파동함수 (1)

(1)

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 1

파동함수 (1)

 빛은 시공간에서 진행하는 전자기파이다.

 입자는 양자세계에서 파동처럼 거동한다.

 그렇다면 입자의 양자 파동함수는 무엇일까?

 파동함수는 일반적으로 다음과 같이 표기한다.

 파동함수는 공간좌표와 시간좌표에 의존한다.

 

m a x s i n

E  E  x   t

 ^{r t} ^, 



(2)

파동함수 (2)

 파동의 거동은 매우 복잡하므로 먼저 1차원 문제부터 시작하자.

또한 위치공간의 파동함수를 조사한 후에 시간의존성을 다룬다.

 이중슬릿 실험에서 스크린에 있는 전자의 파동함수는 무엇일까?

 광자와 마찬가지로 파동함수는 주어진 세기의 제곱에 비례한다.

 그림은 주어진 세기분포에

대응하는 가능한 두 파동함수이다.

  ^x



(3)

확률 (1)

 입자의 파동함수가 가지는 물리적 의미는 무엇일까?

 그림 37.3은 전자들이 스크린에 도달하는 위치와 이중슬릿 간섭으로 생긴 세기분포의 관계를 보여 준다.

 명백히 작은 단위길이의 구간에 부딪힌 개수(노란 막대그림)와 세기(푸른색 곡선)는 서로 비례한다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 3

 전자의 총수로 나눈 각 구간의 개수는 전자가 해당구간에

도달하는 확률이다.

(4)

확률 (2)

 수학적으로 어떻게 표기할까?

• 구간의 너비를

dx

_{라 하자.}

• 전자가

x

_와

x+dx

사이의 구간에 도달할 확률은

I(x)dx

_{에 비례한다.}

• 따라서 확률을 다음과 같이 표기할 수 있다.

 파동함수 절댓값의 제곱은 위치 x에서 전자를 발견할 확률밀도이다.

• 확률은 0와 1 사이의 무차원 수이다. dx가 길이의 차원이므로 결국 확률밀도는 물리적으로 길이차원의 역수이다.

• 파동함수의 진폭이 복소수이므로 진폭의 절댓값만이 양수인 확률을 나타낼 수 있다.

  ^{x d x} ^   ^x ² ^{d x}

 

(5)

확률 (3)

 전자가 반드시 공간 어딘가에는 있기 때문에 공간의 어떤

위치에서나 특정 전자를 발견할 확률은 반드시 1이어야 한다.

이에 따라 파동함수에 대한 다음의 규격화 조건을 얻는다.



ψ(x)*

는

ψ(x)

의 복소켤레이고, 이 규격화 조건으로 파동함수의 진폭을 결정할 수 있다.

 복소수(복소수에 대한 수학적 기초는 부록 A를 참조해라.)를 사용하면, 자유롭게 운동하는 전자 파동함수의 공간의존성을 편리하게 표기할 수 있다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 5

  ^x

²

^{d x}

^*

    ^x ^{x d x} ¹

  

 

   

 

 

(6)

공간의존성 (1)

 입자가 자유롭게 운동하기 때문에, 파동함수는 반드시

진행파동이어야 한다. 즉 파동함수가 전자기파처럼 사인모양일 것으로 예상할 수 있다.

 지금은 t=0 으로 놓고

x

^좌표 의존성에만 집중하기로 하자.

입자의 파동함수는 다음과 같이 사인과 코사인 진동의 선형결합으로 표기한다.

 여기서 κ=2π/λ 는 파동수이고, λ 는 입자의 드브로이 파장이다.

  ^x ^C ^{c o s}  ^x  ^D ^{s i n}  ^x 

    

(7)

 복소수를 사용하면 같은 파동함수를 다음과 같이 표기할 수 있다.

• 일반적으로 계수들(

A

,

B

,

C

,

D

)은 복소수이다.

• 계수 A와 B는 전체 파동함수가 규격화된다는 가정 하에, 특정 물리적 상황에 적합하도록 선택할 수 있다.

 왜 복소수로 표기하면 더 편리할까? 이 질문에 대한 답은 파동함수에 대응하는 운동량에 관한 설명에서 알 수 있다.

November 13, 2012 7

  ^x ^{A e} ⁱ ^ ^x ^{B e} ⁱ ^ ^x

   ^

University Physics, Chapter 37

공간의존성 (2)

(8)

운동량 (1)

 일단 B=0으로 놓아 간단히 계산한 다음에 B항의 중요성을 생각해 보자.

 드브로이 관계식에 의하면, 파동수는 다음과 같다.

 파동함수에 어떤 연산을 작용하면 파동함수와 운동량의 곱을 구할 수 있을까?

 다음의 가설풀이 식을 시도해 보자.

  ^x ^{A e} ⁱ ^ ^x

 

2 2 2 p p

h p h

  

 ^  ^ ^ ^

  ^x ⁱ ^d   ^x

d x

   

p

(9)

 여기서 p 는 운동량 연산자이다. 파동함수를

x

^에 대해 미분한 결과가 파동함수에 iκ 를 곱한 것과 같기 때문이다.

 즉, 다음의 계산에서 확인할 수 있다.

