6. 처짐
6.1. 개설
￭ Hook의 법칙이 성립하는 선형탄성 시스템에서의 처짐
￭ 기하학적 방법 : 직접적분법, 모멘트 면적법, 공액보법
￭ Energy 방법 : 가상일의 법, Castigliano 법 (캐스틸리아노)
6.2. 직접적분법
￭ 처짐을 구하기 위해서 아래의 힘의 평형조건에 의한 의 미 분관계식을 처짐을 변수로 하는 관계식으로 나타낸다.
,
(6.1)
￭ 평면유지의 가정(Bernoulli 가정): 변형 전 보의 중심축에 수직이고 평면인 단면 은, 변형 후에도 중심축에 수직이고 평면이다.
￭ 휨 부재의 미분요소 에 대하여
중립축
·
·
￭ 처짐식 , 처짐각식 ′
(6.2)
￭ 곡률
″ , : 곡률반경
:처짐, ′:처짐각 ′ ≪ → ′ ≈ ∴
″ (6.3)
￭ 중립축으로부터 만큼 떨어진 부분에서의 변형된 길이 와 변형율
￭ 모멘트와 곡률 관계
: 단면 2차 모멘트, ex) 직사각형 단면( × ):
식 (6.1)과 (6.7)로부터 보의 미분방정식은
(6.8) (6.9) (6.10)
하중 가 주어지면 식(6.8, 6.9, 6.10)을 적분하여 처짐식 , 전단력식 , 모멘트식 을 구할 수 있다. 이때, 적분상수는 경계조건을 이용하여 결정
￭ 정정보의 경우 단면모멘트 을 구할 수 있으므로, 식(6.8)을 이용
는 경계조건으로부터 구한다.
예) 단순보의 경우
예) 캔틸레버 보의 처짐
미분 방정식: ″
경계 조건
1) 적분식의 계산
2) 경계조건
3) 처짐 및 처짐각식
예) 단순보의 처짐 (과제)
미분방정식 : ″
경계조건:
예제 6-1 아래 부정정 보의 모멘트식 및 처짐식을 구하시오.
미분방정식 :
경계조건:
a), b) c), d)
1) 적분식의 계산
(1)
″′
(2)
″
(3)
′
(4)
(5)
2) 경계조건
a), b)로부터 식 (4), (5)에서
′
c)로 부터 ( ) 식 (5)에서
(6) d)로 부터 ( ″ ) 식 (3)에서
(7)
를 식 (6)에 대입하면
3) 모멘트식 및 처짐식 식 (3)과 식 (5)로부터
검산:
예제 6-2 아래의 내부에 집중하중을 받는 켄틸레버보의 모멘트식, 처짐식 및 처짐각식을 구하시오. (과제)
미분방정식:
경계조건:
1) 적분식의 계산
2) 경계조건:
식 (1), (2), (3), (4) 로부터
,
,
3) 모멘트식 및 처짐식
▉ 온도하중
n 부재의 상부와 하부가 온도 변화에 의해 변형이 발생될 때, 온도하중을 평균온 도 변화와 구배온도 변화로 구분
n 평균온도 변화는 축변형 또는 축력을, 구배온도 변화는 휨변형 또는 휨모멘트를 발생시킨다.
n 정정 구조물에 작용하는 온도하중은 그로 인한 변형이 구속되지 않음으로 부재 력을 발생시키지 않는다.
