AB AB ⁀ AB AB⊥CD AB

<1∼3학년>

영역 2007 교육과정 2009 교육과정 수학적

과정 비고

기하

 기본 도형(1학년)

① 점, 선, 면, 각의 성질을 이해 한다.

② 점, 직선, 평면의 위치 관계를 이해한다.

③ 평행선의 성질을 이해한다.

 기본 도형(1학년)

① 점, 선, 면, 각을 이해하고, 점, 직선, 평면의 위치 관계 를 설명할 수 있다.

② 평행선에서 동위각과 엇각 의 성질을 이해한다.

① 의사 소통

 작도와 합동(1학년)

① 간단한 도형을 작도할 수 있 다.

② 합동인 도형의 성질을 이해한 다.

③ 삼각형의 결정조건과 합동조 건을 이해한다.

 작도와 합동(1학년)

① 삼각형을 작도할 수 있다.

② 삼각형의 합동 조건을 이해 하고, 이를 이용하여 두 삼 각형이 합동인지 판별할 수 있다.

② 추론

•삭제 : 삼 각형의 결정 조건(삼각형 의 합동조건 과 내용 중 복)

 평면도형의 성질(1학년)

① 다각형의 성질을 이해한다.

② 다각형의 내각과 외각의 크기 를 구할 수 있다.

③ 부채꼴의 중심각과 호의 관계 를 이해한다.

④ 부채꼴의 넓이와 호의 길이를 구할 수 있다.

⑤ 원과 직선의 위치 관계를 이해 한다.

⑥ 두 원의 위치 관계를 이해한 다.

 평면도형의 성질(1학년)

① 다각형의 성질을 이해한다.

② 부채꼴의 중심각과 호의 관 계를 이해하고, 이를 이용 하여 부채꼴의 넓이와 호 의 길이를 구할 수 있다.

① 추론

② 문제 해결

•학년 이동 : 현행 ⑤에 서 ‘할선’과

‘접선’의 개 념만 중영역

‘삼각형과 사 각형의 성질’ 의 내접원과 외접원 도입 부분에서 간 단하게 제시

•삭제 : 현 행 ⑤, ⑥

기하

평면이나 공간에서 도형에 관한 기본적인 성질의 이해는 자연, 예술, 건축, 그래픽, 공간 탐험, 지도 읽기 등 실생활 상황의 문제를 해결하는 데 기초가 되며, 도형의 성질에 대한 증명은 고대 그리스 이래로 연역적 추론 의 전형으로 인식되어 왔다. 또한, 여러 가지 도형의 개념과 성질은 수학의 다른 여러 분야의 개념과 밀접하게 관련되어 있다.

기하 문제는 해결 방법이 다양하기 때문에 문제해결 능력과 수학적 창의성을 신장시킬 수 있는 좋은 소재 이다. 특히 도형에 관한 명제는 그에 대한 일반화나 유추, 조건의 변형 등을 통해 새로운 문제를 만들 수 있는 경험을 제공할 수 있어 학생의 문제 만들기 능력을 신장시킬 수 있는 좋은 소재이기도 하다.

중학교 기하 영역에서는 자연 현상이나 실생활의 상황을 통해 평면과 공간 및 평면도형과 입체도형의 개념 을 직관적으로 이해하고, 여러 가지 도형의 성질을 학생의 수준에 따라 직관적으로 혹은 연역적 추론을 통해 이해하고 탐구하며, 이를 활용하여 여러 가지 문제를 해결하는 학습 활동을 한다.

<1∼3학년>

영역 2007 교육과정 2009 교육과정 수학적

과정 비고

 입체도형의 성질(1학년)

① 다면체의 뜻을 알고, 그 성질 을 이해한다.

② 회전체의 뜻을 알고, 그 성질 을 이해한다.

③ 입체도형의 겉넓이와 부피를 구할 수 있다.

 입체도형의 성질(1학년)

① 다면체의 뜻을 알고, 그 성질 을 이해한다.

② 회전체의 뜻을 알고, 그 성질 을 이해한다.

③ 입체도형의 겉넓이와 부피를 구할 수 있다.

①,② 추론

③ 문제 해결 수 삼각형과 사각형의 성질(2학

년)

① 명제의 뜻과 증명의 의미를 이 해한다.

② 삼각형의 합동조건을 이용하 여 삼각형과 사각형의 성질을 증명할 수 있다.

수 삼각형과 사각형의 성질(2학 년)

① 이등변삼각형의 성질을 이해 하고 설명할 수 있다.

② 삼각형의 외심과 내심의 성질 을 이해하고 설명할 수 있다.

③ 사각형의 성질을 이해하고 설 명할 수 있다.

①,②,③ 추론,

의사 소통

•삭제 : 현 행 ① 의 명 제, 증명(엄 밀한 형식적 증명 대신 정당화로 학 습함)

 도형의 닮음(2학년)

① 도형의 닮음의 뜻을 안다.

② 닮은 도형의 성질을 이해한다.

③ 삼각형의 닮음조건을 이해한 다.

 도형의 닮음(2학년)

① 도형의 닮음의 뜻을 안다.

② 닮은 도형의 성질을 이해한 다.

③ 삼각형의 닮음조건을 이해하 고, 이를 이용하여 두 삼각형 이 닮음인지 판별할 수 있다.

③ 추론,

의사 소통

 닮음의 활용(2학년)

① 평행선 사이에 있는 선분의 길 이의 비에 대한 성질을 이해하 고, 이를 활용할 수 있다.

② 삼각형의 중점연결정리를 이 해하고, 이를 활용할 수 있다.

③ 닮음비를 이용하여 닮은 도형 의 넓이와 부피를 구할 수 있 다.

 닮음의 활용(2학년)

① 평행선 사이의 선분의 길이의 비를 구할 수 있다.

② 닮은 도형의 성질을 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

① 추론,

문제 해결

② 문제 해결

 피타고라스의 정리(3학년)

① 피타고라스의 정리를 알고, 이 를 증명할 수 있다.

② 피타고라스의 정리를 간단한 도형에 활용할 수 있다.

 피타고라스 정리(3학년)

① 피타고라스 정리를 이해하고 설명할 수 있다.

② 피타고라스 정리를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

① 추론,

의사 소통

② 문제 해결

 삼각비(3학년)  삼각비(3학년)

<1∼3학년>

영역 2007 교육과정 2009 교육과정 수학적

과정 비고

① 삼각비의 뜻을 알고, 간단한 삼각비의 값을 구할 수 있다.

② 삼각비를 활용하여 실생활 문 제를 해결할 수 있다.

① 삼각비의 뜻을 알고, 간단한 삼각비의 값을 구할 수 있다.

② 삼각비를 활용하여 다양한 실 생활 문제를 해결할 수 있다.

①,② 문제 해결



 원과 직선(3학년)

① 원에서 현에 관한 성질을 이해 한다.

② 원의 접선에 대한 성질을 이해 한다.



 원의 성질(3학년)

① 원의 현에 관한 성질과 접선 에 관한 성질을 이해한다.

② 원주각의 성질을 이해하고, 이를 활용하여 여러 가지 문 제를 해결할 수 있다.

①,② 추론, 문제 해결

•중영역 통 합 및 중영 역명 변경 (학습량 감 축)

• 삭제: 현 행 ②와③은 별개의 학습 목표로 두지 않고, 원주각 의 성질을 활용한 문제 로 간단히 제시



 원주각(3학년)

① 원주각의 성질을 이해하고, 이 를 활용할 수 있다.

② 원에 내접하는 사각형의 성질 을 이해한다.

③ 원과 비례에 관한 성질을 이해 한다.

용어 와 기호

교점, 교선, 반직선, 두 점 사이의 거리, 중점, 수직이등분선, 꼬 인 위치, 교각, 맞꼭지각, 엇각, 동위각, 평각, 직교, 수선의 발, 작도, 대변, 대각, 삼각형의 결 정조건, (도형의) 대응, 삼각형 의 합동조건, 내각, 외각, 부채 꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 공통현, 중 심선, 중심거리, 공통접선, 다 면체, 각뿔대, 정다면체, 원뿔 대, AB , AB , AB , l//m, ∠ABC , AB⊥ CD , △ABC ,

≡ , ⁀ , π, 명제, 가정,AB 결론, 역, 정의, 정리, 증명, 외 심, 외접, 외접원, 내심, 내접, 내접원, 닮음, 닮음비, 닮음의 중심, 닮음의 위치, 삼각형의 닮음조건, 중선, 무게중심,

p→q, □ABCD, ∽, 삼각비, 사인, 코사인, 탄젠트, 접선의 길이, 원주각, 내대각, sinA,

cosA, tanA

교점, 교선, 두 점 사이의 거리, 중점, 수직이등분선, 꼬인 위 치, 교각, 맞꼭지각, 엇각, 동 위각, 평각, 직교, 수선의 발, 작도, 대변, 대각, (도형의) 대 응, 삼각형의 합동조건, 내각, 외각, 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 다면체, 각뿔대, 정다면체, 원뿔대, 접선, 접점, 접한다, 외심, 외접, 외접원, 내심, 내접, 내접원, 중선, 무 게중심, 닮음, 닮음비, 삼각형 의 닮음조건, 피타고라스 정 리, 삼각비, 사인, 코사인, 탄 젠트, 원주각,  AB , AB ,

AB ,   , ∠ABC ,

AB ⊥CD , ∆ABC , ≡ ,

AB , , □ABCD, ∽, sin, cos, tan

• 이동(고 등) : 명제, 가정, 결론, 역, 정 의, 정리, 증 명, p→q

•삭제 공통현, 중심 선, 중심거 리, 공통접 선, 닮음의 중심, 닮음의 위치, 접선의 길이, 내대각 (학습량 감 축)

교수

․

① 점, 선, 면, 각, 원에 대한 성질 은 직관적으로 탐구한다.