 결국 위 파동함수는 운동량이

p=ħκ

^인 자유전자의 파동함수이고, 두 번째 파동함수는

–x

^방향으로 움직이는 운동량이 –

p

^인

자유전자의 파동함수이다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 9

운동량 (2)

 

ⁱ ^x

 

ⁱ ^x ⁱ ^x

   

d d

i x i A e i A i e A e x p x

d x d x

  

     

       

(10)

 파동함수에 작용하여 대응되는 고전적 물리량을 구할 수 있는 다른 연산자는 없을까? 있다. 입자의 운동에너지이다.

 고전적으로 운동에너지는 K=p

²

/2m 로 표기하며, 운동에너지 연산자를 다음과 같이 표기할 수 있다.

       

2 2 2

2

1 1

2 2 2

d d

x x i x x

m m d x m d x

    ^   ^    

 

K p

운동에너지 (1)

(11)

 운동에너지 연산자가 자유입자의 파동함수에 작용하면 다음과 같이 운동에너지가 나온다.

• -x 방향으로 움직이는 자유입자의 파동함수에 대해서도 마찬가지이다.

 따라서 파동수 κ를 갖고 오른쪽으로 움직이는 파동과 왼쪽으로 움직이는 파동이 중첩된 파동함수에 운동에너지 연산자가

작용하면 다음의 일반적인 결과를 얻는다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 11

 

2 2 2 2 2 2

2

2 2

2

2 2 2 2

2 2

i x i x i x

d d d

x A e i A e A e

m d x m d x m d x m

A e p A e K A e

m m

  

  



     

 

운동에너지 (2)

 

² ²₂

 

² ²

 

2 2

i x i x

d

i x i x i x i x

A e B e A e B e A e B e

m d x m

 _   _ 



 _ 

     

K

(12)

슈뢰딩거 방정식 (1)

 전자들이 파동함수로 기술될 수 있다면, 파동함수의 시간과 공간에 대한 의존성을 기술하는 운동방정식은 무엇일까?

 올바른 운동방정식이라면 다음의 결과들과 부합하는 해를 제공할 것이다.

• 운동방정식의 해는 드브로이 파장을 가져야 하며,

• 해의 절댓값 제곱은 이중슬릿 산란실험의 결과를 재현해야 한다.

 에르빈 슈뢰딩거가 1925년에 이와 같은 방정식을 발견했고, 지금까지 그의 이름으로 불리고 있다.

 슈뢰딩거 방정식은 모든 비상대론적 양자역학의 근간이 된다.

(13)

 1차원 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 표기한다.

• 이 식에서

U(x)

는 위치에 대해 달라지는 퍼텐셜에너지이며,

E

는 파동의 총 역학에너지이다.

 이 식의 첫 항을 운동에너지 연산자로 소개했으므로 슈뢰딩거 방정식을 파동함수에 대한 에너지 보전법칙의 표현으로 다음과 같이 생각할 수 있다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 13

       

2 2

2

d x

U x x E x

m d x

  

  

슈뢰딩거 방정식 (2)

   

 ^K ^x ^ ^U ^x  ^ ^{ } ^x ^ ^E ^ ^{ } ^x

(14)

 만일 퍼텐셜에너지가 어디에서나 0이라면, 총 역학에너지는 운동에너지와 같다. 이 경우에 대한 해는 이미 알고 있다.

 매우 큰 퍼텐셜에너지에 대한 해는 무엇일까?

• 물리학자들은 간단한 해를 얻기 위해

무한

퍼텐셜에너지의 극한을 즐겨 사용한다.

 공간에서 퍼텐셜에너지가 무한히 크면 슈뢰딩거 방정식은 그 공간에서 에너지 E 가 무한이거나 파동함수가 0일 것을

요구한다.

• 무한 에너지는 비물리적인 경우로 관심이 없으므로, 파동함수는 0이어야 한다.

• 즉, 퍼텐셜에너지가 무한인 영역에서는 물리적으로 입자가 존재할 수 없다. 이러한 영역을 금지영역이라고 부른다.

  ^x ^{A e} ⁱ ^ ^x ^{B e} ⁱ ^ ^x

   ^

슈뢰딩거 방정식 (3)

(15)

 퍼텐셜에너지가 0이거나 무한대인 극한에서 출발하여 좀 더 복잡한 퍼텐셜에너지에 대한 파동함수의 해를 구성할 수 있다.

 파동함수의 일반해를 찾기 위해 다음을 염두에 두어야 한다.

• 파동함수는 반드시 연속이어야 한다(즉, 파동함수는 미분이 정의되지 않는 지점이 생기는 어떤 ‘도약’도 없어야 한다).

• 무한 퍼텐셜에너지인 영역에서 파동함수는 반드시 0이어야 한다.

• 파동함수는 규격화되어야 한다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 15

슈뢰딩거 방정식 (4)

(16)

무한 퍼텐셜우물 (1)

 수학적으로 가장 간단하면서도 흥미로운 물리적 상황에 대한 통찰을 제공하는 예는 무한 퍼텐셜우물이다.

• 무한 퍼텐셜우물의 퍼텐셜에너지는 공간좌표

x

^에 대한 함수로 다음과 같이 정의한다.

 이 경우에 구간 0과 a의 밖에서 파동함수의 값은 0이다.

 구간 내 파동함수는 다음과 같다.

 

0 0 0

f o r x

U x f o r x a

f o r x a

 

 

   

  



  ^x ^{A e} ⁱ ^ ^x ^{B e} ⁱ ^ ^x

   ^

(17)

 복소수 해는 다음과 같이 사인함수로 표기할 수 있다.