= +
, (6.11)
n 평균온도변화: 부재의 전단면에 동일한 변형으로 인해 축방향 변위를 발생
(6.12)
: 온도팽창계수, 예) 강재, 콘크리트: ×
길이 인 부재의 온도변화 에 의한 길이 변화
(6.13)
예) 길이 벽체에 의 평균온도 변화 작용시
n 구배온도변화 () : “+”온도 변화를 받는 면은 인장, “-”온도 변화를 받는 면은 압축으로 인해 휨변형 발생
- 온도변화에 의한 곡률변화 ″는
·
(6.14)
- 하중에 의한 휨모멘트가 부재에 작용할 때 이를 함께 고려하면 (6.15)
예제 6-3 구배온도변화를 받는 캔틸레버보의 처짐
- 구배온도변화로 인하여 부재에 휨모멘트 가 발생한다고 가정
1) 미분방정식 ″′
″
′
2) 경계조건
3) 처짐식
,
예제 6-4 구배온도변화를 받는 부정정 보의 처짐
1) 미분방정식
″
·
, ″′ , ″
′
,
2) 경계조건
3) 처짐식
·
·
→
″
→
·
·
·
·
·
·
n 부정정 구조물이 구배온도변화를 받을 경우 차가운 쪽에 인장을 받는 모멘트가 발생, 모멘트의 크기는 단면강성 가 클수록 크다. 부재높이 에 대하여 제곱
6.2.1. 모멘트 면적법
n 모멘트 면적법 제1 정리 ″
로부터
§ 두 점 사이의 점 처짐각 에 대한 점 처짐각 의 상대회전각 는
의 면적 ×
또한,
이므로§ 두 점 사이의 점 처짐각 에 대한 점 처짐각 의 상대회전각 는
의 면적
n 모멘트 면적법 제2 정리
: 처짐곡선의 점에 대한 거리
:
:
n
의 계산
→ lim
→ lim
∆
∆ ∆
: 점 에서
면적의 중심까지 거리
처짐 곡선 상의 두 점 에 대하여, 한 점 에서 그은 접선과 다른 점와의 처짐 방향 거리
는 두 점 사이의
선도의 면적에 점에서 그 면적의 중심까지 거리()의 곱에 음의
부호를 취한 값.
같은 방법으로 는
예) 단순보에서 ∆
∆
예) 캔틸레버보에서 ∆
∆
n 단면적 및 중심거리
예제 6-5 C점에서의 처짐 및 처짐각을 구하시오.
·
(
도)
(변형도)
1) 반력
2)
도 작성, 변형도 예측
3) 계산
예제 6-6 C점에서의 처짐 및 처짐각을 구하시오.
()
(
도)
(변형도)
1) 반력
2)
도, 변형도 작성
3) 계산
예제 6-7 다음 보의 점에서의 처짐를 구하시오.
( × , × , × )
·
(1) 반력 산정
(2)
(3)
선도
(4) 변형도
∆′
∆
∆′
∆′
∆ ∆′
(5) 의 계산
6.3. 공액보법 (Mohr's analogy, 탄성하중법) 6.3.1 탄성하중 정리
공액보 실제보
■ 와 ′ 그리고 과 의 경계조건이 같다면 이므로 ′ , 이다.
■ 하중 에 의해 발생하는 모멘트 을 이용하여 가상보에
를 하중으로 작용시킬 때,
가상보에 생기는 모멘트 는 주어진 실제보의 처짐 를 나타낸다. 이 때, 가상보를 공액보라 하며,
를 탄성하중이라 한다.
■ 정리1
실제 보의 한 점에서 작용하는 처짐각 ′은
를 하중으로 재하시킨 공액보의
해당점에서의 전단력 ′ 와 같다.
■ 정리2
실제 보의 한 점에서 작용하는 처짐 은
를 탄성하중으로 재하시킨 공액보의
해당점에서의 모멘트 와 같다.
■ 공액보는 실제 보에서의 처짐과 기울기를 나타내는 경계조건을 만족해야 한다.
예)
실제하중 탄성하중
(실제보)
(공액보)
■ 공액보의 경계조건
실제보
지점 변위조건
공액보
지점 변위조건
1
2
3
4
5 Case
실제보 공액보
지점 변위조건 지점 대응변환 반력조건
■ 공액보의 경계조건 - Case 4
■ 공액보의 경계조건 - Case 5
(실제보) (공액보)
≠ ≠
≠ ≠
≠ ≠
(BMD)
실제보
(BMD) 공액보
■ 공액보의 경계조건 적용예
실제보 공액보
1
2 Case
※ 공액보가 불안정한 시스템이어도 하중과 반력에 의해 평형조건이 만족됨
(실제보) (공액보)
M=0
V =V ≠0R L
v=0
θ =θ ≠0R L
≠
≠
(공액보) (실제보)
(BMD)
실제보
(BMD) 공액보
예) 변형도를 구하라. ( , )
(실제보)
′
′
′ (공액보)
′ ′
(변형도)
예) 변형도를 구하라. ( , ) : 공액보가 불안정으로 나타나는 경우의 예
′
′
′
(BMD)
(실제보) (공액보)
′
￭ 평형검토
′
′ ′
변곡
예제 6-8 다음 보를 공액보법을 이용하여 각 점의 처짐과 처짐각을 구하시오.
