Ⅰ . 지수함수와 로그함수

(1)

EBS 수능 감 잡기 수학Ⅰ

정답과 풀이

(2)

Ⅰ . 지수함수와 로그함수

지수와 지수법칙

01

본문 7쪽

수능 유형 체크

(2â+2^-a)Û`=(2â)Û`+2_2â_2^-a+(2^-a)Û`

=2^2a+2^-2a+2 2^2a+2^-2a=(2^a+2^-a)Û`-2

=6Û`-2

=34 따라서

(2^a+1+2^-a+1)Û`+(2^a+1-2^-a+1)Û`

=4(2^a+2^-a)Û`+4(2^a-2^-a)Û`

=4{(2^a+2^-a)Û`+(2^a-2^-a)Û`}

=4{(2^2a+2^-2a+2)+(2^2a+2^-2a-2)}

=4(2_2^2a+2_2^-2a)

=8(2^2a+2^-2a)

=8_34

=272

272

수능의 감을 쑥쑥^키워주는수능 유제

01-1 ^④ 01-2 ^④ 01-3 ¹⁷ 01-4 ^③

본문 8 ~9쪽

01-1

k가3이상의홀수일때,100의k제곱근중실수인것은1개이 므로

f(k)=1

즉, f(3)=f(5)=f(7)=f(9)=1 yy`㉠

k가짝수일때,100의k제곱근중실수인것은2개이므로 f(k)=2

f(2)=f(4)=f(6)=f(8)=f(10)=2 yy`㉡

㉠,㉡에서 Á10

k=2`f(k)=f(2)+f(4)+f(6)+f(8)+f(10)

+f(3)+f(5)+f(7)+f(9)

=5_2+4_1

=14

④

01-2

{a^;4!;-b^;4!;}{a^;4!;+b^;4!;}{a^;2!;+b^;2!;}

=[{a^;4!;}²-{b^;4!;}²]{a^;2!;+b^;2!;}

={a^;2!;-b^;2!;}{a^;2!;+b^;2!;}

={a^;2!;}²-{b^;2!;}²

=a-b

이때a-b=2,ab=3이므로 (a+b)Û`=(a-b)Û`+4ab

=2Û`+4_3

=16

a>0,b>0이므로a+b>0 따라서a+b='16=4

④

01-3

3¹⁰⁰의nÛ`제곱근중양의실수는^nÛ"3Å¹⁰⁰이므로

(3¹⁰⁰)^nÛ`¹=3¹⁰⁰^nÛ` yy`㉠

문제의조건에서A_n;N+∅을만족시키려면집합An의원소

중자연수가적어도하나존재해야한다.

이때㉠이자연수이려면지수 100

nÛ` 이음이아닌정수이어야

한다.

100=2Û`_5Û`이므로

nÛ`=2Û`,5Û`,10Û`

따라서n=2,5,10이므로그합은 2+5+10=17

17

01-4

(Þ '27)^;3$;=(3^;5#;)^;3$;=3^;5$;`

3^;5$;이어떤자연수N의n제곱근이라하면 N=(3^;5$;)Ç`=3^;5$;n

이때N은자연수이므로3^;5$;n이자연수이려면지수;5$;n이음이

아닌정수이어야하므로n은5의배수이다.

이때n은100이하의자연수이므로조건을만족시키는자연수

n은5,10,15,20,…,100이다.

따라서자연수n의개수는20이다.

③

(3)

로그의 뜻과 성질

02

본문 11쪽

x에대한이차방정식 f(x)=a의두실근이각각0,3이므로

f(x)-a=x(x-3),즉 f(x)=xÛ`-3x+a 따라서x에대한이차방정식 f(x)=0,즉

xÛ`-3x+a=0의두실근이log¤`b,logº`36이므로이차방정식 의근과계수의관계에의하여

log¤`b+logº`36=3 yy`㉠

log¤`b_logº`36=a yy`㉡

logº`36=logº`6Û`=2`logº`6= 2log¤`b이므로

㉡에서log¤`b_ 2 log¤`b =a 따라서a=2이다.

㉠에서

log¤`b+logº`36=log¤`b+ 2log¤`b =3 yy`㉢

㉢의양변에log¤`b를곱하고log¤`b=t로놓으면 tÛ`-3t+2=0,(t-1)(t-2)=0

t=1또는t=2

log¤`b=1일때b=6이고,log¤`b=2일때b=36이다.