•

ψ(0)=0이므로 즉시 다음을 알 수 있다.

 위의 결과에 따라 예비 파동함수를 다음과 같이 표기한다.

• 위 해는 왼쪽 진행파와 오른쪽 진행파가 중첩하여 형성된 정상파이므로 무한히 높은 퍼텐셜장벽에 갇힌 파동의 해로서 물리적 이치에 합당하다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 17

  ^x ^C ^{c o s}  ^x  ^D ^{s i n}  ^x 

    

  ⁰ ^C ^{c o s}  ⁰  ^D ^{s i n}  ⁰  ^C ⁰

        

무한 퍼텐셜우물 (2)

   

 

s i n 0

0 x D x f o r x a

x e l s e w h e r e

 



  



(18)

 한편 경계면에서 파동함수가 연속이어야 하므로, 경계면에서 0인 파동함수만 가능하다.

•

x=0에서는 sin(0)=0 이므로 자연히 ψ(0)=0 이다.

 결국 x=a에서 다음을 만족해야 한다.

 위 식이 만족되려면 모든 파장이 아니라 다음의 파장들만 가능하다.

  ^a ^D ^{s i n}  ^a  ⁰

   

2 a 1, 2 , 3 ,

a  n f o r n

 

   

무한 퍼텐셜우물 (3)

(19)

 무한 퍼텐셜우물에 대한 가능한 해로 다음을 얻는다.

 문제를 거의 다 풀었지만 아직 파동함수의 진폭 D를 정하지 못했다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 19

 

0 0

s i n 1, 2 , 3 , 0

0 f o r x n x

x D w i t h n f o r x a

a f o r x a

 

 

   

      

 



 



무한 퍼텐셜우물 (4)

(20)

 규격화 조건을 사용하여 D를 다음과 같이 구한다.

       

0

2 2 2 2

0 2

0

2 2 2

0

2

1 1 0 s i n 0

1 s i n

2 , 2

a

x d x x d x x d x x d x

n x

D d x

a

n x a

D d x D

a

t h u s D

a

   



 

   

   

 

    

 

 

   

 



   



무한 퍼텐셜우물 (5)

(21)

 무한 퍼텐셜우물에 갇혀 있는 입자의 파동함수는 다음과 같다.

 위의 해에서 n의 값은 무한 우물 속에 갇혀 있는 입자가 가질 수 있는 가능한 파동함수들을 구별한다.

 즉 파동함수는 주양자수 n으로 분류한다. (ψ

₁

(x) , n=1)

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 21

 

0 0

2 s i n 1, 2 , 3 , 0

0 f o r x

n x

x w i t h n f o r x a

a a

f o r x a

 

 

   

      

 



 



무한 퍼텐셜우물 (6)

(22)

 주어진 위치에서 입자를 발견할 확률은 파동함수 ψ(x)의 절댓값 제곱에 비례한다

 아래 그림은 n=1,2,3,4인 파동함수와 파동함수의 절댓값들을 보여 준다. 오른편 곡선들은 어디에서 입자를 발견할 가능성이 높은가를 보여 준다.

무한 퍼텐셜우물 (7)

(23)

주요 특성 (양자수)

 양자수의 출현은 양자역학적 계의 전형적인 특성이다.

• 파동함수의 경계조건에서 해들이 양자화된 형태로 존재하도록 강요된 것이다.

• 원자, 원자핵, 그리고 기본입자에 대한 논의를 통해 다양한 상황에서 더 많은 양자수들이 있다는 것을 알게 될 것이다.

 줄에 생긴 진동에 대한 정지파 해와 상당히 비슷하다.

• 줄의 양쪽 끝이 고정되어 있기 때문에 파동함수의 마디는 양 끝 [0,a] 에 생긴다는 조건에서 기본진동과 조화진동(기본진동수의 정수배 진동)만 허용된다.

• 따라서 고전적인 줄의 진동과 무한 퍼텐셜우물의 양자입자에 대한 정지파 해는 수학적으로 동일하다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 23

(24)

 양자 확률분포와 고전 확률분포를 비교해 보자.

 고전적인 경우에 입자는 0과 a 사이에 갇힌 채로 일정한 속력 으로 움직인다.

 공간의 한 점에서 입자를 발견할 확률은 점

x

근처의 구간

dx

^에서 입자가 보내는 시간

dt

^에 비례한다.

2 /

v  E m

주요 특성: 확률분포 (1)

(25)

 시간구간

dt

^는 이 점의 속도

v(x)

^에 반비례한다. 즉

dt=dx/v(x)

^이다. 따라서 구간

x

^와

x+dx

^사이에서 입자를 발견할 고전적인 확률은 다음과 같다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 25

   

1

c

x d x

v x

 

 속력이 일정한 고전적 경우에는 고전 확률 또한 그림처럼 일정하다.

 고전적 해는 양자적 해에 나타나는 진동의 평균을 나타낸다고 해석한다.

주요 특성: 확률분포 (2)

(26)

퍼텐셜우물의 에너지 (1)

 슈뢰딩거 방정식은 입자의 총에너지에 의존한다.

 구간 밖에서 파동함수는 0이므로, 대응하는 입자가 그곳에 있을 확률은 0이다. 따라서 바깥 영역은 에너지에 기여하지 않는다.

