£
?ù o ÞS X ê s; c" e / n ÇX ~ ¿} º{ ¢] k ù8 ý Ò ÞW Ä] K ¡ à à Å× D; c å ¾ Ë X ¢ ì Å
»¦ ç ¡ · »# Ü ¸
Â
Ò â @ / < Æ § õ < Æ@ / < Æ Ó ü t o < Æõ , Â Òí ß 608-737
(2011¸ 8 Z 4 4{ 9 ~ Ã Î6 £ §, 2011¸ 8 Z 4 30{ 9 Ã º& ñ : r ~ Ã Î6 £ §, 2011¸ 10 Z 4 5{ 9 > F S X & ñ )
:
r ½ ¨ H F KÖ 6 x r © \ " f Y O w כ ¹ è ¸+ þ A` ¦ 6 x # l \ O Õ ªÒ ¨ _ 1 l x% i < Æ& h o\ ¦ ½ ¨ô Ç . & ñ Ðü <
¨ 8
â \ È Ò _ & ñ Õ þ s r ç ß s â õ # o | ¨ c à º e . F KÖ 6 x r © \ " f # Q l \ O Õ ªÒ ¨ \ @ / ô
Ç Å Òd _ à ºe Ò ¦ РÒ' } ' § > =s : r` ¦ & h 6 x # H ¦Ä »u \ ¦ ½ ¨ # r ç ß \ É r o РÒ' l \ O Õ
ªÒ ¨ s ½ + Ë÷ & Ô æ õ ) a . : £ ¤ y l \ O Õ ªÒ ¨ ç ß _ © ñ ' a$ í ` ¦ Å Ò Ð 1 l x% i < Æ& h o\ ¦ : x K " f
½
¨ # , W 1t r ç ß ç ß \ " f Y O w כ ¹ è ¸+ þ A_ 1 l x% i < Æ& h l \ O Õ ªÒ ¨+ þ AI \ ¦ Æ Ò& h ì r$ 3 ô Ç . õ & h Ü ¼ Ð
¿
º P : H ¦Ä » 7 ' H r ç ß _ o\ É r ¨ 8 â o\ 2 [ < Ê` ¦ Ðs ¦ e .
Ù þ
d # Q: Ã ºe Ò ¦, Y O w כ ¹ è ¸+ þ A, } ' § > =s : r, © s 7 £ x Ý ¶ A è
Dynamical Evolution of Multifactor Models in Financial Markets
Gychang Lim · Kyungsik Kim ∗
Department of Physics, Pukyong National University, Busan 608-737 (Received 4 August 2011 : revised 30 August 2011 : accepted 5 October 2011)
We investigate the dynamical evolution of business groups by using the multifactor model in financial markets. The traders can be classified according to the amount of capital employed in investment. Their strategies may change over time because of changes in information and in the environment. The stocks making up a financial market can be partitioned into several business groups, and each business sector is obtained and mapped by using the larger eigenvalue derived from the random matrix theory. In this work, we examine the dynamical evolution of a correlation- based cluster of stocks, which is usually consistent with a business group. By segmenting the whole time series into several overlapping segments, we trace the dynamical evolution of each business group by using the multi-factor model and treat the variation of business groups by the evolution of data. Through our result, we show that the second largest eigenvector is comparatively vulnerable to changes in the environment over time.
