불확실성하에서의 선택은 어떤 것들이 있는가？
• 우리는 미래에 대한 전망이 불확실한 상황에서 의사결정을 해야 할 경우 있다. F.
Knight는 불확실성과 위험성의 개념을 구분해 사용했으나 최근에는 양자를 엄격하 게 구분하지 않는 추세이다. 위험부담에 대한 태도가 사람마다 다른데 불확실한 상 황에서의 선택도 서로 다르게 나타난다.
• 접근방식은 다음과 같이 조건부상품과 기대효용의 극대화 두 가지 중 하나로 분석 이 가능하다.
• 조건부상품에 대한 선택의 문제이다. 조건부상품은 여러 가지 상황이 나타날 수 있 을 때, 실현된 상황에 따라 그 내용이 달라지는 상품이다. 조건부상품을 도입함으 로써 불확실성이 개입된 선택의 문제를 일반적인 소비자이론과 똑같은 틀에서 분 석하는 것이 가능하다.
• 기대효용을 극대화하려는 소비자의 선택행위이다.
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• 조건부상품 접근방식을 화재보험의 예에 적용하기로 한다. 다음과 같은 가정을 하 기로 한다. 원래의 총 재산은 6억원이고, 불이 날 확률은 14인데 불이 날 경우 4억원 의 손실이 발생한다. 불이 날 때의 재산 𝑊𝑊𝑓𝑓와 불이 나지 않을 때의 재산 𝑊𝑊𝑛𝑛이 조건 부상품이다. 그림에서 𝐴𝐴점은 보험이 존재하지 않은 경우의 초기부존을 나타낸다.
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• 공정한 보험이 도입되었다고 가정한다. 공정한 보험이란 보험료의 보험금에 대한 비율인 프리미엄률이 사고가 날 확률인 1
4과 일치하는 것을 의미한다. 공정한 보험 이 도입되면 선분 𝐴𝐴𝐴𝐴가 예산선이다. 이 선분 위에서 재산의 기대치가 일정하다는 의미에서 등기대치선이라고 부른다.
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• 위험에 대한 태도는 다음과 같이 세 가지 유형이 있다. 첫째, 위험기피적인 태도는 기대치상으로 볼 때 자신에게 유리한 경우라도 충분히 유리하다고 판단되지 않으 면 내기에 응하지 않는다. 둘째, 위험선호적인 태도는 기대치상으로 자신에게 불리 한 경우에도 내기에 응한다. 셋째, 위험중립적인 태도는 기대치상으로 나타난 유리 함이나 불리함만을 기준으로 삼아 선택한다.
• 위험기피적인 태도를 갖는 사람의 무차별곡선은 다음의 두 가지 특징을 가진다. 원 점에 대해 볼록한 모양인데 두 상태에서 고른 크기를 갖는 상품의 조합을 선호한다.
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• 무차별곡선의 기울기가 무위험선 위에서 등기대치선의 기울기와 일치하는데 무 위험곡선상 45°선에서 무차별곡선이 등기대치선보다 더욱 가파른 경우는 허용될 수 없고, 더욱 완만한 경우도 마찬가지이다. 그림 (i)를 보면 소비자는 𝐴𝐴점을 선택할 것을 알 수 있다.
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• 앞에서 설명한 것과 똑같은 화재 위험의 상황에 처해 있는 사람이 100명이 존재한 다고 가정한다. 평균적으로 25명이 각 4억원씩의 화재 피해를 입을 것이다. 한 사 람당 1억원을 내서 100억원의 기금을 만든 다음 화재 피해보상해주면 완벽한 보상 이 가능하다. 보험은 바로 이와 같은 성격을 보유하고 있는데 위험분산의 행위이다.
• 기대효용이론은 폰 노이만(J. von Neumann)과 모겐스턴(O. Morgenstern)이 개발한 이론이다. 현실에서 보는 불확실성하의 선택은 두 가지 이상의 가능한 상황이 결부 되는 경우가 많다. 즉 조건부상품에 기초한 접근방식보다 좀 더 일반적인 접근방식 과 기대효용이론이다.