 구간 내에서는 퍼텐셜에너지가 없으므로 총에너지는 입자의 운동에너지와 같다.

 그러나 양자수 n에 따라 운동에너지가 다르므로 총에너지도 다를 것이다.

(27)

 운동에너지 연산자 K 를 작용하면 …

 총에너지는 다음과 같다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 27

     

 

   

2 2 2 2

2 2

2

2 2

2 s i n

2 2

2 c o s 2

2 s i n

2 2

n

n n n

n n

n n n

d x d n x

E x x

m d x m d x a a

n d n x

E x

m a d x a a

n n x n

E x x

m a a a m a

 

 

 



  

 

   

        

 

 

   

       

     

 

     

         

       

K

2 2

2 2 1, 2 , 3 ,

n 2

E n f o r n

m a

  

퍼텐셜우물의 에너지 (2)

(28)

 이들 에너지를 에너지-위치 도표에서 일직선으로 나타낼 수 있다. 이렇게 나타낸 도표를 에너지준위 도표라고 부른다

 이들 상태에 대한 에너지는

퍼텐셜우물의 (무한) 높이보다 낮기 때문에, 이에 해당하는 상태를

속박상태라고 한다.

 무한 퍼텐셜우물에는 무한히 많은 속박상태들이 있다.

퍼텐셜우물의 에너지 (3)

(29)

보기문제 37.1 상자 속의 전자 (1)

문제 :

너비 2.00Å 인 상자 안에 갇힌 전자에서 가장 낮은 양자수를 가진 파동함수의 운동에너지는 얼마인가?

답 :

전자의 질량은 9.109∙10

^-31

kg이고 상자의 너비는 2.00 ∙10

^-10

m이다.

n=1

에 해당하는 에너지는 다음과 같다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 29

   

3 4 2 2

2 2

2

1 2 3 1 1 0 2

1 8 1

1 .0 5 4 6 1 0 1

2 2 9 .1 0 9 1 0 2 .0 0 1 0

1 .5 1 1 0 9 .4 3

J s E

m a k g m

E J e V



^



 



 

 

 

  

(30)

 원자의 지름은 대략 10

^-10

m 이다. 결국 원자 내 전자의 전형적인 에너지가 10eV 정도라는 것을 알 수 있다.

문제 :

핵 속의 양성자는 어떠할까? 상자의 크기는 1.00∙10

^-14

m이다.

답 :

양성자의 질량이 1.673∙10

^-27

kg이므로 다음을 얻는다.

따라서 일반적인 핵의 에너지 척도가 5MeV에서 50MeV 정도라고 결론내릴 수 있다. 첫 시도로선 대단히 정확한 추론이다.

   

3 4 2 2

2 2

2 1 3

1 2 2

2 7 1 4

1 .0 5 4 6 1 0

1 3 .2 8 1 0 2 .0 5

2 2 1 .6 7 3 1 0 1 .0 0 1 0

J s

E J M e V

m a k g m



^



_

 

 

    

 

보기문제 37.1 상자 속의 전자 (2)

(31)

다차원 우물 (1)

 1차원 무한 퍼텐셜우물의 아이디어는 입자가

xy

^평면에 갇혀

있는 2차원 우물로 확장될 수 있으며, 더 나아가 직육면체 3차원 공간까지도 확장이 가능하다.

• 이 경우에 대한 완전한 해를 수학적으로 구하지 않고 1차원의 확장만으로도 일반적인 특징을 알 수 있다.

 첫째, 계산이 1차원에서 2차원으로 확장되면 무엇이 달라질까?

• 퍼텐셜에너지는 이제

x

^와

y

, 두 변수의 함수이므로

U(x,y)

^로 표시한다.

• 파동함수 또한 두 변수의 함수인 ψ(x,y)로 표기해야 한다.

• 고전적 운동에너지는 다음과 같이 표기한다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 31

2 2

x p y

K p

m m

 

(32)

 운동량 연산자의

x

^와

y

^성분을 다음과 같이 표기할 수 있다.

• 1차원 문제와 비교하여 유일한 차이는 편미분으로 표기한 것뿐이다.

 따라서 양자 파동함수에 대한 운동에너지 연산자는 다음과 같다.

   

, ,

x

y

x y i x y

x

x y i x y

y

 

  



  

 p

p

다차원 우물 (2)

     

2 2

2 2 2 2

2 2

1 1

, , ,

2 2

, , ,

2 2

x y

x y x y x y

m m

x y x y x y

m x m y

  

 

 

  

 

K p p

K

(33)

 결국 2차원 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 된다.

 여기서 더 나아가기 위해, 퍼텐셜에너지의 형태를 구체적으로 명시할 필요가 있다.

• 만약 퍼텐셜에너지가

x

^에만 의존하는 함수와

y

^에만 의존하는 함수의 합, 즉 로 나타낼 수 있다면

• 변수분리가 가능해져서, 파동함수를 단일변수 함수의 곱인 으로 얻을 수 있다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 33

   

2 2

, ,

( , ) , ,

2 2

x y x y

U x y x y E x y

m x m y

 

 

   

 

다차원 우물 (3)

) ( )

( )

,

( x y U

₁

x U

₂

y

U  

) ( ) ( ) ,

( x y 

₁

x 

₂

x

  

(34)

 단순한 2차원 직사각형 무한 퍼텐셜우물인 경우에



x

^와

y

^방향에 대한 1차원 파동함수의 곱으로 다음을 얻는다.

