비판적 사고
제5주: 문장논리와 번역
"이고," "거나," "이면," 그리고 "아니다"
문장논리학의 주제는 논변의 연역적 타당성 여부, 특히 이른바 논리적 연결사의 뜻에 의거해서 어떤 논변이 타당한가를 따지는 것이다.
논리적 연결사에는 "이고," "이거나," "이면," "아니다/않다" 등이 있다. 또 한국어에서는 이 연결사들을 조합하여 쓰기도 한다.
(예: "않고/아니고," "않거나/아니거나" "아니면" 등은
"않다/아니다"와 "이고," "이거나," 또는 "이면"을 조합한 단어로 간주한다.)
여기서 다루는 문장논리학은 기호논리학이다. 즉 일상적인
문장들로 구성된 논변을 직접 평가하기 보다는 기호로 번역한 논변을 통해서 간접적으로 평가한다. 따라서 우리는 일상적인 문장들을 기호로 번역하는 절차도 다룰 것이다.
진술문과 지시 표현 및 묘사 표현
진술문은 어떤 사실적 주장을 하는 문장이다. 그런 주장을 하기 위해 가장 편한 방법은 (1) 먼저 어떤 대상(들)을 지시하고,
다음으로 (2) 그 대상(들)이 어떠어떠한 속성을 가지거나 서로 이러저러한 관계를 맺는 것으로 묘사하는 것이다.
"소크라테스는 대머리다"라는 비교적 단순한 진술문을 생각해 보자. 고유명사인 "소크라테스"는 묘사하고자 하는 대상 또는 인물을 지시하고 있으며, 술어인 "대머리다"는 그렇게 지시된 대상이 가진 속성을 묘사하고 있다.
어떤 진술문에서 묘사하고자 하는 대상(들)을 가리키는 표현은 지시표현이라고 하고 그 대상(들)을 묘사하는 표현은
묘사표현이라고 하자.
지시표현의 종류
고유명사들: "소크라테스," "이명박" 등.
대명사들: "나," "너," "그이," "그것," 등.
묘사표현의 종류
많은 진술문들이 하나의 지시표현만을 포함하지만, 어떤
진술문들은 여러 지시표현들을 포함하며, 그런 진술문들은 그 지시표현들이 가리키는 대상들 간의 관계를 나타내는 술어 또한 포함한다. 예를 들어 "수성은 명왕성보다 더 뜨겁다"라는
진술문은 두 개의 지시 표현들 --- "수성"과 "명왕성"---을 포함하고 하나의 묘사 표현 ---"더 뜨겁다"---을 포함한다.
속성표현 또는 일항술어: "대머리다," "키가 크다," "뜨겁다," 등.
관계표현 또는 다항술어: "더 뜨겁다," "더 키가 크다," "...의 노예이다," 등.
복합진술문의 구조
다음 두 진술문들을 생각해 보라:
소크라테스는 대머리다. 소크라테스는 현명하다.
이 진술문들로부터 다음 복합진술문들을 구성할 수 있다:
소크라테스는 대머리가 아니다.
소크라테스는 대머리이고 소크라테스는 현명하다.
소크라테스는 대머리이거나 소크라테스는 현명하다.
소크라테스는 대머리가 아니거나 소크라테스는 현명하다.
소크라테스가 대머리이면 소크라테스는 현명하지 않다.
즉 논리적 연결사는 지시표현 및 묘사표현들과 함께 쓰여서
복합 진술문을 구성한다. 물론 둘 이상의 연결사들을 함께 쓰는 경우도 가능하며, 우리말에서 "아니고"나 "아니거나"는 "아니다"
를 "이고"나 "이거나"와 결합하여 축약한 표현이다.
단순진술문의 진리조건과 번역방법
단순진술문은 논리적 연결사를 포함하지 않은 진술문이다.
단순진술문은 다음 경우에 참이다: 그 진술문에 포함된 지시표현이 지시하는 대상(들)이 같은 진술문에 포함된
묘사표현이 나타내는 속성을 가지거나 그것이 나타내는 관계에 의해 그 순서대로 연결된다.
예를 들어, "소크라테스는 대머리다"는 "대머리다"가
"소크라테스"가 가리키는 인물의 속성을 정확히 묘사할 때
참이다. 또 한 가지 예를 들자면 "수성은 명왕성보다 더 뜨겁다"
는 "수성"이 가리키는 대상과 "명왕성"이 가리키는 대상이 "더 뜨겁다"가 묘사하는 관계에 의해서 연결될 때 참이다. 이때 명왕성이 수성보다 더 뜨겁다고 해서 그 진술문이 참인 것은 아님을 유의하라.
