도형의 탐구

(1)

도형의 탐구

박성선 박성선 박성선 박성선

춘천교육대학교 춘천교육대학교 춘천교육대학교 춘천교육대학교

(2)

-- 기하학적기하학적 사고를사고를 55수준으로수준으로 구분구분 -- 수학의수학의 지도가지도가 아동의아동의 학습수준에학습수준에

Van

Van HielesHieles의의 수학수학 학습이론학습이론

적합하지

적합하지 못하면못하면 극도의극도의 부조화를부조화를 이룰

이룰 수수 있음을있음을 드러냄드러냄

(3)

기하학적

기하학적 사고의사고의 수준수준 모델모델

** 제제 00수준수준

-- 주변대상을주변대상을 형이란형이란 인식수단에인식수단에 의해의해 파악하파악하 는

는 단계단계 는

는 단계단계

-- 세모꼴세모꼴, , 네모꼴네모꼴, , 상자모양상자모양 등으로등으로 도형의도형의 이이 름을

름을 말할말할 수수 있으나있으나, , 그그 성질을성질을 명확히명확히 말말 하지

하지 못함못함

(4)

-- 도형의도형의 구성요소와구성요소와 성질에성질에 대한대한 비형식적비형식적 분석을

분석을 통해통해 도형을도형을 파악파악 분석을

분석을 통해통해 도형을도형을 파악파악

-- 아직아직 도형이나도형이나 그그 성질을성질을 명확히명확히 관련관련 지을지을 수는

수는 없음없음

(5)

*

* 제제22수준수준

-- 도형의도형의 성질과성질과 도형도형 사이의사이의 관계가관계가 연구의연구의 대상이

대상이 되고되고 명제가명제가 정리수단이정리수단이 됨됨

-- 도형의도형의 여러여러 가지가지 성질성질 및및 도형도형 사이의사이의 관관 -- 도형의도형의 여러여러 가지가지 성질성질 및및 도형도형 사이의사이의 관관

계를

계를 파악하고파악하고 정의를정의를 이해이해

-- 아직아직 도형의도형의 성질을성질을 논리적으로논리적으로 설명하지설명하지 못함

못함

(6)

-- 명제가명제가 연구의연구의 대상이대상이 되며되며 명제명제 사이의사이의 논논 리적

리적 관계가관계가 정리정리 수단으로수단으로 등장등장

-- 공리공리, , 정리정리, , 정의정의, , 증명의증명의 의미와의미와 역할역할 이해이해 -- 공리공리, , 정리정리, , 정의정의, , 증명의증명의 의미와의미와 역할역할 이해이해

및

및 전체전체 기하의기하의 연역체계연역체계 파악파악

-- 엄밀한엄밀한 증명의증명의 필요성을필요성을 깨닫지깨닫지 못함못함

(7)

*

* 제제 44수준수준

-- 기하학기하학 체계가체계가 연구의연구의 대상이대상이 되어되어 여러여러 가가 지

지 공리체계를공리체계를 비교할비교할 수수 있음있음

-- 공리의공리의 무모순성무모순성, , 독립성독립성, , 완전성과완전성과 같은같은 공리체계의

공리체계의 성질을성질을 이해함이해함

(8)

-- 수학적수학적 사고는사고는 모든모든 수준을수준을 차례로차례로 거쳐거쳐 발달발달

-- 학생들이학생들이 각각 수준을수준을 같은같은 속도로속도로 통과하지는통과하지는 않음않음

-- 전전 수준의수준의 사고에서사고에서 내재적이었던내재적이었던 것이것이 다음다음 수준에서수준에서 명확히명확히 인식인식 될

될 수수 있음있음

단계 사고의 대 상

사고의 방법 수준 5 논리 논증, 공리계 수준 5 논리 논증, 공리계

수준 4 명제 논리

수준 3 성질 명제

수준 2 형 성질

수준 1 구체물 모양, 형

(9)

기하학습단계와 지도방법

단계 내용

1. 질문-정보 교사와 학생이 학습 목표를 확인하는 단계

교사는 학생의 선행지식 파악, 학생이 새로운 주제를 이 해 하도록 질문

2. 의도된

탐구 교사는 학생에게 새로운 학습 주제 관련 과제를 제시 학생의 행동을 적절한탐구로 이끌면서 학생의 활동지시

탐구 학생의 행동을 적절한탐구로 이끌면서 학생의 활동지시

3. 명료화 학생들은 경험과, 발견된 학습을 토대로 자신의 개념화 교사는 학생의 언어를 명료화 – 수학적 용어 소개

4. 자유로운

탐구 2단계 보다 복잡한 과제(다양한 생각, 방식) 제시 학생들은 자신이 배운 지식을 종합적으로 적용

5. 통합 학생들은 새로운 기하학적 개념을 새로운 사고 영역으 로 내면화

5단계가 끝나면 다음 수준으로 비약이 생기게 된다

(10)

*

* 기하가 기하가 초등수학 초등수학 교육과정에 교육과정에 포함되어야

포함되어야 하는 하는 이유 이유

1.