     

 

1 2

1

2

,

0 0

2 s i n 1, 2 , 3 , 0

0 0 0

2 s i n 1, 2 , 3 , 0

0

x

y

x y x y

f o r x

n x

x w i t h n f o r x a

a a

f o r x a f o r x

n y

x w i t h n f o r y b

b b

f o r x b

  

 

 

 

   

      

 



 



 

  

       

 



 



다차원 우물 (4)

1 2

( , ) ( ) ( )

0 0

: ( ) 0 0 , ( ) 0 0

0 0

U x y U x U y

f o r x f o r y

w i t h U x f o r x a U y f o r y b

f o r x f o r y

 

   

 

 

       

     

 

(35)

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 35



작은 양자수

n _x

,

n _y

에 대한 파동함수의 모양은 아래 그림과 같다.

다차원 우물 (5)

y

x n

n ,n ,_x n_y

(36)

 2차원 에너지는 1차원 양자수 n에 대응하는 방식으로 다음과 같이 구할 수 있다.

 만약

a=b

^라면(정사각형) 같은 에너지 값을 주는 여러 경우가 있을 수 있다. 이것을 “겹침”이라고 한다.

• 예를 들어 양자수 (n

_x =1, n _y =2

)과 (n

_x =2, n _y =1

)의 에너지는 같다.

 만약 퍼텐셜우물이 직사각형이 아니라면, 해는 간단한 형태로 표기할 수 없다. 그러나 많은 경우에는 수치적으로 풀이할 수 있다.

다차원 우물 (6)

2 2 2 2

2 2

, 2 2

2 2

x y

n n x y

E n n

m a m b

 

 

(37)

 우물의 벽이 무한히 높지 않은, 다시 말해 유한한 높이를 가진 퍼텐셜우물에 대한 해를 구해보자.

 1차원 유한 퍼텐셜우물의 퍼텐셜은 다음과 같다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 37

 

1

0

0 0

f o r x

U x f o r x a

U f o r x a

 

 

   

 



유한 퍼텐셜우물 (1)

(38)

 무한 퍼텐셜의 경우와 마찬가지로, 세 영역에 대해 개별적으로 해를 구한 다음에 경계에서 서로 연결하여 전체 해를 구성한다.

 x<0에 대한 해는 이전과 마찬가지로 0이다.

 0부터

a

^까지 구간에서 파동함수는 같다. 그리고 연속 파동함수이므로,

ψ(0)=0

에서 계수 C가 0이다. 따라서 파동함수는 다음과 같다.

  ^x ^D ^{s i n}  ^x 

  

유한 퍼텐셜우물 (2)

(39)

 하지만

x>a

^인 경우에는 새로운 효과들이 등장한다. 이 영역에서 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 표기한다.

 이 식의 형태를 살펴보면 파동함수를 두 번 미분한 값은 상수가 곱해진 파동함수 자체와 같다.

 아직 에너지

E

^가 어떤 값을 가질 것인지는 알 수 없지만, 앞의 경험에 따라 다음과 같이 두 경우로 구분할 수 있다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 39

     

   

 

2 2

2 1

2

1

2 2

2

2 d x

U x E x

m d x

d x m U E

x d x

  

 

  

 

유한 퍼텐셜우물 (3)

(40)

에너지가 우물 깊이보다 큰 경우 (1)

 E>U ₁ 이면 , 상수 값은 0보다 적고,

0부터 a까지 우물 내

구간에서는 U

₁

=0이므로 무한 퍼텐셜우물과 똑같은 해를 얻는다.

 두 파동수는 어떻게 연관될까? 구간 [0,a]에서는

퍼텐셜에너지가 없는 총에너지는 운동에너지로서 다음과 같다.



x>a

인 영역에서는

E>U ₁

이므로 운동에너지는 다음과 같다.

  ^x ^F ^{c o s}  ^x  ^G ^{s i n}  ^x  ^{f o r x} ^{a a n d E} ^U

₁

   ^   ^  

2 2 2 2 2

2

n

E n

m a m

 

 

2 2

1

2 K E U

m

 ^

  

(41)

 두 값을 같게 놓으면 두 파동수 사이의 관계는 다음과 같다.

• κ′<κ이므로 공간진동의 파장은

U(x)=U ₁

인 영역에서보다 더 크다.



E>U ₁

인 경우에 파동함수는 다음과 같다.

 다음의 세 조건으로부터 진폭 계수 D, F, G를 찾아야 한다.

• 파동함수는 경계

x=a

에서 연속이어야 한다.

• 파동함수의 미분도

x=a

• 파동함수의 절댓값 제곱은 1로 규격화되어야 한다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 41

1 2

2 m U

    

에너지가 우물 깊이보다 큰 경우 (2)

   

0 0

s i n 0

c o s s i n

f o r x

x D x f o r x a

F x G x f o r x a

 

 

 

    

    



(42)

 왜 파동함수의 미분이 경계에서 연속이어야 할까?

 미분이 불연속이면 운동량 또한 불연속이 되어 그 점에서는 정의될 수 없기 때문이다.

 파동수와 에너지는 세 조건으로 제약을 받지 않는다.