• 기대효용이론에는 완비성, 연속성, 독립성, 부등확률, 복합확률 등 다섯 가지 공리 가 있다. 완비성은 어떤 두 개의 선택가능성을 놓고 비교한다 하더라도 평가가 가 능하고, 이행성이 추가된다.
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• 연속성은 𝑝𝑝의 확률로 어떤 상을 주는 복권 𝐿𝐿(𝑝𝑝)을 가정한다. 𝑝𝑝 = 1은 확실히 𝐴𝐴를 갖는 것보다 이 복권을 더 선호한다. 𝑝𝑝 = 0은 확실히 𝐴𝐴를 갖는 쪽을 복권보다 더 선 호한다. 0 < 𝑝𝑝 < 1은 의사결정자가 복권 𝐿𝐿(𝑝𝑝)와 확실한 𝐴𝐴사이에서 아무런 차이를 느끼지 못하게 되는, 바로 그와 같은 확률 𝑝𝑝가 존재한다.
• 독립성은 𝐴𝐴와 𝐴𝐴사이에서 아무런 차이를 느끼지 못하며, 𝐶𝐶는 아무 관련 없는 제 3의 결과이다. 𝐿𝐿𝐴𝐴(𝑝𝑝)는 𝑝𝑝와 1 − 𝑝𝑝의 확률로 각각 𝐴𝐴와 𝐶𝐶를 상으로 주는 복권이며, 𝐿𝐿𝐵𝐵(𝑝𝑝) 는 𝑝𝑝와 1 − 𝑝𝑝의 확률로 각각 𝐴𝐴와 𝐶𝐶를 상으로 주는 복권. 그렇다면 두 복권 𝐿𝐿𝐴𝐴(𝑝𝑝), 𝐿𝐿𝐵𝐵(𝑝𝑝) 사이에서도 역시 아무런 차이를 느끼지 못한다.
• 부등확률은 똑같은 상을 주는 두 복권이 있다고 할 때, 의사결정자는 상을 탈 확률 이 더 높은 복권을 더욱 선호한다. 복합확률은 어떤 복권이 있는데 그것의 상은 또 다른 복권이다. 만약 궁극적으로 어떤 구체적인 상 𝐴𝐴를 탈 확률만 같다면 의사결정 자는 복권에 의한 결정과정을 몇 단계 거쳐야 되느냐에 전혀 개의치 않는다.
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• 독립성 공리와 복합확률 공리 사이에서 충돌이 일어날 수 있다. 𝐴𝐴와 𝐴𝐴 사이에서 아 무런 차이를 느끼지 못한다고 가정한다. 𝐴𝐴는 0.5의 확률로 2백만원의 상금을 주는 복권이고, 𝐴𝐴는 확실한 30만원이다. 독립성의 공리에 따르면 0.3의 확률로 복권 𝐴𝐴를 상으로 주는 복합복권 𝐿𝐿𝐴𝐴와 0.3의 확률로 𝐴𝐴, 즉 확실한 30만원의 상금을 주는 복권 𝐿𝐿𝐵𝐵 사이에서도 차이를 느끼지 않아야 한다. 복합복권의 공리에 따르면 복합복권 𝐿𝐿𝐴𝐴와 곧바로 0.15의 확률로 2백만원의 상금을 주는 복권 𝐿𝐿𝐶𝐶사이에서도 아무런 차 이를 느끼지 않아야 한다. 이는 𝐿𝐿𝐵𝐵와 𝐿𝐿𝐶𝐶사이에서도 아무런 차이를 느끼지 않는다 는 뜻이다. 실제로는 이 둘 사이에서 𝐿𝐿𝐶𝐶를 선호한다는 대답 나올 가능성 크다.
• 폰 노이만−모겐스턴 효용함수에서의 기대효용이다. 복권의 예를 보기로 한다. 복 권이 당첨될 확률은 0.001이고, 상으로 노트북을 한 대 지급하며, 효용의 수준은 1,000유틸이다.낙첨될 확률은 0.999이고, 볼펜 한 자루는 1유틸이다. 복권의 기대 효용은 0.001 × 1,000 + 0.999 × 1 = 1.999이 된다.