앞으로 우리는 단순진술문을 기호로 번역할 때 "p," "q," 또는 "r"
의 문자로 옮길 것이다.
부정문의 진리조건과 번역방법
우리는 "아니다/않다"나 그와 유사한 표현을 적절히
사용함으로써 어떤 진술문의 부정문을 얻을 수 있다. 예를 들어,
"소크라테스는 대머리다"의 부정문은 "소크라테스는 대머리가 아니다"이다. 또 우리는 부정기호인 "~"을 어떤 진술문을 번역한 표현 앞에 씀으로써 그 진술문의 부정문을 기호로 번역할 수
있다. 예를 들어 "p"가 "소크라테스는 대머리다"의
번역이면 "~p"는 "소크라테스는 대머리가 아니다"의 번역이다.
부정문은 정확히 다음 경우에 참이다: 부정되는 진술문이
거짓이다. 부정문은 정확히 다음 경우에 거짓이다: 부정되는 진술문이 참이다. 이것은 다음 진리표를 통해서 나타내어질 수
있다. p ~p
경우 1: T F
경우 2: F T
연언문의 진리조건과 번역방법
연언문을 만들려면 두 진술문을 "이고"등의 표현으로 이으면 된다. 그 경우 그렇게 이어진 진술문들은 각각 그 연언문의
"연언지"라고 불린다. 연언문은 정확히 다음 경우 참이다: 그 진술문의 연언지가 둘 다 참이다. 다음은 연언문의 진리조건을 나타내는 진리표이다:
연언문을 기호로 번역하기 위해서는 "&"을 연언지를 번역한 표현들 사이에 쓴다.
p q p&q
경우 1: T T T
경우 2: T F F
경우 3: F T F
경우 4: F F F
선언문의 진리조건과 번역방법
선언문을 만들기 위해서는 두 진술문을 "이거나"등의 표현으로 이으면 된다. 이렇게 이어지는 원래의 진술문들은 "선언지"라고 한다. 선언문은 정확히 다음 경우 참이다: 두 선언지 가운데
적어도 하나가 참이다. 선언문을 번역하기 위해서는 선언지를 번역한 표현 사이에 "v"를 쓴다. 다음은 선언문의 진리조건을 나타내는 진리표이다:
p q pvq
경우 1: T T T
경우 2: T F T
경우 3: F T T
경우 4: F F F
조건문의 진리조건과 번역방법
조건문을 만들기 위해서는 두 진술문을 "만일... 이면"등의 표현으로 이으면 된다. 이때 조건절은 "전건," 주절은 "후건"
이라고 한다. 조건문의 진리조건은 논란거리이지만, 편의상 다음 해석을 채택한다: 조건문은 정확히 다음 경우 참이다: 전건이
참이고 후건이 거짓이지 않다. 조건문을 번역하기 위해서는 전건과 후건을 번역한 표현들 사이에 "->"를 쓴다. 다음은 그 진리표이다:
p q p->q
경우 1: T T T
경우 2: T F F
경우 3: F T T
경우 4: F F T
하위진술문
임의의 복합진술문에 대해서
● 그 진술문이 부정문이라면 그 피부정문을,
● 그 진술문이 연언문이라면 그 연언지를,
● 그 진술문이 선언문이라면 그 선언지를,
● 그 진술문이 조건문이라면 그 전건 또는 후건을,
우리는 그 복합진술문의 직접하위진술문이라고 할 것이다.
또 어떤 진술문이 어떤 복합진술문에 포함되어 있으면 전자를 후자의 하위진술문이라고 할 것이다.
예) (p v q)와 r은 각각 (p v q)->r의 직접하위진술문이다. (p & ~q) 는 ~(p & ~q)의 직접하위진술문이다. (p&q)는 ~((p&q)->p)의
하위진술문이지만 직접하위진술문은 아니다.
복합진술문의 번역과정
복합진술문은 하나 이상의 논리적 연결사를 포함한 임의의 진술문이다. 어떤 복합진술문을 번역하기 위해서는 다음 절차들을 순서대로 밟으면 된다:
절차 1: 그 진술문에 포함된 모든 단순진술문을 번역한다.
절차 2: 그 진술문의 하위진술문들 가운데 그 직접하위
진술문이 이미 번역된 것들은 모두 앞 슬라이드에 제시된 절차에 따라 번역한다.
절차 3: 진술문 전체가 번역되었으면 멈춘다. 그렇지 않으면 절차 2로 돌아간다.
복합진술문의 번역과정 (계속)
"소크라테스는 대머리이다"를 "p"로, "소크라테스는 현명하다"를
"q"로 번역한다고 하자. 이제 아래의 한국어 진술문들을 기호로 번역해 보자:
소크라테스는 대머리가 아니다.
