수학
수학 문제해결 문제해결 교육론 교육론 수학
수학 문제해결 문제해결 교육론 교육론
1.
1. 문제해결의문제해결의 이해이해 2.
2. 문제해결문제해결 과정과과정과 전략전략
목차 목차
3.
3. 메타인지메타인지
1.
1. 문제해결의 문제해결의 이해 이해
(1) 문제와 문제해결의 의미 (2) 문제의 유형
(3) 문제해결의 요소 (3) 문제해결의 요소 (4) 문제해결의 역사
(5) 우리나라 교육과정의 문제해결 (6) 수학적 발견술
(1) 문제해결의 의미
문제해결에서의 ‘문제’
– 구체적이고 확실한 해결의 방법을 쉽게 구하기 어렵고, 다 단계에 걸친 다양한 사고가 요구되는 문제
– 진정한 문제는, 목표는 분명하지만 그 목표에 이르는 길이 즉각적으로 주어져 있지 않은 것
즉각적으로 주어져 있지 않은 것
– 문제에는 ‘목표’와 ‘장애 요인’과 ‘해결자의 의식’
이 수반(Polya)
• 좋은 문제란 ?
해결 과정에서 여러 종류의 개념과 기능을 필요로 하고 다른 장면으로 일반화, 확장될 수 있으며 다양한 해법이 존재하는 것
(1) 문제해결의 의미
① 기본적인 개념의 분명한 이해와 지적 기능을 활용할 수 있 는 문제여야 한다.
② 문제의 해결이 일반화될 수 있는 것이어야 한다.
③ 문제를 해결한 결과를 확장, 적용할 수 있는 것이어야 한다.
④ 문제의 해결방법이 다양한 것이어야 한다.
⑤ 학생들에게 흥미 있고 도전감을 불러일으킬 수 있는 것이어 야 한다.
⑥ 문제 해결 과정에 여러 가지 (수학적) 개념이나 기능 등을 포 함해야 한다.
• 수학교육의 목적은
‘수학적으로 사고하도록 가르치는 것’
• 자발적이며 목적 의식이 뚜렷한 의미 있는 대부분의 사고는 어떤 문제를 해결하기 위한 것.
• 수학적으로 사고하도록 하는 것은 수학적 안목으로 문제를 해결하 는 능력을 개발하는 것
(1) 문제해결의 의미
• 는 능력을 개발하는 것
→ 문제해결 능력의 신장을 통해
– 문제를 해결하면서 기초적인 수학적 지식이나 기능을 확실히 이해할 수 있고
– 창의적 사고, 비판적 사고, 의사결정 능력의 고등정신 기능을 신장할 수 있고
– 실생활에의 응용력을 기를 수 있음
• 정형 문제: 이미 제시된 알고리즘을 사용하여 해결할 수 있는 문제
예) 공식에 나오는 변수에 특정한 수를 대입하여 해결할 수 있는 문제,전 형적인 예제의 풀이 방법을 그대로 적용하여 해결할 수 있는 문제
(2) 문제의 유형
• 비정형 문제: 문제를 해결하는 알고리즘이나 답을 얻는
방법을 모르는 상태에서 문제해결 전략이나 독자적인 해
결 방법을 구안하여 풀어야 하는 문제
• 찰스와 레스터의 문제 분류
– 반복 문제: 알고리즘을 사용한 반복 연습의 기회를 주는 문제, 계산력 신장을 위해.
– 간단한 적용 문제: 문장제를 수식으로 번안하나, 하나의 연산 만 포함하는 일단계 문제
(2) 문제의 유형
– 복잡한 적용 문제: 문제 장면을 수식으로 번안하여 해를 구할 때 2개 이상의 연산이 요구되는 문장제, 다단계 문제
– 과정 문제: 단계적으로 사고하는 과정이 중시된 문제. 구체적 해결 전략이 필요
– 응용 문제: 수학적 지식과 사고력을 활용할 기회를 주는 문제.
