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정답 및 해설Ⅳ. 도형의 기초
청담초등학교 홍길동
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1. 다음 중 △ ABC 가 하나로 결정되는 것은?
① AB = 3 cm , ∠ A = 30° , ∠ C = 60°
② BC = 3 cm , CA = 2 cm , ∠ C = 180°
③ ∠A = 40° , ∠ B = 90° , ∠C = 50°
④ AB = 6 cm , BC = 3 cm , AC = 3 cm
⑤ AB = 3 cm , AC = 2 cm , ∠ C = 30°
(답) ①
(풀이) ① ∠B = 180°-(∠A+∠C)
= 180° -( 30°+ 60°)
= 90°
따라서, 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 주어졌으 므로 삼각형이 하나로 결정된다.
2. 다음 그림과 같이 사각형 ABCD 의 내부에 점 P 를 작도하려고 한다. 점 P 가 다음 조건을 모두 만족시키 도록 할 때, 점 P 의 작도를 위해 작도해야 할 것을
<보기>에서 모두 고른 것은?
(가) 점 P 는 두 변 BC , CD 에서 같은 거 리에 있다.
(나) 점 P 는 두 꼭짓점 A , B 에서 같은 거리에 있다.
<보기>
ㄱ. 선분 AB 의 수직이등분선 ㄴ. 선분 CD 의 수직이등분선 ㄷ. ∠A 의 이등분선
ㄹ. ∠C 의 이등분선
① ㄱ, ㄷ ② ㄱ, ㄹ ③ ㄴ, ㄷ
④ ㄴ, ㄹ ⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ
(답) ② (풀이)
점 P 가 두 변 BC , CD 에서 같은 거리에 있으려면 점 P 는 ∠C 의 이등분선 위에 있어야 한다.
또 점 P 가 두 꼭짓점 A , B 에서 같은 거리에 있으 려면 점 P 는 선분 AB 의 수직이등분선 위에 있어야 한다.
따라서 작도해야 할 것은 ㄱ, ㄹ이다.
3. 아래 그림은 선분 AB 를 삼등분하는 점을 작도하는 과 정이다. 다음 중 옳지 않은 것은?
① AC = AP ② AP = PQ = QR
③ AC = CD = DB ④ CP // DQ // BR
⑤ 작도 순서는 ㉥ → ㉠ → ㉡ → ㉢ → ㉤ → ㉣이 다.
(답) ①
(풀이) ① AC = AP 일 수도 있고, AC /= AP 일 수도 있다.
작도 순서는 다음과 같다.
㉥ 점 A 를 지나는 반직선을 긋는다.
㉠, ㉡, ㉢ 점 A 를 중심으로 하는 원을 그려 ㉥에서 그린 반직선과의 교점을 P , 점 P 를 중심으로 하
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고 반지름의 길이가 AP 인 원을 그려 ㉥에서 그린 반직선과의 교점을 Q , 점 Q 를 중심으로 하고 반 지름의 길이가 AP 인 원을 그려 ㉥에서 그린 반직 선과의 교점을 R 라 한다.
㉤ 점 B 와 점 R 를 잇는다.
㉣ 점 P 와 점 Q 를 지나면서 BR 와 평행한 직선을 각각 그어 AB 와의 교점을 각각 C , D 라 하면 두 점 C , D 가 선분 A , B 를 삼등분하는 점이 다.
4. 다음은 세 변의 길이 a , b , c 가 주어졌을 때,
△ABC 를 작도하는 과정이다. ① ～ ⑤ 에 들어갈 것으로 바르게 연결되지 않은 것은?
㉠ 점 B 를 지나는 직선 l 위에 길이가 a 가 되도록 점 ① 를 잡는다.
㉡ 점 B 를 중심으로 반지름의 길이가
② 인 원을 그린다.
㉢ 점 C 를 중심으로 반지름의 길이가
③ 인 원을 그린다.
㉣ 두 점 B , C 를 각각 중심으로 하는 두 원의 교점을 점 ④ 라 하고, AB ,
AC를 이으면 ⑤ 가 된다.
① C ② a ③ b
④ A ⑤ △ABC
(답) ②
(풀이) ② c
5. 한 변의 길이가 8 cm 이고 두 각의 크기가 35° , 70° 인 삼각형의 개수를 구하여라.
(답) 3 개
(풀이) 삼각형의 세 각의 크기의 합은 180° 이므로 나 머지 한 각의 크기는
180°- ( 35°+ 70°) = 75°
따라서 길이가 8 cm 인 변의 양 끝각의 크기가 35° , 70° 또는 35° , 75° 또는 70° , 75° 인 3 개의 삼각 형을 그릴 수 있다.
6. 세 변의 길이가 자연수이고, 세 변의 길이의 합이 20 인 삼각형을 작도하려고 한다. 이때, 만들 수 있는 삼각형의 개수를 구하여라.
(답) 8 개
(풀이) 세 변의 길이를 a , b , c ( a ≤ b ≤ c )라 하면 a + b+ c = 20 이고 c ＜ 20
2 = 10 (ⅰ) c = 9 일 때, ( a, b) 의 순서쌍
: ( 2, 9) , ( 3, 8) , ( 4, 7) , ( 5, 6)
⇨ 4 개
(ⅱ) c = 8 일 때, ( a, b) 의 순서쌍
: ( 4, 8) , ( 5, 7) , ( 6, 6) ⇨ 3 개 (ⅲ) c = 7 일 때, ( a, b) 의 순서쌍
: ( 6, 7) ⇨ 1 개
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 만들 수 있는 삼각형의 개수는 4+ 3 + 1 = 8 (개)
7. 길이가 각각 4 cm , 11 cm 인 선분으로 삼각형을 작도 할 때, 나머지 한 변의 길이가 될 수 있는 것을 모두 고 르면?
① 5 cm ② 7 cm ③ 9 cm
④ 12 cm ⑤ 15 cm
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(답) ③, ④
(풀이) 나머지 한 변의 길이를 x cm 라 하면 11 - 4 ＜ x ＜ 11 + 4 ∴ 7 ＜ x ＜ 15
8. AB = 7 cm , BC = 12 cm , ∠ C = 30° 가 주어질 때, 만들 수 있는 △ABC 의 개수를 구하여라.
(답) 2 개
(풀이) 다음 그림과 같이 AB = 7 cm ,
BC = 12 cm , ∠ C = 30 ° 인 삼각형은 2 개이다.
9. 삼각형의 세 변의 길이가 x - 3 , x + 2 , x + 8 일 때, 다음 중 x 의 값이 될 수 없는 것은?
① 9 ② 10 ③ 11
④ 12 ⑤ 13
(답) ①
(풀이) 가장 긴 변의 길이는 x + 8 이므로 x + 8 ＜ ( x -3) + ( x +2)
x + 8 ＜ 2x - 1 ∴ x ＞ 9
따라서 x 의 값이 될 수 없는 것은 ①이다.
10. 다음 그림과 같이 △ABC 를 작도하는데 ∠ B 의 크 기가 주어졌다. 다음 중 주어진 조건을 추가하였을 때,
△ABC 가 하나로 정해지지 않는 것은?
① AB 와 BC ② ∠A 와 AB
③ ∠ C 와 AC ④ ∠ C 와 BC
⑤ ∠A 와 ∠ C
(답) ⑤
(풀이) ③ ∠ B 와 ∠C 의 크기가 주어졌으므로
∠A 의 크기도 알 수 있다. 즉, 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어진 것과 같으므로 삼각형이 하나로 정해진다.
⑤ 세 각의 크기가 주어지면 무수히 많은 삼각형을 작 도할 수 있다.