따라서ab의최댓값은b=36일때 2_36=72

72

02-1 ^② 02-2 ^① 02-3 ^③ 02-4 ^④

본문 12 ~13쪽

02-1

log¢`81=log2Û``3Ý`=;2$;`logª`3=2`logª`3, log»`125=log3Û``5Ü`=;2#;`log£`5, log_;5!;`32=log5ÑÚ``2Þ`= 5

-1 `log°`2=-5`log°`2 이므로

k=log¢`81_log»`125_log_;5!;`32

=(2`logª`3)_{;2#;`log£`5}_(-5`log°`2)

=-15_log`3 log`2 _log`5

log`3 _log`2 log`5

=-15

이때loga`|k|=2에서 aÛ`=15

a='¶15(a>0)

②

02-2

log`x'§x+log` 1

Ü'§x =log`x^1+;2!;+log`x^-;3!;

` =;2#;`log`x-;3!;`log`x

` =;6&;`log`x -2<log`x<;2%;이므로 -2_;6&;<;6&;`log`x<;2%;_;6&;

-;3&;<;6&;`log`x<;1#2%;

-;3&;=-3+;3@;,;1#2%;=2+;1!2!;이고;6&;`log`x의값은정수이므 로;6&;`log`x의값은-2,-1,0,1,2이다.

즉, log`x의값은-:Á7ª:,-;7^;,0,;7^;,:Á7ª:이므로 x의값은10^-:Á7ª:,10^{-;7^;},10⁰,10^{;7^;},10^:Á7ª:이다.

따라서구하는모든실수x의값의곱은 10^-:Á7ª:_10^{-;7^;}_10⁰_10^{;7^;}_0^:Á7ª:

=10{-:Á7ª:}+{-;7^;}+0+;7^;+:Á7ª:

=10⁰

=1

①

02-3

logª`{log£`(log¢`x)}=1에서

log£`(log¢`x)=2 log¢`x=3Û`=9 이므로

x=4á`=2Ú`¡`

log`x=log`2Ú`¡`=18`log`2

=18_0.3010

=5.418

(4)

지수함수와 그래프

03

본문 15쪽

함수y=5_2^x의그래프를x축의방향으로2만큼,y축의방향 으로a만큼평행이동하면

y=5_2^x-2+a,즉y=5_2^x_2^-2+a에서 y=;4%;_2^x+a

y=;4%;_2^x+a의그래프를y축에대하여대칭이동하면

y=;4%;_2^-x+a 즉,y=;4%;{;2!;}^x+a

함수y=;4%;{;2!;}^x+a의그래프가점(-1,10)을지나므로

10=;4%;{;2!;}^-1+a에서a=:Á2°:

f(x)=;4%;{;2!;}^x+:Á2°:이고함수y=f(x)의그래프의점근선은 y=:Á2°:에서

k=:Á2°:

함수y=;4%;{;2!;}^x+:Á2°:의그래프는x의값이증가하면y의값 은감소하므로-2ÉxÉ3에서함수y=;4%;{;2!;}^x+:Á2°: 는

x=-2일때,최댓값M=;4%;{;2!;}^-2+:Á2°:=:ª2°: 를갖는다.

따라서

M+k=:ª2°:+:Á2°:=20

①

| 참고 | 도형의 대칭이동

방정식 f(x,y)=0이나타내는도형을다음과같이대칭이동 한도형의방정식은

⑴x축에대하여대칭이동：f(x,-y)=0

⑵y축에대하여대칭이동：f(-x,y)=0

⑶원점에대하여대칭이동：f(-x,-y)=0

⑷직선y=x에대하여대칭이동：f(y,x)=0 즉,5Élog`x<6이므로

n=5 따라서

n+logª`x=5+logª`2Ú`¡`

=5+18=23

③

02-4

조건(가)에서양변에abc를곱하면

c+a+b=2 yy`㉠

조건(나)에서x+1이므로 a= 1

log£¤`x =log®`36 yy`㉡

b= 1

log£¼`x =log®`30 yy`㉢

c= 1

logª°`x =log®`25 yy`㉣

이때㉡,㉢,㉣을변끼리더하면 a+b+c=log®`36+log®`30+log®`25

=log®`(36_30_25)

=log®`(2Ü`_3Ü`_5Ü`)

=log®`30Ü`

=3`log®`30

㉠에서3`log®`30=2,즉x^;3@;=30이므로 Ü '§x=x^;3!;='30

④

(5)

ㄴ.주어진그림에서a>c이므로0<;aC;<1

그러므로함수y={;aC;}^x의그래프는x의값이증가하면y 의값은감소한다.(참)

ㄷ.a>1,0<b<1,c>1이므로

a>c에서ab>bc

또한,㉠에서ab=1이므로bc<1

그러므로b<;c!;(참) 따라서옳은것은ㄴ,ㄷ이다.

