제5공준과 비유클리드 기하

제5공준과 비유클리드 기하

<제5공준>

“한 직선이 주어진 다른 2개의 직선들과 만나고 그 직선 한쪽에 있는 안각의 합이 2직각보다 작 을 때, 주어진 2개의 직선을 한없이 연장하면 두 직선은 그 안각이 있는 쪽에서 만난다.”

ü 나머지 4개의 공준과는 달리 직관적이거나 자명하지 않고, 그 진술이 장황하고 복잡함.

ü 공준이라기 보다는 원론에 등장하는 명제들과 오히 려 더 유사함.

ü 유클리드 자신조차 원론 제1권의 29번째 명제에 이 르기까지 제5공준을 사용하지 않았을 정도로 제5공 준의 사용을 꺼린 것으로 보임.

ü 그 후 약 2000여 년 동안 수많은 학자들이 제5공준 을 나머지 4개의 공준들로부터 연역적으로 증명하거 나 보다 간단한 공준으로 대체하려고 시도

ü 그 과정에서 제5공준과 논리적으로 동치이면서 보다 간단한 형태의 여러 원리들이 발견

• 제5공준과 동치인 명제들

ü 주어진 직선상에 있지 않은 한 점을 지나 그 주어진 직선에 평행한 직선은 유일하다.(Playfair 공리)

ü 직각삼각형에서 피타고라스 정리가 성립한다.

ü 직사각형이 존재한다.

ü 삼각형의 내각의 합은 180도이다.

ü 밑변의 길이가 a, 높이가 h인 삼각형의 넓이는 ½ ah 이다.

ü 닮은 삼각형이 존재한다.

ü 서로 간의 거리가 모든 곳에서 똑같은 두 직선이 존 재한다.

ü 한 직선 위에 놓여 있지 않은 세 점을 지나는 원이 존 재한다.

• 제5공준(플레이페어 공리)의 부정 : 주어진 직선상에 있지 않은 한 점을 지나 그 주어진 직선에 평행한 직 선은 유일하지 않다.

ü 2개 이상이다(무수히 많다) : 쌍곡기하 (볼리아이, 가우스, 로바체프스키) – 삼각형 내각의 합 <180도 ü 하나도 없다 : 타원기하 (리만) – 삼각형 내각의

합 >180도

해석 기하

• 해석 기하의 의미

ü 페르마와 데카르트가 창안한 좌표 평면을 통해 도형 을 방정식으로 나타내어 그 성질을 대수적인 방법으 로 다루는 방식의 기하

ü 동일한 수학 명제에 대한 유클리드 원론에서와 같은 종합(synthetic) 기하와 해석 기하의 증명 방법이 서 로 다름.

ü 예) 외심의 존재성과 유일성 증명(교재 199쪽), 피타 고라스의 정리 증명 등

• 해석 기하의 지도 의의

ü 이전에 학습한 도형의 여러 성질과 관계를 해석 기하 의 관점에서 대수적인 방법으로 접근하여 새롭게 조 명하고, 대수와 기하의 연결성 인식

à동일한 수학적 대상을 서로 다른 관점에서 파악하고, à동일한 수학 명제라 하더라도 관점에 따라 그 증명법

은 다양할 수 있음을 인식하며,

à수학적 개념이나 사실들이 그 자체로 개별적으로 존 재하거나 의미 있는 것이 아니라 서로 관련되어 있음 (수학적 연결성)을 인식할 수 있음.

• 중학교 2-3학년에 걸쳐서 제시되는 도형에 관한 각 종 명제들을 종합기하와 해석기하의 관점에서 각각 증명하고, 각 증명의 특징이나 장단점을 비교해보자.

변환기하적 관점(F. Klein)

• 클라인(F.Klein)이 1872년 에르랑겐 대학 교수 취임 강연에서 기하학을 특정 변환군에 속하는 임의의 변 환에 대하여 불변인 도형의 성질을 연구하는 학문으 로 정의하고, 여러 기하학(유클리드기하, 아핀기하, 사영기하, 위상기하 등)을 변환의 관점에서 변환을 중심으로 체계적으로 분류하고자 시도함.(에르랑겐 프로그램, Erlangen Program)

ü 유클리드기하 – 합동 변환(rigid motion, 평행이동, 대칭이동, 회전이동 등)에 대하여 불변인 성질을 연 구하는 분야

ü 위상기하 – 위상 변환 하에서 불변인 성질을 연구하 는 분야

기하 학습에서의 인식론적 장애

(1)여러 가지 사각형의 정의를 말할 수는 있지만, 구분 하지는 못하는 현상

• 예) 사다리꼴의 정의를 말할 수 있지만, 한 각이 직 각인 사다리꼴을 사다리꼴로 인식하지 못하거나, 교과서에 흔히 제시되는 평행사변형과는 다른 직각 을 지닌 평행사변형을 평행사변형으로 인식하지 못 함.

