Š ¹ Å õ m Í W ë s R  Ò Å] k ù à à ŠŽ Ò Þ 8 ý A 0V ÄX ì Ä ò k @

w

Š ¹ Å õ m Í W ë s  R  Ò Å] k ù à à ŠŽ Ò Þ 8 ý A 0V ÄX ì Ä   ò k @

a :

@¦ % · n

∗ Ø 

æ· ¡ ¤ @ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ , ' õ AÅ Ò 361-763 (2009¸   3 Z 4 27{ 9  ~ à Î6 £ §)

›

¸ o”  1 l x  _  K x 9 ž Ðm î ß –\  0 Au _  4] jY  L † ½ Ós   Ò  ) a “ ¦„   K x 9 ž Ðm î ß –> _  q ‚  + þ A î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” _  K

\  ¦ ½ ¨ “ ¦, Å Òl \  ¦ K $ 3 & h Ü ¼– Ð ½ ¨ # Œ Å Òl  ”  ; Ÿ ¤ _  † < Êà º– Ð Å Ò# Qf ” `  ¦ ˜ Г   .  Œ •6   x- y Œ •   à º[ þ t – Ð



 à º   ¨ 8 Š # Œ  Œ •6   x õ  \  -t _  › ' a >  Õ ªo “ ¦ y Œ •õ  \  -t _  › ' a > • ¸ ½ ¨ô  Ç . 5 Å q • ¸\  q Y V   H y Œ ™û Z † ½ Ó s

 ' ‘   ) a q ‚   + þ A › ¸ o”  1 l x  _  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ Šҍ  H > _  K x 9 ž Ðm î ß –`  ¦ % 3 # Q, > _  / å L à ºK ü < Å Òl 

\ 

¦ ½ ¨ô  Ç . { 9 & ñ ô  Ç j Ë µs  K ”   q ‚  + þ A ”  1 l x  _  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” _  K \  ¦ ½ ¨ “ ¦, " é ¶& h \  & ñ t K  e ”   H q 

‚

 + þ A”  1 l x  \  { 9 & ñ ô  Ç j Ë µ`  ¦    H  â Ä º j Ë µ\  _ ” > r   H : £ ¤ à ºô  Ç ”  1 l x à º– Ð ”  1 l x † < Ê`  ¦ ˜ Г   . “ ¦„  & h     õ

[ þ t`  ¦ s 6   x € ª œ   Œ •6   x- y Œ •   à º– Ð s À Ò# Q”   / 'ø @` ç   ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ ½ ¨ # Œ \  -t “ ¦Ä »u  “ ¦„   ”  ; Ÿ ¤ \  _

” > r † < Ê`  ¦ ˜ Ðs “ ¦, ± ú “ É r \  -t \ " f € ª œ  q ‚  + þ A ”  1 l x  _  € ª œ  o \  -t \  ¦ ½ ¨ô  Ç .

PACS numbers: 03.65.Fd

Keywords: q ‚  + þ A ”  1 l x  ,  Œ •6   x- y Œ •  à º

I. " e  ] Ø

î

ß –& ñ  ) a ¨ î + þ A © œI \   s _   © œI \  e ”   H >   H 5 Å q ~ Ã Ì î

 r1 l x`  ¦ ô  Ç . { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð 5 Å q ~ à Ì © œI _  > _  î  r1 l x“ É r ”  1 l x

`

 ¦ “ ¦  © œ@ /& h Ü ¼– Ð ”  ; Ÿ ¤ s   Œ •“ É r  â Ä º  H › ¸ o”  1 l x î  r1 l x

`

 ¦ t ë ß – ”  ; Ÿ ¤ s  & | 9 à º2 Ÿ ¤ q ‚  + þ A ”  1 l x`  ¦ ô  Ç . › ¸ o”   1

l

x  _  Å Òl   H ”  ; Ÿ ¤ \  › ' a > \ O s  { 9 & ñ   [1]. Õ ª Q
 q 

‚

 + þ A ”  1 l x  _  Å Òl   H ”  ; Ÿ ¤ _  † < Êà º– Ð Å Ò# Q”   . 7 £ ¤, › ¸



o”  1 l x    H  Œ •6   x- y Œ •   à º/ B N ç ß –\ " f  Œ •6   x õ  y Œ •s  Á º › ' a 

#

Œ  u  0 Au - î  r1 l x | ¾ Ó/ B N ç ß –\ " f  Ä »{ 9  % ƒ! 3  à º† < Æ& h  2 [ /

å

L s  6   x s K ”   . Õ ª Q
 q ‚  + þ A ”  1 l x  _   â Ä º  H  Œ •6   x- y

Œ

•   à º/ B N ç ß –\ " f  Œ •6   x õ  y Œ •s  4 Ÿ ¤ ¸ ú š >  ƒ    ÷ &# Q e ”   [2]. q ‚  + þ A ”  1 l x  _   â Ä º î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” _  K   H q ‚  + þ A † ½ Ó _

 > à º\  B Ä º   y Œ ™ >  % ò † ¾ Ó`  ¦ ~ à Î  q ‚  + þ A ”  1 l x  \  ¦ K

$ 3 & h Ü ¼– Ð 2 [/ å L l   H  © œ@ /& h Ü ¼– Ð ~ 1 t  · ú § .



ƒ   > _  à º ´ ú §“ É r ‰ & ³ © œ[ þ t s  ¨ î + þ A& h   s \ " f q ‚   + þ

A î  r1 l x`  ¦ t ë ß –, Õ ª כ [ þ t _  2 [/ å L“ É r [ O 1 l x 2 [/ å L \ O s  " î S X

‰ >  K $ 3 & h Ü ¼– Ð K   ÷ &  H  Ä » { 9  ü < › ¸ o”  1 l x  _ 

—

¸4 S q– Ð @ / Òì  r Ó ü t o  ‰ & ³ © œ`  ¦ [ O " î “ ¦ e ”   [3]. Õ ª Q
 q

‚  + þ A ´ òõ  y © œ› ¸÷ &  H ì  r  \  › ' a d ” s  — ¸ t €  " f ´ ú §

“ É

r † < Æ [ þ t s  q ‚  + þ A ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ [ O 1 l x : r1 p x`  ¦  6   x # Œ   À

ғ ¦ e ”  . : £ ¤ y  › ¸ o”  1 l x  _  K x 9 ž Ðm î ß –\  0 Au _  3] j Y

 L † ½ Ós   8K ”   >   H î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” s  { 9 Â Ò ½ ¨ç ß –\ " f  H ”  

∗

E-mail: [email protected]

1 l

x “ ¦ { 9  ҽ ¨ç ß –\ " f  H  Ä » { 9  % ƒ! 3  Y O o  s 1 l x   H K 

\

 ¦ ° ú “ ¦  © œ@ /& h Ü ¼– Ð ç ß –é ß –K  ˜ Ðs t ë ß – “ ¦„  & h  € ª œ % i † < Æ

&

h  2 [/ å L s  ~ 1 t   H · ú § . þ j   H à º ¸   1 l x î ß – s  > \  ¦ € ª œ % i 

†

< Æ& h Ü ¼– Ð 2 [/ å L ô  Ç ƒ  ½ ¨  7 Hë  H s  # Œ Q ¼ # 
ü < e ”   [4–7].

0

Au _  4] jY  L † ½ Ós  € ª œ_   © œÃ ºü < † < Êa  › ¸ o”  1 l x  \    

½

+ ˝ ) a K x 9 ž Ðm î ß –> _  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r q ‚  + þ A ”  1 l x`  ¦   H K

\  ¦ ° ú   H  . s  > \  ¦ 2 [/ å L ô  Ç  7 Hë  H • ¸ à ºz   ¸   1 l x î ß – Á ºÃ º y

 ´ ú §s 
ü < e ”   [8,9]. s [ þ t _  > í ß –“ É r é ß –í  H y  [ O 1 l x : r

`

 ¦  6   x # Œ “ ¦„   î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” õ  € ª œ  \  -t \  ¦ ½ ¨ % i 



 H X <, 4] jY  L † ½ Ó_    ½ + Ë > à º_  ß ¼l \     / å L à º K _  µ 1 Ï í

ß – à º§ 4  ½ ¨ç ß –s  B Ä º  Ø Ô> 
š ¸  H X <, s [ þ t _  ƒ  › ' a`  ¦   À

Òt  3 l w “ ¦ @ / Òì  r  Œ •“ É r   ½ + Ë> à º\  ¦ & ñ # Œ 2 [/ å L 

“

¦ e ”  .