소크라테스는 대머리이고 소크라테스는 현명하다.
소크라테스는 대머리이거나 소크라테스는 현명하다.
소크라테스는 대머리가 아니거나 소크라테스는 현명하다.
소크라테스가 대머리이면 소크라테스는 현명하지 않다.
복합진술문의 진리조건
복합진술문의 진리조건은 진리표를 통해서 나타낼 수 있다.
그런 진리표를 얻으려면 다음 절차들을 순서대로 밟으면 된다:
절차 1: 그 복합진술문에 포함된 단순진술문에 줄 수 있는 진리값의 조합들을 모두 나열한다.
절차 2: 그 조합 각각에 대해 모든 하위 진술문의 진리값을 줄 수 있으면 준다. 물론 어떤
하위진술문이 아직 진리치가 주어지지 않은 직접하위진술문을 가지고 있으면 그 하위 진술문에는 아직 진리치를 줄 수 없다.
절차 3: 전체 복합진술문이 진리값을 할당받으면 멈춘다.
그렇지 않으면 절차 2로 돌아간다.
복합진술문의 진리조건
앞의 절차를 이용해서 복합진술문의 진리표를 구성한 예를 하나 살펴보자:
p q ~p ~pvq
경우 1: T T F T
경우 2: T F F F
경우 3: F T T T
경우 4: F F T T
논리적 동치
두 진술문들은 다음 경우 논리적 동치이다: 그것들이 포함한 단순진술문에 어떤 진리값을 주더라도 그 두 진술문들은 같은 진리값을 가진다:
이 진리표에서 볼 수 있는 것처럼, q와 (p&q)v(~p&q)는 논리적 동치이다.
p q (p&q)v(~p&q)
경우 1: T T T
경우 2: T F F
경우 3: F T T
경우 4: F F F
양립불가능성
진리표는 또 두 진술이 양립불가능한 주장을 하고 있는지 확인하기 위해 쓰일 수 있다:
이 진리표를 보면 어느 경우에건 p&q와 ~p&~q가 둘 다 참은 아니라는 것을 알 수 있다. 그러므로 그 두 진술문은 양립
불가능한 주장들을 담고 있다. 일반적으로, 두 진술문은 다음 경우 양립불가능하다: 그 두 진술문에 포함된 단순진술문들에 어떤 진리값을 주더라도 둘 다 참이 되는 경우는 없다.
p q p&q ~p&~q
경우 1: T T T F
경우 2: T F F F
경우 3: F T F F
경우 4: F F F T
항진문장
어떤 복합진술문들은 특이하게도 어떤 사실적 주장도 포함하지 않는다. "소크라테스는 대머리이거나 대머리가 아니다"라고
누가 말했다고 해 보자. 그 사람은 사실 소크라테스에 대해서 어떤 주장도 하지 않은 것이 된다. 이 상황에 다음 진리표에 어떻게 반영되었는지 살펴보라:
일반적으로 어떤 진술문은 다음 경우 항진문장이다: 그
진술문이 포함한 단순진술문들에 어떤 진리값을 주더라도 언제나 그 전체 진술문은 참이다.
p ~p pv~p
경우 1: T F T
경우 2: F T T
모순문장
항진문장이 세계에 대해서 아무런 주장도 하지 않는
진술문이라면, 그 대척점에는 세계에 대해 불가능한 주장을 하는 진술문들, 즉 모순문장들이 있다. 예를 들어 누군가
"소크라테스는 대머리이고 소크라테스는 대머리가 아니다"라고 말했다면 그 사람은 소크라테스의 두발상태에 상관없이 거짓된 진술을 한 것이다:
일반적으로 어떤 진술문은 다음 경우 모순문장이다: 그
진술문에 포함된 단순진술문들에 어떤 진리값을 주건 간에 그 진술문은 거짓이다.
p ~p p&~p
경우 1: T F F
경우 2: F T F
우연문장
어떤 진술문은 정확히 다음 경우 우연문장이다: 그 진술문은 항진문장도 아니며 모순문장도 아니다.
우연문장은 그것이 포함한 지시표현이 가리키는 대상들의 상태에 의존적으로 참이거나 거짓이다. 예를 들어서,
"소크라테스는 대머리가 아니다"라는 진술문은 소크라테스가 대머리이면 거짓이고 대머리가 아니면 참이다.
논변
논변은 진술문들의 집합이다. 논변을 제시하는 목적은 그것이 포함하고 있는 진술문들 가운데 하나를 참으로 옹호하는데
있다. 그렇게 옹호되는 진술문을 결론, 나머지 진술문들을 (만일 있다면) 전제라고 한다. 유의해야 할 점은 논변은 정확히 하나의 결론을 가지지만 전제의 숫자에는 (유한하다는 것을 빼 놓고는) 제한이 없다는 것이다. 편의상 우리는 전제들과 결론 사이에 "//"
를 써서 구별한다.
