제3장 부분 분수에 의한 역변환

제3장 부분 분수에 의한 역변환

_

^

^

 _{  }

^{  }

^{  }

 ⋯  _

 _   

  : 외부작용함수(forcing function) 부분분수(Partial Fractions)

예제 3.1



    ,   

    



    

  

    

 (3.1)

 ^{ }

식(3.1)의 양변에 s를 곱하고   으로 두면

  

 _{ }

  



,  

마찬가지로 식(3.1)의 양변에   곱하고   로 두면



 

    ,  

  

  

   



∴     ^{ }

예제 3.2 Laplace 변환과 고전적인 방법의 비교

^

^

  ^

^

 

     ^

   , ^′   , ^″  









   



  

  ^ ^   

^ ^   

 

   

    

    

    



양변에 s를 곱한 다음   

_{ }

  

   

마찬가지로 다른 상수 _{ }



 , _{ }



 , _{ }



  , _{ }





    

 ^ 

^{ } 

 ^{ } 

^

고전적인 미분

특성방정식

^ ^      ,         

       

_ _^{ }_^{ }_^ ~ 보충해(complementary solution) 외부작용함수를 보면

_    

 ^_^{ }_^{ }_^

초기조건 적용하여 _^_^_ 결정

주목할 점

1. 두 방식 모두 특성 방정식의 근을 구해야 함. 이 근들은 외부 작용 함수와는 관계없는 형태의 항 들을 추가해 준다. 이 항들이 보충해(complementary solution)를 이룬다.

2. 외부 작용 함수 때문에 추가되는 항들은 외부 작용 함수에 의존하지만 식의 좌변에는 무관한 형태 를 갖는다. 이 항들이 특이해(particular solution)를 구성한다.

3. 항들로 구성되는 이러한 두 개의 집합들, 즉 미분 방정식의 우변과 좌변은 관계되는 상수들을 구 할 때에 서로 연관된다.

4. 초기 조건들의 유일한 효용은 상수 값들을 구하는 데 있다.

예제 3.3

복소수를 포함하는 경우

^

^

  

    

  ^′  

  

^   

  

      

      



양변에 곱하고    , _{ }

    

  

양변에     곱하고      , _{ }

    

  

   

양변에     곱하고      , _{ }

   

  

   

  

  

   

    

  

   

    



    

   

^{   } 

   

^{   }

^{  } ^cos   sin 를 이용하면 ^  cos   sin

^{  } ^cos   sin ^{ }  cos   sin

    ^{ }cos  sin

→유도

복소수가 포함되는 경우의 일반화

의 복소수항은 가 실수 함수이므로 공액복소수(complex conjugate number)로 존재

   

     ~ conjugate of Z 공액복소수근이 존재하면

    _ _  _ _



부분적분

_ 



_ _

   _ _

_ _



_{  }



 , _  , _  

_  

 , _  

 , _ 

 , _  

 , _{  }





식 (3.10)의 좌변이 모든 실수 s에 대해 실수이므로 우변도 모든 실수 s에 대해 실수이어야 함.

→ 이를 위한 필요충분조건은 우변의 두 항들이 서로 공액복소수가 되는 것.

분모가 공액관계이므로 분자도 공액관계

_  _

_  _

  _ _  _ _



_{  }

  _ _

_ _

   _ _

_ _

(3.11)

복소수근항의 역변환

_ _^{  } _ _^{  }

^{ } ^cos_   sin_ 이용하면

^{ }_cos_  _sin_ (3.12) 식(3.8), (3.11) &_{ }



   

로부터

_  

 , _ 

 , _  , _   또는

_  

 , _ 

 , _   , _  

∴ ^{ }cos  sin

예제 3.4

^

^

   ^{ } ,   ^′  

      

    

    

    

 , _{ }



 , _{ }



   

  

   

을 식(3.11)에 대응시키면 _  

  

 , _  

 , _   ,

_  

따라서  

 cos  

 sin

  

^{ } 

 cos  

 sin

check! 미분방정식과 경계조건 만족여부, B대신 C에 대응하여 같은 결과를 얻는지

2차항을 이용하는 다른 방법

  

^   

  

  

^   

 

 ^   

^   ^^

  ^   

  ,   ,  

  ,   ,  

 

 

^   

  

^   



^{ }sin →









  

  

  ^ ^

  

   ^ ^



    ^{ }cos  ^{ }sin

  ^  



_{  }

^   

 

^       _  _               ^ ^

 _{  }

   ^ ^

 

(3.18)

 ^^







  







 



 _ _

   ^ ^

  

 

 

   ^ ^



∴  _ ^{ }cos  

 

^{ }sin  (3.19)

예제 3.5

  ^   

  

  ^   

 

근의공식

_  

 ±^  

  ± 

   ,    , _{ }



 , _{ }



 , _{ }



 식(3.19) 이용

  

 

^cos  

 ^sin 

예제 3.6

^

^

 ^

^

 

    ,   ^′  ^″  

  

^ ^   



   ^

  

    ^

    ^

    

 (3.20)

양변에 × ,    →  

×   ^,    →  

A, B를 (3.20)에 대입

  ^

    ^

  ^       ^

   ^

 ^   ^    

   ^   ^    

   ,     ,   

  ,  

  

    ^

    ^

    



    ^{ }



^

   



미방 및 초기조건 만족하는지 확인

일반화

의 분모에    ^의 인자가 들어 있으면

   ^

_

    ^{  }

_

 ⋯    

_







_

^{  }   

_

^{  } ⋯ _{  } _^