일상에서 수학의 가치와 유용성을 느끼도록
– 퍼즐 문제: 오락적인 문제지만, 사고의 유연성이 중시됨
1) 자원(resource)
– 문제를 해결하기 위해 개인이 사용할 수 있는 도구와 기법
– 문제와 관련된 수학적 지식, 직관, 알고리즘, 법칙에 대한 이해 등
2) 발견술(heuristic)
(3) 문제 해결의 요소 (Schoenfeld)
2) 발견술(heuristic)
– 생소하고 비정형적인 문제를 해결하기 위한 전략과 기술
예) 유추, 일반화, 특수화, 보조 문제 이용하기, 거꾸로 풀기 등 – 문제 이해를 깊게 하거나 해결로 이르도록 하는 데 도움을 주지
만 완전한 해결을 보장하는 것은 아님
3) 통제(control)
– 자원과 전략의 선택과 수행에 관한 전반적인 결정 능력으로 문제 해결 모든 과정에 영향
예) 계획하기, 감시와 평가, 의사 결정, 의식적인 메타인지적 결정 등 – 학생들이 무엇을 얼마만큼 아느냐와 함께 그것을 이용할 수 있느냐 하
(3) 문제해결 행동 관련 요인 (Schoenfeld)
– 학생들이 무엇을 얼마만큼 아느냐와 함께 그것을 이용할 수 있느냐 하 는 것이 그 이상으로 중요함
4) 신념 체계(belief system)
– 학습자가 수학에 대해 가지고 있는 가치관이나 선입견 같은 것
예) 수학은 소수의 뛰어난 사람만 잘 할 수 있는 과목이라거나 모든 수학 문제의 올바른 풀이는 한 가지밖에 없다는 신념은 수학 학습 과 정에서 누적되어 형성된 것으로 수학 문제해결 활동에 많은 영향
(4) 문제해결 지도의 역사
문제해결에 대한 논의(미국)
– 1980년대 기초기능으로서의 문제 해결력에 대한 관심이 높아짐 – NCTM
①「An Agenda in Action」(1980): 문제해결이 학교 수학의 초점이 되어야
② Standards 1989: K-4, 5-8, 9-12의 각 수준에서 첫 번째 규준으로 제시
② Standards 1989: K-4, 5-8, 9-12의 각 수준에서 첫 번째 규준으로 제시
③ Standards 2000: 문제해결은 추론, 수학적 연결성, 의사소통, 표현과 더불어 중요한 목표로 강조됨
• 제4차 교육과정 개정에서 수학의 기초적 기능을 배양하고 문제 해결 력을 신장시키는 일에 관심을 가짐
• 제5, 6, 7차, 개정 교육과정에서 계속적으로 문제 해결력 신장을 강조
• 개정 교육과정에서 교수 학습 방법
문제 해결력을 신장시키기 위하여 교수‧학습에서 다음 사항에 유의 한다.
(5) 우리나라 교육과정의 문제 해결
(1) 문제 해결은 전 영역에서 지속적으로 지도한다.
(2) 학생 스스로 문제 상황을 탐색하고 수학적 지식과 사고 방법을 토대로 문제 해결 방법을 적절히 활용하여 문제를 해결하게 한다.
(3) 학생의 경험과 욕구를 바탕으로 문제를 창의적으로 해결할 수 있게 한다.
(4) 문제 해결의 결과뿐만 아니라 문제 해결 방법과 과정, 문제를 만들어 보는 활동도 중시한다.
(5) 생활 주변 현상, 사회 현상, 자연 현상 등의 여러 가지 현상에서 파악된 문제를 해결하면서 수학적 개념, 원리, 법칙을 탐구하고, 이를 일반화하게 한다.
• 발견술 :
문제해결에서 전형적으로 유용한 발견과 발명의 방법 과 규칙, 전략과 전술
• Polya의 문제해결 교육론의 핵심은 발견술
• 발견술의 역사
(6) 수학적 발견술
• 발견술의 역사
– 파푸스의 분석법
– 데카르트의 보편적인 문제해결 방법
① 어떤 문제이든 수학 문제로 바꾼다.
② 어떤 수학 문제이든 대수 문제로 바꾼다.
③ 어떤 대수 문제이든 방정식의 풀이로 바꾼다.
– 라이프니츠는 모든 문제를 해결할 수 있는 일반적인 알고리 즘을 찾으려
2.
2. Polya Polya의 의 문제해결 문제해결 교육론 교육론
(1) 문제 해결 과정
(2) 수학 학습 지도 원리 (3) 수학 학습 단계
(3) 수학 학습 단계
(1) 문제해결 과정
• Polya는 수학적 문제해결의 과정을 다음과 같이 4단계 로 구분
문제이해➡계획 작성➡계획 실행➡반성
• Schoenfeld(1985): 분석 및 이해 계획 어려운 문제
• Schoenfeld(1985): 분석 및 이해 계획 어려운 문제 에 대한 탐구 실행 검증
• Burton(1985): 문제 이해 문제 푼다 풀이를 검토
확장 (문제를 일반화)
• 학생들은 스스로 이러한 문제해결 과정을 경험하는 가
운데 자율적인 문제 해결자가 되어야 한다.
