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함 수 수 함
함 수 수
목차
• 함수 교수 학습 이론
– 함수 지도의 의의 – 함수의 역사적 발달
– 함수의 여러 측면과 함수의 도입
• 함수 교수 학습 실제
– 우리나라 교육과정의 함수 – NCTM(2000)의 함수
– 교과서의 이해
• 함수 지도의 전 단계 – Freudenthal의 교수학적 현상
학에 따른 함수 지도
– Krabbendam의 질적 접근에 따른 함수 그래프 지도
– Janvier의 번역 활동에 따른 함수 지도
– 함수 학습의 인식론적 장애
• 함수 지도의 전 단계
• 함수 개념 도입
• 함수 유형과 맥락
• 함수 표현과 번역
• 함수 연산
– 수업의 이해
– 공학적 도구의 활용
1. 함수 지도의 의의
• Klein- 함수는 학교 수학의 중심이 되어야
• 함수는 현실 세계의 상황을 이해하기 위해 중요 – 현실 세계의 상황을 함수로 표현 문제를 수학 – 현실 세계의 상황을 함수로 표현 문제를 수학
적으로 접근 상황에 맞게 재해석 : 모델링
• 예: 물체의 운동, 인구 증가, 속도 변화, 주식 변화, 건축 설계, 환경 오염, 사물에 이름을 부여하고, 휴 대폰에 번호를 부여하고, 등등
– 변화하는 현상을 관찰하고 설명하며 예측하는 데
도움
• 수학의 발전이나 통합에 핵심적인 역할
– 대수와 기하의 통합을 가능하게 함
• 도형의 방정식, 그래프를 통해 대수와 무한소 계산
– 미적분과 연계
– 연산, 도형의 넓이, 변환, 벡터의 덧셈, 정규분포, 두 집합의 농도가 같은지
집합의 농도가 같은지
• 함수 지도의 방향
– 현실 세계의 현상 속에서 변화를 인식하고, 변하는 대상 간의 연관성이나 종속성을 기술, 해석, 예측하 는 능력
– 함수의 수학적 본질을 인식하고 그 본질에 따라 수학 적 내용을 다룰 수 있는 능력을 길러주어야
2. 함수의 역사적 발달
• 함수의 표현
– 용어의 등장: 라이프니츠와 베르누이의 서신 교환에서 첫 등장.
– 오일러에 의해 익숙하게 사용됨
– 함수 기호 f: 오일러와 달랑베르가 사용 – 사상(mapping): 오일러(1777)
– 사상(mapping): 오일러(1777) – 函數
• 전함수(바빌로니아, 그리스) 기하적 함수(17C.
오렘, 갈릴레이) 대수적 함수(18C. 베르누이, 오
일러) 논리적 함수 (19C. 디리클레, 행켈) 집
합적 함수(20C. 부르바키)
전함수(prefunction)
• 함수가 무엇인지는 모름
• 함수표
• 바빌로니아: 수표. 천체 운동의 주기성을 관찰하 고 각 점의 중간을 직선으로 이어서 나타냄
• 그리스: 구면 기하에서 천체운동을 삼각함수로 기술. 탄젠트. 구면삼각형의 사인 정리
• 일차, 이차, 삼차함수의 기원은 바빌로니아 수학 (일차종속의 비례 개념)
• 아폴로니우스의 원뿔 곡선(포물선, 타원, 쌍곡선)
기하적 함수 단계(17C)
• 함수가 수학적으로 의식화되어 사용되고 정의된 시기
• 여러 가지 운동을 양적으로 수학화: 곡선의 접선, 곡선 아 래의 면적, 곡선의 길이, 곡선을 따라 움직이는 점의 속도 구하는 것
• 운동을 나타내는 곡선과 관련하여 개념화되었다는 점에서
• 운동을 나타내는 곡선과 관련하여 개념화되었다는 점에서 기하적 함수
• 대표적 수학자: 오렘, 갈릴레이, 카발리에리, 배로
• 갈릴레이: 등가속도 운동을 하는 물체가 움직인 거리는 그 거리까지 움직이는 데 걸린 시간의 제곱에 비례