① 점, 선, 면, 각과 관련된 용어 의 뜻을 직관적으로 이해하고,

① 추론

<1∼3학년>

영역 2007 교육과정 2009 교육과정 수학적

과정 비고

학습 상의 유의점

② 원주율은 특정한 수치가 주어 지지 않는 경우 π로 나타낸다.

③ p→q는 명제를 기호로 표현 하는 정도로만 다룬다.

④ 삼각형의 닮음조건과 합동조 건을 비교하여 그 차이점을 안 다.

⑤ 어려운 증명의 경우에는 증명 하기 전에 공학적 도구나 조작 활동을 통하여 증명해야 할 성 질을 직관적으로 이해하게 한 다.

⑥ 피타고라스의 정리의 역은 증 명 없이 문제 상황을 통해 간 단히 다룬다.

⑦ 삼각비 사이의 관계는 다루지 않는다.

⑧ 삼각비의 값은 0°에서 90°까지 의 각도에 대한 것을 다루고, 삼각비의 그래프는 다루지 않 는다.

⑨ 삼각비의 활용은 단순한 소재 를 택하여 간단히 다룬다.

이를 토대로 여러 가지 도형 의 성질을 추론할 수 있게 한 다.

② 주어진 삼각형과 합동인 삼각 형을 작도할 수 있게 한다.

③ 작도를 이용하여 삼각형의 합 동 조건을 이해하게 한다.

④ 다각형의 성질에서는 대각선 의 개수, 내각과 외각의 크기 의 합을 다룬다.

⑤ 다각형과 다면체는 그 모양이 볼록인 경우만 다룬다.

⑥ 사각형의 성질은 대각선에 관 한 성질을 위주로 다룬다.

⑦ 닮은 도형의 성질을 추론할 수 있게 한다.

⑧ 피타고라스 정리의 역은 직관 적으로 이해하게 한다.

⑨ 삼각비 사이의 관계는 다루지 않는다.

⑩ 삼각비의 값은 0°에서 90°까 지의 각도에 대한 것만 다룬 다.

⑪ 공학적 도구나 다양한 교구를 활용하여 도형의 성질을 추론 할 수 있게 한다.

⑫ 도형의 성질을 이해하고 설명 하는 활동은 학생의 수준에 따라 달리할 수 있다.

⑬ 접선의 길이 용어는 교수 학 습 상황에서 다루어질 수 있 다.

③ 추론

⑦ 추론

⑪ 추론

1. 기본도형 1.1. 이론적 배경

(1) 기하학의 발달단계

(가) 잠재적 기하학(subconscious geometry)

인류 최초의 기하학적 고찰은 틀림없이 아주 먼 옛날에 이루어졌으며, 물리적 형태를 인식하고 모양과 크기를 비교할 수 있는 인간의 능력으로부터 나온 간단한 관찰에서 무의식적으로 발생했을 것이다. 생각이 가장 빈약한 사람에게도 영향을 주었을 최초의 기하학적 개념의 하나는 분명히 거리의 개념, 특히 직선이 두 점을 연결하는 가장 짧은 경로라는 개념일 것이다. 왜냐하면 대부분의 동물은 본능적으로 이 개념을 인 식하는 것으로 보이기 때문이다. 잠재 의식에서 의식적인 상태로 서서히 나타난 초기의 또 다른 개념은 삼 각형이나 사각형과 같이 직선으로 둘러싸인 단순한 도형의 개념일 것이다. 사실, 경계를 만들 때, 먼저 귀 퉁이를 정하고 다음에 인접한 귀퉁이끼리 직선의 벽이나 담으로 연결하는 것은 거의 본능적으로 보인다.

벽을 만들면서, 연직, 평행, 수직의 개념이 서서히 나타났을 것이다. 대개 제멋대로 생긴 자연의 형태 중에 서 특히 돋보이는 많은 특수한 곡선은 사람의 잠재 의식을 감동시켰을 것이다. 이를테면 해와 보름달은 원 형이고, 무지개의 호와 통나무의 단면도 둥글다. 던져 올린 돌이 그리는 포물선 궤도, 늘어진 포도나무 줄 기의 현수선 모양의 곡선, 꼬인 줄의 소용돌이 곡선, 어떤 덩굴손의 나선형의 곡선 등도 관찰력이 가장 미 약한 사람마저도 마찬가지로 알아챘을 것이다. 어떤 거미는 정육각형과 거의 유사한 거미줄을 만든다. 연못 에 돌을 던졌을 때 나타나는 퍼져나가는 동심원들과 많은 조개 위에서 볼 수 있는 매력적인 둥근 홈들은 서로 관련된 곡선족을 연상시킨다. 많은 과일과 씨는 구 모양이고, 나무 줄기는 원기둥 모양이다. 원뿔 모 양도 자연의 곳곳에서 나타난다. 수박이나 도공의 녹로에서 볼 수 있는 작품과 같이, 자연에서 관찰되는 회 전면과 회전체는 호기심 많은 사람의 잠재 의식에 감명을 주었을 것이다. 사람과 동물 및 많은 나뭇잎은 좌우 대칭의 모습을 하고 있다. 부피의 개념은 양동이로 샘물이나 강물을 길을 때마다 나타났을 것이다. 공 간의 개념과 공간의 점에 대한 개념은 한밤에 하늘에 나타나는 별들을 볼 때마다 일어났을 것이다. 이와 같은 목록은 쉽게 확대된다.

많은 기하학적 개념에 대한 이와 같은 최초의 모호한 지식을 ‘잠재적 기하학(subconscious geometry)’

이라 부를 수 있다. 오늘날의 어린이와 마찬가지로, 이런 기하학은 원시인의 소박한 예술 작품에 사용되었 다.

(나) 과학적 기하학(scientific geometry)

기하학에서 둘째 단계는, 인간의 지력이 구체적인 기하학적 관계들의 모임으로부터 그것들을 특별한 경 우로 포함하는 일반적이고 추상적인 관계를 추출해낼 수 있을 때 나타났다. 그래서 기하학적 법칙이나 규 칙에 도달한다. 예를 들면, 여러 가지 직사각형을 모눈종이 위에 그린 다음에 직사각형 속에 포함되는 모눈 종이의 작은 정사각형들의 개수를 세어 직사각형의 넓이를 측정함으로써, 어린 초등학생은 곧 임의의 직사 각형의 넓이는 두 변 길이의 곱으로 주어질 것이라고 유도하게 된다. 그리고 줄자를 사용해서 여러 가지

나무 기둥의 둘레를 측정함으로써, 어린 학생도 임의의 원의 둘레는 그 원의 지름의 세 배보다 약간 더 길 다는 사실을 유도해낼 수 있을 것이다. 좀 더 복잡한 예로서, 나무로 만든 평평한 원판의 중심에 못을 박 고, 이 원판과 반지름의 길이가 서로 같은 나무로 만든 반구의 극점에 못을 박아 놓았다고 하자. 이제 굵은 끈으로 원판 위를 못부터 나선형으로 감아서 그 원판을 다 덮을 때까지 필요한 끈의 길이를 기록하자. 그 리고 같은 종류의 끈으로 반구 위를 못부터 나선형을 감아서 그 반구를 다 덮을 때까지 필요한 끈의 길이 를 기록하자. 원판과 반구를 덮는 데 사용한 끈의 길이를 비교하면, 반구를 덮는 데 필요한 끈의 길이는 언 제나 (매우 근사하게) 원판을 덮는 데 필요한 끈 길이의 두 배라는 사실을 발견하게 될 것이다. 이 사실로 부터 반구의 겉넓이는 원판 넓이의 두 배 또는 구의 겉넓이는 그 구의 대원 넓이의 네 배와 같다는 결과를 유도해 낼 수 있을 것이다. 이 결과는 기원전 3세기에 아르키메데스(기원전 287?-212)가 최초로 엄밀하게 증명한 사실이다. 이런 실험들과 함께 기하학은 실험실의 연구가 되었다.

실험실 단계의 기하학을 ‘과학적(scientific)’ 또는 ‘실험적(experimental)’ 또는 ‘경험적(empirical)’ 또는

‘귀납적(inductive) 기하학’이라 부른다. 역사를 거슬러 올라갈 수 있는 아주 먼 옛날에도, 상당한 양의 과학 적 기하학이 이미 존재했었음을 발견할 수 있다. 이런 형태의 기하학은 (그리스 동쪽 세계인) 고대 오리엔 트의 진보된 민족 사이에서 기원전 5000년과 2000년 사이에 발생해서, 공학, 농업, 상업, 종교 의식을 도왔 던 것으로 보인다.