• 원인 : 개념 정의와 개념 이미지의 부조화 (및 이로 인한 개념의 고착화)가능성

ü 학생들은 도형이 놓여 있는 위치와 방향 등 시각적 이미지에 영향을 받음.

ü 교과서에 제시된 제한된 그림과 보기, 교사의 부적 절한 혹은 제한된 설명(학생들은 교과서에서 읽은 것을 믿는 것이 아니라 본 것을 믿는 경향이 있음.)

• 장애의 몇 가지 원인

ü

ü

불완전한 스키마)

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(2) 가정과 결론의 의미를 명료하게 구분하지 못하고, 증명해야 할 명제의 결론을 증명 과정에서 사용하는 현상

ü 학생의 기하적 사고 수준이 제3수준에 미처 도달하 지 못하였을 가능성이 있음.

(3) 도형에 대한 필요조건을 충분조건으로 바꾸는 역추 론 현상

ü A 유형의 모든 도형은 B 성질을 가지고 있다. 그러므 로 B 성질을 가진 도형 C는 A 유형에 속한다.

ü 학생의 기하적 사고 수준이 제3수준에 미처 도달하 지 못하였을 가능성이 있음.

(4) 점(도형)의 평행이동과 그에 따른 도형의 방정식의 변화를 구분하지 못하는 오류

ü (x,y) à (x+a, y+b)일 때, f(x,y)=0 à f(x+a, y+b)=0 로 파악

ü 평행이동 개념에 대한 도구적 이해에서 비롯되었을 가능성 있음.

ü 평행이동 관련 개념들 사이의 수직적 관련성 및 수평 적 관련성 구축 실패의 가능성 있음.

수직적 관련성: 개념들간의 위계성(계통성)

수평적 관련성: 어떤 대상(현상)을 (서로 독립적이면서 상 호보완적인 관계에 있는) 둘 이상의 개념을 통해 동시에 파악하는 것

(5) 그밖에

• 정당화 수단으로서 증명의 의미와 필요성에 대한 이 해 부족 : 정삼각형의 세 내각의 크기가 같음을 보여 라.(알고 있는데… 이걸 왜 증명해야 해?) à ‘국소적 조직화 수단으로서 증명’ 교육 필요.

• 증명방법을 찾지 못하거나 찾으려 하지 않음. : 교사 나 교사에게 지나치게 의존à’분석’ 경험 필요

* 관계적 이해

ü 무엇을 해야 할지 그리고 왜 그런지를 모두 알고 있으면 서 일반적인 수학적인 관계로부터 특수한 규칙이나 절차 를 연역할 수 있는 상태

ü 관계적으로 이해된 지식은 새로운 과제에 더 잘 적응되 고, 기억하기에 더 쉬우며, 그 자체가 학생들의 동기를 유발하여 효과적인 목적이 될 수 있음.

* 도구적 이해

ü 이유는 제대로 모르는 채 암기한 규칙을 문제해결에 적 용하는 것

ü 관계적 이해에 비해 상대적으로 용이하고 그 보상이 즉 각적이고 분명하게 나타남.

*논리적 이해

ü 주어진 가정, 공리, 정리 등 이미 확립된 수학 지식을 적 절히 선택하여 논리적으로 추론하고 이를 기술할 수 있 는 능력

ü 관계적 이해를 했다고 하더라도 논리적 추론 과정을 기 술해 나갈 때 연속되는 명제 사이에서 함의의 관계에 관 련된 이해를 하지 못할 수 있는데, 이는 논리적 이해가 부족하기 때문

*기호적 이해

ü 수학적 기호 체계와 표기(법)를 적절한 수학적 아이디어 와 관련시키는 능력

Van Hiele의 기하 학습 수준 이론

• 학생들이 기하 학습(특히 증명 학습)에서 겪는 어려 움의 원인을 밝히고자 하는 이론

ü 학생들이 기하 학습에서 겪는 어려움의 상당부분은 수준이 서로 다른 교사와 학생 사이의 의사소통 단절 에서 비롯

à기하 학습의 서로 다른 수준 존재

à학생에게 제시되는 문제나 과제가 그 아동의 사고수 준을 넘어서는 용어나 성질에 대한 지식을 요구할 경 우, 이는 학생의 사고에 적절하게 동화되지 못함.