 여기서 모든 수학적 계산을 하지 않겠다. 하지만 여태까지 풀이한 방식으로부터 예상 가능한

파동함수의 대략적인 모양은 옆의 그림과 같다.

에너지가 우물 깊이보다 큰 경우 (3)

(43)

 입자의 에너지가 퍼텐셜우물의 깊이보다 더 작으므로,

E<U ₁

의 조건을 충족시키는 파동함수는 속박상태를 이룰 수 있다.

 무한 퍼텐셜우물인 경우에 가장 낮은 에너지도 0이 아닌 유한한 값을 가지기 때문에, 매우 얕은 퍼텐셜우물에서는 속박상태가 생기지 않는다고 예상할 수 있다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 43

에너지가 우물 깊이보다 작은 경우 (1)

(44)



E<U ₁

인 경우에는, 상수가 0보다 큰 값을 가지므로, 진동하는 해 대신에 지수함수 해를 얻는다.

 상수 값

γ ²

가 양수이므로 다음의 해를 갖는다.



x

→

∞

일 때 계속해서 증가하는 두 번째 항은 규격화할 수 없으므로 버린다.

   

 

   

2

1

2 2

2

2 2

2 d x m U E

x d x

d x

x d x

 

  

 



  ^x ^{F e} ^ ^x ^G ^ ^x ^{fo r x} ^{a a n d E} ^U ₁

  ^   

에너지가 우물 깊이보다 작은 경우 (2)

(45)

 이제 세 영역에 대한 파동함수는 다음과 같이 표기할 수 있다.

 파동수와 두 미지의 진폭계수 D와 F는 다음의 조건으로 구한다.

• 파동함수는 경계

x=a

• 파동함수의 미분도

x=a

• 파동함수의 절댓값 제곱은 1로 규격화되어야 한다.

 또한 앞에서 도입한 상수

γ

는 다음과 같다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 45

 

2 1 1 1 2

2 2 2 2

2 m U E 2 m U 2 m E 2 m U

  ^     

에너지가 우물 깊이보다 작은 경우 (3)

   

0 0

s i n 0

x

f o r x

x D x f o r x a

F e

^

f o r x a

 



 

    

 



(46)

 예상되는 해의 일반적인 특성은 무엇일까?

• 우물 안에서는 파동함수가 사인모양으로 진동한다.

•

x

가 증가하면 지수함수적으로 매우 작기는 하지만 파동함수가 우물벽 속으로 “새는” 것이 가능하다.

•

x<a

에서 파장은 무한 퍼텐셜우물의 파장보다 좀 더 길어진다. 즉, 파동수가 작아진다.

• 총에너지는 파동수의 절댓값 제곱에 비례하기 때문에 유한 퍼텐셜우물의 파동함수에 대응하는 에너지 값은 무한

퍼텐셜우물보다 더 작다고 예측할 수 있다.

• 달리 말하면, 무한 퍼텐셜우물의 파동함수들은 더

뭉쳐있어서 유한 퍼텐셜우물보다 더 큰 운동에너지를 가지고 있다.

에너지가 우물 깊이보다 작은 경우 (4)

(47)

보기문제 37.2 유한 퍼텐셜우물 (1)

문제 :

우물 안에서 전자가 최소 두 개의 속박상태를 가진다고 하자.

만약 너비가 a=1.30nm이라면, n=2 상태의 파장이 같은 너비의 무한 퍼텐셜우물에서 대응되는 파장보다 20% 더 크기

위해서는, 퍼텐셜 계단은 얼마나 높아야 하는가?

답 :

이 문제는 순차적으로 접근해야 한다.

첫째로, 무한 퍼텐셜우물에 대한 결과에서, n=2이면 다음을 얻는다

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 47

2 2 2

2 a a

a n

   

(48)

20% 더 큰 파장은

이고, 대응하는 파동수는 다음과 같다.

일반적인 파동함수는 식 37.20에 따라 다음과 같다.

2 1 .2 2 1 .2 a

    

2

2 2

1 .2 a

 

 ^{ }  ^ ^

보기문제 37.2 유한 퍼텐셜우물 (2)

   

2 2

0 0

s i n 0

x

f o r x

x D x f o r x a

F e

^

f o r x a

 



 

 

   

 



(49)

x=a 에서 파동함수의 연속성으로 다음을 얻는다.

x=a에서 1차도함수의 연속성으로 다음을 얻는다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 49

 

2

s in

a

D a F e

a F e

D







 

 

2 2

2

c o s c o s

a

D a F e

a F e

D



  

 





   

 

 

보기문제 37.2 유한 퍼텐셜우물 (3)

(50)

두 식의 우변들이 서로 같아서 좌변들 또한 같아야 하므로 다음을 얻는다.

앞에서 구한 γ

²

과 위 결과를 같게 놓으면 U

₁

은 다음과 같다.

   

 

2

2 2

s i n c o s

c o t

a a

a

  



  

    

 

 

   

2 1 2 2 2

2 2 2

2

2 2

2

1 2 2 2

2 c o t ( )

1 c o t ( ) 1 c o t ( )

2 m U a

U a E a

m

   

  

  

  

  

   

보기문제 37.2 유한 퍼텐셜우물 (4)

(51)

수식으로는 이것이 답이다. 이제 숫자들을 대입해 보자.