(다) 논증적 기하학(demonstrative geometry)

기하학의 발전이 셋째 단계로 접어든 것은 기원전 6세기경이었다. 모든 수학사학자들은 이런 발전의 공을 당시의 그리스 사람들에게 돌리며, 최초의 선구적인 업적은 고대 ‘칠현인’의 한 사람인 밀레투스(Miletus)의 탈레스(Thales)가 쌓았다고 생각한다. 그는 수학사에서 실명으로 등장하는 최초의 인물이며, 연역적인 기하 학적 발견과 관련된 최초의 인물이다. 그는 다음과 같은 기초적인 기하학적 결과들을 얻은 것으로 믿어진 다.

1. 원은 임의의 지름으로 이등분된다.

2. 이등변 삼각형의 두 밑각의 크기는 서로 같다.

3. 교차하는 두 직선이 만드는 두 맞꼭지각은 각각 서로 같다.

4. 두 삼각형에서 대응하는 두 각의 크기와 대응하는 한 변의 길이가 각각 서로 같으면, 그 두 삼 각형은 서로 합동이다.

5. 반원에 내접하는 각은 직각이다.

그런데 위의 다섯 가지 결과는 의심할 바 없이 탈레스 시대보다 훨씬 이전부터 알려졌었고, 다섯 가지 모두 실험을 통해 쉽게 확인할 수 있다. 그래서 이런 결과의 가치는 그 내용이 아니라, 탈레스가 이를 직관 이나 실험 대신에 어떤 논리적 추론으로 입증했다는 믿음으로 평가해야 할 것이다. 이런 형태의 기하학을

‘논증적(demonstrative)’ 또는 ‘연역적(deductive)’ 또는 ‘체계적(systematic) 기하학’이라 부르며, 기원전 600 년경부터 그리스 사람들이 상당히 발전시켰다. 이렇게 고대 그리스 사람들은 기하학적 결과와 함께 모든 수학적 결과의 입증을 실험실에서 연구실로 이동시켰다. 이런 의식적이고 사려 깊은 노력은 확실히 수학의 위대한 순간이었으며, 전통이 옳다면, 밀레투스의 탈레스는 그 동인을 부여한 원조였다.

당시의 모든 민족 중에서도 특히 그리스 사람들이 기하학적 사실은 실험실의 실험보다는 논리적인 증명 에 의해 반드시 보장되어야 한다고 결정한 이유를 종종 ‘그리스의 신비’라 언급한다. 학자들은 그리스의 신 비를 설명하려고 시도했다. 어떠한 설명도 그 자체로 완전히 만족스럽지는 않지만, 모든 설명을 합치면 받 아들일 수 있을 것이다. 가장 일반적인 설명은 철학적 탐구에 대해 고대 그리스 사람들이 갖고 있던 특이 한 지적 경향에서 그 이유를 찾는다. 철학에서는 가정된 전제로부터 유도되는 필연적인 결론을 중요시하는 데, 경험적인 방법은 주어진 결과를 옹호하는 어느 정도의 가능성만을 제시할 뿐이다. 철학자들이 필요 불 가결한 도구로 찾은 것이 바로 연역적 추론이었다. 그래서 그리스 사람들은 기하학을 고려하기 시작했을 때, 자연스럽게 이 방법을 선호하게 되었다.

(2) 유클리드 기하학

유클리드의 원론은 13권으로 구성되어 있는데, 이 중에서 제 1권은 23개의 정의(definition)와 5개의 공준 (postulate), 5개의 공리(axiom)으로 시작한다.

(가) 정의

유클리드의 정의 중 몇 가지만 소개하면 다음과 같다. 1. 점은 부분을 갖지 않는 것이다.

2. 선은 폭이 없는 길이이다.

3. 선의 끝은 점이다.

4. 직선은 그 위에 점들이 고르게 놓인 선이다.

5. 면은 단지 길이와 폭만을 갖는 것이다.

6. 면의 끝은 선이다.

7. 평면은 그 위에 직선들이 고르게 놓인 면이다.

(나) 공준 : 연구하고자 하는 특별한 분야에 특유한 가정 1. 임의의 두 점을 연결해서 하나의 직선을 그릴 수 있다.

2. 선분을 양 방향으로 연속적으로 하나의 직선으로 연장할 수 있다.

3. 임의로 주어진 점이 중심이고 임의로 주어진 점을 통과하는 원을 그릴 수 있다.

4. 모든 직각은 서로 같다.

5. 한 직선이 두 직선과 만나서 같은 쪽에 있는 내각들의 합이 평각보다 작을 때, 두 직선을 한없이 연 장하면 내각들의 합이 평각보다 작은 쪽에서 두 직선은 만난다.

(다) 공리(상식) : 모든 학문 분야에 공통인 초기 가정 1. 같은 것과 같은 것들은 서로 같다.

2. 같은 것들에 같은 것들을 더하면, 합들은 서로 같다.

3. 같은 것들에서 같은 것들을 빼면, 나머지들은 서로 같다.

4. 서로 일치하는 것들은 서로 같다.

5. 전체는 그 부분보다 크다.

유클리드 공준 가운데 마지막 공준인 평행선 공준은 다른 네 개의 공준이 갖고 있는 이해하기 쉽고 간 결한 모습을 결여하고 있으며 장황하고 복잡하다. 또, 분명히 그리스의 실질적 공리학에서 요구되는 ‘자명 함’과 즉각적인 수용 가능성이라는 특성을 갖고 있지 않다. 많은 사람에게 이것이 공준이라기보다는 하나 의 정리처럼 보였으며, 심지어 유클리드 자신도 이것을 기꺼이 사용하지 않았던 것으로 보인다.

오랜 세월을 거치면서 제안되거나 묵시적으로 가정되었던 평행선 공준과 동치인 대용물은 다음과 같다.

(1) 한 평면에는 모든 곳에서 같은 거리를 유지하는 한 쌍의 직선이 존재한다.

(2) 주어진 직선 위에 있지 않은 임의의 점을 통과하면서 그 직선과 평행인 유일한 직선을 작도할 수 있다.

(3) 합동은 아니지만 닮은꼴인 한 쌍의 삼각형이 존재한다.

(4) 한 사각형에서 한 쌍의 대변이 서로 같고 제3의 변과의 이웃각이 각각 직각이면, 다른 두 각도 또한 직각이다.

(5) 한 사각형에서 세 각이 직각이면, 넷째 각도 또한 직각이다.

(6) 세 내각의 합이 평각과 같은 삼각형이 적어도 하나 존재한다.

(7) 크기가 60°보다 작은 임의의 각의 내부에 있는 임의의 점을 통과하면서 그 각의 양변 모두와 교차하는 직선을 언 제나 작도할 수 있다.

(8) 같은 직선 위에 있지 않은 임의의 세 점을 통과하는 원이 존재한다.

(9) 삼각형의 넓이에 대한 상한이 존재하지 않는다.

다양한 대용물 중에서 오늘날 중등학교 교과서에서 가장 일반적으로 이용되는 것은 위의 (2)이다. 이것은 스코틀랜드의 물리학자이며 수학자인 플레이페어(John Playfair, 1748-1819)가 현대에 잘 알려지게 만들었다.

19세기에 이르러 평행선 공준은 다른 공준들로부터 유도할 수 없다는 사실이 밝혀졌다. 그리고 이 평행 선 공준을 부정하거나 변형하여 전개한 유클리드 기하학과는 전혀 다른 새로운 기하학이 탄생되었다.

(3) 힐베르트의 기하학

힐베르트(Hilbert, D.;1862~1943)는 유클리드 기하학의 불완전성을 극복하기 위하여 완전한 공리 체계를 갖춘 기하학을 만들어 냈다.

먼저 힐베르트는 점, 직선, 평면을 무정의 용어로 하고, ‘~에 있다.’, ‘~사이에 있다’, 합동, 평행, 연속 등 을 이들 사이의 관계로 보고 다음의 다섯 가지 공리를 이용하여 기하학을 전개하였다.

1. 결합 공리(incidence axioms) 2. 순서 공리(axioms of order) 3. 합동 공리(axioms of congruence) 4. 평행선 공리(axioms of parallelism) 5. 연속 공리(axioms of continuity)

특히 이 중 평행선 공리는 다음과 같다.

직선 과 직선 에 있지 않은 한 점 P에 대해서, 점 P를 지나면서 과 평행인 직선 은 오직 하나 존 재한다.

1.2. 교육과정 및 교과서 내용

 기본 도형

① 점, 선, 면, 각을 이해하고, 점, 직선, 평면의 위치 관계를 설명할 수 있다.

◦ 점, 선, 면과 관련된 용어의 뜻을 이해하고, 이를 기호로 나타낼 수 있게 한다.

점, 선, 면과 관련된 용어의 뜻을 직관적으로 이해하게 하고, 평면도형이나 입체도형은 모두 점, 선, 면으로 이루어져 있음을 알게 한다.

서로 다른 두 점을 지나는 직선은 하나밖에 없음을 알게 한다. 직선과 선분, 반직선의 뜻을 이해하고, 서로 다른 두 점 A B 를 지나는 직선을  AB, 두 점 A B 를 양 끝점으로 하는 선분을 AB, 한 점 A 에서 시작하 여 B 방향으로 뻗어나간 반직선을 AB 로 나타낼 수 있게 한다. 두 점 사이의 거리와 중점의 뜻을 알게 한다.

