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제 2 장: 힘 벡터(Force Vector)

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Academic year: 2022

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(1)

제 2 장: 힘 벡터(Force Vector)

2-D 벡터 연산 (2–D Vector Addition)

수업목표:

a) 한 개의 2차원 벡터(힘)를 성분으로 분해하는 법.

b) 2-D 벡터를 직교벡터 표기법을 사용하여 더하는 법.

강의 내용:

• 예습 퀴즈

• 힘의 합성 원리의 응용

• 평형사변형 법칙

• 직교벡터 표기를 사용한 벡터의 분해

• CVN을 사용한 합

• 복습 퀴즈

(2)

예습 확인 퀴 즈

1. 다음 중 스칼라 양은 어느 것인가?

A) 힘 (Force) B) 위치(Position) C) 질량(Mass) D) 속도(Velocity)

2. 벡터의 합을 구하기 위해서는 ( ?? ) 법칙을 사용 하여야 한다.

A) 뉴턴의 제2법칙 (Newton’s the 2nd law) B) 연산법칙 (the arithmetic summation) C) 파스칼의 법칙 (Pascal’s law)

D) 평행 사변형 법칙 (the parallelogram)

(3)

(Vector)의 합성법칙 응용 사례

왼쪽 그림에서 브라켓에 네 개의 케이블력이 동시에 작용하고 있다.

브라켓에 작용하는

힘의 합을 어떻게 구할 수 있을까?

•벡터 합의 공식을 사용하여

(4)

스칼라와 벡터량

(Scalars and Vectors) (Section 2.1) Scalars Vectors

예: 질량, 부피, 길이 힘, 모멘트, 속도

특징: 크기를 갖는다. 크기와 방향을 (양수 혹은 음수로 규정) 갖는다.

합을 구하는 법: 단순 연산 평형사변형 법칙 특별한 표기: 이탤릭체 (없음) Bold, 선을 긋는다 화살표 A

벡터의 꼬리, 머리

(5)

벡터 연산

(Vector Operations)

(Section 2.2)

스칼라의 곱셈과 나눗셈:

- 단순한 곱셈 또는 나눗셈과 같이

- 음(-)의 값은 반대 방향

으로 대응하는 벡터

(6)

평행 사변형 법칙 혹은 삼각형 법칙을 사용한 힘의 벡터 합

(PARALLELOGRAM LAW OR TRIANGLE LAW)

- 평행 사변형 법칙:

- 삼각형 작도:

(화살표 머리에서 꼬리로 연결)

A+B=B+A (교환법칙)

• 그럼, 벡터의 뺄셈은 어떻게 할까? A-B=A+(-B)

• 세 개 이상의 벡터를 기하학적으로 어떻게

더할 수 있을까? A+B+C=(A+B)+C

(7)

삼각형 법칙을 사용한 합 벡터의 크기와 방향 계산

- 평행 사변형 법칙 또는삼각형 작도후, 합력의 크기는 코사인법칙을 이용하여, 방향은 사인법칙으로 구한다.

(상당한 계산량을 필요로 함)

(8)

삼각형 법칙을 사용한 합 벡터의 크기와 방향 계산 예제들 예제 2-1 (page 36)

예제 2-3 (page 38)

(9)

“벡터의 분해”는 벡터(힘)를 그 성분으로 쪼개는 것.

이를 위해 평행 사변형 법칙을 역으로 사용하면 된다.

백터(힘)의 분해

(Resolution of a Vector)

(성분)

(합 벡터 R의 머리로 부터 평행선을 연장하여 성분을 만든다.)

(10)

힘 벡터를 직교벡터로 표시 (Section 2.4)

• 그 힘 벡터(F)의 각 성분은 크기와 방향을 갖는다.

• 벡터를 x와 y 축 계를 사용하는 성분으로 분해한다.

• 성분벡터의 방향은 x와 y축을 따른다.

• x와 y축 방향을 나타내기 위해 “단위벡터” i 와 j를 사용한다. 그 크기는 | i |= | j |= 1

(11)

예를 들면,

F = Fx i + Fy j 혹은 F' = F'x i + F'y j

(a) 여기서 x축과 y축은 언제나 서로 직각을 이룬다.

(단위벡터는 서로 독립적이다).

(b) 좌표축은 임의의 경사각으로도 분해될 수도 있다.

(12)

여러 개 힘(벡터)의 합

• 단계 3 은 합 벡터의 크기와 각도를 구하는 것이다.

• 단계 1 은 각 힘을 직각성분 으로 분해하는 것이다.

• 단계 2 는 모든 x성분을 함께 더하고, 그리고 나서 모든 y 성분을 함께 더한다. 이들 두 벡터의 합이 합 벡터가 된다.