퍼텐셜계단은 파동함수 에너지의 4/3가 되어야 한다

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 51

2 2 1 4

2 3 3

1  c o t (  ^ a )   1 c o t ( 2  / 1 .2 )   1 

 

   

2 2

2 2 2

2

2 2

3 4 2

2 2

3 1 9

2 0 2

4

1 3 2

2 / 1 .2

2 2 2 .8 8

6 .6 2 6 1 0

2 .8 8 9 .1 0 9 1 0 1 .3 0 1 0 9 .9 0 1 0 0 .6 1 8

0 .8 2 3

a h

E

m m m a

J s E

k g m

E J e V

t h u s U E e V

 



 



   

 



 

  

 

보기문제 37.2 유한 퍼텐셜우물 (5)

(52)

보기문제 37.3 속박상태 (1)

문제:

만약 전자가 깊이

U ₁ =0.823eV,

_너비

a

=1.30nm인 유한 퍼텐셜우물 안에 갇혀있다면, 우물의 가능한 속박상태에 대응하는 파동수는 얼마인가?

답:

우물의 깊이는 보기문제 37.2와 같으므로 파동수에 대한 해는

κ=2π/(1.2a)

에 대응한다. 또한 지수함수의 붕괴상수

γ

에 대한 두 가지 조건은 다음과 같다.

 

1 2 2

c o t

2 a a n d

m U

  

 

 

(53)

두 결과를 결합하여 다음을 얻는다.

위 식은 보통 대수적으로 풀 수 없지만, 수치적, 그래프적으로는 꽤 간단하게 풀린다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 53

 

   

1 2 2

2

1 2 2

2 c o t

m U a

a m U

a a a

  

  

보기문제 37.3 속박상태 (2)

3 6 .5  y

2

  y c o t y w ith y ,   a

(54)

상수는

a

=1.30nm 및

2a ² mU ₁ /ħ ²

=36.5 이므로 오른편 그림처럼 두 함수의 교차점으로 구할 수 있다.

그림에서 알 수 있듯이 두 함수가 같은 값을 갖는 점은 두 개뿐이다.

수치적으로

y ₁ =

2.68 과

y ₂ =

5.23 이다.

y ₂

가

κ ₂ =2π/1.2

에 해당하며,

κ ₁ =2.6/a 는 새로운 값이다.

무한 퍼텐셜우물의 경우와는 달리

κ ₂

≠2

κ ₁

이다.

보기문제 37.3 속박상태 (3)

(55)

유한 퍼텐셜우물의 특성 (1)

 오른편 그림은 속박상태의 에너지준위 도표이다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 55

 왼편 그림은 두 파동수에 대응하는 파동함수를 공간좌표 x/a의 함수로 나타낸 그래프이다.

 그림의 가는 검은색 선을 보면 경계 x/a=1에서 파동함수가 연속이고, 1차도함수 또한 연속이다.

 고전적으로 금지된 영역으로

파동함수가 지수함수적으로 침투한 모양이다.

(56)

 고전적으로 금지된 영역에서 전자를 발견할 확률이

유한하다(푸른색 부분).



κ ₁ 인 경우에 금지영역에 전자가 있을 확률이

3.1%이고,

κ ₂ 이면

18.6%로 증가한다.

유한 퍼텐셜우물의 특성 (2)

(57)

터널링 (1)

 파동함수가 고전적 금지영역 속으로 침투한다면, 그림

37.15a처럼 높이와 너비가 유한한 퍼텐셜계단에서는 무슨 일이 일어날까?

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 57

 퍼텐셜에너지는 다음과 같다.

 

1

0 0 0

0 f o r x

f o r x a

U x

U f o r a x b

f o r x b

 



  

  

 



 



(58)

 각 영역에서 파동함수는 다음과 같이 표기할 수 있다.

 이 경우에는 장벽의 양쪽 영역에서 퍼텐셜이 0이기 때문에 파동수가 같다.

   

 

0 0

s i n 0

s i n

x

f o r x

D x f o r x a

x

F e f o r a x b

G x f o r x b



 

 



 

  

  

 



  



터널링 (2)

(59)



0

과

b

사이 영역의 해는 앞의 보기문제에서 구했다.

• 파동함수는 0과

a

^의 영역에서 사인함수이고,

a

^와

b

^의^{영역에서는} 지수함수이다.

 달라진 것은

x=b

^를 넘어서 파동함수가 지수함수적으로 감소하지 않는다는 것이다.

• 대신에 0과

a

^의 경우와 똑같은 파동수를 가지고

x>b

^인 영역에서 사인모양으로 진동한다.

 이 과정을 터널링이라고 부른다.

• 영역

x>b

^에서 파동함수의 정확한 형태(b의 초록색 곡선)는 경계

x=a

^와 마찬가지로 경계

x=b

^에서 파동함수와 1차도함수의 연속조건에서 구한다.

 http://www.youtube.com/watch?v=W9OKOw7gDSY&NR=1

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 59

터널링 (3)

(60)

 맨 아래 그림은 이 파동함수에

대한 확률밀도 분포를 보여 준다.

 분명히 파동함수가 퍼텐셜에너지 장벽을 터널링하여 반대편에

나타날 유한한 확률이 존재한다.

터널링 (4)

(61)

 고전적으로는

0<x<a

^에 있는 같은 에너지의 입자는 장벽을 벗어날 충분한 에너지가 없어서 영원히 사이에 갇히게 된다.