활동

가. 크레파스로 종이 위에 한 점을 찍어 보자.

나. 종이 위에 크레파스를 똑바로 세우고 떼지 않은 채 움직여 보자.

다. 크레파스를 눕혀 놓고 움직여 보자.

위의 각 활동에서 무엇이 그려지는지 말해 보자.

활동 나의 그림은 활동 가`의 한 점이 움직여 그려졌다고 할 수 있다. 활동 다의 그림은 무엇 이 움직여 그려졌다고 할 수 있는지 말해 보자.

오른쪽 그림과 같이 두 점 A B가 있다.

활동

가. 두 점 A B를 지나는 직선을 그려 보자.

나. 점 A를 지나는 직선을 개 이상 더 그려보자.

점 A를 지나는 직선 중 점 B를 지나는 직선은 몇 개인지 말해 보자.

점 A를 지나는 직선은 얼마나 많은지 친구들과 이야기해 보자.

◦ 각과 관련된 용어의 뜻을 이해하고, 각의 성질을 이해하게 한다.

각과 각의 꼭짓점, 각의 변, 각의 크기의 뜻을 알고, 각과 각의 크기를 기호로 나타낼 수 있으며, 각의 한 변 이 다른 변까지 회전한 회전량을 각의 크기라고 함을 알게 한다. 이 때, 회전 방향은 고려하지 않는다. 각의 크기를 다룰 때에는 특별한 언급이 없는 한 크기가 작은 것을 의미함을 알게 한다. 평각의 뜻과 크기를 알게 하고, 직각의 기호인 ∠R 은 사용하지 않는다.

두 직선이 만나서 생기는 각을 교각이라 함을 알고, 맞꼭지각의 뜻과 그 성질을 이해하게 한다. 두 직선이 만나는 특수한 경우로서 ‘직교한다’의 뜻을 알고, 직선  AB와  CD가 직교한다는 것을  AB ⊥  CD로 나타내

게 한다. 수선의 발의 뜻을 알고, 점과 직선 사이의 거리의 뜻을 이해하게 한다.

평면상에서 두 직선   이 만나지 않을 때 이 두 직선은 평행함을 알고, 기호   으로 나타내게 한다.

두 직선이 만나서 생기는 각의 크기를 비교해 보자.

활동

가. 색종이 위에 개의 직선을 서로 만나도록 그리고 각을 표시해 보자.

나. 선을 따라 잘라낸 후 포개어 각의 크기를 비교해 보자.

크기가 같은 각은 모두 몇 쌍인지 말해 보자.

크기가 같은 각은 자르기 전에는 서로 어떻게 놓여 있었는지 말해 보자.

◦ 점, 직선, 평면의 위치 관계를 이해하게 한다.

점과 직선의 위치 관계는 점이 직선 위에 있는 경우와 점이 직선 위에 있지 않은 경우가 있음을 알게 한다.

이 때, “점이 직선 위에 있다”와 “직선이 점을 지난다”는 같은 의미임을 알게 한다. 또, “점이 직선 위에 있지 않다”는 “점이 직선 밖에 있다”, “직선이 점을 지나지 않는다” 등과 같은 의미임을 이해하게 한다.

직선과 직선의 위치 관계는, 같은 평면 위에 있을 때와 그렇지 않을 때 차이가 있음을 이해하게 한다. 같은 평면 위에 있을 때에는 한 점에서 만나는 경우, 평행한 경우, 일치하는 경우의 세 가지로 나눌 수 있지만, 같은 평면 위에 있지 않을 때에는 만나지도 않고 평행하지도 않은 경우, 즉 꼬인 위치에 있는 경우도 있음을 알게 한다.

직선과 평면의 위치 관계에는 직선이 평면에 포함되는 경우, 직선과 평면이 한 점에서 만나는 경우, 직선과 평면이 평행한 경우의 세 가지가 있음을 알게 한다. 직선과 평면이 한 점에서 만나는 특별한 경우로서 직선이 평면에 수직인 경우가 있음을 알게 한다.

평면과 평면의 위치 관계에는 일치하는 경우, 한 직선에서 만나는 경우, 평행인 경우의 세 가지가 있음을 알 게 한다. 이와 같은 내용을 지도할 때에는 직육면체 등의 구체물이나 생활 장면에 적용시킬 수 있는 예 등을 활용한다.

오른쪽 그림은 DVD 케이스를 열어서 책상 위에 세워 놓은 그림 이다.

점 A를 지나는 직선을 찾아보자.

직선 AB와 만나는 직선을 찾아보자.

직선 AB를 포함하는 평면을 찾아보자.

직선 AB와 만나지 않는 직선을 찾아보자.

② 평행선에서 동위각과 엇각의 성질을 이해한다.

◦ 평행선과 동위각, 엇각에 관한 성질을 이해하게 한다.

동위각, 엇각의 뜻을 알게 한다. 한 쌍의 평행선과 다른 한 직선이 만나서 생기는 동위각은 크기가 서로 같 고, 엇각도 그 크기가 서로 같으며, 그 역도 각각 성립함을 이해하게 한다. 이러한 평행선의 성질은 엄밀하게 증명하기보다는 관찰을 통하여 직관적으로 이해하게 하고, 이를 근거로 여러 가지 도형의 성질을 추론할 수 있게 한다.

활동

가. 색종이를 나란히 두 번 접어 펼친다.

나. 색종이를 비스듬하게 한 번 접어 펼친다.

다. 오른쪽 가운데 부분을 가위로 잘라내어 다른 각들과 겹쳐서 비교해 본다.

크기가 같은 각은 무엇인가?

평행선에서 동위각의 크기에 대한 성질을 추측하여 말해 보자.

1.3. 교수학습 참고자료

무정의 용어

유클리드의 ‘원론’에서는 점, 선, 면을 다음과 같이 정의한다.

1. 점은 부분을 갖지 않는 것이다.

2. 선은 폭이 없는 길이이다.

3. 선의 끝은 점이다.

4. 직선은 그 위에 점들이 고르게 놓인 선이다.

5. 면은 단지 길이와 폭만을 갖는 것이다.

6. 면의 끝은 선이다.

7. 평면은 그 위에 직선들이 고르게 놓인 면이다.

유클리드 ‘원론’이후 많은 수학자들이 이들 기본 도형을 여러 가지로 정의하였으나 논리적으로 완벽한 체계를 갖추지 못하였다. 수 학에서 용어의 정의는 매우 중요하다. 그러나 어떤 용어를 정의하려면 또 다른 용어의 정의가 필요하다. 이러한 무한 회귀의 문제점 은 20세기 힐베르트(Hilbert, D. ; 1862 ~ 1943)에 의해 해결된다. 그는 점, 선, 면 등의 정의 문제를 포함한 유클리드의 ‘원론’의 논리적 결함을 보완하여 형식적인 공리적 방법으로 기하학을 정립한 ‘기하학의 기초’를 발표하였는데, 여기서 점, 선, 면 등은 정의 하지 않는 무정의 용어로 사용되었다. 현재의 기하학에서 무정의 용어로 사용되는 개념은 점, 직선, 평면, ~에 있다. ~사이에 있다,

~와 ~은 합동이다 등의 6개로 그들의 관계는 논증 없이 공리에 의해서만 규정된다.

여러 가지 각

평각보다 큰 각을 우각(優角), 작은 각을 열각(劣角)이라 하는데, 보통 각이라 하면 열각을 가리키는 경우가 많다.

두 각의 합이 평각이 되면 서로 다른 각을 보각(補角)이라 한다. 두 각의 합이 직각이 되면 서로 다른 각을 여각(餘角) 이라 한다.

각의 크기를 나타내는 방법 1. 60분법 - ^도(Degree)

기원전 4000년 전부터 바빌로니아에서 천문학을 연구하기 위해 사용된 것으로 도는 각을 나타내는 세계표준(SI)단위가 아니다.

직각의 

 을 한 단위로 하고 보조단위로서 분, 초를 사용한다.

  ′ ′  ′′

2. 호도법 - 라디안(Radian)

이론상의 문제를 다룰 때 사용되는데, 한 원에서 반지름과 같은 길이의 호에 대한 중심각은 일정하므로 반지름의 길이

에 해당하는 호에 대한 중심각의 크기를 1라디안으로 정의하며, 라디안은 각을 나타내는 세계표준(SI)단위이다.

1(라디안) = 

  ′′′

소설 속의 맞꼭지각 - 몇어찌(양주동) (이전생략)

나는 개학 전날, 교과서를 사 가지고 하숙에 돌아와 큰 호기심을 가지고 훑어보았다. 그러던 중, ‘처녀작’, ‘삼인칭’에 못 지않은 참 기괴한 또 한 단어를 발견했는데, 그게 곧 ‘기하(幾何)’라는 것이었다. ‘기하(幾何)’의 ‘기(幾)’는 ‘몇’이란 뜻이 요, ‘하(何)’는 ‘어찌’란 뜻의 글자임이야 어찌 모르랴만, 이 두 글자로 이루어진 ‘기하’란 말의 뜻은 도무지 알 수가 없었 다. ‘기하’라? ‘몇 어찌’라니?(중간생략)

“그럼 비유를 하지 않고 대정각이 같다는 걸 증명할 수 있습니까?” “물론이지. 음, 봐라.”(중간생략)

“a + b는 몇 도?” “180도입니다.” “b + c도 180도이지?” “예.”