àn-1 수준의 학생이 n 수준의 용어, 개념과 관련한 사고를 요하는 문제에 직면하게 되면 좌절이나 불안 감 등의 심리적 요인을 갖게 되고, 이는 문제 해결의 실패로 나타나게 됨.

• 제0수준(시각적 인식수준)

ü 주변 사물을 형(形)이라는 인식 수단에 의해 파악하 는 수준(주변 사물을 형으로 정리 )

ü 기본적인 도형을 그 구성요소에 대한 명확한 고려 없 이 전체로서 시각적 외관에 의해 판별

ü 세모꼴, 네모꼴, 상자모양 등을 구별하고 이름을 말 할 수는 있으나

ü 도형의 성질에 대한 인식은 하지 못함

ü 형태나 모양을 통해 직사각형을 인식하고, 직사각형 과 정사각형을 (모양을 보고) 구분하지만, 마름모를 평행사변형으로 인식하지는 못한다.

• 제1수준(기술적/분석적 인식수준)

ü 형(形)을 도형의 구성 요소와 성질에 대한 비형식적 인 분석을 통해 인식하는 수준(형을 그 구성요소와 성질로 정리)

ü 도형의 성질들을 말할 수는 있지만(직사각형의 두 대각선의 길이가 같다, 마름모의 네 변의 길이는 같 다 등)

ü 도형이나 그 성질들을 명확히 상호 관련 짓지는 못함 (모든 정사각형은 직사각형임을 이해하지는 못함).

• 제2수준(관계적/추상적 인식수준)

ü 도형의 여러 가지 성질 및 이들 사이의 관계를 명제 를 통해 파악하고 정의를 이해하는 수준(도형의 성 질과 도형 사이의 관계를 명제로 정리)

ü “모든 정사각형은 직사각형이다”임을 이해하지만, 도형의 성질을 연역적으로 엄밀하게 증명하지는 못 한다

• 제3수준(형식적 연역 수준)

ü 명제를 증명을 통해 이해하는 수준으로,

ü 공리, 정리, 증명의 의미와 역할을 이해하며 기하의 연역체계를 파악하는 수준 (명제를 논리적 관계로 정리)

ü 엄밀한(exact) 과학을 하기 위해 필요한 수준으로서 연역적 추론을 통해 명제를 형식적으로 증명할 수 있 는 수준.

ü 예를 들어, 삼각형의 세 중선의 교점이 존재한다거나 세 각의 이등분선의 교점이 존재한다는 명제를 증명 할 수 있음

• 제4수준(엄밀한 수학적 수준)

ü 기하학의 연역적 논리 체계 그 자체가 고찰의 대상이 되어,

ü 여러 가지 공리체계를 비교할 수 있고, 공리체계의 성질(무모순성, 독립성, 완비성)을 이해할 수 있는 수준

수준 상승을 위한 교수-학습과정 5단계

ü 반힐레는 교사가 학생들의 수준 상승을 촉진할 수 있 다고 보고, 교수-학습에서 교사의 역할 강조

ü 위 단계를 통한 수준의 비약이 이루어지려면, 교사의 일반적인 설명보다 학습자 스스로의 탐구 활동이 보 다 중요한 요인이 됨.

• 1단계 : 질의/안내(information)

ü 교사와 학생들이 학습 목표를 확인하는 단계

ü 교사는 학생들과의 대화를 통해서 새로운 학습 주제 를 소개한다.

ü 학습할 주제에 관한 학생의 선행지식이 무엇인지를 파악한 후, 학생이 새로운 주제를 이해하도록 도움을 주고 질문을 하며 관찰을 수행한다.

ü 예) 어떤 도형을 설명하고 마름모라고 한다. 학생들 에게 여러 가지 도형의 그림을 보여주고 나서 마름모 인지 아닌지 묻는다.

• 2단계 : 안내된 탐구(guided orientation)

ü 교사가 제시하는 발문들으로 이루어진 활동자료를 보며, 학생들이 과제를 탐구해나가는 단계

ü 학생은 신중하게 계열화된 활동을 통해 학습 주제의 특징에 익숙해진다.

ü 교사는 학습 주제를 탐구하는 활동에 학생이 능동적 으로 참여하도록 하기 위해 조심스럽게 설명해 나간 다. 이 때 교사의 역할은 학생의 행동을 적절한 탐구 로 이끌면서 학생 활동을 지시하는 것이다.

ü 예) 주어진 마름모를 대칭축을 따라 접는다. 대각선 과 각에 관하여 무언가 알게 된다.