(구간 , 구간 )
1. 반력 산정 ￭ 부재
￭ 부재
↷
, ↑
￭ 부재
2. 휨모멘트도
⊖
⊖
⊕
부재
↷
·↑
·부재
↷
·↑
·3. 공액보와 탄성하중
⊖ ⊖
⊕
·
5. 공액보에서의 반력
·
6.처짐과 처짐각
공액보에서 전단력과 모멘트는 각각 원래보에서 처짐각과 처짐을 나타낸다.
￭ 지점
, , ￭ 지점
지점 지점 지점 지점 지점 지점
·
· ￭ 지점
￭ 지점
￭ 지점
6.4. 일의 원리(principal of work)
n 외부일 : 구조물에 가해진 외력이 (작용하는 힘의 방향으로) 발생된 변위에 대하여 한 일 ()
n 내부일 : 외부일이 발생되는 과정에서 구조물의 내부력이 한 일 () 또는 변형 전 구조물이 원래의 상태로 복구하려는 에너지
・ (6.4.1)
n 에너지 원리 : 평형상태에 있는 구조물의 외부일과 내부일의 합은 “0”이다.
(6.4.2)
n 능동적 일(active work, , ) : 구조물에 가해진 힘이 변위를 발생시켜서 한 일
n 수동적 일(passive work, , ) : 구조물에 가해진 힘이 외부의 다른 원인 (힘, 지점이동, 온도변화 등)에 의해 변위가 발생함으로 수행된 일
n 능동적 일과 수동적 일의 예
아래의 보에 이 먼저 작용(Force System1, 역계1)한 후, 가 작용(Force System2, 역계2)하였을 때, 능동적 일은 과 , 와 에 의해 발생하고, 수동적 일은 과 에 의해 발생
원인
위치
6.4.1 능동적 외부일()
n 축력부재에서의 외부일
￭ 축력을 받는 부재의 한점에 작용하는 힘 가 의 변위를 발생 시킬때 힘 가 미소변위 에 대하여 한 미소일의 양 는
(6.4.3)
이며 전체 변위 에 대하여 한 일의 양 는
(6.4.4)
￭ 힘 와 변위 가 선형관계를 나타낼 경우
(6.4.5)
:축강성
￭ 는 물리적 의미를 갖지 않는 보완적 외부일(Complementary Work)
(6.4.6)
￭ 축분포하중 에 의한 외부일은
(6.4.7)
n 휨 부재에서의 외부일
￭ 휨 부재의 한 점에 작용하는 집중하중 또는 분포하중 이 부재 축에 대 한 수직방향 변위 또는 를 발생시킬 때의 외부일은 부재 휨 강성 를 고 려하여 앞의 식 (6.4.4)와 (6.4.7)에 대한 동일한 유도과정을 통하여 아래와 같 이 표현된다.
(6.4.8)
￭ 같은 방법으로 모멘트 하중 이 의 회전각을 발생시킬때 이 미소회전각
에 대하여 한 미소 일의 양 와 전체 일의 양은
(6.4.9)
￭ 모멘트 과 회전각 가 선형관계를 나타낼 경우
(6.4.10)
6.4.2 능동적 내부일()
§ 내부일은 변형에너지(strain energy)라 하며 변형을 회복시키려는 탄성에너지
§ ・의 물성을 갖는 부재의 미소체적 ・・ 에서 발생한 내부일
・・ ・
・ (6.4.11)
§ 부재 전체에 발생한 내부일
(6.4.12)n 축력에 의한 내부일
￭ 축력, 축응력, 변형율 관계
・ (6.4.13)
·
￭ 축력에 의한 내부일
부재 전체에 발생한 내부일
(6.4.14) 예) 개의 부재로 구성된 트러스 구조 :
부재수n 휨모멘트에 의한 내부일
￭ 휨모멘트, 휨응력, 변형율 관계 및 단면특성
・ ・
(6.4.15)￭ 휨모멘트에 의한 내부일
・
・
・
단면휨강성 (6.4.16)n 전단력에 의한 내부일
￭ 전단력, 전단응력, 변형율 관계 및 단면특성
(6.4.17)
m ax
￭ 직사각형 단면에서의 단면1차모멘트
(6.4.18)
￭ 부재의 한 단면 ( )에서 내부일
(6.4.19)
￭ 평균전단응력
을 이용한 한 부재 단면에서의 근사계산에 의한 내
부일
(6.4.20)
￭ 단면형상계수 에 의한 근사계산의 보정
￭ 직사각형 단면에서의
・・
(6.4.22) cf) 원형단면에서의 ￭ 전단력에 의한 내부일
(6.4.23)
n 비틀림력(Torque)에 의한 내부일
￭ 비틀림력, 비틀림 응력, 비틀림 변형율 관계 및 단면 특성
・
・
비틀림상수 (6.4.24)￭ 비틀림력에 의한 내부일
・
・ ・ ・
단면비틀림강성 (6.4.25)n 부재의 능동적 내부일
(6.4.26) 단면강성단면력2
6.4.3 수동적 외부일()과 수동적 내부일()
축력부재 및 휨부재에서의 수동적 외부일 및 수동적 내부일은 능동적 외부일 및 능동적 내부일과 동일하나 외부힘()과 변위( ) 그리고 내부력()과 변형율( )은 각각 상호 물리적 관계를 갖지 않으므로 일의 계산과정에서 “
”이 나타나지 않 는다.