“그러니까, a = c 아니냐.” “예. 그런데, 어찌 됐다는 말씀이십니까?”

“잘 봐라, 어떻게 됐나.” “아하!”

멋모르고 “예, 예.”하다 보니 어느덧 대정각이 같아져 있지 않은가! 그 놀라움, 그 신기함, 그 감격, 나는 그 과학적, 실증적 학풍(學風) 앞에 아찔한 현기증을 느끼면서, 내 조국(祖國)의 모습이 눈앞에

퍼뜩 스쳐 감을 놓칠 수 없었다. 현대 문명에 지각하여, 영문도 모르고 무슨 무슨 조약에다 “예, 예.” 하고 도장만 찍다 가, 드디어 “자 봐라. 어떻게 됐나.”의 망국(亡國)의 슬픔을 당한 내 조국! 오냐, 신학문을 배우리라. 나라를 찾으리라.

나는 그 날 밤을 하얗게 새웠다. (이후생략)

시(詩) 속의 평행선 - 평행선(김남조)

우리는 서로 만나본적도 없지만 헤어져 본적도 없습니다.

무슨 인연으로 태어났기에

어떨 수 없는 거리를 두고 가야만 합니까?

가까워지면 가까워질까 두려워하고 멀어지면 멀어질까 두려워하고

나는 그를 부르며 그는 나를 부르며

스스로를 저버리며 가야만 합니까?

우리는 아직 하나가 되어 본적도 없지만은 둘이 되어 본적도 없습니다.

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제주도의 전통 대문 정낭과 정주석

정낭은 대문역할을 하는 것으로 올래의 바깥 끝인 출입구 양 옆에 세 개의 구멍이 뚫린 돌기둥 '정주석'에 끼워 넣은 세 개의 통나무를 말한다. 정낭에서 평행선과 동위각 및 엇각을 찾아볼 수 있다.

주인이 멀리 출타 중 주인이 잠시 집을 비운 상태 주인이 가까운 곳에 나간 상태

평행 기호 //

평행을 나타내는 기호 ‘//’는 오트레드(Oughtred, W. ; 1574 ~ 1660)가 기호 ‘║’으로 처음 사용하였던 것이 ‘//’으로 변형되었다고 한다.

실생활 속 공간에서 직선과 평면의 위치 관계

포함된다. 한 점에서 만난다. 만나지 않는다.

수학 퍼즐

다음 그림과 같이 9개의 점이 있다. 직선을 2개 그어서 두 직선이 만나도록 이 점들을 3개씩 나누어라. (단, 어느 점도 직선에 놓여서는 안 된다.)

정답

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지구의 측정

에라토스테네스는 하짓날 정오 이집트의 시에네에서 우물의 바닥에 태양이 수직으로 비치고, 거의 동일 경도상에 위치한 시에네 북쪽 925km 떨어진 알렉산드리아에서는 태 양이 천정에서 남쪽으로 7.2°가량 기울어져 비침을 알았다. 지구는 둥글고, 태양광선은 평행이며, 알렉산드리아와 시에네는 동일 경도상에 있다고 가정하고 지구의 둘레를 계 산하였다.

2. 작도와 합동

2.1. 이론적 배경

(1) 작도와 작도 가능성

작도란 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 유한 번 사용하여 도형을 그리는 것을 의미한다. 이와 같이 도형을 그 리는 것을 ‘작도 문제를 푼다’라 하고, 그린 도형을 그 작도 문제의 ‘해’라고 한다. 도형을 작도 할 수 있는 문제는 ‘작도 가능 문제’라 하고, 도형은 존재하나 작도할 수 없을 때에는 ‘작도 불능 문제’라고 한다.

(가) 작도의 4단계

① 구하는 도형의 성질과 이 도형이 만족하는 모든 필요조건을 제시한다.(해석의 단계)

② ①에서 구한 필요조건에 따라 구하는 도형을 작도한다. 이 때 실제로 그리는 과정보다는 그 과정을 논 리적으로 기술하는 것이 수학적으로 더 중요하다. 그러한 논리적 기술은 다음 단계의 증명에서 매우 중요 한 역할을 한다. (작도의 단계)

③ ②에서 그린 도형이 구하는 도형임을 증명한다.(증명의 단계)

④ 구하는 도형은 ②에서 작도된 도형 이외에는 없음을 보인다.(음미의 단계)

(나) 수의 연산 결과 작도

① 길이가 각각 a와 b인 선분이 주어졌을 때, 길이가 a+b인 선분을 작도할 수 있다.

② 또 길이가 a-b인 선분을 작도할 수 있다

③ 길이가 각각 ab와 _



인 선분도 작도할 수 있다.

㉠ 먼저 길이가 a인 선분 OA를 그린다.

㉡ 선분 OA에 점 A′을 ^OA′  이 되도록 잡는다.

㉢ 길이가 b인 선분 OB를 그린다.

㉣ 점 A를 지나고 선분 A′B에 평행인 직선을 그어 선분 OB의 연장선과 만나는 점을 C라고 하면 선분 OC의 길이가 ab이다.

④ 길이가 ^인 선분도 작도할 수 있다.

㉠ 점 O를 중심으로 반지름의 길이가 _



  

인 반원을 그린다.

㉡ 지름 AB에 점 H를 ^HB  이 되도록 잡는다.

㉢ 점 H에서 선분 AB에 수선을 그어 반원과 만나는 점을 C라 한다.

㉣ 그러면 선분 CH의 길이가 ^이다.

(다) 작도의 기본 정리

수의 연산 결과 작도에 의하면 사칙연산과 제곱근의 연산을 유한 번 시행한 식은 작도 가능하다. 역으로 작도 가능하다는 뜻은 직선과 직선의 교점, 직선과 원의 교점 및 원과 원의 교점을 구하는 시행을 유한 번 반복하여 얻을 수 있다는 뜻이다. 이처럼 자와 컴퍼스만을 사용하여 작도하는 기하학적인 문제는 대수적으 로는 다항방정식의 근과 매우 밀접한 관계가 있다. 즉 단위 길이가 주어졌을 때 자와 컴퍼스만을 사용하여

작도할 수 있는 선분의 길이에 대한 기본 정리로서 다음의 정리가 있다.

작도의 기본 정리

1. 작도 가능한 선분의 길이는 유리수 계수 다항방정식의 근이 된다.

2. 유리수 근을 갖지 않는 유리수 계수 삼차방정식의 근은 작도할 수 없다.

(라) 3대 작도 불능 문제

고대 그리스 인들은 논리적인 사고를 중시했던 사람들이었다. 그들은 실용적인 가치보다는 바른 지식 체 계를 중요시했기 때문에 의외로 쉽게 풀 수 있는 문제를 어렵게 푸는 경우도 많았다. 그 대표적인 예가 3 대 작도 문제이다.

① 주어진 정육면체 부피의 두 배의 부피를 가지는 정육면체의 한 변의 길이의 작도 ② 임의의 각의 삼등분선의 작도

③ 주어진 원과 동일한 넓이를 가지는 정사각형의 한 변의 길이의 작도

이 세 가지 문제는 눈금이 없는 자와 컴퍼스만으로 해결해야 하는데 처음 문제가 제기된 후로 2천년 동 안이나 미해결 문제로 있다가 19세기에 이르러서야 이 세 가지 작도가 불가능하다는 것이 밝혀졌다. 이 세 문제를 풀기위해 왕성한 영구가 결국 그리스 기하학에 큰 영향을 미쳤고, 그 밖의 원뿔곡선, 삼차 및 사차 곡선, 초월곡선과 같은 많은 풍부한 발견을 초래했으며, 훨씬 뒤에는 대수적 수, 군론 등의 발전에 커다란 영향을 주었다.

위의 3대 작도 불능 문제와 관련된 방정식은 다음과 같다.

① 

^

^

③ 

^

이들 방정식은 모두 유리수 계수를 갖지만 유리수 근을 갖지 않는다. 그러므로 세 문제 모두 작도불능이 다.

(마) 특별한 도구

각의 삼등분선의 경우 눈금이 없는 자와 컴퍼스를 고집하지 않는다면 , 즉 다른 특별한 도구를 사용하면 작도할 수 있다.

① 토마호크

임의의 각 ABC가 주어졌을 때, 변 AB에 자의 끝 R이 닿게 놓는다.

그리고 변 BC에 반원이 접하도록 놓으면 선분 OS와 OT에 의해 각 ABC는 삼등분된다.

② 자에 특별한 눈금 2개를 표시하는 경우

임의의 각 ABC가 주어졌을 때, 각의 꼭짓점 B를 중심으로 하고 반지름의 길이가 r인 원을 그린다. 이때, 자 위에 점 S와 T를 그림과 같이 ^ST= r이 되도록 잡는다. 그리고

점 T가 반원에 있도록 하면서 자를 조절하여 자의 끝이 각 ABC의 변과 반원의 교점에 오도록 한다. 여 기서 직선 ST를 그으면 각 TSB가 각 ABC를 삼등분한 각이다.

