예습 확인 퀴즈

제 4 장 힘계의 합력, 4.1절 모멘트(moment)

학습목표 :

a) 모멘트의 개념을 정의하고 이해한다.

b) 2-D와 3-D에서, 힘에 의한 모멘트를 구한다.

강의 내용 :

• 예습확인퀴즈

• 응용 예

• 응용 예

• 2-D에서 모멘트

• 3-D에서 모멘트

• 개념 정립 퀴즈

• 집단문제해결

• 주의환기 퀴즈

힘에 의한 모멘트

예습 확인 퀴즈

1. 크기가 10N인 힘의 점A에 관한 모멘트 (M_A)는 얼마인가?

A) 10 N·m B) 30 N·m C) 13 N·m

D) (10/3) N·m E) 7 N·m • A d = 3 m F = 10 N

2. 원점 O에 관해 작용하는 힘

F

M

A)

r x F

응용 예(I)

핸들에 작용하는 두 힘에 의한 순수한 효과는

의한 순수한 효과는 무엇일까?

렌치에 작용하는 30N 힘에 의한 효과는 ?

응용 예 (II)

?

2차원(2-D)에서 모멘트-스칼라 공식

한 점에 관한 힘에 의한 모멘트는 돌리려는 힘(회전력)의 정도를 나타낸다

. (가끔 토-크(torque), 우력(Couple)으로 불린다).

모멘트(Mo)도 힘(F)과 마찬가지로 크기와 방향을 갖는 벡터이다.

2-D에서, 모멘트의

크기는

2차원(2-D)에서 모멘트(계속)

여기서, d는 O점으로부터 힘의 작용선까지의 수직거리이다.

2-D에서, 모멘트 M_O의

작용방향은 회전하려는 경향에

예를 들면,

모멘트의 크기: M_O = F d, 방향은 CCW.

대개

F

a F b

d O

F

F F _y

2차원(2-D)에서 모멘트(계속)

따라서, M_O = (F_Y a) – (F_X b)가 된다. 여기서 항의 부호가 다르다는 점(회전방향에 따름)에 유의할 것.

2-D에서 모멘트의 부호 약속은 반시계 방향(CCW)을 +로 정한다. 이때 점 O에 핀을 꼽은 물체를 가정하고 작용하는 힘에 의해서 물체가 어느 방향으로 회전하는지를 구하여, 모멘트의 방향으로 한다.

b a

O

F _x

각 힘에 의해 발생하는 점 O에 대한 모멘트의 방향은 z-축을 향한다.

모멘트의 합 M 는 모멘트의 대수적

동일 평면력계의 모멘트 합

모멘트의 합 M_RO는 모멘트의 대수적 합이 된다.

+ M_RO =ΣFd (4-2)

예제 4-1

문제 : 각 경우에 대하여 점 O에

(a) - M_O = (100N)(2m)= 200 N·m (b) + M_O = (50N)(0.75m)= 37.5N·m (e) + M_O = (7kN)(4m-1m)= 21 kN·m

문제 : 각 경우에 대하여 점 O에 대한 모멘트를 구하라.

예제 4-2

문제: 프레임에 작용하는 800N의 힘에 의한

모멘트를 점 A, B, C, D에 대하여 구하라.

(a) M_A = 800N(2.5m)= 2000 N·m (-) (b) M_B = 800N(1.5m)= 1200N·m (-)

(c) M_C = 800N(0m)= 0 (힘의 작용선이 C점을 지난다.)

(d) M_D = 800N(0.5m)= 400N·m (+)

3-D에서 힘의 모멘트 (벡터 공식, 4.3절)

3-D상에서 모멘트도 2-D 처럼 스칼라 계산으로 구할 수 있지만, 계산이 쉽지 않고 시간을 요한다. 따라서, 벡터 외적 (vector cross product)이라 불리는 수학적 접근법을 사용하는 것이 때로는 용이하다.

벡터곱을 사용하면, M

= r × F .

여기서 r 은 원점 O로부터 힘 F의 작용선상 임의의 점까지의 위치벡터.

벡터 외적 (Cross Product)

일반적으로, 두 벡터

A

B

C

C

C

u

여기서,u_C 는 두 벡터 A와 B (벡터 A와 B를 포함하는 평면)에 수직인 단위벡터.

벡터 외적(계속)

오른손 법칙이 벡터 곱의 결과 생기는 벡터의 방향을 구하는데 유용한 도구이다.

예를 들면: i × j = k

단위벡터 끼리 벡터 외적은 0이 된다. 즉,

i × i = 0

벡터 외적 (벡터 곱)

보다 편리하게, 벡터 곱은 아래와 같이 행렬식으로 표시할 수 있다.

각 성분들은 2 × 2 행렬식으로 구할 수 있다.

각 성분들은 2 × 2 행렬식으로 구할 수 있다.

3차원상 모멘트 계산식 (계속)

따라서, 벡터 곱을 사용하면, 모멘트벡터는 다음과 같이 표시된다.

2 × 2 (4.2 ),

이 방정식을 2 × 2행렬식으로 전개하면 (4.2절 참조), (단위는 N-m)

M_O = (r _y ^F_Z ^- r_Z ^F_y⁾

i

j

k

= M

i

j + M

k

이 방정식의 물리적 의미는 힘의 성분 별로 생각하고 2-D 형식을 사용함으로써 명확하게 된다.

3차원상 모멘트 계산식 (계속)

힘의 모멘트

M

= r × F

크기: M_O = r F sin θ = F (r sin θ) = Fd (d: 모멘트 팔) 방향: 오른손 법칙으로 결정

전달성의 원리: 위치벡터 r은 O로부터 힘 F의 작용선상의 어느 점으로도 연결할 수

있으므로, F는 점 A, B또는 C에 작용할 수 있다. 따라서 모든 경우에 같은 모멘트는

M

= r

× F = r

× F = r

× F.