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• 일반화된 도출 과정은 다음과 같다. 어떤 복권 𝐿𝐿이 있는데, 𝑝𝑝의 확률로 𝐴𝐴라는 상을 주고 1 − 𝑝𝑝의 확률로 𝐴𝐴라는 상을 주는 경우이다. 𝐴𝐴와 𝐴𝐴의 효용수준은 각각 𝑈𝑈(𝐴𝐴)와 𝑈𝑈(𝐴𝐴)이다. 𝑈𝑈 𝐿𝐿 = 𝑝𝑝𝑈𝑈 𝐴𝐴 + 1 − 𝑝𝑝 𝑈𝑈(𝐴𝐴)이다. 아주 극단적으로 대조를 이루는 두 금액을 선정하고 이 둘에 대해 임의의 효용수준을 부여하는 데서 출발한다. 두 극 단적인 금액의 선정과 이들에 대한 효용수준의 배정이 완전히 임의로 이루어지는 기수성이다.
• 다음과 같은 질문이 있다. 의사결정자가 확실하게 3천만원의 이득을 얻는 경우와 𝑝𝑝의 확률로 10억원을 얻고 동시에 1 − 𝑝𝑝의 확률로 2억원의 손실을 볼 가능성도 있 는 경우를 비교한다. 두 경우에 전혀 차이를 느끼지 못하게 하는 𝑝𝑝의 값이 무엇인가?
연속성의 공리에 의해 그런 𝑝𝑝가 반드시 존재한다. 만약 그것의 값이 0.4라고 대답 한다면 3천만원이 주는 효용은 𝑈𝑈(3천만) = 0.4 × 𝑈𝑈(10억 ) + 0.6 × 𝑈𝑈(−2억)으로 나타낼 수 있다.
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• 폰 노이만−모겐스턴 효용함수의 예시는 다음과 같다. 2억원의 손실과 관련된 효 용수준이 0이고 10억원의 이득과 관련된 효용수준이 100이다. 각각 𝑎𝑎, 𝑏𝑏점으로 대 표된다. 3천만원이 주는 효용은 𝑈𝑈(3천만원 ) = 0.4 × 100 + 0.6 × 0 = 40이 되는데, 이것이 바로 그림의 𝑐𝑐점이다. 의사결정자가 갖고 있는 위험성에 대한 태도가 그 점 의 높이를 결정한다. 다른 이득의 수준에 대해서도 똑같은 과정을 반복함으로써 폰 노이만−모겐스턴 효용함수의 도출이 가능하다.
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• 기대효용의 성격에 대하여 보기로 한다. 위험성에 대한 태도 중에서 위험기피적인 태도는 오목한 모양의 효용곡선을 갖는다. 복권의 예로 들면 다음과 같다. 𝑝𝑝의 확률 로 큰 돈 𝑆𝑆원을 주며, 1 − 𝑝𝑝의 확률로 아주 작은 돈 𝐹𝐹를 준다고 가정한다. 상금의 기 대치는 𝑝𝑝𝑆𝑆 + 1 − 𝑝𝑝 𝐹𝐹원이 된다. 위험부담을 싫어하는 사람은 복권을 갖는 것보다 상금의 기대치를 확실하게 갖는 쪽을 선호한다. 𝑝𝑝𝑈𝑈 𝑆𝑆 + 1 − 𝑝𝑝 𝑈𝑈 𝐹𝐹 < 𝑈𝑈[𝑝𝑝𝑆𝑆 +
1 − 𝑝𝑝 𝐹𝐹]이 되는데, 강오목함수이다.
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• 위험기피적인 경우의 효용곡선이다. 𝑖𝑖점의 높이는 상금의 기대치가 주는 효용이다.