(3) 유클리드의 공리

제1공리 : 임의의 서로 다른 두 점 P와 Q에 대하여 점 P와 Q를 지나는 직선이 유일하게 존재한다.

제2공리 : 임의의 서로 다른 두 선분 AB와 CD에 대하여 점 B가 점 A와 E 사이에 있고, 선분 CD가 선분 BE와 합동인 점 E가 유일하게 존재한다.

제3공리 : 임의의 서로 다른 두 점 O와 A에 대하여 중심이 O이고 반지름이 ^OA인 원이 존재한다.

제4공리 : 모든 직각은 서로 같다.

제5공리 : 한 직선 과 에 있지 않은 한 점 P가 주어졌을 때, 점 P를 지나고 직선 과 평행인 직선 이 유일하게 존재한다.

유클리드의 공리들도 가장 기초적인 기하학적 작도의 시각임을 알 수 있다. 그리고 작도는 자와 컴퍼스로 달성할 수 있음을 쉽게 알 수 있다. 만약 자와 컴퍼스 이외의 다른 것을 작도에 사용할 수 있다면, 유클리 드의 다섯 개의 공리로 결코 축소시킬 수 없다는 사실을, 즉 고대 그리스 사람들의 관점에서는 결코 증명 될 수 없다는 사실은 명백하다. 바로 이것이 그리스 사람들이 자와 컴퍼스를 고집한 이유였다.

2.2. 교육과정 및 교과서 내용

 작도와 합동

① 삼각형을 작도할 수 있다.

눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용하여 주어진 선분과 길이가 같은 선분, 주어진 각과 크기가 같은 각 등을 작 도할 수 있게 한다. 이를 이용하여 주어진 조건을 만족하는 삼각형을 작도할 수 있게 한다. 이 때, 자는 길이를 측정하는 도구가 아니라 두 점을 지나는 선분을 그리는 도구로 사용되며, 컴퍼스는 원을 그리거나 길이가 같 은 선분을 옮기는 도구로 사용됨을 알게 한다.

오른쪽 그림의 원은 첨성대로부터 km 떨어져 있는 지역 을 나타내고 있다. 첨성대로부터 km 떨어져 있는 지역을 나타내는 방법을 말해 보자.

크기가 같은 각의 작도

다음 그림의 ∠XOY 와 크기가 같고 반직선 AB를 한 변으로 하는 각을 작도 하여라.

점 O를 중심으로 하는 원을 그려  OX 와  OY 와 와의 교점을 M N이라고 한다.

점 A를 중심으로 하고 반지름의 길이가  ON 인 원을 그려  AB 와 만나는 점을 Q라고 한 다.

점 Q를 중심으로 하고 반지름의 길이가  MN 인 원을 그려 에서 그린 원과의 교점을 P 라고 한다.

점 A와 P를 잇는 반직선을 그으면 ∠PAQ가 구하는 각이다.

성냥개비의 수 두 변 나머지 한 변

  

 

 

  성냥개비를 이용하여 삼각형을 만들어 보자.

활동

오른쪽 표와 같이 두 변에 놓인 성냥개비의 수가 정해졌 을 때, 나머지 한 변에 최소한으로 필요한 성냥개비의 수 를 써넣어 보자.

오른쪽 완성한 표에서 가장 긴 변에 놓인 성냥개비의 수와 나머지 두 변에 놓인 성냥개비의 수의 합을 비 교해 보자.

성냥개비로 삼각형을 만들기 위해서는 세 변에 놓인

성냥개비의 수 사이에 어떤 관계가 있어야 하는지 추측해 보고 발표해 보자.

② 삼각형의 합동 조건을 이해하고, 이를 이용하여 두 삼각형이 합동인지 판별할 수 있다.

삼각형의 합동조건을 이해하게 하고, 합동이 되는 두 삼각형을 기호 ≡ 로 나타내고, 두 삼각형이 합동인 이유를 설명할 수 있게 한다. 삼각형의 합동조건은 이후 여러 가지 도형의 성질을 추론하는 데 중요함을 인식시 키도록 한다. 기호 ≡ 을 사용할 때에는 대응하는 요소들을 같은 순서로 나타내는 것이 편리함을 알게 한다.

다음은 삼각형의 세 변의 길이와 세 각의 크기 중 가지만을 이용하여 두 삼각형이 합동인

지 알아보는 그림이다. 두 삼각형이 합동이 되는 경우를 찾아보자.

2.3. 교수학습 참고자료

각의 삼등분 작도기

역사적 배경 - 합동 기호(≡)의 기원

기호 ≡ 는 처음부터 도형의 합동 관계를 나타내기 위해 사용되었던 것은 아니다. 이 기호는 1801년 독일의 수학자 가우스(Gauss, K. F. : 1777 ~ 1855)가 정수론에서의 합동 관계를 나타내기 위해 사용하였고 이때 처음으로 이 기호가 인쇄되어 나온 것으로 보인다.

독일의 수학자 리만(Riemann, G. F. B. : 1826 ~ 1866)도 두 식의 항등 관계를 나타내기 위해 ‘타원함수론’에서 항등 식의 기호로 도입한 것으로 알려져 있다.

그러나 이 기호가 기하학에서 합동의 의미로 사용된 것은 볼리아이(Bolyai, J. ; 1802 ~ 1860)의 책에서였다.

박교식.(2004). 수학 기호 다시 보기. 서울 : 수학사랑

나폴레옹의 문제

“주어진 원에 내접하는 정사각형을 컴퍼스만 써서 작도하여라.”

1. 원에 있는 한 점 A에서 출발하여 반지름 OA인 원을 차례로 그려 점 B, C, D를 찾는다.

2. 점 A를 중심으로 하고 반지름 AC인 원과 점 D를 중심으로 하고 반지름 BD인 원을 그려 그 교점을 E라 한다.

3. 점 A를 중심으로 하고 선분 OE를 반지름으로 하는 원을 그려 처음의 원과 만나는 점을 P와 Q라하면, 사각형AQDP는 정사각형이 된다.

이탈리아 수학자이자 나폴레옹의 신봉자였던 로렌초 마스케로니(Lorenzo Mascheroni, 1750-1800)는 1797년 『Geometria del Compasso (컴퍼스의 기하학)』을 써서 ‘눈금 없는 자와 컴퍼스로 작도할 수 있는 것은 컴퍼스만으로도 작도할 수 있다’는 사실을 증명하고, 긴 송시를 덧붙여 나폴레옹에게 헌정했다. 이후 이 정리는 마스케로니 정리로 알려진다.

3. 평면도형의 성질과 측정 3.1. 이론적 배경

(1) 도량형(측정 단위)

(가) 미터법

미터법(metric system)은 미터(m)를 길이의 기본 단위로 하고 킬로그램(kg)을 질량의 기본 단위로 하는 십진법의 도량형을 의미한다.

미터법이 도입되기 전의 도량형에는 두 가지의 큰 문제점이 있었다. 첫째, 도량형이 수를 나타낼 때 사용 하는 십진법과 다른 비율 체계로 있었다. 아직도 미국 등에서 사용하는 길이와 질량의 단위 사이의 관계는 다음과 같다.

12인치=1피트, 3피트=1야드

1760야드=1마일, 16온스=1파운드 <그림 1 入>

둘째, 한 나라에서도 도량형이 통일되어 있지 않았다. 예를 들면, 미터법이 채택되기 이전의 프랑스에서는 땅의 넓이를 나타내는 방법이 거의 400가지에 이르렀다고 한다.

1790년 프랑스 국민 의회는 프랑스 과학원(Académie des Science)에 도량형의 표준화 작업을 위임했다.

프랑스 과학원은 자오선의 일부를 길이의 단위로 채택했으며, 이 새로운 단위의 이름을 ‘측정하다’를 뜻하 는 그리스 단어 metron을 이용하여 ‘meter(미터)’라고 불렀다.

그 뒤 과학원은 파리를 통과하는 자오선을 따라 바르셀로나와 됭케르크 사이의 거리를 6년 동안 측정했 고, 이를 바탕으로 하여 새로운 단위가 1야드와 비슷하도록 자오선 길이의 4000만분의 1을 1미터로 정했다.

미터법의 다른 단위는 미터로부터 유도된다. 예를 들어 1 그램(g)은 4℃일 때 물 1㎤의 질량이다.

이에 따라 1795년 미터법이 제정되었고 1840년부터 전용 단계에 들어갔으며 이의 국제화를 위해 노력하 였다.

1875년 프랑스 파리에서 체결된 ‘미터 협약(Meter Convention)’에서 미터 및 킬로그램을 기본 단위로 하 는 도량형의 통일이 이루어졌다.

국제 원기의 보관 및 비교 측정, 각국에서 사용되는 원기와 국제 원기와의 비교, 물리 상수의 측정 등을 위한 국제 도량형국(International Bureau of Weights and Measures)이 파리 교외 세브르(Sévres)에 설치되 었고, 국제 도량형국의 지휘와 감독, 도량형에 관한 전문가의 공동 작업의 조직과 통합 등을 위한 국제 도 량형 위원회(International Committee of Weights and Measures)가 설립되었다.