④

03-4

점B는점A(1,2)를직선y=x에대하여대칭이동한점이므 로B(2,1)

점B(2,1)을지나고y축과평행한직선이곡선y=2^x과만나 는점이C이므로

2Û`=4에서C(2,4)

점C(2,4)를지나면서x축과평행한직선이직선y=x와만 나는점이D이므로

D(4,4)

두점A(1,2),D(4,4)를지나는직선의방정식은 y-2=;3@;(x-1)

즉,y=;3@;x+;3$;

두점B(2,1),C(2,4)를지나는직선의방정식은

x=2이므로두직선y=;3@;x+;3$;와x=2의교점E의좌표는 y=;3@;_2+;3$;=;3*;에서E{2,;3*;}

그러므로BEÓ=;3*;-1=;3%;,CEÓ=4-;3*;=;3$;이고 삼각형ABE의넓이는

;2!;_;3%;_1=;6%;

삼각형CED의넓이는

;2!;_2_;3$;=;3$;

따라서삼각형ABE의넓이와삼각형CED의넓이의합은

;6%;+;3$;=:Á6£:

⑤ 수능의 감을 쑥쑥^키워주는수능 유제

03-1 ^⑤ 03-2 ^⑤ 03-3 ^④ 03-4 ^⑤

본문 16 ~17쪽

03-1

y='5 f(x)-5

='5(3^x+'5)-5

='5_3^x

=3^log£`'5_3^x

=3^x+log£`'5

이므로함수y='5 f(x)-5의그래프는 f(x)=3^x+'5의그 래프를x축의방향으로-log£`'5만큼,y축의방향으로-'5 만큼평행이동한그래프이다.

따라서m=-log£`'5=-;2!;`log£`5,n=-'5이므로 mn= '5

2 `log£`5

⑤

03-2

점A(1,3)을x축의방향으로2만큼,y축의방향으로-1만 큼평행이동한점B의좌표는

B(1+2,3-1),즉B(3,2)

함수y=3^x의그래프를x축의방향으로k만큼평행이동하면

y=3^x-k

함수y=3^x-k의그래프가점B(3,2)를지나므로 2=3^3-k에서3-k=log£`2

따라서

k=3-log£`2

=log£`27-log£`2

=log£`:ª2¦:

⑤

03-3

임의의실수p에대하여a^p=b^-p이므로함수y=a^x의그래프 와y=b^x의그래프는y축에대하여대칭이다.

즉,b=;a!;이므로ab=1 yy`㉠

ㄱ.주어진그림에서a>1,0<b<1,c>1이고㉠에서ab=1 이므로

ab-c=1-c<0

그러므로ab-c<0(거짓)

(6)

;2#;{logª`(a+2)-logª`a}=;2#;

logª`(a+2)-logª`a=1,즉logª` a+2a =1 a+2a =2,2a=a+2

따라서a=2

③

04-2

y=2^x에서x=logª`y x와y를서로바꾸면 y=log2`x

즉,g(x)=logª`x

g(x)=log2`x의그래프가x축과만나는점의좌표는 (1,0)이므로a=1

점(1,0)을지나면서y축과평행한직선이함수y=f(x)의

그래프와만나는점A의좌표는 f(1)=2Ú`=2에서A(1,2)

점A(1,2)를지나면서x축과평행한직선이함수y=g(x)의

그래프와만나는점B의좌표는 g(x)=logª`x=2에서x=2Û`=4이므로 B(4,2)

점B(4,2)를지나면서y축과평행한직선이함수y=f(x)의

그래프와만나는점C의좌표는 f(4)=2Ý`=16에서C(4,16)

점C(4,16)을지나면서x축과평행한직선이직선x=1과만 나는점D의좌표는

D(1,16)

그러므로직사각형ABCD의넓이S는 S=ABÓ_BÕCÕ

=(4-1)_(16-2)=42

따라서g(x)=logª`x=42에서 x=2Ý`Û`

⑤

04-3

y={;3!;}^x에서x=log_;3!;`y

x와y를서로바꾸면y=log_;3!;`x

즉, f(x)=log_;3!;`x

로그함수와 그래프

04

본문 19쪽

주어진그림에서log_a`b=0.5,log_a`e=2.5이므로 b=a^0.5,e=a^2.5이고be=a^0.5_a^2.5=a³

또한,주어진그림에서log_a`c=1.5,log_a`d=2이므로 c=a^1.5,d=aÛ`이고cd=a^1.5_aÛ`=a^3.5

be=;2!;cd에서a³=;2!;a^3.5,즉 2a³-a^3.5=0

a³(2-a^;2!;)=0

a+0이므로a^;2!;=2에서a=2Û`=4

따라서로그함수y=log¢`x의그래프를x축의방향으로2만큼

평행이동하면

y=log¢`(x-2) yy`㉠

㉠의역함수는

y=log¢`(x-2)에서x-2=4^y,x=4^y+2 x와y를서로바꾸면

y=4^x+2

따라서 f(x)=4^x+2이므로

f(2)=4Û`+2=18

②

04-1 ^③ 04-2 ^⑤ 04-3 ^④ 04-4 ^③

본문 20 ~21쪽

04-1

ABÓ=logª`a-log_;4!;`a

=logª`a+;2!;`logª`a

=;2#;`logª`a

CDÓ=logª`(a+2)-log_;4!;`(a+2)