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H " é ¶ s  \ O   H î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼– Ð & ñ ï  r   

¨ 8

Š ô  Ç q ‚  + þ A ~ ½ Ó& ñ d ” _  K \  ¦ Šҍ  H K x 9 ž Ðm î ß – > \  ¦ 2 [/ å L

# Œ s  כ \  _  # Œ " é ¶ s  e ”   H > _  î  r1 l x`  ¦  À ҍ  H ~ ½ Ó Z O

Ü ¼– Ð, 4] jY  L † ½ Ós  € ª œ_   © œÃ ºü < † < Êa  › ¸ o”  1 l x  \    

½

+ ˝ ) a K x 9 ž Ðm î ß – > \  ¦  À Ò 9 ô  Ç .

II] X \ " f  H " é ¶ s  \ O   H > _  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦  À ҍ  H X <,



 à º ü @\   Ò  ) a  © œÃ º \ O # Q K $ 3 & h Ü ¼– Ð 2 [/ å L s  6   x _ 

“ ¦ q 2 Ÿ ¤ Á ºô  Ç/ å L à º– Ð
š ¸t ë ß – & ñ S X ‰ ô  Ç Ã ºu & h  K \  ¦ ½ ¨

½

+ É Ã º e ”  . ¢ ¸ô  Ç " é ¶ s  \ O   H > \ " f Å Òl • ¸ & ñ S X ‰ ô  Ç K 

$ 3

& h  K \  ¦ ½ ¨½ + É Ã º e ”   H X <, s   â Ä º ”  ; Ÿ ¤ ¢ ¸  H > _  % i 

†

< Æ& h  \  -t \  _ ” > r † < Ê`  ¦ ˜ Ð# Œ Å Òl  ”  ; Ÿ ¤ \  Á º › ' a ô  Ç › ¸



o”  1 l x  ü < @ /› ¸r ~  ´  כ s  .  Œ •6   x- y Œ • / B N ç ß –Ü ¼– Ð & ñ ï  r   

-540-

¨ 8

Š # Œ  Œ •6   x õ  \  -t  › ' a > , y Œ •õ  ”  ; Ÿ ¤ _  › ' a > • ¸ ½ ¨ # Œ

›

¸ o”  1 l x  ü < @ /› ¸r &  [ O " î ô  Ç .

III] X \ " f  H q ‚  + þ A ”  1 l x  _  K x 9 ž Ðm î ß –\  5 Å q • ¸\  q  Y

V   H y Œ ™û Z† ½ Ó`  ¦ Ÿ í† < Ê   H > _  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” s  q ‚  + þ A

”

 1 l x  ü < & ñ ï  r   ¨ 8 Š \  _  # Œ ƒ    H † d`  ¦ s 6   x # Œ î  r1 l x

~

½ Ó& ñ d ” `  ¦ ½ ¨ô  Ç . Õ ªo “ ¦ s  > _  Å Òl \  ¦ ½ ¨ # Œ Å Òl 

”

 ; Ÿ ¤ _  † < Êà º– Ð Å Ò# Qt  9 ¢ ¸ô  Ç r ç ß –s  7 £ x  €   Å Òl 

y

Œ

™û Z† < Ê`  ¦ K $ 3 & h Ü ¼– Ð ˜ Г   .

IV] X \ " f  H { 9 & ñ ô  Ç j Ë µs  K ”   q ‚  + þ A ”  1 l x  _  î  r 1

l

x`  ¦ Šҍ  H K x 9 ž Ðm î ß –`  ¦   & ñ # Œ î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ ½ ¨ 

“

¦ Õ ª כ _  / å L à º K \  ¦ K $ 3 & h Ü ¼– Ð ½ ¨ô  Ç . " é ¶& h \  ¨ î + þ A © œ I

– Ð Z  ~ # Œ e ”   H Ó ü t ^ ‰\  { 9 & ñ ô  Ç j Ë µs  K ”    â Ä º Ó ü t ^ ‰  H

”

 1 l x`  ¦ † < Ê`  ¦ ˜ Ðs “ ¦, Õ ª ”  1 l x s  K ”   j Ë µ\  _  # Œ
 

? /f ” `  ¦ ˜ Г   . : £ ¤Z > ô  Ç j Ë µ\ " f ”  ; Ÿ ¤ õ  Å Òl • ¸ ½ ¨K ‘ : r



.

V] X \ " f  H “ ¦„  > \  @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ   Œ •6   x- y Œ •   à º\  _

 # Œ ë ß –[ þ t # Q”   / 'ø @` ç   ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ s 6   x, q ‚  + þ A ”  1 l x



_  € ª œ % i † < Æ& h  \  -t \  ¦ 2 [/ å L ô  Ç  [10]. { 9 ì ø Í& h “   K 

\

 ¦ ½ ¨ l   H j Ë µ[ þ t t ë ß – Ä ºo  " é ¶   H # 3 0 A\ " f € ª œ \ 



-t \  ¦ ½ ¨½ + É Ã º e ” “ ¦, s [ þ t \  -t   H “ ¦„   ”  ; Ÿ ¤ õ  ƒ  › ' a ÷ &

Ù

¼– Ð & h { © œô  Ç \  -t  ½ ¨ç ß –\ " fë ß – y Œ •y Œ • $ í w n H † d`  ¦ ˜ Ð{ 9   כ s

 . s  ] X \ " f  H q ‚  + þ A   ½ + Ë > à º  Œ •“ É r  â Ä º_  € ª œ



\  -t \  ¦   ½ + Ë> à º_  { 9   † ½ Ó_  # 3 0 A\ " f K $ 3 & h Ü ¼– Ð

½

¨ # Œ ‘ : r  .

VI] X \ " f  H s  ƒ  ½ ¨_    õ ü < z  ´] j ‰ & ³ © œ& h  [ O " î Õ ªo 

“

¦ s    õ ü < ƒ    ÷ &  H   É r q ‚  + þ A> \  › ' a ô  Ç  7 H _ \  ¦ ½ + É

 כ s  .

II. ( a• Ö כ  Ç; c q ² Ê Ý q ⁴ ]  § ù p § ƒ º] K ¤ À W ¥ R

 Ò Å] k ù à à ŠŽ Ò Þ 

€

 $  › ¸ o”  1 l x  _  K x 9 ž Ðm î ß –\  q ⁴ † ½ Ós   Ò  ) a K x 9 

ž Ðm î ß –> 

H t0 (q, p) = p ² 2m + m

2 ω ² ₀ q ² + m

4 ω ₀ ² γ ² q ⁴ , (1)

`

 ¦ “ ¦ 9  . # Œl \ " f pü < q  H & ñ ï  r   à º[ þ t s “ ¦
 Q t

 ë  H  [ þ t“ É r y Œ •y Œ • _ p \  ¦  Ò# Œ½ + É z  ´Ã º– Ð  ) a  © œÃ º[ þ t s  .

(1)d ” _  K x 9 ž Ðm î ß – >   H ( J $ ™[ >   Òì  r s  Ä º † < Êà ºs “ ¦ € ª œ _

 > à º\  ¦ t Ù ¼– Ð ”  1 l xî  r1 l x`  ¦ ô  Ç . (1)d ” Ü ¼– Ð Å Ò# Qt 



 H K x 9 ž Ðm î ß –> _  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r

¨

q + ω ² ₀ q + ω ² ₀ γ ² q ³ = 0, (2) Ü

¼– Ð q ‚  + þ A p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ” s   ) a  . # Œl \ " f ¨ q  H q _  r ç ß – t – Ð_  2 r p ì  r`  ¦ _ p ô  Ç . (1)d ” _  K x 9 ž Ðm î ß –> \  ¦ q 

“

§& h  ç ß –é ß – >   À Òl  0 A # Œ r ç ß –õ  0 Au \  ¦  6 £ § õ  ° ú   s

   ¨ 8 Š ô  Ç .

q = x

γ , (3)

t = s

ω ₀ , (4)

#

Œl \ " f xü < s  H y Œ •y Œ • " é ¶ s  \ O   H 0 Au ü < r ç ß –  à º s

 . (3)õ  (4)d ” Ü ¼– Ð   à º   ¨ 8 Š`  ¦ €   (1)d ” õ  (3)d ” \ 

@

/6 £ x ÷ &  H   ¨ 8 Š ) a > _  K x 9 ž Ðm î ß –õ  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r y Œ •y Œ • H s0 = p ² _s