1899년 제1차 국제 도량형 총회(General Conference on Weights and Measures)에서는 국제 미터 원기 (International Prototype Meter)와 국제 킬로그램 원기(International Prototype Kilogram) 및 각 국 원기를 승인하고 미터법을 국제적인 공통 단위 체계로 확립하였다.

양 명칭 기호 정의

길이 미터 m 빛이 진공에서 1/299792458 초 동안 진행한 경로의 길이

질량 킬로그램 kg 국제킬로그램원기의 질량

시간 초 s 세슘-133원자(133Cs)의 바닥상태에 있는 두 초미세 준위 사이 의 전이에 대응하는 복사선의 9192631770 주기의 지속시간

전류 암페어 A

무한히 길고 무시할 수 있을 만큼 작은 원형 단면적을 가진 두 개의 평행한 직선 도체가 진공 중에서 1 미터의 간격으로 유지될 때, 두 도체 사이에 매 미터당 2x10-7 뉴턴(N)의 힘을 생기게 하는 일정한 전류

열역학적 온도 켈빈 K 물의 삼중점에 해당하는 열역학적 온도의 1/273.16

몰질량 몰 mol 탄소 12의 0.012 킬로그램에 있는 원자의 개수와 같은 수의 구성요소를 포함한 어떤 계의 물질량

광도 칸델라 cd

진동수 540×1012 헤르츠인 단색광을 방출하는 광원의 복사도 가 어떤 주어진 방향으로 매 스테라디안(sr) 당 1/683 와트일 때 이 방향에 대한 광도

단위의 덧셈, 뺄셈 식의 계산

국제 미터 원기 : 지구를 직접 측정하지 않고 길이의 단위를 얻기 위해 백금 90%와 이리듐 10%의 합금으 로 만든 H자 모양의 단면을 가진 1m의 막대

국제 킬로그램 원기 : 미터법의 기본 단위인 1kg의 질량을 나타내는 지름과 높이가 각각 39mm인 원기둥 모양의 분동

(나) 국제 단위계 [International System of Units]

미터법에 따른 측정 단위를 국제적으로 통일한 체계로서 SI단위라고도 한다. 기본 단위로서 길이에 미터 (m), 무게에 킬로그램(kg), 시간에 초(s), 전류에 암페어(A), 온도에 켈빈(K), 물질량에 몰(mol), 광도에 칸델 라(cd)의 7가지 기본단위와 이로부터 유도된 유도단위가 있다. 1960년 제11회 국제도량형총회에서 결정하였 다. 7가지 기본 단위는 다음과 같고, 보조단위로는 평면각의 단위 라디안(rad)과 입체각의 단위 스테라디안 (sr)이 있다.

(다) 측정과 측정 단위

이 단원에서 다루는 측정은 주로 도형에 관한 길이, 넓이, 부피 및 각의 크기 등이다.

그런데 학생들은 과학 교과에서 더욱 다양한 측정을 학습하고 그 과정에서 측정의 단위에 대한 혼란을 경험하게 된다. 따라서 단위에 관한 지도는 필요하다. 단위는 수학에서 사용되는 문자와 같은 성질을 갖지 만 한 글자 이상의 글자가 사용되기 때문에 생기는 혼란을 막기 위해서 단위 계산과 관련된 다음 규칙을 명확히 할 필요가 있다.

<규칙 1> 단위는 한 글자(예:g, m, a 등)로 되어 있거나 여러 글자(예:cm, kg, ha 등) 또는 복잡하게 되어 있는 경우(예:kg/중, cm/초 등) 모두 한 개의 문자처럼 취급한다.

<규칙 2> 덧셈 또는 뺄셈에서 단위끼리의 계산은 식에서 동류항의 계산처럼 하고, 단위가 다른 것의 덧 셈, 뺄셈은 하지 않는다.

cm  cm  cm     

kg  kg  kg     

단위의 덧셈, 뺄셈 식의 계산

cm × cm  cm^  ×   ^

cm^÷ cm  cm ^÷   

중

kg중  중 ^÷   



(cm ÷ rcm  )  ÷   

m초 ÷ 초  m 초 ^ 

÷   

^



<규칙 3> 곱셈 또는 나눗셈에서 단위끼리의 계산은 식의 계산처럼 한다.

이와 같은 계산에서 간혹 단위가 없는 측정 단위가 발생한다. <규칙 3>의 넷째 예와 같이 원주율 는 지름의 길이에 대한 원주의 비의 값으로 단위가 없는 수이다.

(2) 평면 도형의 넓이

(가) 밭의 넓이

<구장산술(九章算術)> 제1권의 제목은 방전(方田)이다. ‘방전’은 그 자체로 ‘정사각형의 밭’을 뜻한다(직사 각형의 밭을 뜻하기도 한다). 방전은 여러 가지 모양의 밭의 넓이를 구하는 문제로 이루어져 있다. 농업이 가장 주요한 산업이자 세원이었던 과거에 땅의 넓이를 정확하게

구하는 것은 무엇보다도 중요했을 것이다. 그런데 밭의 넓이 구하 기는 곧 그와 관련된 평면 도형의 넓이를 구하는 것과 같다. 여러 가지 평면 도형에 대한 연구가 바로 이와 같은 필요에 의해 나왔 음을 짐작할 수 있다.

오른쪽 그림은 조선 경선징(慶善徵)의 <묵사집산법(黙思集算法)>에 있는 여러 가지 평면 도형 그림인데, 이는 지(地)권의 ‘전무형단문 (田畝形段門)’에서 넓이를 구하는 여러 가지 밭의 모양과 관련이 있다.

(나) 호시전의 넓이

산학에서 직선으로 둘러싸인 평면 도형의 넓이는 현재와 똑같은 공식으로 구했다. 그렇지만 경계의 일부 또는 전부가 곡선인 평면 도형의 넓이는 근삿값을 얻을 수 있는 공식을 이용했다. 예를 들면, 아래 그림과 같은 활꼴 모양의 밭을 호시전(弧矢田)이라 하는데, 현의 길이가  a이고 현의 중심과 호의 중심을 연결한 선분인 시의 길이가  b인 호시전의 넓이 S를 다음과 같은 공식으로 구했다.

직전(直田)

 

방전(方田)

 ^

규전(圭田)

_{ }





사전(邪田), 기전(箕田)

_{ }



  

이것은 두 밑변의 길이가  a와 b이고 높이가 b인 사다리꼴 또는 밑변의 길이가 a+b이고 높이가 b인 이등 변삼각형으로 주어진 활꼴에 근사시킨 것으로 보인다.

이 공식으로 반원의 넓이를 구해보자. 반원의 반지름을 r이라 하면 a=2r이고 b=r이므로, 위의 공식에 넣으 면 S=3r2/2이다. 반원의 원래 넓이는 πr2/2이므로, 원주율 π를 3으로 택한 것과 같다. 참고로 이 공식은 반 원의 경우에 그나마 잘 맞지만 땅의 모양이 가늘어지면 오차가 커진다.

(3) 구장산술에서의 사각형의 넓이

<구장산술(九章算術)> 제1권의 제목은 방전(方田)이다. ‘방전’은 그 자체로 ‘정사각형의 밭’을 뜻한다(직사 각형의 밭을 뜻하기도 한다). 방전은 여러 가지 모양의 밭의 넓이를 구하는 문제로 이루어져 있다. 농업이 가장 주요한 산업이자 세원이었던 과거에 땅의 넓이를 정확하게 구하는 것은 무엇보다도 중요했을 것이다.

그런데 밭의 넓이 구하기는 곧 그와 관련된 평면 도형의 넓이를 구하는 것과 같다. 여러 가지 평면 도형에 대한 연구가 바로 이와 같은 필요에 의해 나왔음을 짐작할 수 있다. 다음은 구장산술에 나와 있는 밭의 모 양과 구하는 공식이다.

아래는 조선 경선징(慶善徵)의 <묵사집산법(黙思集算法)>에 있는 여러 가지 평면 도형 그림인데, 이는 지 (地)권의 ‘전무형단문(田畝形段門)’에서 넓이를 구하는 여러 가지 밭의 모양과 관련이 있다

(4) 사각형의 넓이 구하는 공식

고대 이집트의 수학 문헌인 아메스 파피루스(기원전 1650년경) 에는 사각형의 넓이를 구하는 문제가 있는데, 연속한 변의 길이 가 a, b, c, d인 사각형의 넓이 S를 다음과 같이 구하고 있다.

직사각형인 경우에는 이 공식으로 정확한 넓이를 구할 수 있다. 그러나 네 변의 길이가 모두 같고 일정한 마름모의 여러 가지 형태를 고려하면, 넓이는 정사각형일 때 가장 크지만 ‘찌그러짐’에 따라 한없이 작을 수 있음을 확인할 수 있다.

그런데 이와 똑같은 공식이 동아시아의 산학 책에도 등장한다. 3~4세기에 나타난 중국의 <하후양산경(夏 候陽算經)>과 6세기에 나타난 <오조산경(五曹算經)>에서 네 변의 길이가 모두 다른 밭인 ‘사부등전’(四不 等田)에 대해 위와 똑같은 공식을 이용했다. 조선의 홍정하(洪正夏, 1684~?)가 쓴 산학 책 <구일집(九一 集)>에도 등장한다.