=logª`(a+2)+;2!;`logª`(a+2)

=;2#;`logª`(a+2)

CDÓ>ABÓ이므로CDÓ-ABÓ=;2#;에서

;2#;`logª`(a+2)-;2#;`logª`a=;2#;

(7)

지수함수와 로그함수의 활용

05

본문 23쪽

수능 유형 체크 진수의조건에서 xÛ`-16>0 (x+4)(x-4)>0

x<-4또는x>4 yy`㉠

또,x-1>0에서x>1 yy`㉡

㉠,㉡에서x>4 yy`㉢

logª`(xÛ`-16)-logª`(x-1)É2에서 logª`(xÛ`-16)Élogª`(x-1)+logª`4 logª`(xÛ`-16)Élogª`4(x-1) xÛ`-16É4(x-1)

xÛ`-4x-12É0 (x+2)(x-6)É0

-2ÉxÉ6 yy`㉣

따라서㉢,㉣에서4<xÉ6이므로구하는정수x의값의합은 5+6=11

①

05-1 ^③ 05-2 ^① 05-3 ²⁵⁵ 05-4 ^③

본문 24 ~25쪽

05-1

{;a!;}^5-a<aÛ`_'a<a^2a-3에서

a^a-5<a^;2%;<a^2a-3 Ú a=1일때

1^-4<1^;2%;<1^-1은성립하지않으므로a+1

Û a>1일때

a-5<;2%;<2a-3에서

a-5<;2%;이고;2%;<2a-3,즉

a<:Á2°:이고a>:Á4Á:이므로

:Á4Á:<a<:Á2°:

주어진부등식을만족시키는자연수a는3,4,5,6,7이다.

함수y=log_;3!;`x의그래프를x축의방향으로1만큼,y축의방 향으로-2만큼평행이동하면

y=log_;3!; (x-1)-2 g(x)=log;3!; (x-1)-2

밑;3!;이1보다작으므로x의값이증가하면g(x)의값은감소한다.

x=a일때

log_;3!;`(a-1)-2=0에서 log_;3!;`(a-1)=2 a-1={;3!;}Û`,즉a=:Á9¼:

x=10일때

b=log_;3!;`9-2=-2-2=-4 따라서

a+b=:Á9¼:+(-4)

=-:ª9¤:

④

04-4

진수의조건에서xÛ`-4x+8=(x-2)Û`+4>0이므로

함수 f(x)의정의역은모든실수이다.

ㄱ.a=2일때

f(4)=logª`(4Û`-4_4+8)=logª`8=3(참)

ㄴ.a¾2이므로함수 f(x)는xÛ`-4x+8의값이최소일때최 솟값을갖고,xÛ`-4x+8의값이최대일때최댓값을갖는다.

aÞ`>aÛ`¾4이므로aÛ`ÉxÛ`-4x+8ÉaÞ`에서

log_a`aÛ`Éloga`(xÛ`-4x+8)Éloga`aÞ`,즉

2Éloga`(xÛ`-4x+8)É5

그러므로함수 f(x)의최댓값과최솟값의합은

2+5=7(거짓)

ㄷ.0<a<1이므로함수 f(x)는xÛ`-4x+8의값이최소일

때최댓값을갖는다.

xÛ`-4x+8=(x-2)Û`+4는x=2일때,최솟값4를가지 므로함수 f(x)의최댓값은

log_;2!;`4=-logª`4=-2(참) 따라서옳은것은ㄱ,ㄷ이다.

③

(8)

한편,2^2x-1=2^3-2x에서

2x-1=3-2x,4x=4

이므로x=1,즉p=1 따라서8lp=255

255

05-4

직선x=4와곡선y=logª`x가만나는점A의좌표는 logª`4=2이므로

A(4,2)

직선x=k`(k>4)가두곡선y=log¥`x,y=logª`x와만나는

두점B,C의좌표는 B(k,log¥`k),C(k,logª`k)

삼각형ABC가이등변삼각형이므로선분BC의중점의y좌표 는점A의y좌표와같다.

logª`k+log¥`k

2 =2에서

logª`k+log¥`k=4

logª`k+;3!;`logª`k=4

즉,;3$;`logª`k=4,logª`k=3 그러므로k=2Ü`=8

삼각형ABC에서

BÕCÕ=logª`8-log¥`8=3-1=2이고,

높이는8-4=4이므로삼각형ABC의넓이는

;2!;_2_4=4

③ 따라서Ú,Û에서구하는자연수a는3,4,5,6,7이므로그

개수는5이다.