 투과계수

T

는 장벽의 출구에서 파동진폭의 절댓값 제곱과 장벽의 입구에서 파동진폭의 절댓값 제곱의 비율로 정의한다.

 위 식을 보면 투과계수는 장벽의 너비 (

b-a)

에 지수함수적으로 의존한다.

• 결국 투과계수 는 왼쪽 장벽 (

a

) 에 충돌한 입자가 장벽의 오른쪽 (

b

) 에 나타날 확률을 뜻한다.



November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 61

 

   

2 2

b

b a b a

a

b F e

T e e

a F e



 







   

 



 

터널링 (5)

(62)

 퍼텐셜에너지 장벽을 터널링하는 과정을 자연에서 관측할 수 있다면 얼마나 매혹적일까?

 무거운 원자핵의 알파붕괴가 그 예이다.

 알파붕괴 모형은 무거운 원자핵에 의해 형성된 퍼텐셜에너지 장벽을 그림 37.15a와 같은 모양으로 간주하는 투박하지만 상당히 효과적인 모형이다.

 알파붕괴 모형에서는 시간이 지나면서 알파입자의 파동함수가 퍼텐셜에너지 장벽을 터널링하여 퍼텐셜에너지 덫에서

새어나온다. 이와 같이 알파입자가 방출되면서 (원래의 핵이) 다른 핵으로 변환되는 과정을 “알파붕괴”라고 부른다.

터널링 (6)

(63)

보기문제 37.4 중성자 터널링 (1)

문제:

운동에너지 22.4MeV의 중성자가 높이 36.2MeV, 너비 8.4fm인 직사각형 퍼텐셜에너지 장벽을 터널링할 확률은 얼마인가?

답:

장벽의 너비를 알고 았으므로 다음의 붕괴상수를 구해야 한다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 63



₁



2

2 m U E

  ^

(64)

플랑크 상수와 중성자의 질량

을 넣고 계산하면 다음을 얻는다.

 따라서 터널링 확률은 다음과 같다.

2

1 9 7 .3 4 /

9 3 9 .5 7 /

n

M e V f m c

m M e V c

 



  ^ ^

 

2

1 2

2 9 3 9 .5 7 / 3 6 .2 2 2 .4

0 .8 1 6

1 9 7 .3 4 /

M e V c M e V M e V

f m M e V f m c

  ^ 

^



  ^{2 0 .8 1 6} 

¹

 ^ ^{8 .4} ^

2 6

1 .1 1 1 0

fm fm

b a

T t e ^ e



  

     

보기문제 37.4 중성자 터널링 (2)

(65)

주사터널링현미경 (1)

 1981년에 스위스의 물리학자 하인리히 로러와 독일 물리학자 게르트 비니히는 터널링 효과로 물질표면의 영상을 얻을 수 있다는 것을 발견했으며, 처음으로 원자의 영상을 얻는데 성공했다.

 그들의 업적은 개념상의 도약인 동시에 그 당시의 위대한 기술적 성취였다. 이에 따라 1986년 노벨 물리학상을

공동수상했다.

 그러나 기반이 되는 물리학은 지금까지 배워 온 개념들로 이해할 수 있을 정도로 단순한 것이다.

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 65

파동함수 (1)

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 1

파동함수 (1)

 

m a x s i n

E  E  x   t

 r t , 



파동함수 (2)

  x



확률 (1)

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 3

확률 (2)

dx

x

x+dx

I(x)dx

  x d x    x 2 d x

 

확률 (3)

ψ(x)*

ψ(x)

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 5

  x

d x

    x x d x 1

  

 

 

공간의존성 (1)

x

  x C c o s  x  D s i n  x 

    

A

B

C

D

November 13, 2012 7

  x A e i  x B e i  x

   

University Physics, Chapter 37

공간의존성 (2)

운동량 (1)

  x A e i  x

 

2 2 2 p p

h p h

  

     

  x i d   x

d x

   

p

x

p=ħκ

–x

p

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 9

운동량 (2)

 

 

   

d d

i x i A e i A i e A e x p x

d x d x

     

       

2

       

1 1

2 2 2

d d

x x i x x

m m d x m d x

           

 

K p

운동에너지 (1)

November 13, 2012 University Physics, Chapter 37 11

 ^{r t} ^, 

  ^x

  ^{x d x} ^   ^x ² ^{d x}

  ^x

^{d x}

    ^x ^{x d x} ¹

  ^x ^C ^{c o s}  ^x  ^D ^{s i n}  ^x 

  ^x ^{A e} ⁱ ^ ^x ^{B e} ⁱ ^ ^x

   ^

  ^x ^{A e} ⁱ ^ ^x

 ^  ^ ^ ^

  ^x ⁱ ^d   ^x

²

    ^   ^    

 ^K ^x ^ ^U ^x  ^ ^{ } ^x ^ ^E ^ ^{ } ^x

  ^x ^{A e} ⁱ ^ ^x ^{B e} ⁱ ^ ^x

   ^

  ^x ^{A e} ⁱ ^ ^x ^{B e} ⁱ ^ ^x

   ^

  ^x ^C ^{c o s}  ^x  ^D ^{s i n}  ^x 

  ⁰ ^C ^{c o s}  ⁰  ^D ^{s i n}  ⁰  ^C ⁰