기대효용을 나타내는 𝑗𝑗점의 높이보다 높다. 확실하게 얻을 수 있는 돈이 있다면 𝑀𝑀 원만을 가지고도 복권이 주는 기대효용과 같은 수준의 효용을 얻을 수 있다. 위험 부담에 대해 중립적인 사람은 상금의 기대치에만 의거해 선택하는데 효용곡선은 직선의 모양을 가진다.
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• 보험과 관련된 선택은 다음과 같다. 앞에서 본 화재피해위험에 대해 기대효용이론 에 적용이 가능하다. 불이 나지 않았을 때와 불이 났을 때의 효용수준은 각각 𝐴𝐴점 과 𝐴𝐴점의 높이이다. 기대효용의 수준은 𝐶𝐶점의 높이인 데 비해 확실한 5억원의 재 산이 주는 효용의 수준은 𝐷𝐷점의 높이이다. 보험에 가입함으로써 선분 𝐶𝐶𝐷𝐷의 길이에 해당하는 효용이 증가한다.
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• 오목함수는 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3사이에 다음의 관계가 성립하는데, 𝑥𝑥3 = 𝑘𝑘𝑥𝑥1 + 1 − 𝑘𝑘 𝑥𝑥2이고, 0 < 𝑘𝑘 < 1이다. 오목하다는 것은 𝛼𝛼점과 𝛾𝛾점을 잇는 선분인 붉은색의 현(chord)이
호(arc)보다 아래쪽에 위치하는데, 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑥𝑥1 + 1 − 𝑘𝑘 𝑘𝑘 𝑥𝑥2 < 𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑥𝑥1 + 1 − 𝑘𝑘 𝑥𝑥2 를 의미한다.
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• 기수성은 폰 노이만−모겐스턴의 효용지표이다. 기수성의 내용은 한계효용학파의 그것과 다르다. 극단적인 두 값이 주어지면 나머지 효용수준도 독특하게 결정된다.
효용수준에 다른 숫자를 배정해도 아무 문제가 없다. 외양으로 보아 전혀 달라 보 이지만 실질적인 의미에서 같다는 의미이다. 예를 들면 온도계의 화씨와 섭씨이다.
효용의 절대적인 수준은 실질적으로 의미가 없는 서수적 효용의 성격이다.
• 위험한 자산의 선택에 관한 이론은 다음과 같다. 포트폴리오(portfolio)는 어떤 사람 이 보유하고 있는 여러 가지 자산을 통틀어서 부르는 말이다. 포트폴리오 안에 어 떤 자산이 어떤 비율로 섞여 있느냐에 따라 각각 다른 수익성과 위험성의 조합을 선택한다. 사람마다 수익성과 위험성에 대한 태도가 다른데, 선택하는 자산의 조합 도 달라지게 된다.
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• 포트폴리오 선택의 모형 설정은 다음과 같다. 무위험자산과 위험자산 두 가지만 존 재한다고 가정한다. 무위험자산의 수익률은 𝑟𝑟𝑘𝑘이고, 위험자산의 수익률은 𝑟𝑟𝑘𝑘이다. 단 𝑟𝑟𝑘𝑘 < 𝑟𝑟𝑘𝑘이다. 어떤 투자자의 예를 보기로 한다. 전 재산을 1로 잡을 때, 이 중 𝑎𝑎만 큼을 위험한 자산, 1 − 𝑎𝑎만큼을 안전한 자산으로 보유한다. 𝑟𝑟𝑝𝑝 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑘𝑘 + (1 − 𝑎𝑎)𝑟𝑟𝑘𝑘 이다. 𝜎𝜎𝑝𝑝 = 𝑎𝑎𝜎𝜎𝑘𝑘로 통계학의 공식을 사용한다. 포트폴리오 선택의 문제는 결국 어떤 𝑎𝑎의 값을 선택할 것인지의 문제로 귀착된다.
