제 2 장: 힘 벡터(Force Vector)
2-D 벡터 연산 (2–D Vector Addition)
수업목표:
a) 한 개의 2차원 벡터(힘)를 성분으로 분해하는 법.
b) 2-D 벡터를 직교벡터 표기법을 사용하여 더하는 법.
강의 내용:
• 예습 퀴즈
• 힘의 합성 원리의 응용
• 평형사변형 법칙
• 직교벡터 표기를 사용한 벡터의 분해
• CVN을 사용한 합
• 복습 퀴즈
예습 확인 퀴 즈
1. 다음 중 스칼라 양은 어느 것인가?
A) 힘 (Force) B) 위치(Position) C) 질량(Mass) D) 속도(Velocity)
2. 벡터의 합을 구하기 위해서는 ( ?? ) 법칙을 사용 하여야 한다.
A) 뉴턴의 제2법칙 (Newton’s the 2nd law) B) 연산법칙 (the arithmetic summation) C) 파스칼의 법칙 (Pascal’s law)
D) 평행 사변형 법칙 (the parallelogram)
힘 (Vector)의 합성법칙 응용 사례
왼쪽 그림에서 브라켓에 네 개의 케이블력이 동시에 작용하고 있다.
브라켓에 작용하는
힘의 합을 어떻게 구할 수 있을까?
•벡터 합의 공식을 사용하여
스칼라와 벡터량
(Scalars and Vectors) (Section 2.1) Scalars Vectors예: 질량, 부피, 길이 힘, 모멘트, 속도
특징: 크기를 갖는다. 크기와 방향을 (양수 혹은 음수로 규정) 갖는다.
합을 구하는 법: 단순 연산 평형사변형 법칙 특별한 표기: 이탤릭체 (없음) Bold, 선을 긋는다 화살표 A
벡터의 꼬리, 머리
벡터 연산(Vector Operations)
(Section 2.2)
스칼라의 곱셈과 나눗셈:
- 단순한 곱셈 또는 나눗셈과 같이
- 음(-)의 값은 반대 방향
으로 대응하는 벡터
평행 사변형 법칙 혹은 삼각형 법칙을 사용한 힘의 벡터 합
(PARALLELOGRAM LAW OR TRIANGLE LAW)
- 평행 사변형 법칙:
- 삼각형 작도:
(화살표 머리에서 꼬리로 연결)
A+B=B+A (교환법칙)
• 그럼, 벡터의 뺄셈은 어떻게 할까? A-B=A+(-B)
• 세 개 이상의 벡터를 기하학적으로 어떻게
더할 수 있을까? A+B+C=(A+B)+C
삼각형 법칙을 사용한 합 벡터의 크기와 방향 계산
- 평행 사변형 법칙 또는삼각형 작도후, 합력의 크기는 코사인법칙을 이용하여, 방향은 사인법칙으로 구한다.
(상당한 계산량을 필요로 함)
삼각형 법칙을 사용한 합 벡터의 크기와 방향 계산 예제들 예제 2-1 (page 36)
예제 2-3 (page 38)
“벡터의 분해”는 벡터(힘)를 그 성분으로 쪼개는 것.
이를 위해 평행 사변형 법칙을 역으로 사용하면 된다.
백터(힘)의 분해
(Resolution of a Vector)
(성분)
(합 벡터 R의 머리로 부터 평행선을 연장하여 성분을 만든다.)
힘 벡터를 직교벡터로 표시 (Section 2.4)
• 그 힘 벡터(F)의 각 성분은 크기와 방향을 갖는다.
• 벡터를 x와 y 축 계를 사용하는 성분으로 분해한다.
• 성분벡터의 방향은 x와 y축을 따른다.
• x와 y축 방향을 나타내기 위해 “단위벡터” i 와 j를 사용한다. 그 크기는 | i |= | j |= 1
예를 들면,
F = Fx i + Fy j 혹은 F' = F'x i + F'y j
(a) 여기서 x축과 y축은 언제나 서로 직각을 이룬다.
(단위벡터는 서로 독립적이다).
(b) 좌표축은 임의의 경사각으로도 분해될 수도 있다.
여러 개 힘(벡터)의 합
• 단계 3 은 합 벡터의 크기와 각도를 구하는 것이다.
• 단계 1 은 각 힘을 직각성분 으로 분해하는 것이다.
• 단계 2 는 모든 x성분을 함께 더하고, 그리고 나서 모든 y 성분을 함께 더한다. 이들 두 벡터의 합이 합 벡터가 된다.
FRx=ΣFx FRy=ΣFy
다수 개 벡터의 합을 구하는 과정의 예,
1단계 2단계
삼각함수와 피타고라스정리를 사용하여,
2-D 벡터를 크기와 각도를 갖는 벡터로 나타낼 수 있다.