PACS numbers: 05.10.-a, 05.45.Df, 89.75.-k, 89.90.+n
Keywords: Financial Times Stock Exchange, Return, Multifactor model, Random matrix theory
∗
E-mail: [email protected]
-966-
I. " e  ] Ø
t
F K t 20 # ¸ ç ß F KÖ 6 x r © \ " f â ] jÓ ü t o < Æ_ F K Ö
6 x ¸+ þ A[ þ t É r ª ô Ç : x > % i < Æ& h í ß ~ ½ ÓZ O õ ¦ ¸_ l Õ
ü
t s & h 6 x ÷ &# Q V , > ½ ¨÷ &# Q M ® o [1–3]. F KÖ 6 x r © \ " f '
0 A < Ê É r ½ ¨$ í כ ¹ è H = å Se \ O s r ç ß _ o\ 1
l x% i < Æ& h 1 l x s o ) a . > \ ½ ¨$ í ) a ' 0 A H ¨ 8 â õ
& ñ Õ þ \ _ K ó ø Íé ß , ¸& ñ ÷ &# Q s \ @ /ô Ç 4 ¤ ¸ ú $ í s ½ Ó µ
1 Ï(emergence)÷ &# Q M ® o . F KÖ 6 x r © \ " f É r' F K, © ñ
F K, K t F K, > h F K1 p x õ ° ú É r È Ò F K É r z ´] j Ð
>
8 £ x ½ ¨ ¸(hierarchical structure)\ ¦ ° ú H . & ³F F KÖ 6 x r
© _ @ / o Ð # È Ò F K É r È Ò \ _ K > h _
à ºe ` ¦ 0 A # l ² D G \ " f É r ² D G Ð Ä »Ø ¦ ÷ &# Q F
KÖ 6 x r © \ È Ò ÷ & 9, ¸Z þ t ± ú ² D G s _ F KÖ 6 x r © _ â ]
j& h Ö ¸$ í o H Á ºr ½ + É Ã º \ O H { 9 Ð Â Ò © ÷ &% 3 . \ V\ ¦ [ þ t
#
Q ô Ç È Ò É r ² D G Ð È Ò ) a F K É r Ä »1 l x$ í _ 0 A l
(liquidity crisis) { u , : r _ ² D G Ð _ È Ò
F K s r Ä »{ 9 ÷ & 9, s ´ òõ H / å L5 Å q y ¿ º ² D G s _
A ½ Óµ 1 Ï÷ & H & ³ © s µ 1 ÏÒ q tô Ç . " f F KÖ 6 x r ©
É
r ª ¦, V , > È Ò Ã º¨ î (investment horizen)s ë
ß [ þ t # Q . © l ç ß É r' 1 p x \ È Ò ô Ç F K É r s Ð Â
Ò' ô Ç& ñ ) a à ºe F K` ¦ È Ò % 3 ` ¦ à º e t ë ß , é ß l ç ß È
Ò \ _ ô Ç Ã ºe F K Ü ¼ Ð 8 ´ ú §s í ß ` ¦ Z þ t o 9 & ñ Ð ü
< & ñ Õ þ s | כ ¹ . È Ò _ & ñ Õ þ É r © ¾ ¡ § _ 1 l x
$ í
õ כ ¹1 l x õ ' a ÷ &# Q ½ ¨ ' ÷ &# Q ) a ¦ « Ñ
)
a [4,5].
F
KÖ 6 x r © \ " f F & h 0 A+ « >` ¦ ¸& ñ l 0 AK " f ´ ú § É r Å Ò d
` ¦ ì ø Í% ò ô Ç í ß ½ ¨$ í (portfolio)_ % ò % i s È Ò ü < Ø
Ô> > r F ô Ç . Ð: x í ß ½ ¨$ í _ $ í ì r[ þ t É r p A 0 A+ « >s ]
jô Ç& h Ü ¼ Ð y èK Ù ¼ Ð © ñ q ' aº $ í _ Å Òd Ü ¼ Ð
½
¨$ í ô Ç . # ç ß ¸ A , Ó ü t, ` v , Û ¼ כ õ ° ú É r Ò q
t © ¾ ¡ §(derivative)` ¦ 6 x # 0 A+ « >` ¦ ¸] X H ~ ½ ÓZ O ` ¦ y
© ½ ¨½ + É Ã º e [6]. Ò q t © ¾ ¡ § _ A H F KÖ 6 x r © _ 4 ¤ ¸ ú
$ í
` ¦ 7 £ x r v 9, s 4 ¤ ¸ ú $ í ` ¦ K l 0 Aô Ç D h Ðî r È Ò
& ñ Õ þ s 9 כ ¹ .