• 3단계 : 발전/명료화(explicitation)

ü 전 단계에서 경험하고 관찰한 사항을 학생들 스스로 의 토의와 토론을 통해 명료화하는 단계

ü 학생은 교사의 개입이 최소인 상태에서 자신의 개념 화와 어휘를 정련시킨다.

ü 예전의 경험과 교사로부터 얻은 최소한의 힌트를 토 대로 탐구 분야의 구조에 대한 자신의 견해를 표현하 며, 관계체계를 형성하기 시작한다.

ü 예) 학생들은 마름모의 성질에 관하여 자신들의 생 각을 주고 받는다.

• 4단계 : 자유 탐구(free orientation)

ü 여러 사고단계가 포함된 보다 복잡한 과제를 제시하 고, 명료화한 지식을 종합적으로 적용해보게 하는 단 계

ü 학생이 여러 가지 해결 방법을 찾아봄으로써 탐구 분 야의 구조에 정통하게 되면, 그 과제를 완성한 후에 공부한 그 영역 안에서 스스로 자신의 나아갈 바를 정해서 새로운 관련성을 찾는다.

ü 문제해결의 성격을 갖는 보다 복잡한 과제에 도전한 다.

ü 예) 마름모의 꼭지점과 모서리 위치가 일부 주어졌 을 때 전체 마름모를 구성할 수 있다.

• 5단계 : 통합(integration)

ü 지금까지의 단계별 경험을 통합하고 종합하는 단계 ü 학생은 자신의 탐구 결과를 검토 및 요약하고, 활동

을 개관하여 전체를 조망하게 되면서 사고 수준의 비 약에 이르게 된다.

ü 교사는 학생이 이전의 활동을 반성하고 관찰한 것을 명료하게 정리할 수 있도록 전체적인 개관을 제시하 면서 돕는다.

ü 예 : 마름모의 성질을 종합하여 기억한다.

기하 영역에서의 수학화(H. Freudenthal)

1. 주변 현상을 도형이라는 본질로 조직 (반힐의 제0수 준)

• 관찰을 통해 이렇게 생긴 도형을 평행사변형이라고 부른다. (평행사변형의 정의를 제시하는 것이 아님 에 주의)

2. 도형의 성질 발견 (반힐의 제1수준)

• 활동을 통해 '대변의 길이가 같다', '대각의 크기가 같다', '두 쌍의 대변이 평행이다' 등의 성질 발견

3. 국소적 조직화 (반힐의 제2-3수준)

• 도형의 성질들 사이의 관련성을 파악하고, 논리적으 로 조직

ü 성질 중 하나를 평행사변형의 기본성질(정의)로 설 정(정의하기)

ü 기본성질(정의)과 다른 성질들 사이의 관계를 '명제' 로 조직하고

ü 명제의 진위를 논리적으로 설명(증명하기) à 정리 생성

4. 전역적 조직화(공리화)(반힐의 제3-4수준) 5. 존재론적 결합 끊기(반힐의 제4수준)

à도형(평행사변형)의 여러 성질들을 조직하는 수단으 로서 ‘정의’를 도입하고, ‘명제’의 구성과 ‘증명’을 통 해 그 성질들을 국소적으로 조직화함으로써 학생들 스스로 정리를 만드는 경험을 하도록 한다.

à‘정의하기’를 통해 ‘정의’가 대상(도형)의 여러 성질 에 대한 연역적 조직화의 수단임을 경험하게 한다.

à‘증명’은 여러 성질들을 조직하기 위한 활동이고, ‘정 리’는 이러한 조직화 활동의 산물이다.

à‘정의-정리-증명’의 순서로 이루어지는 교육은 지식 의 자연스러운 발생의 순서를 거꾸로 뒤집는 ‘반교수 학적 전도’이다(H. Freudenthal).

절대주의, 준경험주의, 사회적 구성주의 관점에서 본 ‘증명’의 의미

• 절대주의(플라톤주의, 논리주의, 직관주의, 형식주의) ü 수학 명제(가 참임)를 밝히고 정당화하는 수단

ü 새로운 수학적 진리의 확실성을 보증하는 원천

• 준경험주의

ü 제기된 추측(명제)에 대한 비판(검증, 개선)을 용이 하게 하고, 개선된 추측을 발견하기 위해

ü 추측을 작은 부분추측들로 분해하여 이미 알고 있는 것과 연결시키는

ü 분석적, 발견적 사고 실험

• 사회적 구성주의

ü 주관적 지식을 객관적 지식이 되도록 하기 위해

ü 자기 자신을 포함해 타인(수학 공동체)을 확신시키 고 설명하기 위한 의사소통의 수단