• 투자자의 효용함수는 𝑈𝑈 = 𝑈𝑈(𝑟𝑟𝑝𝑝,𝜎𝜎𝑝𝑝)이다. 위험성은 비재화(bads)로 𝜎𝜎𝑝𝑝의 값이 커짐 에 따라 효용수준이 하락하고 우상향하는 모양의 무차별곡선을 가진다. 투자자가 직면한 예산제약 𝑟𝑟𝑝𝑝 = 𝑟𝑟𝑓𝑓 + 𝑎𝑎 𝑟𝑟𝑘𝑘 − 𝑟𝑟𝑓𝑓 는 𝑟𝑟𝑝𝑝 = 𝑟𝑟𝑓𝑓 + 𝑟𝑟𝑘𝑘𝜎𝜎−𝑟𝑟𝑓𝑓
𝑘𝑘 ⋅ 𝜎𝜎𝑝𝑝 가 된다.
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• 투자자의 효용극대화 문제는 주어진 제약하에서 효용함수의 값을 극대화하는 𝑎𝑎의 값은 얼마일까? 선분의 기울기는 위험성의 가격인 포트폴리오의 위험성이 일정한 폭으로 커지면 수익성 𝑟𝑟𝑝𝑝는 거기에 바로 이 비율을 곱한 것만큼 더 커지게 된다. 예 산선에 접하면서 가장 위쪽에 있는 무차별곡선을 찾음으로써 효용극대화점 𝐸𝐸점을 찾을 수 있다. 𝐴𝐴점에 가까울수록 위험자산의 비율은 더 높아진다.
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• 여러 가지 위험한 자산에 분산투자함으로써 포트폴리오 전체의 위험성 줄일 수 있 다. 우산 장사와 나막신 장사의 예를 보기로 한다. 어떤 날이 맑을 확률과 비올 확률 이 각각 1
2 로 주어져 있다면 각자의 기대수입은 12만원이다. 날씨에 따라 수입에 차 이가 있다는 위험성이 있다. 각자가 우산 장사와 나막신 장사를 겸하면 어떤 날씨 에도 확실하게 12만원의 수입을 얻을 수 있다. 우산 장사의 수입과 나막신 장사의 수입이 완벽한 음(−)의 상관관계를 갖는다는 데서 분산투자의 이점이 나온다.
요약
• 불확실성이 개재된 선택에서는 상황에 따라 그 크기가 달라지는 상품을 고려하는 셈이어서 조건부상품이라는 개념을 적용할 수 있다. 조건부상품의 개념을 도입한 후에는 일반적인 소비자이론의 틀을 그대로 적용해 소비자의 선택행위를 분석할 수 있다.
• 불확실성하의 선택은 의사결정자의 위험부담에 대한 태도에 결정적으로 의존하 게 된다. 위험성에 대한 태도는 기피적인 것, 중립적인 것, 선호적인 것의 세 유형으 로 나누어 볼 수 있다.
• 폰 노이만과 모겐스턴은 소비자의 선호체계가 몇 가지 기본 가정을 충족시킬 때 합 리적인 소비자는 기대효용을 극대화하려 것임을 입증했다. 그 기본 가정으로는 완 비성, 연속성, 독립성, 부등확률, 복합확률의 다섯 가지를 설정하고 있다.
• 폰 노이만과 모켄스터 효용곡선은 소비자가 위험에 대해 어떤 태도를 취하느냐에 따라 그 모양이 달라진다.
요약
• 위험에 대해 중립적인 경우 효용곡선은 직선이 되지만, 기피적인 태도를 갖는 경우 에는 오목한 모양을 갖게 된다.
• 사람들은 수익성과 위험성을 고려해 여러 가지 자산을 혼합해 보유하는 경향을 보 인다. 소비자의 효용극대화 모형을 통해 이들이 안전한 자산과 위험한 자산을 어떤 비율로 섞어 보유하게 될지 분석할 수 있다.
참고문헌
이준구, 미시경제학 제7판, 문우사, 2019년, 𝑝𝑝𝑝𝑝. 181~210.
토의 및 토론 주제
• 불확실성하에서 어떻게 선택할 것인가?
• 위험한 자산을 관리하는 방법은 무엇이 있는가?