2 + x ² 2 + x ⁴

4 = γ ²

mω ² ₀ H t0 , (5) d ² x

ds ² + x + x ³ = 0, (6) s

  ) a  . # Œl \ " f p ^s   H x \  @ /6 £ x ÷ &  H & ñ ï  r î  r1 l x | ¾ ÓÜ ¼– Ð x _  r ç ß – p ì  r Ü ¼– Ð
 ? /”   .   ¨ 8 Š ÷ &l  „  Ê ê_    ¨ 8 Š“ É r

Ÿ

í 5 Å x F ‹ c   ñ\  @ / # Œ Ô  ¦  s Ù ¼– Ð   ¨ 8 Š Ê ê_    à º[ þ t • ¸

&

ñ ï  r   à ºs  . ”  1 l xî  r1 l x`  ¦   H K x 9 ž Ðm î ß – (1)> _  % i 

†

< Æ& h  \  -t  E– Ð Å Ò# Q”   €   þ j@ / ”  ; Ÿ ¤“ É r

q m = 1

γ −1 + s

1 + 4γ ² mω ₀ ² E

! ^1/2

, (7) s

 . (7)d ” \  @ /6 £ x ÷ &  H   ¨ 8 Š Ê ê_  ”  ; Ÿ ¤“ É r

x m = −1 + s

1 + 4γ ² mω ² ₀ E

! ^1/2

, (8) s

  ) a  . (6)d ” _  K \  ¦ x = x(s) =

∞

X

n=0

a n s ⁿ , (9)



 Z  ~ Ü ¼€   > à º a ⁿ “ É r ½ ©g Ë :& h “    r) / B Nd ” “ É r % 3 `  ¦ à º \ O t  ë

ß – a 0  Ò'  Y V– Ð % 3 # Qt  9, % ƒ6 £ § 9 † ½ ӓ É r  6 £ § õ  ° ú  s  % 3 

# Q”   .

a 0 = x(0) = x 0 , a 1 = x ⁰ (0)| s=0 =

r

(x ² _m − x ² ₀ ) + 1

2 (x ⁴ _m − x ⁴ ₀ ) = v 0 , a 2 = − x 0

2! (1 + x ² ₀ ), a 3 = − v 0

3! (1 + 3x ² ₀ ), a ₄ = x ₀

4! (1 + 4x ² ₀ + 3x ⁴ ₀ − 6v ₀ ² ), a ₅ = v 0

5! (1 + 24x ² ₀ + 27x ⁴ ₀ − 6v ₀ ² ), a 6 = − x 0

6! (1 + 25x ² ₀ + 51x ⁴ ₀ + 27x ⁶ ₀ − [66 + 126x ² ₀ ]v ₀ ² ), a 7 = − v 0

7! (1 + 207x ² ₀ + 639x ⁴ ₀ + 441x ⁶ ₀ − v ₀ ² [66 + 378x ² ₀ ]), a ₈ = x ₀

8! (1 + 208x ² ₀ + 846x ⁴ ₀ + 1080x ⁶ ₀ + 441x ⁸ ₀

−[612 + 756v ₀ ² − 3888x ² ₀ − 3780x ⁴ ₀ ]v ² ₀ ), (10)

s

   õ   H ”  ; Ÿ ¤ s   Œ •“ É r  â Ä º 7 £ ¤, % i † < Æ& h  \  -t  q “ §

&

h   Œ •“ É r  â Ä º\   H œ íl _  Y >  † ½ ÓÜ ¼– Ð K 
 ± ú ˜ à º e ”  t

ë ß – ”  ; Ÿ ¤ s  ß ¼ €   7 £ ¤, % i † < Æ& h  \  -t  ß ¼ €   “ ¦  † ½ Ó _

 / B N‰  ³`  ¦ Á ºr ½ + É Ã º \ O >   ) a  . ë ß –€  • s = 0\ " f_  œ íl  0

Au \  ¦

x ₀ = x(0) = 0, (11) s

  Z  ~ “ ¦ œ íl 5 Å q • ¸\  ¦ v 0   Z  ~ Ü ¼€  

v ₀ = x _m r

1 + 1

2 x ² _m , (12) s

 ÷ &“ ¦, (10)d ” \ " f ‹ Œ •Ã º † ½ ӓ É r 0 s  ÷ &“ ¦ f . Ë Ã º† ½ Óë ß – z Œ ™  (9)d ” “ É r

x(s) = v 0 sin s + v ³ ₀



− 6

5! s ⁵ + 66

7! s ⁷ + · · ·



, (13) Ü

¼– Ð s_  l † < Êà º % 3 # Q”   . ë ß –€  • s = 0\ " f_  œ íl  0 A u

\  ¦

x 0 = x(0) = x m , (14) s

  Z  ~ Ü ¼€  , s M :

v 0 = 0, (15) s

 ÷ &“ ¦, (10)d ” \ " f f . Ë Ã º † ½ ӓ É r 0 s  ÷ &“ ¦ ‹ Œ •Ã º† ½ Óë ß – z Œ ™  (9)d ” “ É r

x(s) = x m cos s + x ³ _m



− 1

2! s ² + (4 + 3x ² _m ) 4! s ⁴

− (25 + 51x ² _m + 27x ⁴ _m ) 6! s ⁶ + (208 + 846x ² _m + 1018x ⁴ _m + 441x ⁶ _m )

8! s ⁸ + · · ·

 , (16) Ü

¼– Ð s_  Ä º† < Êà º– Ð % 3 # Q”   . Ó ü t : r œ íl  0 Au  (11)d ”  s


 (14)d ” Ü ¼– Ð Å Ò# Qt t  · ú §  H  â Ä º  H Ä º† < Êà ºü < l † < Êà º

 ™ D ¥ ½ + ˝ ) a + þ AI s  . › ¸ o ”  1 l x  % ƒ! 3  s  ¿ º K _  ‚  + þ A

 

½ + Ës , s   â Ä º_  K  ÷ &t   H · ú §  H  . (3)d ” õ  (4)d ” `  ¦ (13)d ” õ  (16)d ” \  @ /{ 9  €   (2)d ” _  K \  ¦ % 3 `  ¦ à º e ”  .

#

Œl \ " f γ ² → 0 s €   (13)d ” õ  (16)d ” \ " f ' Í † ½ Óë ß – y Œ •y Œ • z

Œ

™  › ¸ o”  1 l x  _  K  H † d`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .   ¨ 8 Š „  Ê ê_ 

>

_  î  r1 l x“ É r ˜ Д > r > s “ ¦ Å Òl  î  r1 l x`  ¦ † < Ê`  ¦ y Œ •y Œ •_  K x 9 

ž

Ðm î ß –Ü ¼– Ð Â Ò'  · ú ˜ à º e ”  .   ¨ 8 Š Ê ê_  K x 9 ž Ðm î ß – (5)d ”  Ü

¼– РÒ'  s  > _  Å Òl   H T = 4

Z x

_m

0

dx q

x ² _m + ^x ₂

^4m

− x ² − ^x ₂

⁴

, (17)

–

Ð Å Ò# Qt “ ¦

x = x m sin θ, (18)

–

Ð u  ¨ 8 Š # Œ > í ß – €   T = 4

q 1 + ^x ₂

^2m

K



− x ² _m 2 + x ² _m



, (19)

s

 % 3 # Q”   . # Œl \ " f K(...)“ É r 17 á x  " é ¶ † < Êà ºs  . (5)d ”  _

 K x 9 ž Ðm î ß –\  @ /6 £ x ÷ &  H Á º " é ¶ % i † < Æ& h  \  -t  ፠ H α = x ² _m

2 + x ⁴ _m

4 , (20)

s

  ) a  . s  כ `  ¦ (19)d ” \  @ /{ 9  €  

T = 4

q

1 + ¹ ₂ ( √

1 + 4α − 1) K

 √

1 + 4α − 1)

√ 1 + 4α + 1)

 , (21)

s

  ) a  . s  Å Òl \  ¦ x m s  B Ä º  H  â Ä ºü <  Œ •“ É r  â Ä º_  F G ô

 ÇÜ ¼– Ð „  > h  . x m < 0.7 s €   T = 2π− 3π

4 x ² _m + 57π

128 x ⁴ _m − 315π

1024 x ⁶ _m + 30345π

131072 x ⁸ _m +O[x m ] ⁶ , (22)

¢

¸  H α < 0.17 s €   T = 2π − 3π

4 α + 105π

31 α ² + O[α] ³ , (23) s

 ÷ &“ ¦, x ^m > 1.9 s €  , T = 7.4163

x _m − 5.40258

x ³ _m + 6.24979

x ⁵ _m − 8.44765

x ⁷ _m + O[x ⁻¹ _m ] ⁹ , (24) s

  ) a  . # Œl \ " f x ^m _  ½ ¨ç ß –“ É r (19)d ” õ _  š ¸ 

O[x m ] ⁹ s  ÷ &  H ½ ¨ç ß –Ü ¼– Ð Õ ªa Ë >Ü ¼– Ð Õ ª 9" f ¹ 1 ԓ É r  כ s  .