문제해결 단계에서 교사가 사용할 수 있는 발문과 권고
:
교사는 학생의 사고를 자극하고 이끌어 주는 적절한 수 준의 발문과 권고를 사용해야 한다
▶
문제의 이해
: 문제에서 구하려는 것과 주어진 것을 알고, 용어의 뜻을 파악하며, 문제를 분석하는 단계문제해결 과정에서의 발문
– 미지인 것은 무엇인가?
– 주어진 것은 무엇인가?
– 자료는 무엇인가?
– 조건은 무엇인가?
– 조건은 만족될 수 있는가?
– 조건은 미지의 것을 결정하기에 충분한가, 불충분한가, 과다한가?
– 그림을 그려보아라 – 적절한 기호를 붙여라
– 조건을 여러 부분으로 분해해 보아라.
▶계획 작성 :
문제에서 주어진 것과 구하려는 것 사이의 관계를 파악하는 단계– 전에 그 문제를 본 적이 있는가?
– 전에 다른 형태로 된 같은 문제를 본 적이 있는가?
– 관련된 문제를 알고 있는가?
문제해결 과정에서의 발문
– 관련된 문제를 알고 있는가?
– 도움이 될 것 같은 어떤 사실이나 정리를 알고 있는가?
– 미지인 것을 잘 살펴보아라.
– 정의로 되돌아가 보자.
– 문제를 달리 진술할 수 없을까?
– 문제를 보다 일반적인(특수한) 형태로 변형할 수 있을까?
– 문제를 부분적으로 풀 수 있는가?
– 자료는 모두 사용했는가?
– 문제에 포함된 핵심적인 개념을 모두 고려했는가?
▶계획 실행:
해결 계획에 따라 실행하는 단계– 풀이의 각 단계를 조심스럽게 실행하도록 하라 – 각 단계가 올바른지 명확히 알 수 있는가?
– 그것이 옳다는 것을 설명할 수 있는가?
▶반성:
문제해결 과정에서의 발문
▶반성:
문제를 해결한 과정을 처음부터 검토해 보고, 다른 방법 으로 해결할 수는 없는지를 알아보고, 혹시 다른 방법이 있으면 어느 방법이 더 나은지를 생각해 본다.– 결과를 점검할 수 있는가?
– 풀이 과정을 점검할 수 있는가?
– 결과를 다른 방법으로 이끌어 낼 수 있는가?
– 결과나 방법을 어떤 다른 문제에 활용할 수 있는가?
⇒ 지나치게 구체적이고 특수한 발문이나 지나치게 일반적인 발문 과 권고는 가급적 사용하지 않는 것이 바람직하다.
• 반성 단계의 중요성
– 풀이과정과 결과를 개관하고 음미해 봄으로써 오류를 발견, 수정 하고 문제 풀이를 개선할 수 있다.
– 다른 문제와의 관련성을 조사하고 적용가능성을 생각해보는 가
(1) 문제해결 과정
– 다른 문제와의 관련성을 조사하고 적용가능성을 생각해보는 가 운데 획득한 지식이 견고히 된다
– 풀이과정이 단순화, 체계화되므로, 그 내적 바탕이 인식이 되고 사고 양식화되어 문제를 해결하는 능력이 발달된다.
– 공식의 세부적인 의미를 점검해 봄으로써 공식의 의미를 한눈에 알 수 있게 된다.
① 학습하는 최선의 길은 스스로 발견해내는 것이다.
② 효과적인 학습을 위해 학습자에게 가능한 한 생각할 시간을 충분 히 주어 학습자 스스로 발견하도록 하며 이를 돕는 질문과 권고 를 통해 산파역을 해야 한다.
③ 교사는 모든 비밀을 단번에 누설하지 말고 말하기 전에 추측해 보 게 한다.
④ 학생들로 하여금 질문하게 하고 대답하게 한다.
(2) 수학 학습 지도 원리
⑤ 학생의 경험과 관련이 있고 학생에게 의미가 있도록 문제를 선정 하고 제시함으로써 학습내용 자체에 대한 지적 호기심을 갖게 하 고, 학습 그 자체에서 오는 기쁨과 발견의 희열을 경험하도록 한 다.
⑥ 결과를 추측하게 하고 발표하게 하는 것은 학습동기를 유발하고 지속시키는 한 방법이 될 수 있을 것이다.
⑦ 적절한 문제를 선택하도록 노력하고 문제의 제기에 학습자를 참여 시키도록 하며, 또한 결과를 추측하고 발표하게 함으로써 학습동 기를 유발하고 지속시킬 뿐만 아니라 바람직한 과학적 사고 태도 를 갖도록 교육한다.