• 오렘: 등가속도 운동을 나타내기 위해 속도와 시간을 기준 으로 그래프를 나타냄
• 오렘: 모든 연속량은 넓이로 표현 가능하다고 봄
– 물체가 등속이 아닌 운동을 하는 것은 평균속도로 등속 운동을 하는 것과 같다
– 그림에서 삼각형 ABC의 넓이가 지나간 거리 n등분 하면 각 거리의 비는 1:3:5:…(2n-1), 이 합은 n2
• 갈릴레이: 삼각형의 넓이를 (수선인) 속도의 합으로 봄 카발리에리의 불가분량
• 함수의 정의 필요( 라이프니츠): 곡선상의 한 점에 접
선의 길이, 접선, 법선의 길이, 법선 등을 구하는 일
대수적 함수 단계(18C)
• 비에트의 문자 사용과 방정식, 데카르트의 해석기하학에 기초
• 베르누이 의 함수: 변하는 것과 어떤 상수가 결합된 크기
• 오일러 (1748)의 함수
– 어떤 방식으로든 변수와 수 또는 상수들이 결합되어 있는 해석적 표현(
– 어떤 방식으로든 변수와 수 또는 상수들이 결합되어 있는 해석적 표현(
초기, 1748년)
– 대수함수, 초월함수, 유리함수, 무리함수 등 구분.
– f(x) 처음 사용
– 하나의 해석적 표현이 가능한 함수를 연속, 아니면 불연속
⇒ 변수 개념에 의존 (그러나 변수 개념 자체도 모호)
• 달랑베르의 진동현 문제: 단 하나의 해석적 표현이 존재
하지 않음
• 오일러 의 (후기) 함수 정의: 만약 어떤 양이 다른 양에 종속된다면 전자를 후자의 함수라 부른다(1755년)
⇒
독립변수와 종속변수 구분⇒ 변수들을 어떤 형태로든 서로 연결할 수 있는가 없는가 – 대수적 조작 가능성
• 함수는 연속적으로 변하는 양의 문제를 연구하지만,
수학적 대상은 정적인 것으로 생각하여 변수 개념을
수학에서 다루는 것을 기피함
논리적 함수 단계(19C)
• 두 변수가 대응이라는 논리적 조건에만 함수 개념이 관련됨
• 사람들은 불연속 곡선에는 오일러의 해석적 표현이 존재하지 않는 것으로 생각
• 푸리에 급수 와 디리클레 함수: 불연속 함수가 식으로
• 푸리에 급수 와 디리클레 함수: 불연속 함수가 식으로 나타내어질 수 있음
• 디리클레 : 주어진 구간에서 x의 각 값에 y의 값이 유 일하게 대응할 때, y는 x의 함수
• 함수에서 변수 개념을 없애고 일가성과 임의성을 강
조하게 됨
• 일가성
– 기하적 함수 개념은 사실상 다가함수
– 초기 함수 개념은 독립, 종속의 구분 없이 상호 종속성이 존재
– 고차 도함수에 이르면서 구분이 필요 (d2u/dv2)
• 임의성
– 함수가 어떤 특별한 표현에 의해 기술되거나, 어떤 규칙 성을 따르거나, 어떤 특별한 형태를 가진 그래프에 의해 묘사될 필요가 없다
집합적 함수 단계
• 공리론적 집합론을 기초로 함수를 정의 (논리적 함수에 포 함되는 것으로 생각할 수도 있음)
• 해석학의 기본 개념을 엄밀하게 하려는 노력 연속성, 연 속체의 문제
• 데데킨트: 체계(집합), 사상.
* 사상은 일반적인 의미로, 함수는 수 집합에 한정하여 사용. 현재는
* 사상은 일반적인 의미로, 함수는 수 집합에 한정하여 사용. 현재는 사상과 함수는 동의어
• 함수와 함수의 쌍의 연산, 합성과 역으로 많은 함수 창조
• 벡터공간의 선형사상, 군의 준동형사상, 체의 자기동형사 상 등이 대수학에 도입
• 범함수, 거리공간, Hilbert 공간의 개념, 공간 사이의 연산자 가 중요 관계로서의 집합적 함수 개념
• 부르바키의 함수 정의: 함수를 순서쌍의 집합의 부분집합