③

05-2

2^x>0이므로모든실수x에대하여2^x+2>0

log3`(2^x+2)=log9`81(2^x+2)에서 log₃`(2^x+2)=log₉`(2^x+2)+2

log₃`(2^x+2)=;2!;`log3`(2^x+2)+2

log₃`(2^x+2)-;2!;`log3`(2^x+2)=2

;2!;`log3`(2^x+2)=2 log3`(2^x+2)=4 2^x+2=81 2^x=79 x=log2`79

이때2⁶<79<2⁷이므로log₂`2⁶<log2`79<log2`2⁷ 6<log2`79<7,즉6<x<7

따라서a=6

①

05-3

ABÓ=2^2a-1-2^3-2a

=2^2a_2^-1-2Ü`_2^-2a

=;2!;_(2^a)Û`- 8

(2^a)Û`=:Á2°:

에서2^a=X`(X>0)라하면

;2!;XÛ`- 8XÛ`=:Á2°:

양변에2XÛ`을곱하여정리하면 XÝ`-15XÛ`-16=0

(XÛ`+1)(XÛ`-16)=0 에서XÛ`>0이므로XÛ`=16,즉 2^2a=16,2^2a=2Ý`

그러므로2a=4,a=2

CDÓ =2^2(a+1)-1-2^3-2(a+1)

=2^2_3-1-2^3-2_3=2Þ`-2^-3

=32-;8!;= 2558 이므로l= 2558

(9)

8p+;6Ò;이므로a=;6Ò;

동경OP가나타내는일반각h는 h=2np+;6Ò;=(12n+1)

6 p(n은정수)

따라서y,-:ª6£:p,-:Á6Á:p,;6Ò;,:Á6£:p,:ª6°:p,y이어야하 므로<보기>에서:ª6°:p뿐이다.

따라서동경OP의일반각이나타내는각의하나인것은ㄷ이다.

②

06-2

3h와4h를나타내는동경이y축에대하여대칭이므로

3h+4h=(2n-1)p(단,n은정수) 7h=(2n-1)p에서h= 2n-17 p

0<h<;2Ò;에서0< 2n-17 p<;2Ò;이므로;2!;<n<;4(;

n은정수이므로n=1또는n=2

따라서h=;7Ò;또는h=;7#;p이므로구하는모든h의값의합은

;7Ò;+;7#;p=;7$;p

③

06-3

BHÓ=2이므로sin`;6Ò;= BHÓOBÓ에서

OBÓ= BHÓ sin`;6Ò;= 2

;2!;=4 그러므로부채꼴OAB의넓이는

;2!;_4Û`_;6Ò;=;3$;p

한편,직각삼각형OHB에서

OHÓ="Ã4Û`-2Û`=2'3이므로 삼각형OHB의넓이는

;2!;_OHÓ_BHÓ=;2!;_2'3_2=2'3

따라서구하는부분의넓이는

(부채꼴OAB의넓이)-(삼각형OHB의넓이)

=;3$;p-2'3

①

Ⅱ . 삼각함수

일반각과 호도법

06

본문 27쪽

w

0

"

1

#

APÓ=BPÓ이고

∠AOP=∠BOP=;6Ò;,∠OAP=∠OBP=;2Ò;이므로 tan`;6Ò;= APÓ6 ,즉 '3

3 =APÓ 6 에서APÓ=BPÓ=2'3

부채꼴OAB의호AB의길이는6_;3Ò;=2p 이므로구하는길이의합은4'3+2p 따라서a=4,b=2이므로

a+b=6

6

| 참고 | 삼각비

∠B=90ù인직각삼각형ABC에서

"

$

# B D

⑴sin`A=;bA; C

⑵cos`A=;bC;

⑶tan`A=;cA;

06-1 ^② 06-2 ^③ 06-3 ^① 06-4 ^③

본문 28 ~29쪽

06-1

1470ù=360ù_4+30ù에서이각을라디안으로나타내면

(10)

삼각함수의 뜻과 삼각함수 사이의 관계

07

본문 31쪽

sin`h`cos`h>0에서sin`h와cos`h의부호가서로같고, sin`h+cos`h<0이므로

sin`h<0,cos`h<0 즉,h는제3사분면의각이다.