• 효과적인 수학학습은 “탐구 단계→형식화 단계→동화 단계”를 거쳐 이루어져야 한다(Polya)
① 탐구 단계: 행동과 지각을 통해 직관과 발견이 이루어지는 단계
(3) 수학 학습 단계
② 형식화 단계: 개념, 용어, 정의, 증명이 도입되는 단계
③ 동화 단계: 교재의 내적인 바탕이 인식되어 정신적으로 소화되 고 학습자의 정신적인 안목으로 흡수되어 적용과 보다 높은 일반 화가 가능해지는 단계
3. 메타인지
• 자신의 사고 과정에 대한 인지
• 문제해결 과정 모두에 영향을 미치지만, 반성 단계와 밀접 한 관련
• 메타인지로서의 수학적인 태도
① 스스로 자신의 문제나 목적․내용을 명확히 파악하려는 태도
메타 인지
② 합리적인 행동을 하려는 태도
③ 내용을 간결․명확하게 나타내려는 태도
④ 보다 나은 것을 구하려는 태도
• 문제해결과 관련된 메타인지 능력 계발을 위한 질문
– 문제를 이해하기 위해 무엇을 하였는가?
– 필요하지 않은 조건이나 정보를 찾았는가?
– 무엇을 하기 위해 어떻게 결정했는가?
– 문제를 푼 뒤에 네가 구한 정답에 대해 생각해 보았는가?
– 너는 네가 구한 답이 옳다고 어떻게 단정했는가?
• 문제를 풀기 전의 활동
– 문제를 한 번 이상 읽어본다.
– 그 문제에 관해서 자신이 구할 수 있는 것 모든 것을 구해 본다.
– 스스로에게 “문제가 무엇을 요구하는지 알고 있는가?”에 대해 질문 해본다.
– 문제를 푸는데 어떤 정보가 필요한지 생각한다.
– 스스로에게 “이 문제와 같은 문제를 풀어본 적이 있는가?”에 대해
메타 인지
– 스스로에게 “이 문제와 같은 문제를 풀어본 적이 있는가?”에 대해 물어본다.
– 스스로에게 “주어진 정보가 문제 해결에 필요한 것인가?”에 대해 묻는다.
• 문제를 푸는 동안의 활동 :
당신이 문제를 풀 때 무엇을 해야 하는가?– 풀고 있는 문제를 올바르게 풀고 있는지 수시로 점검해본다.
– 풀이를 멈추고 자신이 무엇을 하고 있는지, 왜 그렇게 하는지 다시 생 각해본다.
– 문제를 차근차근 풀면서 푸는 과정에서 오류가 없는지를 살핀다.
– 스스로에게 “내가 하고 있는 것이 바른 것인가?”를 생각해본다.
• 문제를 푼 후의 활동 :
문제를 풀고 난 뒤에 무엇을 해야 하는가?– 효율적이고 합리적인 전략을 이용하여 풀었는지 점검한다.
– 내 계산이 모두 맞는지 알아보기 위해 풀이 과정을 점검한다.
– 그 문제를 다시 읽어보고, 구한 답이 타당한지 확인한다.
– 이 문제를 풀 수 있는 또 다른 방법은 없는지를 생각한다.
– 문제가 요구하는 것 이외에 더 많이 알 수 있는지 살펴본다.
메타 인지
– 문제가 요구하는 것 이외에 더 많이 알 수 있는지 살펴본다.
• 메타인지 활동에서 교사의 역할
– 교사는 학생들이 자신의 수학적 지식과 행동을 곰곰이 생각하고 분석 하며 보고하도록 요구하는 질문을 하고 과제를 내야 한다.
– 교사는 수행과 관계 있는 수학 과제의 여러 측면을 지적하도록 노력해 야 한다.
– 교사가 가르치면서 조절하고 결정하는 행동을 보여줌으로써 학생이 자 신의 행동을 조절하는 법을 배우도록 도와야 한다.
• 메타인지 개발과 증진을 위한 교수․학습 방법
– 학습자에게 효율적으로 문제해결 과정을 훈련시키기 위해서는 교사 가 문제해결 과정을 하나의 역할 모델로 보여주고 내면화가 일어나 도록 상호작용 교수․학습을 한다.
– 문제 해결자 자신의 사고 과정을 반성하는 능력을 기르기 위해 다른
메타인지
– 문제 해결자 자신의 사고 과정을 반성하는 능력을 기르기 위해 다른 학생의 문제해결과정을 비디오를 통해 보여주고 분석해보고 유추하 여 자기반성의 기회를 갖도록 한다.
– 자신의 사고를 제어하거나 비판하는 능력을 기르도록 하기 위해 학 급 전체의 토의과정을 부여하거나 소집단으로 문제를 해결하는 과 정에서 의사소통에 의한 협조 체계를 통해 메타인지가 자연스럽게 습관화되도록 한다.