1. 타타 수학수학 분야분야 및및 학과목과학과목과 연결연결 2.

2. 정돈된정돈된 방식으로방식으로 세상을세상을 나타냄나타냄 3.

3. 아동의아동의 흥미흥미 유발유발 및및 동기동기 유발유발 3.

3. 아동의아동의 흥미흥미 유발유발 및및 동기동기 유발유발 4.

4. 아동의아동의 공간공간 능력을능력을 일깨움일깨움→ → 수학에수학에 대한

대한 흥미흥미 신장신장 및및 수수 이해이해 기능기능 증진증진

(11)

입체도형

1. 대상의 묘사와 분류

(1)초급활동 (2)중급활동 (3)고급활동 (3)고급활동

2. 구성 탐구 및 발견

3. 입체도형의 2차원적 표현

(12)

1.

1. 대상의대상의 묘사와묘사와 분류분류

둘 이상의 물체가 도형의 성질에 따라

어떻게 비슷하거나 다른지 알기 위해서는?

3차원의 물체의 성질을 묘사할 수 있어야 함

(13)

1)

1) 초급초급 활동활동

-- 도형의도형의 용어를용어를 배움배움

- 용어의 의미를 알고 사용하기 위해 필요한 분별력은 아직 미숙

(14)

2)

2) 중급중급 활동활동

-- 입체의입체의 이름을이름을 소개소개

-- 모서리모서리, , 면면 꼭지점뿐꼭지점뿐 아니라아니라 크기를크기를 고려고려

(15)

3)

3) 고급고급 활동활동

-- 입체에입체에 대한대한 주의주의 깊은깊은 정의와정의와 분류분류

-- 평행과평행과 수직인수직인 면과면과 모서리의모서리의 성질에성질에 초점초점

(16)

2. 구성, 탐구 및 발견

• 아동이 도형에 대해 갖는 어려움: 입체의 시각화

• 모델을 찾거나 만들어서 도형을 익힌다

(17)

1. 종이 튜브 만들기

두꺼운 종이를 접거나 잘라서 밑면과 윗면

이 없는 각기둥 또는 원기둥을 만든다 오일러(Euler)공식 V+F=2+E

V+F=E 로 활용가능

(18)

2. 막대 모델

빨대, 이쑤시개 등의 막대로 모델 만들기 - 다각형의 견고성을 조사할 수 있다

3. 전개도

어떤 입체가 전개도로부터 구성될 수 있는 지를 알 수 있게 한다

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A X D B

Q : X Q : X Q : X

Q : X면이면이면이면이 밑면에밑면에밑면에밑면에 오면오면오면 제일오면 제일제일제일 윗면에는윗면에는윗면에는윗면에는 무슨무슨무슨무슨 글자가글자가글자가글자가 올올올올 것인가것인가것인가것인가

A X D

C

(20)

3.

3. 입체도형의입체도형의 22차원적차원적 표현표현

아동은

3차원 물체를 2차원으로 표현

3차원 물체를 2차원 부분들로 분석 할 수 있어야 한다.

(21)

1) 면의 자국을 입체와 짝짓기

입체도형의 수직단면 및 평행 단면을 알아볼 수 있는 활동

(22)

2) 입체에 대한 여러 겨냥도를 찾기

다음 중 원기둥에 대한 겨냥도는?

→ 3차원 도형을 2차원 평면에 옮겨보는 활동

(23)

3) 입체 단면의 시각화

다음 도형을 ‘ㄱ’방향으로 자른 단면은?

다음과 같이 원뿔을 자른 단면은?

(24)

4) 입체를 그려보는 활동

다방면에서 보는 각기둥의 모습을 표현하기 위한 활동

모눈종이를 사용한다.

(25)

평면도형

1. 도형의 성질 1) 변의 개수 2) 꼭지점의 수 3) 대칭

4) 변의 길이 5) 각의 크기

6) 평행인 변과 수직인 변 7) 볼록과 오목

8) 높이

(26)

도형의도형의

도형의도형의 성질성질성질성질

- 2차원 도형, 그 도형 사이의 관계, 분류, 구조 등이 고려 될 것

- 점판(geoboard), 패턴 블록, 종이띠와 같은 구체물을 포 - 점판(geoboard), 패턴 블록, 종이띠와 같은 구체물을 포

함하는 예시적인 활동을 통해 제시

- 평면도형(2차원 도형)을 조사할 때 1차원적인 변이나 꼭 지점에 주목하게 됨.

(27)

1.

1. 1.