이때cos`h-1<0이고,tan`h>0이므로

"ÃtanÛ``h|cos`h-1|=tan`h(1-cos`h)

=tan`h-sin`h

"ÃtanÛ``h|cos`h-1|- sin`hcos`h =tan`h-sin`h-sin`h cos`h

=tan`h-sin`h-tan`h

=-sin`h

=;3!;

에서

sin`h=-;3!;

그런데sinÛ``h+cosÛ``h=1이고,h는제3사분면의각이므로

cos`h=-"Ã1-sinÛ``h

=-¾¨1-{-;3!;}Û``

=-2'2 3 따라서 tan`h= sin`hcos`h

= -;3!;

- 2'23

= 12'2

= '2 4

②

06-4

0

) ) 5

"

2 1

D

부채꼴OTP의중심각의크기를h라하면

부채꼴OTP의넓이가;6Ò;이므로

;6Ò;=;2!;_1Û`_h에서h=;3Ò;,즉∠POT=;3Ò;

∠TOA=;2Ò;-;3Ò;=;6Ò;

직각삼각형OTH에서∠HOT=;3Ò;이므로

HTÓ=OTÓ_sin`;3Ò;=1_ '32 ='3 2 호TP의길이는1_;3Ò;=;3Ò;이고

호TP의길이와선분TQ의길이가같으므로TQÓ=;3Ò;

선분TQ는점T에서의접선이므로∠OTQ=;2Ò;

선분HT와선분OA가평행하므로∠HTO=;6Ò;이고

점Q에서선분HT에내린수선의발을HÁ이라하면

∠HÁTQ=;2Ò;-;6Ò;=;3Ò;

직각삼각형HÁTQ에서∠HÁTQ=;3Ò;이므로 QÕHÁÓ=TQÓ_sin`;3Ò;=;3Ò;_ '32 ='3

6 p 따라서삼각형QHT의넓이는

;2!;_HTÓ_QÕHÁÓ=;2!;_ '32 _'3 6 p

=;8Ò;

③

| 참고 | 평행선과 동위각, 엇각 두직선lÁ,lª가평행할때

Mm M

?

>

=

⑴동위각의크기가같다.

⇨∠a=∠c

⑵엇각의크기가같다.

⇨∠a=∠b

(11)

6`sinÛ``h

sin`h-cos`h + 6`cos`h 1-tan`h

= 6`sinÛ``h

sin`h-cos`h + 6`cos`h 1- sin`hcos`h

= 6`sinÛ``h

sin`h-cos`h + 6`cosÛ``h cos`h-sin`h

=6(sinÛ``h-cosÛ``h) sin`h-cos`h

=6(sin`h+cos`h)

=6_;3$;=8

③

07-3

logª`sinÛ``h+log¢`cosÝ``h=2`logª`sin`h+2`logª`cos`h

=2(logª`sin`h+logª`cos`h)

=2`logª`(sin`h`cos`h) 이므로

2`logª`(sin`h`cos`h)=logª`;1Á6;

logª`(sin`h`cos`h)=;2!;`logª`;1Á6;

=logª`;4!;

즉,sin`h`cos`h=;4!;

따라서

(sin`h+cos`h)Û`=1+2`sin`h`cos`h

=1+2_;4!;=;2#;

이고sin`h>0,cos`h>0이므로 sin`h+cos`h= '62

⑤

07-4

C B

1 B C

0

Y

Z

D 수능의 감을 쑥쑥^키워주는수능 유제

07-1 ³² 07-2 ^③ 07-3 ^⑤ 07-4 ^④

본문 32 ~33쪽

07-1

D

0 Y

Z 1 B

B

OPÓ="Ã(-2)Û`+aÛ`="ÃaÛ`+4이므로 sin`h=(점P의y좌표)

OPÓ = a

"ÃaÛ`+4 cos`h=(점P의x좌표)

OPÓ =- 2

"ÃaÛ`+4 이때

sinÛ``h-4`sin`h`cos`h+4`cosÛ``h =(sin`h-2`cos`h)Û`

={ a+4

"ÃaÛ`+4}Û`

= (a+4)Û`

aÛ`+4

=4

에서(a+4)Û`=4(aÛ`+4),즉 3aÛ`-8a=0

3a{a-;3*;}=0 a>0이므로a=;3*;

따라서

12a=12_;3*;=32

32

07-2

삼각형ODB에서sin`h= BDÓ OBÓ=BDÓ 삼각형OAC에서cos`h= OAÓ

OCÓ= 1 OCÓ BDÓ+ 1

OCÓ=;3$;에서sin`h+cos`h=;3$;이므로

(12)

삼각함수의 그래프

08

본문 35쪽

Y

B B

Z ZTJOwY

0

= Ä > ? @

f(x)=sin`;3Ò;x의주기는 2p

;3Ò;=6이므로 a+b2 =;2#;에서a+b=3

c+d2 =;2(;에서c+d=9

그러므로함수k=a+b+c+d=3+9=12 따라서함수g(x)=sin`kx=sin`12x의주기는

2p12 =;6Ò;

①

08-1 ^④ 08-2 ^③ 08-3 ^④ 08-4 ^④

본문 36 ~37쪽

08-1

조건(가)에서함수y=f(x)의그래프가x축에접하므로최솟 값은0,최댓값은4이다.

한편,y=f(x)의그래프는함수y=a`sin`bx의그래프를y축 의방향으로c만큼평행이동한것이다.

