analysis): 기원전 3세기경의 수학자 Pappus에 의해 체계적으로 정리 구하고 있는 것을 이미 찾은 것처럼, 증명해야 할 것을 참인 것처럼 가정하고 그로부터 선행하는 어떤 것으로부터 바라는 결과가 유도될 수 있는가를 묻고, 다시 그 선행자의 선행자는 무엇인지 묻기를 계속하여, 결국 이미 알려져
있거나 참인 것으로 가정되는 것에 이르게 하는 발견술
✔종합법: 분석법의 과정을 거꾸로 하여 이미 알려져 있거나 참인 것으로 가정된 명제로부터 출발하여 분석 과정을 거꾸로 되밟아 감으로써 마지막에 요구하는 명제에 도달하는 연역 과정
학습 내용: 문제해결의 방법 지도(4)
6) 표 만들기
✔문제에 주어진 정보나 자료의 수가 많을 때 표를 이용하여 정보나 자료를 분류 하여 질서 있게 배열하는 방법
예상과 확인, 규칙성 찾기 등 다른 전략과 더불어 사용
=표 만들기 자체만 활용하는 경우와 다른 전략과 같이 활용하는 문제의 해결에 도움
(문제 1) 경민, 수현, 지윤이는 테니스, 야구, 골프를 좋아한다. 경민이는 야구나 골프를 좋아하지 않는다. 수현이는 야구를 좋아하지 않는다. 세 사람이 좋아하는 운동의 이름을 써라.
(문제 2) 한 자루에 600원인 연필과 한 개에 450원인 지우개를 합쳐서 10개를 사고 5100원을 지불하였다. 구입한 연필과 지우개의 수를 구하여라.
학습 내용: 문제해결의 방법 지도(5)
7) 예상하고 확인하기
✔답을 예상해 보고, 그것이 문제의 조건에 적절한지 체계적으로 확인해 보는 전략
처음의 예상이 틀리면 다시 예상하고 확인
예상하기는 맹목적이고 막연한 추측이 아니라, 학생들이 이전의 경험이나 기지의 지식을 기초로 하여 문제와 관계있는 것을 조직적으로 예상을 하는 것
(문제) 환이는 4800원을 가지고 볼펜과 공책을 합하여 10개를 사려고 한다.
볼펜은 360원, 공책은 560원인데, 환이는 되도록 공책을 많이 사고 싶었 다. 각각 몇 개씩 사면 되는지 구하여라.
8) 문제를 단순화하기
✔문제를 보다 단순한 구조를 가진 문제로 바꾸어 해결, 해결과정을 본 문제에 적용하는 방법
문제 구조를 간단히 하는 방법과 문제에 제시된 수보다 더 간단한 수를 대입하는 방법
학습 내용: 문제해결의 방법 지도(6)
9) 조직적인 목록 만들기
✔체계적인 방법으로 일어날 수 있는 모든 가능성을 확인하는 전략
여러 가지 가능성을 범주화하여 가능한 모든 방법의 수를 체계적으로 확인 가능한 경우를 누락시키거나 불필요한 반복을 피할 수 있다.
(문제) 1, 2, 3, 4의 숫자를 한 번씩만 써서 4자리 수를 만들려고 한다.
모두 몇 개의 수를 만들 수 있는지 구하여라.
10) 관점 바꾸기
✔학생들이 문제를 해결할 때, 어떤 특정한 관점이나 특정한 가정에 얽매이는 경향
‘사고의 고착화(mental set)’ 때문에 발생
문제에 대한 관점을 바꾸어 문제를 다시 읽고, 이전과는 다른 방식으로 접근할 필요
(문제) 똑같은 길이의 막대 6개가 있다. 이 막대를 이용하여 4개의 정삼각형을 만들어라. 단 막대를 자르거나 구부리거나 겹쳐서는 안 된다.
학습 내용: 학습 내용 정리
대수의 역사에 대해 논하여라.
방정식의 지도 방법에 대해 논하여라.
문자의 의미와 초등 수학에서 쓰는 문자에 대해 토론하여라.
문제해결 방법을 들고, 각 방법에 맞는 문제의 예를 들어라.