(22)d ” \ " f x m → 0 s €   T → 2π– Ð % 3 # Q4 R › ¸ o”  1 l x



_  Å Òl ü < ° ú   ”   . (24)d ” \ " f x m s  Á ºô  Çy  & t €   T → 7.4163/x m Ü ¼– Ð ] X   H ô  Ç . › ¸ o”  1 l x    H > _  ”  1 l x Ã

ºü < ”  ; Ÿ ¤“ É r Á º › ' a  . q  ‚  + þ A> _  ”  1 l x à ºü < ”  ; Ÿ ¤ _  › ' a

>

\  ¦ · ú ˜ ˜ Ðl  0 A # Œ  Œ •6   x- y Œ •   à º[ þ t`  ¦ ½ ¨  .  Œ •6   x,

J = I

pdx = 4 Z x

m

0

dx s

2

 α − x ²

2 − x ⁴ 4



= 4 Z x

m

0

dx r

x ² _m − x ² + x ⁴ _m 2 − x ⁴

2 , (25)

“

É r (18)d ” Ü ¼– Ð u  ¨ 8 Š €   J = 4

3 [(2 + x ² _m )(1 + x ² _m )] ^1/2

 −2 2 + x ² _m E

 x ² _m 2 + x ² _m



+K

 x ² _m 2 + x ² _m



, (26)

Ü

¼– Ð % 3 # Q”   . # Œl \ " f E(...)  H 27 á x  " é ¶ † < Êà ºs  .

(20)d ” \  _  # Œ (26)d ”  ? /_  ”  ; Ÿ ¤ q m `  ¦ α – Ð u  ¨ 8 Š €  

J = 4

3 (1 + 4α) ^3/2 s √

1 + 4α 1 + √

1 + 4α

 −2 1 + √

1 + 4α



E  −1 + √ 1 + 4α 2 √

1 + 4α



+ K  −1 + √ 1 + 4α 2 √

1 + 4α



,(27) s

  ) a  . s  d ” `  ¦ ˜ Ð  ç ß –| Ä Ìy  s K  l  0 A # Œ α\  _ 

# Œ ¿ º  â Ä º– Ð „  > h €  , α < 0.3(x m < 0.695154) \ " f J = 2π − 3π

4 α ² − 35π

32 α ³ − 1155π

512 α ⁴ + 45045π

8192 α ⁵ + O[α] ⁶ , (28) õ



α > 0.3 \ " f

J ' 6.9921α ^3/4 − 2.39628α ^1/4 + 0.655514α ^−1/4

−0.0748838α ^−3/4 + O[α] ^−5/4 , (29)

`

 ¦ % 3   H  . (28)d ” õ  (29)d ” \ " f α = 0.3`  ¦ l ï  r Ü ¼– Ð ì  r À Ó ô

 Ç  כ “ É r B jw B jw  \  ¦ s 6   x, Õ ªa Ë >`  ¦ Õ ª 9" f q “ § # Œ é ß – í

 H y  & ñ ô  Ç  כ s  . α < 0.3\ " f (28)d ” õ  (29)d ” “ É r _  š ¸

 ? /\ " f & ñ S X ‰  . Õ ª Q
 α < 0.4s €   (27)d ” õ  (28)d ”  _

 s   H B Ä º & ”   . (29)d ” “ É r (27)d ” õ  α > 0.3s €   0.1α š ¸  ? /\ " f & ñ S X ‰ “ ¦ α > 0.5s €   0.02α š ¸  ? /

\

" f & ñ S X ‰  . Õ ª Q
 α < 0.2s €   ᘠÐ   H š ¸  >  í

ß –  ) a  . (25)d ” `  ¦ α – Ð p ì  r €   y Œ •- Œ •6   x   à º_  y Œ •   à º ν\  ¦

1 ν = dJ

dα = 16[1 + √

1 + 4α + α(3 + √

1 + 4α)]

(1 + √

1 + 4α) ^7/2 q ^√

1+4α 1+ √

1+4α

× K  1

2 − 1 2 √

1 + 4α



, (30)

–

Ð % 3 `  ¦ à º e ”  . (28)d ” `  ¦ α _  F G ô  Ç& h “   ¿ º  â Ä º– Ð „  > h

€  , α < 0.3“    â Ä º, 1

ν = 2π− 3π

2 α+ 105π

32 α ² − 1155π

128 α ³ + 225225π

8192 α ⁴ +O[α] ⁵ , (31)

¢

¸  H 1

ν = 2π− 3π

2 ² q _m ² + 57π

2 ⁷ q _m ⁴ − 315π

2 ¹⁰ q _m ⁶ + 30345π

2 ¹⁷ q ⁸ _m +O[q m ] ¹⁰ , (32) α > 0.3“    â Ä º  H

1

ν ' 5.24412α ^−1/4 − 0.59907α ^−3/4 + 0.163879α ^−5/4

− 0.0561628α ^−7/4 + O[α] ^−9/4 , (33)

¢

¸  H 1

ν ' 7.4163q ⁻¹ _m − 5.4025q ⁻³ _m + 6.24979q _m ⁻⁵

− 8.44765q _m ⁻⁷ + O[q m ] ⁻⁹ , (34)

`

 ¦ % 3 `  ¦ à º e ”  . (32)d ” “ É r (20)d ” \  _  # Œ (31)d ” `  ¦ ”  

;

Ÿ

¤   à º– Ð u  ¨ 8 Š K  Z  ~“ É r  כ s “ ¦, (34)d ” “ É r (33)d ” `  ¦ ”  ; Ÿ ¤



 à º– Ð u  ¨ 8 Š K  Z  ~“ É r  כ s  . (32)d ” \ " f α < 0.3“    â Ä º

”

 1 l x à º_  % i s  ”  ; Ÿ ¤ _  ‹ Œ •Ã º " 4 / å L à º „  > h– Ð % 3 # Qf ” `  ¦ ^  ¦ Ã

º e ” “ ¦, (34)d ” \ " f, α > 0.3“    â Ä º  H ”  ; Ÿ ¤ _  f . Ë Ã º_ 

% i

 " 4 / å L à º „  > h– Ð % 3 # Qf ” `  ¦ ^  ¦ à º e ”  . α < 0.3“    â Ä º

\

 -t _   Œ •6   x \  _ ô  Ç ³ ð‰ & ³“ É r (28)d ” Ü ¼– РÒ' 

α ' 0.1592J + 0.0095J ² − 0.0011J ³ + 0.0005J ⁴ + · · · , (35) s

 ÷ &“ ¦ y Œ •  à º ν  H

ν ' 0.1592 + 0.0190J − 0.0033J ² + 0.0020J ³ + · · · , (36) s

  ) a  .

III. P c p7 û ]  §Ê Ý Q ² Ê Ý Q ⁴ ]  §8 ý ( a• Ö כ  Ç ù p §

ƒ

º] K ¤ À W ¥ R  Ò Å] k ù à à ŠŽ Ò Þ 

5 Å

q • ¸\  q Y V   H y Œ ™û Z † ½ Ós  Ÿ í† < ʝ ) a

Q + β ˙ ¨ Q + ω ² ₀ + β ² /4
Q + ω ₀ ² γ ² e ^βt Q ³ = 0, (37) Ü

¼– Ð î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” s  Å Ò# Qt   H  â Ä º\  ¦ “ ¦ 9  . # Œl \ 

"

f ⍠ H z  ´Ã º– Ð Å Ò# Qt   H y Œ ™û Z © œÃ ºs “ ¦ 0 Au   à º  H y Œ ™û Z

†

½ Ós  \ O   H  â Ä ºü < ½ ¨Z >  l  0 A # Œ @ /ë  H  \  ¦  6   x ô  Ç .