FRx=ΣFx FRy=ΣFy

(13)

다수 개 벡터의 합을 구하는 과정의 예,

1단계 2단계

(14)

삼각함수와 피타고라스정리를 사용하여,

2-D 벡터를 크기와 각도를 갖는 벡터로 나타낼 수 있다.

F

Rx

=ΣF

x

F

Ry

=ΣF

y

48페이지 요점 참고

(15)

예 제

주어진 값: 어떤 브라켓에 작용하는 세 개의 힘.

목표: 합력의 크기와 각도를 구한다.

계획 (풀이):

a) x-y축 성분으로 각각의 힘들을 분해한다.

b) 합력 벡터를 얻기 위해 각 방향의 성분들을 더한다.

c) 합성분을 사용하여 크기와 각도를 구한다.

FRx=ΣFx FRy=ΣFy

(16)

예 제

(계 속)

F1 = { 15 sin 40° i + 15 cos 40° j } kN = { 9.642 i + 11.49 j } kN

F2 = { -(12/13)26 i + (5/13)26 j } kN = { -24 i + 10 j } kN

F3 = { 36 cos 30° i – 36 sin 30° j } kN = { 31.18 i – 18 j } kN

(17)

모든 x축 방향(i)성분과 y축 방향(j)성분들의 합을 구한다.

그러면,

FR = { (9.642 – 24 + 31.18) i + (11.49 + 10 – 18) j } kN = { 16.82 i + 3.49 j } kN

x y

FR 합력의 크기:

FR = ((16.82)2 + (3.49)2)1/2 = 17.2 kN 합력이 x축과 이루는 각도:

 = tan-1(3.49/16.82) = 11.7°

예 제

(계 속)

(18)

개념 퀴즈

1. 어떤 2차원(2-D) 벡터를 90° 를 이루지 않는 두 방향(직각이 아닌 방향)으로 분해할 수 있을까?

A) Yes, 그러나 유일하지는 않음.

B) No.

C) Yes, 유일함.

2. 어떤 2-D 벡터를 임의의 세 방향(예를 들면 0, 60, 와 120°)으로 분해할 수 있을까?

A) Yes, 그러나 유일하지는 않음.

B) No.

C) Yes, 유일함.

(19)

그룹 문제 해결

주어진 값: 어떤 브라켓에 작용하는 세 개의 힘.

목표: 합력의 크기와 각도를 구한다.

계획(풀이):

a) x-y축방향 성분으로 각각의 힘을 분해한다.

b) 합력 벡터를 얻기 위해 각방향 성분들을 더한다.

c) 합력성분을 구하는 방법으로 합력의 크기와 각도를 구한다.

(20)

F1 = { (4/5) 850 i - (3/5) 850 j } N = { 680 i - 510 j } N

F2 = { -625 sin(30°) i - 625 cos(30°) j } N = { -312.5 i - 541.3 j } N

F3 = { -750 sin(45°) i + 750 cos(45°) j } N { -530.3 i + 530.3 j } N

그룹 문제 해(계속)

(21)

모든 i 와 j 성분들의 각각을 더한다. 그러면,

FR = { (680 – 312.5 – 530.3) i + (-510 – 541.3 + 530.3) j }N = { - 162.8 i - 521 j } N

FR = ((162.8)2 + (521)2) ½ = 546 N

= tan–1(521/162.8) = 72.64° or

From Positive x axis  = 180 + 72.64 = 253 °

y

x

FR

그룹 문제 해(계속)

(22)

주의 퀴즈

1. 그림의 힘F 를 x와 y 축을 따라서 분해 하고 그것을 벡터형태로 기술하면,

F = { ___________ } N

A) 80 cos (30°) i - 80 sin (30°) j B) 80 sin (30°) i + 80 cos (30°) j C) 80 sin (30°) i - 80 cos (30°) j D) 80 cos (30°) i + 80 sin (30°) j

2. F1 = { 10 i + 20 j } N 과 F2 = { 20 i + 20 j } N 일 때, 합력 (F1 + F2) 의 크기를 N으로 나타내어라.

A) 30 N B) 40 N C) 50 N D) 60 N E) 70 N

30°

x y

F = 80 N

(23)

P. 50: 예제 2.6 그림 2.18(a)의 링크에 두개의 힘F1 과 F2 가 작용하고 있다. 합력의 크기와 방위를 구하시오 P. 49: 예제 2.5 그림 2.17(a)의 붐에 작용하는 두 힘F1

F2 의 x, y방향성분을 구하라. 각 힘을 직교벡터로

나타내시오.

P. 51: 예제 2.7 그림 2.19(a)의 붐의 끝부분 O점에서 동일평면에 작용하는 세 힘이 모두 만나고 있다.

합력의 크기와 방위를 구하시오

레포트: 52페이지 2-31번에서 2-50번까지 에서 자기 학번의 끝번에 해당하는 문제를 풀어서 이번 주 금요일까지 담당교수에게 직접제출할 것.

(24)

참조

관련 문서

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