>
h , r , F Z O , ² D G _ l ¸f o 1 l x É r { 9 © 6 x
¾
¡
§ , Å Òd , Ó ü t , ü @ ¨ 8 Ö ¦ õ ° ú É r r & h X <s '
+ þ AI \ ' a r & " f ½ ¨÷ &# Q M ® o . F KÖ 6 x r © \ " f # Q
t ` v _ J _ $ í | 9 ` ¦ ³ ð & ³ H × æ כ ¹ô Ç % i ½ + É` ¦
H : x > & h ª [ þ t s > r F ô Ç . Õ ª× æ \ " f × æ כ ¹ô Ç : x > & h
ª × æ \ H r [ þ t s _ ' a > \ ¦ ? / H l
© ' a(autocorrelation) s . > t F K t F KÖ 6 x r © \
"
f | 9 é ß 1 l x \ % ò ¾ Ó` ¦ Å Ò H } ' § > =s : r(random matrix theory) [7]` ¦ 6 x # ´ ú § É r ½ ¨ [ þ t s 1 l x _ ©
'
a ' a > \ ¦ 7 H _ # M ® o [8–11]. f ö &õ < Æ, d © < Æ, @ / l
< Æ x 9 K ª < Æ\ " f H } ' § > =s : r ½ ¨ H Á ºô Ç © I s
. l > r _ ½ ¨~ ½ ÓZ O É r } ' § > =_ ì r$ 3 õ \ " f ¸s Ý
¼\ ¦ ì r o r v H ~ ½ ÓZ O ` ¦ Æ Ò½ ¨ % i Ü ¼ · ú ¡Ü ¼ Ð_ ½ ¨ H ô
Dz D G Å Òd r © _ r > \ P X <s ' РÒ' } ' § > =_ ¦Ä » © I
\ @ /6 x ~ ½ ÓZ O ` ¦ ¸{ 9 ½ + É Ã º e Ü ¼ 9, s Qô Ç â Ä º\ í ß r
Ð 3 x ? /l ÐÂ Ò' H : r& h Ü ¼ Ð r [ þ t ç ß _ ' a$ í © I \ ¦ D
h Ðî r ~ ½ ÓZ O ` ¦ ] jr # ½ ©" î ½ + É Ã º e ` ¦ כ s .
ô
Ǽ # Õ ªÓ ü t } © s : r[ þ t É r 4 ¤ ¸ ú > & ³ © ` ¦ À Ò H 3 l q& h Ü ¼
Ð s : r x 9 r Ó ý t Y Us ½ ¨\ s z # ¸ 1 l x î ß × æ כ ¹ô Ç
%
i ½ + É` ¦ K M ® o . % i & h Ü ¼ Ð a % v É r [ j © Õ ªÓ ü t } © ¸+ þ A[ þ t É r Watt ü < Strogartz ½ ¨& h 7 Hë H [12] s A # Q ' 0 A _
Õ ªÓ ü t } © s : r \ " f ³ ð & ³ ) a $ í _ $ í | 9 ` ¦ ½ ¨ % i .
z
´] j[ j © _ Õ ªÓ ü t } © ¸+ þ A[ þ t É r a % v É r [ j © Õ ªÓ ü t } © ` ¦ q 2 ©
#
' ¸\ O H Õ ªÓ ü t } © ¸+ þ A_ ½ ¨ ' Å , r& h Õ ªÓ ü t }
© , õ < Æ& h a ?§ 4 ' a > , Ò q t o < Æ& h Õ ªÓ ü t } © , / B N1 l x $ Õ ªÓ ü t } © õ
° ú É r # Q t ª ô Ç Õ ªÓ ü t } © \ " f | 9 $ í | 9 (cluster- ing property)\ ¦ ° ú ¦ e 6 £ §` ¦ Ð% i [13–15]. 4 ¤ ¸ ú > [ þ t _
& ñ & h , 1 l x% i < Æ& h 1 l x[ þ t É r a % v É r [ j © Õ ªÓ ü t } © s : r` ¦ µ 1 Ï
³
ðô Ç 7 Hë H \ " f S X @ /÷ &# Q ½ ¨÷ &# Q M ® o ¦, Å Òכ ¹ 7 H ] j[ þ t É r :
x > % i < Æõ Ò q tÓ ü tÓ ü t o < Æ\ " f 6 £ x6 x ÷ &# Q f ] X À Ò# Q M ® o [16,17]. : £ ¤ y F KÖ 6 x r © \ " f Õ ªÓ ü t } © s : r É r Onnela [18–
20] ü < Õ ª_ 1 l x « Ñ[ þ t \ _ K " f F KÖ 6 x _ # Q t Ä »+ þ A[ þ t \
"
f 6 x ÷ &# Q 7 H _ ÷ &# Q M ® o .
: r 7 Hë H É r © s 7 £ x Ý ¶ A è(Financial Times Stock Exchange of Shanghai composites) \ " f D h Ðî r ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð }
' § > =s : r õ ' a r & " f " f Ð | 9 é ß ` ¦ s À Ò H r [ þ t z o
_ © ñ ' a$ í ` ¦ Å Ò Ð r ç ß ç ß \ @ /ô Ç D h Ðî r ì r
$
3 ~ ½ ÓZ O ` ¦ ] jr ô Ç . ] j2] X \ " f H : r ½ ¨_ s : r _ @ / ©
Y O w כ ¹ è ¸+ þ A(multifactor model)õ } ' § > =s : r` ¦ ¸ { 9
ô Ç . ] j3 © \ " f H © s 7 £ x Ý ¶ A è_ l \ O Õ ªÒ ¨[ þ t
s _ © ñ ' a$ í ` ¦ Å Ò Ð r ç ß ç ß \ @ /ô Ç Ã ºu ì r
$ 3
` ¦ 7 H _ ¦, t } ] X \ " f õ \ ¦ כ ¹ ô Ç .