(37)d ” `  ¦ î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼– РŠҍ  H K x 9 ž Ðm î ß –“ É r Á ºÃ ºy  ´ ú §

`

 ¦ à º e ” t ë ß – H _Q = e ^−βt P ²

2m + m

2 ω ₀ ² + β ² /4
e ^βt Q ² + mω ₀ ²

4 γ ² e ^2βt Q ⁴ , (38) Ü

¼– Ð ‚  × þ ˜  . # Œl \ " f P ü < Q  H & ñ ï  r   à ºs “ ¦, (2)d ”  _

 K \  ¦ Šҍ  H K x 9 ž Ðm î ß – (1)õ   H & ñ ï  r   ¨ 8 Š Q = e ^−βt/2 q

P = e ^βt/2 p − e ^βt mβ/2Q, (39)

\

 _  # Œ ƒ     ) a  . # Œl \ " f pü < q  H K x 9 ž Ðm î ß –s  (1)d ” Ü ¼– Ð Å Ò# Qt   H > _  & ñ ï  r   à ºs  .

(37)d ” _  K   H (9)d ” õ  (10)d ” \  _  # Œ Å Ò# Qt   H q ‚   + þ

A ”  1 l x  _  K \  (3)d ” õ  (4)d ” `  ¦ @ /{ 9 ô  Ç  6 £ § (39)d ” `  ¦

&

h

6   x €   % 3 # Q”   . (37)d ” “ É r q  ‚  + þ As  9 q  ˜ Д > r î  r1 l x

~

½ Ó& ñ d ” s  . Ô  ¦  | ¾ Ó I(Q, P ; t)  H

{H(Q, P ; t), I(Q, P ; t)} + ∂I(Q, P ; t)

∂t = 0, (40) _

 K – Ð & ñ _ ½ + É Ã º e ”  . # Œl \ " f {H, I} = ∂H

∂Q

∂I

∂P − ∂H

∂P

∂I

∂Q , (41)



 H Ÿ í 5 Å x F ‹ c   ñs  . (40)d ” õ  (41)d ”  Õ ªo “ ¦ q ˜ Д > r > _  K

x 9 ž Ðî ß – (38)`  ¦ s 6   x €   y Œ ™û Z † ½ Óõ  Q <sup>2</sup> õ  Q <sup>4</sup> `  ¦ Ÿ í† < Ê 



 H q ‚  + þ A ”  1 l x  _  Ô  ¦  | ¾ Ó I(Q, P ; t)\  ¦ I = m

2 e ^βt  β

2 Q + e ^−βt p m

 ² + mω ² ₀

2 e ^βt Q ² + mω ₀ ² γ ² 4 e ^2βt Q ⁴ ,

(42) Ü

¼– Ð ½ ¨½ + É Ã º e ”  . s  d ” \  K x 9 ž Ðm î ß – (38)d ” Ü ¼– РÒ' 

½

¨ô  Ç ˙ Q = e ^−βt P/m`  ¦ @ /{ 9  €   5 Å q • ¸ü < 0 Au – Ð ³ ð‰ & ³ ) a Ô

 ¦  | ¾ Ó`  ¦ I = m

2 e ^βt  β 2 Q + ˙ Q

 ² + mω ₀ ²

2 e ^βt Q ² + mω ₀ ² γ ² 4 e ^2βt Q ⁴ ,

(43)

% 3

`  ¦ à º e ”  . t F K  Ò'  β 6= 0“    â Ä ºë ß –  ê  r  . ë ß –€  • œ í l

› ¸| s  t = 0\ " f x = 0, v = v ⁰ s  €   þ j@ /   0 A x ^m   t

 s 1 l x   H X <   o   H r ç ß – T ¹ “ É r

T ₁ = 1

β ln (−β ² /4 + ω ² ₀ ) +p(−β/4 + ω ² ₀ ) ² + ω ₀ ² γ ² v ² ₀ ω ₀ ² γ ² Q ² _m

! , (44) Ü

¼– Ð (41)d ” \  _  # Œ ½ ¨K ”   . œ íl _  0 Au \  ¦ x m , T 2 \ 

"

f 0 Au \  ¦ 0 s   “ ¦ Õ ªM : 5 Å q • ¸\  ¦ v 01 s   €    l   t

   H X <  o   H r ç ß – T 2   H T ₂ = 1

β ln  (β ² /4 + ω ₀ ² )Q ² _m + ω ₀ ² γ ² Q ⁴ _m /2 v ² ₀₁



, (45) s

– Ð (43)d ” Ü ¼– РÒ'  ½ ¨K ”   . T 3 \ " f v = 0, Q =

−Q m1 s   €   Õ ª/ B M  t  s 1 l x ô  Ç r ç ß – T 3   H

T 3 = 1

β ln (−β ² /4 + ω ₀ ² ) +p(−β/4 + ω ₀ ² ) ² + ω ₀ ² γ ² v ₀₁ ² ω ₀ ² γ ² Q ² _m1

! , (46) s

 ÷ &“ ¦, Q = −Q ^m1 \ " f " é ¶& h Ü ¼– Ð [  t   M ® o`  ¦ M : 5 Å q • ¸

v 02   €   Õ ª/ B M  t  [  t  š ¸  H X <   o   H r ç ß – T ⁴   H T 4 = 1

β ln  (β ² /4 + ω ₀ ² )Q ² _m1 + ω ₀ ² γ ² Q ⁴ _m1 /2 v ² ₀₂



, (47) s

  ) a  . Õ ª QÙ ¼– Ð " é ¶& h \ " f " é ¶& h  t  ô  Ç Å Òl  ¹ ¡ §f ” { 9  M :

 

 2 ; r ç ß –“ É r

T = T 1 + T 2 + T 3 + T 4 , (48) s

  ) a  . Õ ª Q
 2  P : Å Òl   H Ó ü t : r (48) ˜ Ð   Œ •“ É r ° ú כ`  ¦

t  9, y Œ •y Œ •\ " f_  5 Å q • ¸ü < 0 Au \  ¦ 8 £ ¤& ñ K  ë ß – · ú ˜ à º e ” 



. (44)−(48)d ” \ " f γ = 0s €   (48)d ” _  Å Òl   H y Œ ™û Z› ¸



o”  1 l x  _  @ /6 £ x ÷ &  H Å Òl   ) a  . Õ ª Q
 β = 0s €   s  T = 0 s  ÷ &# Q y Œ ™û Z \ O   H q ‚  + þ A> _  Å Òl “   (19)d ” õ 



 H   É r   õ 
“ : r  . 7 £ ¤, q ‚  + þ A y Œ ™û Z ”  1 l x  _   â Ä º Å

Òl   H β = 0 \ " f 1   © œ„  s ü < Ä » ô  Ç    o\  ¦ ^  ¦ à º e ” 



.

IV. ø m ÇX N ˔ X ¢ Ì   öT  A 0U À W ¥ ( a• Ö כ  ÇT  Q ² Ê Ý Q ⁴ ]  §® Žz º T ’ ¼# aà à ŠR  Ò Å] k ù à à ŠŽ Ò Þ 

j Ë

µ f (t) K ”    â Ä º_  q ‚  + þ A î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” s 

¨

q + ω ₀ ² q + ω ₀ ² γ ² q ³ = ω ² ₀

γ f (t) (49) Ü

¼– Ð Å Ò# Qt   H  â Ä º\  ¦ “ ¦ 9  . s  K \  ¦ Šҍ  H K x 9 ž Ðm  î

ß –“ É r

H f t (q, p; t) = p ²

2m + mω ² ₀

2 q ² + mω ₀ ² γ ²

4 q ⁴ − mω ₀ ² γ qf (t),

(50) s

 . f(t) f 0 – Ð { 9 & ñ  “ ¦ “ ¦ (3)õ  (4)d ” \  _  # Œ



 à º   ¨ 8 Š`  ¦ €   (49)d ” “ É r d ² x

ds ² + x + x ³ = f ₀ , (51) s

  ) a  . (51)d ” `  ¦ Šҍ  H K x 9 ž Ðm î ß –“ É r

H f s (x, p s ) = p ² _s 2 + x ²

2 + x ⁴ 4 = γ ²

mω ₀ ² H f t , (52) s

 . (52)d ” _  ( J $ ™[ >   Òì  r _  / B G‚  “ É r f 0 \     — ¸€ ª œs 



  o   H q @ /g A / B G‚  s  . ( J $ ™[ >  \  -t _  þ j™ è & h “ É r x = 0 \  e ” t  · ú §“ ¦, f ⁰ > 0“    â Ä º š ¸ É rA á ¤ Ü ¼– Ð s 1 l x K  e ”  Ü

¼ 9 Õ ª þ j™ è \  -t • ¸ 6 £ § s   ) a  . ë ß –€  • f 0  & t €    8

¹

¡

¤ š ¸ É rA á ¤ Ü ¼– Ð s 1 l x “ ¦, \  -t • ¸  8¹ ¡ ¤ 6 £ § Ü ¼– Ð 7 £ x ô  Ç



. Å Ò# Q”   \  -t \  ¦ E s   “ ¦ ¢ , aA á ¤ õ  š ¸ É rA á ¤ \ " f_  ”  