1. 도형의도형의도형의도형의 성질성질성질성질

- 아동에게 도형에 대한 풍부한 이미지를 주려

면?(도형의 예와 예가 아닌 것을 다양하게 제시) - 도형 간에 차이를 묘사하는 방법 필요(도형에 대 - 도형 간에 차이를 묘사하는 방법 필요(도형에 대

하여 그들의 지식을 기술하고 확장하는 능력의 개발을 도울 수 있다)

(28)

1) 변의 개수

변이 몇 개일까 요?

(29)

2. ~ 를 만들 수 있는가?

- 점판에 주어진 수 만큼의 변을 갖 는 도형을 만든다.

- 간단한 도형을 만들도록 하는 것 으로 시작하여 점차 다른 조건을 으로 시작하여 점차 다른 조건을 첨가한다.

(네 개의 변을 갖는 도형을 만들 수 있는가

네 개의 못을 지나고 네 개의 변을 갖는 도형을 만들 수 있는가

여섯 개의 못을 지나고 네 개의 변을 갖는 도형을 만들 수 있는가)

(30)

2) 꼭지점의 수

• 꼭지점의 수는 변의 수와 밀접하 게 관련됨

변의 수 = 꼭지점의 수

• 변의 수를 세기 위한 활동이 꼭지

• 변의 수를 세기 위한 활동이 꼭지 점을 세기 위한 것으로 수정될 수 있다.

(31)

3) 대칭

• 선대칭

- 중심에서 접는 법.

- 시각적 지각

- 대칭축으로 접어보기 - 대칭축으로 접어보기

- 주변 물건에서 대칭을 찾아보도록 하기.

(32)

LOGO 프로그램을 이용한 대칭

(33)

4) 변의 길이

• 도형에 대한 분류 구조뿐만 아니라 도형의 정의 중 많은 부분이 변의 길이에 달려있 음

(34)

5) 각의 크기

• 아동이 발견할 수 있는 성질

1. 삼각형 내각의 합은 180도 2. 사각형 내각의 합은 360도

3. 이등변삼각형의 밑각의 크기는 같다 4. 평행사변형의 대각의 크기는 같다

5. 변이 네 개 이상인 다각형은 각의 크기가 같지 않아도 변 의 길이가 같을 수 있다

6. 삼각형의 가장 긴 변이 대각이 가장 크다

(35)

6)평행인 변과 수직인 변

• 평행

- 평면에서 두 직선이 서로 만나지 않으면 평행 - 두 직선의 수직 거리가 항상 같은 거리이면 평행 평행선

- 책의 대변 - 책의 대변

- 알파벳 E에서 가로선 - 칠판의 위와 아래

수직선

- 책의 인접한 변

- 알파벳 E에서 세로선과 가로선

(36)

7)볼록과 오목

• 볼록 도형(내각이 180도 미만인 다각형)

변이 네 개이고 오목인 도형을 그릴 수 있는가?

변이 다섯 개이고 두 곳에서 오목인 도형을 그릴 수 있는가?

수 있는가?

(37)

볼록 도형과 오목도형

(38)

8) 높이

• 밑변이 무엇인가에 따라 높이가 결정됨.

• 높이는 도형의 넓이를 구할 때 필수적.

(39)

2. 도형의 이름

• 아동은 정의를 통해서가 아니라, 예와 예가 아닌 것 을 통해 도형의 유형을 인식해야 한다.

(40)

3. 도형 사이의 관계

1 ) 합동

- 두 도형이 같은 크기와 같은 모양을 가진 것.

합동 넓이가 같음

많은 아동들이 어려움을 느낌.

합동이라는 단어를 먼저 가르치지 말고 두 도형을 먼저 맞추어 보도록 하고

점차 합동이라는 단어를 소개하고 사용해야 함.

(41)

합 동

합동이 아니다

(42)

2 ) 닮음

- 두 도형의 대응하는 각의 크기가 같고, 대 응하는 변의 길이의 비가 같음.

(43)

4. 분류 구조

1 ) 삼각형

변 각

정삼각형: 세 개의 변이 합동 예각삼각형: 모든 각이 90˚보다 작다.

이등변삼각형: 적어도 두 개의 변이 합동 직각삼각형: 한 각이 90˚

부등변삼각형: 합동인 변이 없다. 둔각삼각형: 한 각이 90˚보다 크다.

(44)

2 ) 사각형

정사각형 평행사변형

직사각형 마름모

도형의 예를 인식하는 수준을 넘어, 도형을 정의하는 성질에 대한 이해가 필요.

(45)

3 ) 다각형

변의 수에 따라 이름이 붙여짐

3개의 변 : 삼각형 4개의 변 : 사각형 5개의 변 : 오각형 6개의 변 : 육각형 7개의 변 : 칠각형 8개의 변 : 팔각형 9개의 변 : 구각형 10개의 변 : 십각형

어렵진 않지만 정다각형만 고려하는 경우 多 실물을 생각하도록 유도