F
Rx=ΣF
xF
Ry=ΣF
y48페이지 요점 참고
예 제
주어진 값: 어떤 브라켓에 작용하는 세 개의 힘.
목표: 합력의 크기와 각도를 구한다.
계획 (풀이):
a) x-y축 성분으로 각각의 힘들을 분해한다.
b) 합력 벡터를 얻기 위해 각 방향의 성분들을 더한다.
c) 합성분을 사용하여 크기와 각도를 구한다.
FRx=ΣFx FRy=ΣFy
예 제
(계 속)F1 = { 15 sin 40° i + 15 cos 40° j } kN = { 9.642 i + 11.49 j } kN
F2 = { -(12/13)26 i + (5/13)26 j } kN = { -24 i + 10 j } kN
F3 = { 36 cos 30° i – 36 sin 30° j } kN = { 31.18 i – 18 j } kN
모든 x축 방향(i)성분과 y축 방향(j)성분들의 합을 구한다.
그러면,
FR = { (9.642 – 24 + 31.18) i + (11.49 + 10 – 18) j } kN = { 16.82 i + 3.49 j } kN
x y
FR 합력의 크기:
FR = ((16.82)2 + (3.49)2)1/2 = 17.2 kN 합력이 x축과 이루는 각도:
= tan-1(3.49/16.82) = 11.7°
예 제
(계 속)개념 퀴즈
1. 어떤 2차원(2-D) 벡터를 90° 를 이루지 않는 두 방향(직각이 아닌 방향)으로 분해할 수 있을까?
A) Yes, 그러나 유일하지는 않음.
B) No.
C) Yes, 유일함.
2. 어떤 2-D 벡터를 임의의 세 방향(예를 들면 0, 60, 와 120°)으로 분해할 수 있을까?
A) Yes, 그러나 유일하지는 않음.
B) No.
C) Yes, 유일함.
그룹 문제 해결
주어진 값: 어떤 브라켓에 작용하는 세 개의 힘.
목표: 합력의 크기와 각도를 구한다.
계획(풀이):
a) x-y축방향 성분으로 각각의 힘을 분해한다.
b) 합력 벡터를 얻기 위해 각방향 성분들을 더한다.
c) 합력성분을 구하는 방법으로 합력의 크기와 각도를 구한다.
F1 = { (4/5) 850 i - (3/5) 850 j } N = { 680 i - 510 j } N
F2 = { -625 sin(30°) i - 625 cos(30°) j } N = { -312.5 i - 541.3 j } N
F3 = { -750 sin(45°) i + 750 cos(45°) j } N { -530.3 i + 530.3 j } N
그룹 문제 해(계속)
모든 i 와 j 성분들의 각각을 더한다. 그러면,
FR = { (680 – 312.5 – 530.3) i + (-510 – 541.3 + 530.3) j }N = { - 162.8 i - 521 j } N
FR = ((162.8)2 + (521)2) ½ = 546 N
= tan–1(521/162.8) = 72.64° or
From Positive x axis = 180 + 72.64 = 253 °
y
x
FR
그룹 문제 해(계속)
주의 퀴즈
1. 그림의 힘F 를 x와 y 축을 따라서 분해 하고 그것을 벡터형태로 기술하면,
F = { ___________ } N
A) 80 cos (30°) i - 80 sin (30°) j B) 80 sin (30°) i + 80 cos (30°) j C) 80 sin (30°) i - 80 cos (30°) j D) 80 cos (30°) i + 80 sin (30°) j
2. F1 = { 10 i + 20 j } N 과 F2 = { 20 i + 20 j } N 일 때, 합력 (F1 + F2) 의 크기를 N으로 나타내어라.
A) 30 N B) 40 N C) 50 N D) 60 N E) 70 N
30°
x y
F = 80 N
P. 50: 예제 2.6 그림 2.18(a)의 링크에 두개의 힘F1 과 F2 가 작용하고 있다. 합력의 크기와 방위를 구하시오 P. 49: 예제 2.5 그림 2.17(a)의 붐에 작용하는 두 힘F1 과
F2 의 x, y방향성분을 구하라. 각 힘을 직교벡터로
나타내시오.
P. 51: 예제 2.7 그림 2.19(a)의 붐의 끝부분 O점에서 동일평면에 작용하는 세 힘이 모두 만나고 있다.
합력의 크기와 방위를 구하시오
레포트: 52페이지 2-31번에서 2-50번까지 에서 자기 학번의 끝번에 해당하는 문제를 풀어서 이번 주 금요일까지 담당교수에게 직접제출할 것.