;

Ÿ

¤`  ¦ y Œ •y Œ • x ^mr , x ml s   €   › ' a > d ” “ É r

x ⁴ _mr + 2x ² _mr − 4f ₀ x _mr = 4E _s , (53) x ⁴ _ml + 2x ² _ml + 4f 0 x ml = 4E s , (54) s

  ) a  . (51)d ” _  K \  ¦

x = x(s) =

∞

X

n=0

a n s ⁿ , (55)



 Z  ~ Ü ¼€   > à º a n “ É r ½ ©g Ë :& h “    r) / B Nd ” “ É r % 3 `  ¦ à º \ O t  ë ß

– a ⁰  Ò'  Y V– Ð % 3 # Qt  9, % ƒ6 £ § 9 † ½ ӓ É r  6 £ § õ  ° ú  s  % 3 

# Q”   .

a ₀ = x(0) = x ₀ , a 1 = x ⁰ (0)| s=0 =

r

(x ² _m − x ² ₀ ) + 1

2 (x ⁴ _m − x ⁴ ₀ ) = v 0 , a ₂ = 1

2! [f ₀ − x 0 (1 + x ² ₀ ), a 3 = − v 0

3! (1 + 3x ² ₀ ), a 4 = 1

4! [x 0 (1 + 4x ² ₀ + 3x ⁴ ₀ − 6v ² ₀ ) − f 0 (1 + 3x ² ₀ )], a 5 = v 0

5! (1 + 24x ² ₀ + 27x ⁴ ₀ − 6v ² ₀ − 18x 0 f 0 ), a 6 = − 1

6! [x 0 (1+25x ² ₀ +51x ⁴ ₀ +27x ⁶ ₀ −[66+126x ² ₀ ]v ² ₀ )

−f 0 (1 + 42x ² ₀ + 45x ⁴ ₀ − 36v ₀ ² ) + 18f ² x 0 ], a 7 = − v ₀

7! [1 + 207x ² ₀ + 639x ⁴ ₀ + 441x ⁶ ₀ − v ₀ ² (66 + 378x ² ₀ )

−f 0 (288x 0 + 504x ³ ₀ ) + 90f ₀ ² ], a ₈ = 1

8! [x ₀ (1 + 208x ² ₀ + 846x ⁴ ₀ + 1080x ⁶ ₀ + 441x ⁸ ₀

−[612 + 756v ₀ ² − 3888x ² ₀ − 3780x ⁴ ₀ ]v ² ₀ )

−f 0 (1+495x ² ₀ +143x ⁴ ₀ +945x ⁶ ₀ −486v ² ₀ −264x ² ₀ v ₀ ² ) +f ₀ ² (378x 0 + 594x ³ ₀ ) − 90f ₀ ³ ], (56)

#

Œl \ " f  H x 0 = 0“    â Ä º Ä º† < Êà º  m t ë ß –, x ⁰ = x _m s  9 v 0 = 0“    â Ä º  H l † < Êà º  ) a  . ë ß –€  • x 0 = 0 s  9 v 0 = 0“    â Ä º  H

x(s) = f ₀ (1 − cos s) + f ₀ ³



− 1

448 s ⁸ + 1

2688 s ¹⁰ + · · ·

 , (57) s

  ) a  . s   â Ä º \  -t   H E s = 0 s  ÷ &“ ¦ " é ¶& h \ 

"

f ¨ î + þ A © œI \  e ”   H Ó ü t ^ ‰\  { 9 & ñ ô  Ç j Ë µ`  ¦  €   q ‚   + þ

A ”  1 l x`  ¦ ô  Ç   H  כ `  ¦ _ p ô  Ç . ë ß –€  • f 0 = 1 s  €   x(s) _  ”  1 l x ½ ¨ç ß –“ É r [0, 1.17951] s  ÷ &“ ¦ þ j™ è \  -t   H 0.682328 \ " f E ^s ' −0.395353 s   ) a  . s M : ”  1 l x Å Òl   H T s ' 4.21035 s   ) a  .

V. q ² Ê Ý q ⁴ ]  §8 ý ( a• Ö כ  Ç ù p § ƒ º] K ¤ À W ¥ W ë s  R

 Ò Å] k ù à à ŠŽ Ò Þ 

0

Au _  € ª œ_  ‹ Œ •Ã º† < Êà º– Ð Å Ò# Q”   ( J $ ™[ >  >   H ”  1 l xî  r 1

l

x`  ¦ “ ¦ ”  1 l x î  r1 l x`  ¦   H >   H  Œ •6   x- y Œ •   à º– Ð   ¨ 8 Š

0 p x  . & ñ ï  r  à º   ¨ 8 Š \ " f   ¨ 8 Š „  Ê ê_  ¿ º î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ”

“ É r z  ´] j– Ð ƒ  › ' a ) a ¿ º > _  î  r1 l x`  ¦  ê  r  כ s Ù ¼– Ð € ª œ 

%

i † < Æ& h Ü ¼– Е ¸ " f– Ð › ' aº  ÷ &# Q e ”  . “ ¦„   & ñ ï  r  ¨ 8 Š“ É r € ª œ



% i † < Æ& h  Ä »m  o    ¨ 8 Š õ  @ /6 £ x› ' a > \  e ”  . “ ¦„  & h Ü ¼

–

Ð ô  Ç > \  ¦
  · p \  -t  & ñ ï  r   ¨ 8 Š „  Ê ê ° ú   €   @ / 6

£

x ÷ &  H € ª œ % i † < Æ& h    õ • ¸   ¨ 8 Š „  Ê ê\  ° ú  `  ¦  כ s  .  Œ • 6

 

x y Œ •-  à º– Ð ƒ     ) a & ñ ï  r   ¨ 8 Š \ • ¸ ° ú  “ É r  7 H o  $ í w n  ) a



. „  \  µ 1 ϳ ðô  Ç  7 Hë  H \ " f 0 A_   z  ´s  { 9 7 £ xH † d`  ¦ › ¸ o”   1

l

x  ü < Á ºô  Ç ( J $ ™[ >  Ä ºÓ ü t > – Ð ˜ Ð% i % 3  . [10]

#

Œl \ " f• ¸ 0 A_   7 H o \  _  # Œ Ä ºo _  € ª œ  q ‚  + þ A

”

 1 l x  _  € ª œ % i † < Æ& h  \  -t \  ¦ ½ ¨  9 ô  Ç . ô  Ç › ¸ o”   1

l

x  ü < ô  Ç Á ºô  Ç ( J $ ™[ > > _  ”  1 l x Å Òl   H ”  ; Ÿ ¤ \  Á º › ' a  t

ë ß –, — ¸Ž  H q ‚  + þ A ”  1 l x  > _  Å Òl   H ”  ; Ÿ ¤ ¢ ¸  H \  - t

_  † < Êà º– Ð Å Ò# Qf ” `  ¦ · ú ¡ 2] X \ " f ˜ Ð% i  . ¢ ¸ô  Ç  Œ •6   x- y Œ •



 à º_  y Œ •   à º• ¸ › ¸ o”  1 l x  \ " f  H { 9 & ñ t ë ß – q ‚  + þ A

”

 1 l x  \ " f  H ”  ; Ÿ ¤ ¢ ¸  H \  -t _  † < Êà º– Ð Å Ò# Qf ” `  ¦ · ú ¡

\

" f ˜ Ð% i  . z  ´] j– Ð q ‚  + þ A € ª œ % i † < Æ  Œ •6   x- y Œ •   à º> _ 

€

ª œ  © œI _     o\  ¦ · ú ˜>  K Šҍ  H / 'ø @` ç   ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r [ j Ä

ºl › ¸  # Q§ > >  4 Ÿ ¤ ¸ ú š t ë ß – \  -t \  ¦ α < 0.17 – Ð ] jô  Ç ô

 Ç €   q “ §& h  ç ß –é ß –y  2 [/ å L ½ + É Ã º e ” `  ¦  כ s  . s   â Ä º (35)d ” `  ¦ J _  { 9  † ½ Óë ß – “ ¦ 9 # Œ• ¸ ÷ &  H X <, s  d ” `  ¦ " é ¶ A