그러므로a=2,c=2

또,조건(나)에서함수y=f(x)의그래프와

함수y=a`sin`b{x- p2}+c의그래프가일치해야한다.

이때함수y=a`sin`b{x- p2}+c의그래프는함수y=f(x)

의그래프를x축의방향으로 p2 만큼평행이동한것이므로함수

y=f(x)의주기는 p2 보다작거나같아야한다.

이때함수y=f(x)의주기는 2pb 이므로2p b Ép

2 b¾4

cos`h=a,sin`h=b이므로 cos`h`sinÛ``h

aÛ`-cos`h +(cos`h+cosÛ``h)(1-cos`h) aÛ`+cos`h

= abÛ`

aÛ`-a+(a+aÛ`)(1-a) aÛ`+a

= bÛ`a-1 +(1-a)

=-;2!;

그런데sinÛ``h+cosÛ``h=1에서

sinÛ``h=1-cosÛ``h,즉bÛ`=1-aÛ`이므로 -(1+a)+(1-a)=-;2!;

-2a=-;2!;에서a=;4!;

따라서 tan`h=;aB;

= "Ã1-aÛ`a

=®É1-;1Á6;

;4!;

='15 ④

(13)

⑵함수y=sin`ax의주기는 2p

|a|,

함수y=cos`ax의주기는 2p|a|,

함수y=tan`ax의주기는 p|a|이다.

08-3

f(h)=[1+2`sinÛ``{;2Ò;+h}]sinÛ``(p-h)

=(1+2`cosÛ``h)sinÛ``h

=(1+2`cosÛ``h)(1-cosÛ``h)

=-2`cosÝ``h+cosÛ``h+1 yy`㉠

㉠에서cosÛ``h=t`(0ÉtÉ1)로놓으면 -2tÛ`+t+1=-2{t-;4!;}Û`+;8(;이므로 t=;4!;일때,최댓값은;8(;이다.

따라서 f(h)의최댓값은;8(;이다. ④

08-4

f(x)=a`cos`bp{x-;2(;}+3.5라하자.

만조때의해수면의높이는함수 f(x)가최댓값을가질때이고

함수 f(x)의최댓값은a+3.5이다.

또한,간조때의해수면의높이는함수 f(x)가최솟값을가질

때이고함수 f(x)의최솟값은-a+3.5이다.

조차는만조때와간조때의해수면의높이의차이므로

(a+3.5)-(-a+3.5)=10,

즉2a=10에서a=5

만조와만조,또는간조와간조사이의시간이함수 f(x)의주 기이다.

만조시각인4시30분은4.5시이고,17시00분은17시이므로

만조와만조사이의시간은

17-4.5=12.5(시간)

f(x)=a`cos`bp{x-;2(;}+3.5에서

주기는 2p

bp이므로12.5= 2pbp,즉b=;2¢5;

따라서a+b+c의최솟값은 a+b+c¾2+4+2=8

④

08-2

ㄱ.-1Ésin`;2Ò;xÉ1에서-3É3`sin`;2Ò;xÉ3,즉

-3Éf(x)É3(참)

ㄴ.f(x)=3`sin`;2Ò;x의주기는 2p

;2Ò;=4이므로

f(x+4)=f(x)

f(0)=0, f(2)=0이므로

f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=y=f(2018)=0

한편,h(x)=3`cos`;2Ò;x라하면함수y=h(x)의주기가

2p

;2Ò;=4이므로

h(x+4)=h(x)

h(1)=h(3)=0이므로

h(1)=h(3)=h(5)=y=h(2017)=0

그런데h(x)=3`cos`;2Ò;x의그래프를y축의방향으로1만

큼평행이동하면g(x)=3`cos`;2Ò;x+1의그래프이므로

g(x)=h(x)+1에서

g(2017)=h(2017)+1=1

그러므로 f(2018)+g(2017)=1(거짓)

ㄷ.두함수y=f(x),y=g(x)의주기가4로같고,주기의;4!;

이4_;4!;=1이므로

y=f(x)의그래프를x축의방향으로-1만큼,y축의방향 으로1만큼평행이동하면

y=g(x)의그래프와일치한다.

즉, f(x+1)+1=g(x)에서 f(x+1)=g(x)-1(참) 따라서옳은것은ㄱ,ㄷ이다.

③

| 참고 | 삼각함수의 주기

⑴임의의실수x에대하여 f(x+p)=f(x)를만족시키는최 소의양수p를함수 f(x)의주기라한다.

(14)

삼각함수를 포함한 방정식과 부등식

09

본문 39쪽

(tan`x)(tan`x+cos`x)-sin`x<3에서 tanÛ``x+tan`x_cos`x-sin`x<3 tanÛ``x+ sin`x cos`x _cos`x-sin`x<3 tanÛ``x<3

이때 tan`x=t로 놓으면 tÛ`<3, (t-'3)(t+'3)<0 -'3<t<'3

즉, -'3<tan`x<'3

이 부등식의 해는 함수 y=tan`x의 그래프가 직선 y='3의 아 랫부분에 있으며 직선 y=-'3의 윗부분에 있는 x의 값의 범 위이다.