n 축력부재에서의 수동적 외부일
￭ 축력 가 작용하여 평형상태에 있는 축력부재에 외부의 다른 원인으로 변위 가 발생하였을 때 축력 가 변위 에 대하여 한 수동적 외부일
(6.4.27)n 휨부재에서의 수동적 외부일
￭ 집중하중 , 분포하중 또는 휨모멘트 이 작용하여 평형상태에 있는 휨부재에 외부의 다른 원인으로 변위 , 또는 가 발생하였을 때 ,
, 이 변위 또는 에 대하여 한 수동적 외부일
(6.4.28)
n 부재의 수동적 내부일()
￭ 부재의 미소체적 ・・ 에서 하중에 의한 응력 와 다른 원인에 의 한 변위 에 의한 변형률 에 의해 발생한 수동적 내부일
・・
(6.4.29)￭ 축력에 의한 수동적 내부일
・
(6.4.30)
￭ 휨모멘트에 의한 수동적 내부일
・
(6.4.31)￭ 부재의 수동적 내부일
(6.4.32)n 능동적 일과 수동적 일
￭ 아래의 보에 이 먼저 작용(Force System1, 역계1)한 후, 가 작용(Force System2, 역계2)하였을 때, 능동적 일은 과 , 와 에 의해 발생하고, 수동적 일은 과 에 의해 발생
원인 위치
, 에 의한 외부일은
(6.4.33)
단면강성 단면력・ 단면력
에 의한 일
능동 수동 능동
에 의한 일
6.5. 가상일의 원리(principal of virtual work)
n 하중이 작용하여 변위가 발생하고 평형상태에 있는 구조물에 미소한 가상의 변위
를 발생시키면, 작용하고 있는 하중이 가상의 변위에 대하여 한 가상의 외부일 (수동적 외부일) 와 하중에 의해 구조물의 내부에 발생한 내부력이 이 가 상변위에 의해 발생한 내부 변형에 대하여 한 가상의 내부일(수동적 내부일)
의 합은“0”이다.
(6.5.1)
n 축하중을 받는 봉의 예
축하중 에 의해 변위 가 발생한 평형상태에서 가상의 변위 가 발생하면 가상 의 외부일 는
・ (6.5.2)
이때 봉에 발생하는 가상의 내부일은 이미 작용하고 있는 축하중 에 의한 단면 응력 와 가상의 변위 에 의한 가상의 변형률 에 대하여
・
・
・・ 으로부터 ・ ・・ ≠
위의 결과는 봉의 임의의 단면에서 평형조건이 만족됨을 보이므로 가상일의 원리 가 유효함을 나타낸다.
6.6. 가상힘에 의한 일의 원리(principal of complementary virtual work)
n 구조물에 가상의 힘 를 작용시킨 후 실제의 하중 를 작용시켜 변위가 발생하
고 구조물이 평형상태에 도달할 때, 가상의 힘 가 실제하중에 의해 발생한 변위
에 대하여 한 가상의 외부일(수동적 외부일) 와 가상의 힘 에 의해 발생한 내부력 가 실제하중에 의해 부재에 발생한 변형 에 대하여 한 가상의 내부일
의 합은 “”이다. 이때, 가상힘은 실제 구조물에 나타날 수 없는 이론적인 힘 이다.
n 축하중을 받는 봉의 예
・
으로부터
·
≠
·
·
위의 결과는 봉의 임의의 단면에서 만족되므로, 가상힘의 원리는 유효함을 나타 낸다.