_  " é ¶`  ¦ ° ú   H   à º– Ð
 ? /€   γ ²

mω ² ₀ E 0t = γ ²

2πmω ₀ J t + · · · , (58) s

  ) a  . # Œl \ " f ¢ ¸ô  Ç · ú ¡Ü ¼– Ð
š ¸  H ' ‘   t  H " é ¶ s

 e ”   H " é ¶ A  q ‚  + þ A> _    à º[ þ t s  . s  d ” Ü ¼– РÒ'   Œ • 6

  x- y Œ • / B N ç ß –\ " f / 'ø @` ç   ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r ω ₀ ² ~

2πi

∂ψ(ν _t )

∂ν t

= E _0t ψ(ν _t ), (59) s

 H † d`  ¦ · ú ˜ à º e ” “ ¦, s K   H

ψ(ν _t ) = Ae ^2πiE

^0t

^ν

^t

^/ω

²⁰

^~ , (60) s

  ) a  . # Œl \ " f A  H ½ ©   o  © œÃ ºs  . x Ä º† < Êà ºs  Ù

¼– Ð ν ^t  2_  » ¡ ¤ @• ¸\  ¦ t Ù ¼– Ð (60)d ” _   1 l x † < Êà º  H ψ(ν _t ) = ψ(ν _t + 4πn), (61)

`

 ¦ ë ß –7 á ¤ K   ô  Ç . # Œl \ " f n = 1, 2, 3, · · ·s  . (61)d ”  _

 › ¸| “ É r α _  1 d ” ë ß – “ ¦ 9ô  Ç (23)d ” `  ¦ " é ¶ s  e ”   H € ª œ Ü

¼– Ð
  · p Å Òl 

T t = 2π

ω ₀ − 3πγ ²

4mω ₀ ³ E 0t + · · · , (62)

\

 _  # Œ ψ(ν t ) = 1

√

2π e ^2πiν

^t

^(2n+1)/

 2ω

²₀

−

_4mω0^3γ2

E

_0t



, (63)

`

 ¦ ë ß –7 á ¤ K  ë ß – ô  Ç . (60)d ” õ  (63)d ” `  ¦ q “ § €   \  -t 

“

¦Ä »u   H

E n = ω 0 ~(n + 1/2) + 3γ ²

8 ~ ² (n + 1/2) ² , (64) s

  ) a  . Ó ü t : r s  כ “ É r α < 0.17 Ü ¼– Ð \  -t   Œ •“ É r  â Ä

ºs “ ¦ α > 0.17Ü ¼– Ð ß ¼ €   B Ä º 4 Ÿ ¤ ¸ ú š >  | ¨ c  כ s  .

α < 0.17“ É r γ  1“    â Ä º– Ð s   â Ä º_  K  (64)d ” “ É r > 

\

" f x m  1 s €   ‚  + þ A › ¸ o”  1 l x  – Ð   H  ÷ &  H  כ \  @ / 6

£

xH † d`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . α ˜ Ð  9 þ t M :\  € ª œ  o \  -t \  ¦

½

¨ €   γ ⁴ _  † ½ Ó`  ¦ Ÿ í† < ʽ + É J $ ™X <, s   â Ä º_  K   H (58)d ” õ  (62)d ” \ " f y Œ •y Œ • ô  Ç † ½ Ós   8 ' ‘   ) a  כ \  @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ 

%

i † < Æ ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ > í ß –K  ë ß – ô  Ç . j Ë µs  K ”   q ‚  + þ A>  _

  â Ä º  H K $ 3 & h Ü ¼– Ð 2 [/ å L l   H B Ä º j Ë µ[ þ t t ë ß – à ºu  K

$ 3 & h Ü ¼– Ѝ  H Ä ºo _  ~ ½ ÓZ O \  _  # Œ   õ \  ¦ % 3   H  כ s 

0 p x  .

Ä

ºo  › ' a d ” `  ¦ & ’ % 3 ~   % ƒ6 £ § \  " é ¶& h \ " f & ñ t K  e ” 

~

  Ó ü t ^ ‰\  { 9 & ñ ô  Ç j Ë µ f ₀ \  ¦  €   (57)d ” _  ”  1 l x K \  ¦ % 3 

`

 ¦ à º e ”   H X <, s   â Ä º_  € ª œ % i † < Æ& h  \  -t   H Ô  ¦ƒ  5 Å q ° ú כ

`

 ¦ f ” `  ¦ s K ½ + É Ã º e ”  . s  כ “ É r q ‚  + þ A ( J $ ™[ >  > \ 

"

f ¨ î + þ A © œI \  e ”   H { 9    H { 9 & ñ ô  Ç j Ë µs  K t €   € ª œ 



o  ) a \  -t \  ¦ ° ú   H  © œI – Ð [  t  y Œ ™`  ¦ ´ ú ˜K ï  r  .

VI. + s ÇÊ Ý õ m Í À X Ø8 ý

2] X \ " f  H ( J $ ™[ > \  q ² õ  q ⁴ † ½ Ó`  ¦ Ÿ í† < Ê   H q ‚  + þ A

”

 1 l x  \  ¦  À Ò% 3  . €  $  q ‚  + þ A ”  1 l x  _  / å L à º K \  ¦ (10)d ” Ü ¼– Ð ½ ¨ % i   H X <, s  K   H \  -t   Œ •“ É r  â Ä º 7 £ ¤



Œ

•“ É r ”  ; Ÿ ¤ _   â Ä º\ ë ß – % ƒ6 £ § Y >  † ½ ÓÜ ¼– Ð   H  ½ + É Ã º e ”  .

”

 ; Ÿ ¤ s   H  â Ä º  H ”  ; Ÿ ¤ õ  0 Au _  \  ¦ / å L à º „  > h # Œ ° ú  

“ É

r ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð
 è ­ q à º e ” `  ¦  כ s  . q ‚  + þ A ”  1 l x  _  Å Ò l

  H & ñ S X ‰ y  ”  ; Ÿ ¤ ë ß –_  † < Êà º– Ð, ¢ ¸  H % i † < Æ& h  \  -t ë ß –_ 

†

< Êà º– Ð ½ ¨ # Œ& ’  . q ‚  + þ A ”  1 l x  _  Å Òl   H ”  ; Ÿ ¤ s   Œ •

“ É

r  â Ä º, 7 £ ¤  Œ •“ É r % i † < Æ& h  \  -t \  ¦ ° ú   H  â Ä º  H ”  ; Ÿ ¤ _  Ä

º† < Êà º– Ð   H  ÷ &  H X <, : £ ¤ y  ”  ; Ÿ ¤ s  0\   0 >t €   › ¸ o

”

 1 l x  _  ”  1 l x Å Òl – Ð ] X   H † < Ê`  ¦ ^  ¦ à º e ”  . ”  ; Ÿ ¤ s   H  â Ä

º Å Òl   H ”  ; Ÿ ¤ _  % i  l † < Êà º– Ð
 
  H X <, ”  ; Ÿ ¤ s  & | 9  Ã

º2 Ÿ ¤ ”  1 l x Å Òl   H À 1 Ï f ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  . s  q ‚  + þ A ”  1 l x



  H  Œ •6   x- y Œ •   à º / B N ç ß –Ü ¼– Ð & ñ ï  r   ¨ 8 Š s  0 p x  9,  Œ •6   x õ

 y Œ •_  † < Êà º › ' a > • ¸ (26)õ  (27)d ” Ü ¼– Ð & ñ S X ‰ y  K $ 3 & h Ü ¼

–

Ð
 ? /& ’  . s   â Ä º• ¸ % i † < Æ& h  \  -t  ± ú Ü ¼€   ”  ; Ÿ ¤ _

 " 4 / å L à º_  ± ú “ É r à º Y >  † ½ ÓÜ ¼– Ð   H   0 p x “ ¦, % i † < Æ

&

h  \  -t  ß ¼ €   \  -t _  % i † < Êà º– Ð „  > h H † d`  ¦ ˜ Ð% i 



. F G ô  Ç_  ¿ º  â Ä º  H q ² õ  q ⁴ † ½ Ó_  s \  e ”  . \  -t 

  Œ •“ É r  â Ä º  H q ² _  † ½ Ó_  / B N‰  ³s  ß ¼“ ¦,  H  â Ä º  H q ⁴ † ½ Ó _

 / B N‰  ³s  ß ¼l  M :ë  H s  .