예 1) 소크라테스는 대머리이다. // 소크라테스는 대머리이거나 현명하다.
예 2) // 소크라테스는 대머리이거나 대머리가 아니다.
타당성
어떤 논변은 정확히 다음 경우에 타당하다: 전제가 참인
(논리적으로 가능한)모든 경우에 결론도 참이다. 예를 들어, p // p&q
는 부당한데, 이것은 p가 참이지만 p&q가 거짓인 경우가 있기 때문이다:
위 진리표에서 경우 2를 보면 p는 참이지만 p&q는 거짓이다.
p q p&q
경우 1: T T T
경우 2: T F F
경우 3: F T F
경우 4: F F F
타당성 (계속)
또다른 예를 들자면, p // pvq
는 타당한데 이것은 p가 참이지만 pvq 가 거짓인 경우가 없기 때문이다:
경우 1과 2를 보면 p가 참이지만 두 경우 모두 p v q도 참인 것을 알 수 있다.
p q p v q
경우 1: T T T
경우 2: T F T
경우 3: F T T
경우 4: F F F
연습문제(수업중)
다음 논변들을 기호로 번역하고 진리표를 이용하여 타당한지 판별하라. 포함된 단순진술문들은 제공된 문자들을 써서
옮겨라.
(1) 제퍼슨은 버지니아 사람이거나 캘리포니아 사람이다. 그는 캘리포니아 사람이 아니다. 그러므로 그는 버지니아 사람이 분명하다. (V, C)
(2) 그 차는 전륜구동형이면서 후미 엔진을 가지지는 않는다. 그 차는 후미 엔진을 갖는다. 그러므로 그 차는 전륜구동형이
아니다. (F, R)
연습문제 (수업중)
(3) 환자는 많은 양의 물을 마셔야 하고 침대에 누워있어야 한다.
그러므로 환자는 침대에 누워 있어야 한다. (W, B)
(4) 그녀는 그의 변호사이거나 부인이다. 그녀는 그의
변호사이다. 그러므로 그녀는 그의 부인이 아니다. (L, W)
(5) 만약 배기관이 빠져 있다면, 차는 출발하지 못한다. 배기관이 빠져있다. 그러므로 차는 출발하지 못한다. (D,S)
(6) 만약 비가 온다면 경기는 취소될 것이다. 만약 경기가
취소된다면, 내기는 무효화될 것이다. 따라서 만일 비가 온다면, 내기는 무효화 될 것이다. (R, C, V)
(7) 뱀은 파충류이다. 그러므로 뱀이 파충류가 아니라는 것은 사실이 아니다. (S)
연습문제 2 (수업중)
다음 중 항진문장은 어느 것이고, 모순문장은 어느 것이며, 우연 명제는 또 어떤 것인지 답하고, 당신의 답이 맞다는 것을
진리표를 통해 보여라:
(a) p->p.
(b) (~p)->~p.
(c) p v ~p.
(d) p v p.
(e) p->~p.
(f) p & ~p.
연습문제 2 (수업중)
(g) ~(p & ~p).
(h) p v q.
(i) p -> (p v p).
(j) q -> (q & q).
(k) p -> (p v q).
(l) (p & q)-> q.
(m) (p & q)->(q v r).
(n) ~((q v q)->q).
(o) ~((p v ~p)&(q & ~q)).
연습문제 3 (수업중)
어느 진술문의 쌍들이 논리적으로 동치이고, 어느 것이 아닌가?
진리표를 써서 밝혀라:
(a) ~p v q, ~(p & ~q).
(b) p->q, ~(~p & q).
(c) p v q, ~(~p & ~q).
(d) p &q, ~(~p v ~q).
요약
● 단순진술문은 지시표현과 묘사표현으로부터 구성된다.
● 복합진술문은 단순진술문에 "~," "&," 그리고 "v" (또는
"아니다," 이고," 이거나") 등의 논리적 연결사를 적용하여 얻는다.
● 논리적 연결사들--- "~," "&," 그리고 "v" ---을 위한 진리표는 어떻게 복합진술문의 진리값이 그것이 포함한 단순진술문의 진리값에 의존하는지 보여준다.
● 논리적 연결사들을 위한 진리표들을 토대로 해서 어떤 복합진술문을 위한 진리표도 구성할 수 있다.
● 진리표를 통해서 동치, 항진문장, 모순문장, 우연문장 등의 개념들을 정의할 수 있다.
● 마지막으로 진리표를 통해서 논변의 타당성 개념을 이해할 수 있다.