II. T Â ] ØX ì Ä 9 0ß O Ë
Y O
w כ ¹ è ¸+ þ A É r Å Òd _ 1 l x% i < Æ 1 l x \ @ /ô Ç l
: r& h ¸+ þ As 9, : r 7 Hë H \ " f H 6 £ § õ ° ú s ³ ð & ³ ) a .
7
£
¤
r
i(t) = α
i+
Ng
X
j=1
β
ijM
j(t) + ε
i(t) , (1)
#
l " f N
g H כ ¹ è_ Ã º, α
iü < β
ij H z ´ B > h à ºs .
É
r Å Òd s \ ¸ ú 6 £ § ½ Ó
i(t) É r © ñ ' a$ í s \ O ¦
&
ñ ô Ç . N
g H § © ' a ' a > (cross-correlation)\ @ /ô Ç }
'
§ > =s : r [7] Ü ¼ РÒ' ½ ¨ô Ç ¦Ä »u _ à ºs . s 7 Hë H \
"
f H Å Òd r © ^ \ % ò ¾ Ó` ¦ p u H W 1 7 á x À Ó_ © H
¦Ä »u \ ¦ ¦ 9ô Ç .
Ä
ºo H N
g\ ¦ & ñ l 0 AK " f § © ' a ' a > ' § > =_ :
£ ¤$ í ~ ½ Ó& ñ d _ K \ ¦ ½ ¨ô Ç . § © ' a ' a > _ d C = 1
L GG
T(2)
Ü
¼ ÐÂ Ò' : £ ¤$ í ~ ½ Ó& ñ d É r
det(C − λ1) = 0 (3) Ü
¼ Ð Å Ò# Q . # l " f G H N × L (N É r r à º, L É r { 9 Z >
à ºe Ò ¦ _ X <s ' à º) ½ © o à ºe Ò ¦ ' § > =s 9, G
T H
u ' § > =s . Õ ªo ¦ } © ' a ' § > = É r C
rm= 1
L AA
T(4)
Ü
¼ Ð ³ ð & ³÷ & 9, ¨ î ç H 0 õ ì r í ß 1` ¦ ° ú H $ í ì r a
ij` ¦ ° ú
H A H N × L ' § > =s . Q ≡ L/N(> 1)s ¦& ñ ) a ° ú כ
â Ä º\ N → ∞, L → ∞_ F G ô Ç\ " f S X Ò ¦x 9 ¸ < ÊÃ º P
rm(λ) H
P
rm(λ) = Q 2πσ
2p(λ
+− λ)(λ − λ
−)
λ (5)
Ü
¼ Ð Å Ò# Qt 9, λ ∈ [λ
−, λ
+], λ
−ü < λ
+ H y y § © ' a
'
a > ' § > = C_ þ j è, þ j@ / ¦Ä »u s . 7 £ ¤ λ
±= σ
21 + 1
Q ± 2 r 1 Q
. (6)
כ
¹ è[ þ t M
j H
M
j(t) ≡
696
X
k=1
hk|λ
jir
k(t) (7)
Ü
¼ Ð > í ß ÷ & 9, k H ¦Ä »u λ
j\ @ /6 £ x ) a ¦Ä » 7 ' |λ
ji _
¸ H $ í ì r _ ½ + Ës . ¢ ¸ô Ç s [ þ t כ ¹ è H Å Òd r © \ % ò ¾ Ó
`
¦ p u H y l \ O Õ ªÒ ¨` ¦ · p . } © ' a ' a > ÐÂ Ò'
© ' a ' a > \ ¦ ½ ¨Z > l 0 AK " f 6 £ § õ ° ú s § © ' a ' a > _
ì r í\ ¦ 6 x ô Ç :
C =
Nr
X
i=1
λ
i|λ
iihλ
i| +
Ng
X
j=1
![Å Ä k È º ; c 8 ý X ¢ V 2 O 5 U c lT c l8 ý ºX ì Ä ° Ë Ñ] K ¡X ì Ä ¤V R Ë ì Å ](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)