3] X \ " f  H 5 Å q • ¸\  q Y V   H y Œ ™û Z † ½ Ós  Ÿ í† < ʝ ) a ( J $ ™[ > 

\

 q ² õ  q ⁴ † ½ Ó`  ¦ Ÿ í† < Ê   H y Œ ™û Z q ‚  + þ A ”  1 l x  \  ¦  À Ò% 3 



. s  >   H 2] X \ " f  ê  r > ü < & ñ ï  r   ¨ 8 Š \  _  # Œ ƒ  

 

÷ &Ù ¼– Ð / å L à ºK _  — ¸€ ª œ`  ¦ 2] X _  / å L à ºK  (10)d ” \  _  

#

Œ ³ ðr ½ + É Ã º e ”  . r ç ß –\     y Œ ™û Z   H q  ˜ Д > r >   H r

ç ß – Ô  ¦  | ¾ Ó`  ¦ (40)d ” \  _  # Œ ¹ 1 Ô`  ¦ à º e ”   H X <, s  > _ 

 

õ   H (42)d ” s  . s  כ `  ¦ s 6   x €   y Œ ™û Z q ‚  + þ A ”  1 l x



_  Å Òl  (48)d ” _    õ – Ð % 3 # Qt   H X <, s  כ “ É r Ó ü t : r r

ç ß –s  t z Œ ™\      ú ª ”   .

4] X \ " f  H ü @Â Ò { 9 & ñ ô  Ç j Ë µs  K ”   ( J $ ™[ > \  q ² õ  q ⁴ † ½ Ó`  ¦ Ÿ í† < Ê   H q ‚  + þ A ”  1 l x  \  ¦  À Ò% 3  . s   â Ä º  H (

J $ ™[ > s  q @ /g A — ¸€ ª œ`  ¦ ° ú   H X <, { 9 ì ø ÍK \  ¦ r ç ß – / å L à º „  

>

h_  þ j™ è 95 p x  t  ½ ¨ % i  . ¨ î + þ A& h \  & ñ t K  e ”   H s  q

‚  + þ A”  1 l x  \  { 9 & ñ ô  Ç j Ë µ`  ¦    H  â Ä º ”  1 l x † < Ê`  ¦ ˜ Ð

% i

  H X <, s   â Ä º Å Òl   H ô  Ç j Ë µ\  _  # Œ Å Ò# Qf ” `  ¦ ˜ Ð

%

i  . › ¸ o”  1 l x  _   â Ä º  H ”  1 l x t  · ú §  H  .

5] X \ " f  H q ‚  + þ A ”  1 l x  \  ¦ € ª œ % i † < Æ& h Ü ¼– Ð  À Ò% 3 



. “ ¦„  & h Ü ¼– Ð ”  1 l x   H >   H  Œ •6   x- y Œ •   à º– Ð
  · p

>

– Ð & ñ ï  r   ¨ 8 Š ½ + É Ã º e ”  . s   â Ä º @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ % i † < Æ

&

h >   H   ¨ 8 Š „  Ê ê_  ¿ º >  ƒ     ) a  . Õ ª כ `  ¦ s 6   x q 

‚

 + þ A ”  1 l x  _  € ª œ  o \  -t • ¸ ½ ¨½ + É Ã º e ”  . › ¸ o”  1 l x



_   â Ä º  H  Œ •6   x õ  y Œ •   à º " f– Ð 1 l qw n & h “  X <, q ‚  + þ A

”

 1 l x  _   â Ä º  H  Œ •6   x õ  y Œ •   à º " f– Ð ƒ    ÷ &# Q e ”  .

7

£

¤  Œ •6   x s  q ‚  + þ A ”  ; Ÿ ¤ _  ¢ ¸  H % i † < Æ& h  \  -t _  † < Êà º– Ð

÷

&# Q e ” # Q  Œ •6   x- y Œ • / B N ç ß –\ " f / 'ø @` ç   ~ ½ Ó& ñ d ” s   © œ@ /& h  Ü

¼– Ð 4 Ÿ ¤ ¸ ú š  . Õ ª Q
 › ¸ o”  1 l x  \   î  r ”  1 l x`  ¦ 



 H  Œ •“ É r ”  ; Ÿ ¤ \ " f, 7 £ ¤  Œ •“ É r \  -t \ " f  H q “ §& h  ~ 1 >  \ 



-t \  ¦ ½ ¨½ + É Ã º e ”  . Ä ºo   H s   â Ä º   õ \  ¦ % 3 % 3 “ ¦ { 9  ì

ø Í& h “    â Ä º\  ¦  7 H % i  . : £ ¤ y  ¨ î + þ A& h \  Z  ~ # Œe ”   H q ‚   + þ

A ”  1 l x  \  j Ë µs  K t   H  â Ä º € ª œ  o  ) a \  -t   © œI 

 Ò q t^ ” `  ¦  7 H % i  .

Ä

ºo   H # Œl \ " f ( J $ ™[ > \  q ² õ  q ⁴ † ½ Ó`  ¦ Ÿ í† < Ê   H q ‚   + þ

A ”  1 l x  \  ¦  À Ò% 3 t ë ß – Ó ü t o  ”   
   É r q ‚   + þ A ”  1 l x

>

• ¸ ° ú  “ É r ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð 2 [/ å L ½ + É Ã º e ” `  ¦  כ s  . ¢ ¸ô  Ç q ‚   + þ

A>   H > _  { 9 ì ø Í& h “     õ \  ¦ % 3 `  ¦ à º \ O “ ¦ ] jô  ǝ ) a  © œ S ! 

\

" f_    õ ë ß – % 3 `  ¦ à º e ”   H X <, Ä ºo _    õ   H # Q‹ "   © œ S !

s Ž  H t  ] jô  Ç # Œ Õ ªM :_    õ \  ¦ % 3 `  ¦ à º e ” 6 £ §`  ¦ · ú ˜ à º e ”

 . Ä ºo _    õ  z  ´] j Ó ü t o & h  q ‚  + þ A ‰ & ³ © œ`  ¦ [ O " î 



 H • ¸½ ¨ ÷ &U  ´  B} © œô  Ç .

P

c p 8 ý ò k >

s

  7 Hë  H“ É r 2008 † < Ƹ  • ¸ Ø  æ· ¡ ¤ @ /† < Ɠ § † < ÆÕ ü t t " é ¶ ƒ  ½ ¨ \ O  _

 ƒ  ½ ¨q  t " é ¶ \  _  # Œ ƒ  ½ ¨÷ &% 3 6 £ §.

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] H. Goldstein, Classical Mechanics, 2nd Ed. (Addison- Wesley Publishing Company, London, 1980); E. C.

G. Sudarshan and N. Mukunda, Classical Dynamics;

Mordern perspective (Wiley, New York, 1974).

[2] W. Dittrich and M. Reuter, Classical and Quantum Dynamics (Springer-Verlag, Berlin, 2001).

[3] P. Meystre and M. Sargent, Elements of Quantum Optics, 2nd Ed. (Springer, Berlin, 2007).

[4] C. M. Bender and S. Boettcher, Phys. Rev. Lett. 80, 5243 (1998).

[5] G. A. Mezincescu, J. Phys. A: 33, 4991 (2000).

[6] C. M. Bender, P. N. Meisinger and Q. Wang, J.

Phys. A: 36, 1973 (2003).

[7] C. M. Bender, D. C. Brody and H. F. Jones, Phys.

Rev. D 70, 025001 (2004).

[8] C. M. Bender and T. T. Wu, Phys. Rev. 184, 1231 (1969).

[9] D. Enzer and G. Gabrielse, Phys. Rev. Lett. 78, 1211 (1979).

[10] K. H. Yeon, S. K. Hong, S. Zhang, C. I. Um and T.

F. George, J. Korean Phys. Soc. 48, 345 (2006).

Analytical Analysis of Quantum and Classical Nonlinear Oscillators

Kyu Hwang Yeon ^∗

Department of Physics, Chungbuk National University, Cheonju 361-773 (Received 27 March 2009)

For a harmonic oscillator whose Hamiltonian involves a fourth-order displacement term, we solve the nonlinear equation of motion and show that the period of oscillation is a function of the am- plitude. After taking the action-angle variable, we derive the relation between the angle and the energy, in addition to that between the action and the energy. The classical solution in a power series form and the period of the system are obtained via the Hamiltonian of a nonlinear harmonic oscillator, which gives an equation of motion containing a dissipative term proportional to the ve- locity. We solved the equation of motion for a nonlinear oscillator driven by a constant force and showed that, when we exert a constant force on the nonlinear oscillator, it oscillates with a partic- ular frequency that depends on the force. From the Schrodinger equation composed of a quantum action-angle variable derived from classical results, we demonstrate that the energy eigenvalues depend explicitly on the classical amplitude, and we obtain the quantized energies of the quantum nonlinear oscillator in the low-energy limit.

PACS numbers: 03.65.Fd

Keywords: Nonlinear oscillator, Action-angle variables

∗

E-mail: [email protected]