3차원상 모멘트 계산식 (계속)

따라서, 벡터 곱을 사용하면, 모멘트벡터는 다음과 같이 표시된다.

이 방정식을 2 × 2행렬식으로 전개하면 (4.2절 참조), (단위는 N-m)

(4-7)

(단위는 N-m)

M_O = (r _y F_Z - r_Z F_y)

i

j

k

= M

i

j + M

k

3차원문제에서 외적을 사용하는 것이 스칼라 공식을 사용하는 것보다 훨씬 편리함을 알게 된다. 왜냐하면, 힘의 작용선까지의 수직거리인 모멘트팔의 거리 d를 계산하는 것보다 힘까지의 위치벡터 r을 구하기가 더 쉽기 때문이다.

예제 예제 44--44

r_B = i + 3 j + 2 k r_C = 3 i + 4 j

M = (r × F)

u_F= -2/3i –1/3j +2/3k

F = (60)

u

=

M_A = (r_B

× F)

M_A = (r_C

× F) = 160i

크기: M_A = 224 Nm 방향: 칠한 면에 수직

예제 예제 44--55

점 O의 플랜지에 대한 이 힘들의 합 모멘트를 계산하고 모멘트 축의

좌표 방향각을 구하여라.

r_A = 5 j

r_B = 4 i + 5 j – 2k

M_Ro = Σ(r × F) = r_A × F₁+ r_A × F₂+ r_B × F₃ M_Ro = Σ(r × F) = r_A × F₁+ r_A × F₂+ r_B × F₃

= 30i – 40j +60k M_Ro=78.10 Nm

u = M

= cosα

i + cosβ j + cosγ k

4.4 모멘트 원리

Varignon의 정리: 한 점에 대한 힘 모멘트는 그 점에 대한 힘 성분들의 모멘트 합과 같다. 벡터외적의 배분법칙으로 증명 .

F

M

r × F

r × F

r ×

F

r × F

M_A= Fd

= F_x h

= F_y b

이 정리는 힘의 모멘트를 직접구하는 것 보다

그 힘 성분의 모멘트를 구하는 것이 더 쉬운 경우가 많다.

예제 예제 44--66

풀이 I

CB = d = 100cos 45 =0.070 m M_A = Fd = 200 (0.070)=14.1 Nm 풀이 II

풀이 II

200N의 힘을 x와 y성분으로 분해 M_A = ΣFd = (200sin45)(0.2) –

(200cos45)(0.10)=14.1 Nm 따라서 M_A= {14.1 k} Nm

두 해를 비교하면 풀이 II가 각 힘 성분의 모멘트 팔을 구하기가 더쉽다.

예제 예제 44--77

점 O에 대한 힘의 모멘트를 구하여라.

풀이 I(스칼라 해석)

힘을 x와 y성분으로 분해하고 점 O에 대한 성분의 모멘트를 구한다.

M_O= 400sin30 (0.2) – 400cos30(0.4)

= -98.6 Nm

II ( ) 풀이 II (벡터 해석) 직교벡터법을 사용

r ={0.4 i

F ={400sin30 i

M

r × F

두 해를 비교하면 풀이 I이 더 편리한 해법임을 알 수 있다. 즉 스칼라해석은 2차원 문제를 푸는데,

직교벡터해석은 모멘트 팔이나 힘 성분을 구하기 어려운 3차원 문제에 적합하다.

예제 1

주어진 값: 주머니 A는 400N의 힘이 θ =

20°의 각도를 가지고 프레임에 작용한다.

목표: A점에 관한 힘의 모멘트를 구하라.

1) 먼저 힘 F를 x 와 y축 방향 분력으로 나누어라.

2) 스칼라 해석을 사용하여 모멘트 M_A를 구하라.

.

계획 (풀이):

예 제 1 (계속)

해 + ↑ F_y = -400 cos 20° N

+ → F_x = -400 sin 20° N

+ M_A = {(400 cos 20°)(2) + (400 sin 20°)(3)} N·m

= 1160 N·m

개념 퀴즈

1. 만약 크기 F의 힘이 평면상에서 네 가지 다른 양상 (P,Q,R,

& S)으로 작용할 경우, 너트에 최대 및 최소 토-크를 걸리게 하는 힘의 조합 (Max, Min)을 구하라.

A) (Q, P) B) (R, S) C) (P, R) D) (Q, S)

R S

2. 만약

M = r × F, 이라면, M • r

A) 0 B) 1

C) r ² F D) None of the above.

R

P Q

집단 문제 해결

주어진 값: 40 N의 힘이 렌치에 작용한다.

목표: O점에 관한 힘의 모멘트를 구하라.

계획 (1): x와 y방향을 따라

해 법: + ↑ F_y = - 40 cos 20° N + → F_x = - 40 sin 20° N

+ M_O = {-(40 cos 20°)(200) + (40 sin 20°)(30)}N·mm

= -7107 N·mm = - 7.11 N·m

힘을 분해하라.

(2) 스칼라 해석으로 M_o를 구하라.

주의 환기 퀴즈

10 N 3 m P 2 m 5 N

1. CCW방향을 양으로 하였을 때, P점에 관한 두 힘의 순 모멘트는?

A) 10 N ·m B) 20 N ·m C) - 20 N ·m D) 40 N ·m E) - 40 N ·m

D) 40 N ·m E) - 40 N ·m

2. 만약에

r

F

r

F

A) 50 i B) 50 j C) –50 i D) – 50 j E) 0