물론, 이 공식의 부당함을 논한 산학 책도 있다. 13세기 말 중국의 양휘(楊輝, 1238?~1298?)는 이의 부 정확함을 확인했고, 조선의 황윤석(黃胤錫, 1729~1791)은 <산학입문(算學入門)>(이수신편 제22권)에서 이의 부당함을 설파했다. 아마도 이 공식은 네 변의 길이는 다르지만 직사각형에 아주 근사한 논밭의 넓이 를 구하는 데 이용했을 것으로 보인다. 동서양에서 똑같은 유형의 문제를 다루었다는 것이 신기하지만, 똑 같은 오류를 공유할 수 있다는 사실은 더욱 놀랍다.

그러나 7세기경 인도의 수학자 브라마굽타가 네 변의 길이를 이용해서 사각형의 넓이를 구하는 공식을 발 견했다. 연속한 네 변의 길이가 a, b, c, d일 때 원에 내접하는 사각형의 넓이 S는 다음과 같다.

원에 내접하는 사각형의 두 대각의 크기의 합이 180°이라는 사실을 이용하고, 삼각형의 넓이를 구하는 헤 론의 공식을 유도한 것과 같은 방법으로 유도할 수 있다.

일반적인 경우로 연속한 네 변의 길이가 a, b, c, d인 (볼록) 사각형의 넓이 S는 다음과 같음을 증명할 수 있다.

3.2. 교육과정 및 교과서 내용

 평면도형의 성질

① 다각형의 성질을 이해한다.

◦ 다각형의 뜻과 기본적인 성질을 이해하게 한다.

다각형의 뜻과 다각형에서 변, 꼭짓점, 내각, 외각, 대각선 등의 뜻을 이해하고, 다각형의 대각선 개수를 구 할 수 있게 한다. 다각형은 한 꼭짓점에서 그은 대각선에 의해 여러 개의 삼각형으로 나누어질 수 있음을 이해 하게 한다.

다음은 우리 주변에서 흔히 볼 수 있는 표지판과 안내판이다. 이들 중 빨간색 선으로 표시 된 도형이 선분으로 이루어지지 않은 것을 찾아 보자.

◦ 삼각형의 내각과 외각의 크기에 대하여 알게 하고, 이를 구할 수 있게 한다.

삼각형의 내각과 외각의 크기에 대한 성질을 이해하게 한다. 삼각형의 내각의 크기의 합은  이고, 외 각의 크기의 합은 임을 이해하게 한다. 삼각형의 이러한 성질들은 연역적 추론을 통해 이해하도록 하되, 학생의 수준에 따라 구체적 조작 활동 등을 통하여 직관적으로 이해하게 할 수도 있다.

◦ 다각형의 내각과 외각의 크기에 대하여 알고, 이를 구할 수 있게 한다.

삼각형의 내각과 외각의 크기에 대한 성질의 이해를 바탕으로 다각형의 내각의 크기의 합과 외각의 크기의 합을 구할 수 있게 한다. 이와 관련하여 모든 다각형은 외각의 크기의 합이 로 일정함을 이해하게 하고, 정다각형의 한 내각의 크기와 한 외각의 크기를 구할 수 있게 한다.

다음 그림과 같은 4개의 다각형이 있다.

활동

각 다각형에 표시된 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선을 모두 그어 보자.

각 다각형은 몇 개의 삼각형으로 나누어지는가?

변의 개수와 만들어지는 삼각형의 개수 사이의 규칙은 무엇인가?

② 부채꼴의 중심각과 호의 관계를 이해하고, 이를 이용하여 부채꼴의 넓이와 호의 길이를 구할 수 있다.

◦ 원과 부채꼴에 관한 여러 가지 용어의 뜻을 이해하게 한다.

원은 평면에서 한 정점으로부터 일정한 거리에 있는 모든 점의 집합임을 알고, 원에서 호, 현, (반)지름, 부 채꼴, 중심각, 활꼴 등의 뜻을 알게 한다.

◦ 원과 부채꼴에 관한 간단한 성질을 이해하게 한다.

한 원에서 같은 크기의 중심각에 대한 호의 길이, 현의 길이가 같음을 이해하고, 그 역도 성립함을 이해하게 한다. 한 원에서 중심각의 크기와 호의 길이, 중심각의 크기와 부채꼴의 넓이는 정비례하지만, 중심각의 크기 와 현의 길이는 정비례하지 않음을 이해하게 한다.

호박 파이 한 판을 나누어 먹기 위해 오른쪽 그림과 같이 똑같은 크 기의 조각으로 자른 다음 조각, 조각, 조각씩 부채 꼴 모양으로 떼 어 내었다.

조각, 조각, 조각은 각각 호박 파이 전체의 몇 배인가?

조각에 대한 중심각의 크기는 얼마인가?

조각, 조각에 대한 중심각의 크기는 조각에 대한 중심각의 크기의 몇 배인가?

◦ 부채꼴의 넓이와 호의 길이를 구할 수 있게 한다.

원의 둘레의 길이와 넓이를 구하는 식을 문자를 사용하여 나타내고, 부채꼴의 넓이와 호의 길이는 중심각의 크기에 비례한다는 사실을 이용하여 부채꼴의 넓이와 호의 길이를 구할 수 있게 한다. 이 때, 원주율은 특정한 수치가 주어지지 않는 경우  로 나타내게 한다.

3.3. 교수학습 참고자료

낭비가 전혀 없는 완벽한 구조물

기원후 3세기에 알렉산드리아에서 살았던 그리스의 수학자 파푸스가 남긴 <수학집성(數學 集成)>이라는 책에 '꿀벌의 집에 관한 이야기' 라는 대목이 있는데 거기에는 다음과 같은 구절 이 있다.

"꿀벌은 천국으로부터 꿀이라는 신들의 음식 일부를 얻어서 인류에게 날라다 준다. 이처럼 귀 한 꿀을 땅바닥이나 수목, 그 밖의 마시기 사나운 곳에 함부로 부어넣는 것은 적당치 않다. 그래 서 꿀벌들은 꿀을 붓기에 알맞은 그릇을 만들었다. 이 그릇은 불순물이 끼지 못하도록, 서로 빈 틈없이 연이어 있는 형태를 지녀야 한다. 그런데 동일한 점을 둘러싼 공간을 빈틈없이 채울 수 있는 정다각형은 ( ), ( ), 그리고 ( )의 세 가지 밖에는 없다. 꿀벌들 은 본능적으로 최대의 각(꼭짓점)을 가진 정육각형을 택했지만, 이 형태는 다른 둘보다 훨씬 많 은 꿀을 채울 수가 있다."¹⁾

볼록다각형과 오목다각형

다각형에는 볼록다각형과 오목다각형이 있다. 모든 내각의 크기가 보다 작은 다각형은 볼록다각형이라 한다. 볼록 다각형은 다각형의 내부에 있는 어느 두 점을 잇는 선분도 다각형과 만나지 않는 다각형이다. 보다 큰 내각을 가 진 다각형은 오목다각형이라 한다. 오목다각형은 다각형의 내부에 있는 어떤 두 점을 잇는 선분이 다각형과 만나는 다 각형이다.

여기서는 볼록다각형만을 다룬다.

원주율 ^{의 역사}

1)고대 농업 국가였던 이집트, 바빌로니아, 중국에서는 토지를 측량하기 위해 수학, 특히 기하학이 발달하였다. 기원전 2000년부터 기원전 1600년까지의 바빌로니아 사람들은 원주를 지름의 3배라고 생각했다. 즉 그들은 ^를 _{3과 같다고 보} 았다. 이것은 로마의 건축가 Vitruvius가 제시한 값인데 그것은 역시 중국의 문헌에서도 발견된다. 그것은 곧 유태인들 조차 신성한 것으로 생각했으며 실제로 성서 열왕기상 7장 23절에도 이런 내용이 적혀 있다. 여기서 의 값을 

 로

바꾸려던 Rabbi Nehemiah의 시도는 무시되고 말았다.

2)파피루스에 기원전 약 1800년경의 고대 이집트인들이 원의 넓이를 구하는 방법이 다음과 같이 기록되어있다.

‘원의 넓이는 지름의 9분의 1을 뺀 후 그것을 제곱한다.’ 즉, 지름의 길이를 d라 하면 (원의 넓이)=(dx

)^이다.

이것을 오늘날의 공식 (원의 넓이)=_r^(r은 반지름의 길이)와 비교하면 ₌₍

)^=3.16049…이다.

3)아르키메데스(Archimedes, 287?~212 B. C.)는 정6, 정12, 정24, 정48다각형을 차례로 원에 내․ 외접시켜가면서 원주 율을 계산하였다. 마지막으로 정96각형을 이용하여 다음 결과를 얻었다. 3

<  _<3



이 값은 =3.14…로 최초로 소수점 아래 둘째 자리까지 정확히 구한 것이다.

4)동양에서도 중국 송나라의 수학자 조충지(祖沖之;430~501)가 =3.1415929…을 계산하였는데 

로 서양에 알려지

기도 했다.

1) http://dhopark.interpia98.net/san/bee.htm