0 Y

Z ZUBOAY

L L L

L

Z

Z

L

따라서 부등식의 해는

0Éx< p3 , ;3@; p<x<;3$; p, ;3%; p<x<2p 이므로

a+b+c= p3 +;3$; p+;3%; p=;;Á3¼;; p

②

09-1 ^④ 09-2 ^④ 09-3 ^③ 09-4 ⁵

본문 40 ~41쪽

09-1

sin`x+cos`{ p2 -x}<1에서 sin`x+sin`x<1

2`sin`x<1 sin`x< 12 g(x)=a`cos`bp{x-;2(;+c}+3.5라 하자.

함수 y=g(x)의 그래프를 x축의 방향으로 c만큼 평행이동하 면 y=f(x)의 그래프이다.

그런데 두 지점 A, B의 만조 시간 또는 간조 시간은 지점 B보 다 지점 A가 10분, 즉 ;6!0);=;6!;시간 늦는다.

즉, 함수 y=g(x)의 그래프를 x축의 방향으로 ;6!;만큼 평행이 동하면 y=f(x)의 그래프이므로

c=;6!;

따라서

a+50b+30c=5+50_;2¢5;+30_;6!;

=5+8+5

=18

④

(15)

pÉhÉ 76 p 또는 ;;Á6Á;; pÉh<2p 이므로

a+b+c=4p

④

09-3

(3`cos`x-1)(4`cos`x-3)=0에서 3`cos`x-1=0 또는 4`cos`x-3=0 즉, cos`x=;3!; 또는 cos`x=;4#;

Ú 함수 y=cos`x의 그래프와 직선 y=;3!;의 교점을 A, B라

하면 cos`x=;3!;을 만족시키는 x의 값은 두 점 A, B의 x 좌표이므로

x=a 또는 x=2p-a

0 Y

Z

ZDPTAY ZÅ

= =

L L

" #

Å

Û 함수 y=cos`x의 그래프와 직선 y=;4#;의 교점을 C, D라

하면 cos`x=;4#;을 만족시키는 x의 값은 두 점 C, D의 x 좌표이므로

x=b 또는 x=2p-b

0 Y

Z

ZDPTAY Z

> >

L L

$ %

Ú, Û에서 모든 x의 값의 합은 a+(2p-a)+b+(2p-b)=4p

③

09-4

점 P의 y좌표는 sin`h이다.

이때 점 Q의 x좌표는 다음과 같다.

Ú 0ÉhÉ p2 일 때 이 부등식의 해는 함수 y=sin`x의 그래프가 직선 y= 12 보다

아래쪽에 있는 x의 값의 범위이다.

0 Y

Z ZTJOAY

L

L Z

L L

따라서 부등식의 해는 0Éx< p6 또는 ;6%; p<x<2p 이므로

a+b+c=3p

④

09-2

이차방정식 xÛ`+4(cos`h)x+2`sin`h+4=0의 판별식을 D라 하면

D4 =4`cosÛ``h-(2`sin`h+4)¾0 4`cosÛ``h-2`sin`h-4¾0 2`cosÛ``h-sin`h-2¾0 2(1-sinÛ``h)-sin`h-2¾0 2`sinÛ``h+sin`hÉ0

이때 sin`h=t (-1ÉtÉ1)로 놓으면 2tÛ`+tÉ0

2t{t+ 12 }É0

- 12 ÉtÉ0 즉, - 12 Ésin`hÉ0

이 부등식의 해는 함수 y=sin`h의 그래프가 직선 y=0과 만나 거나 아래쪽에 있는 부분과 직선 y=- 12 과 만나거나 위쪽에 있는 부분의 h의 값의 범위이다.

0 D

Z ZTJOAD

L L

Z

L

따라서 h의 값의 범위는

(16)

사인법칙과 코사인법칙

10

본문 43쪽

수능 유형 체크 OÕAÓ="Ã1Û`+2Û`='5 OÕBÕ="Ã3Û`+4Û`=5

ABÓ="Ã(3-1)Û`+(4-2)Û`=2'2 따라서

cos∠AOB= OAÓ

2+OBÓ ²-ABÓ ² 2_OAÓ_OBÓ

=('5)Û`+5Û`-(2'2)Û`

2_'5_5

= 115'5

=11'5 25

⑤

10-1 ^④ 10-2 ^① 10-3 ^② 10-4 ^⑤

본문 44 ~45쪽

10-1

원xÛ`+2x+yÛ`-4y=7은 (x+1)Û`+(y-2)Û`=12 이므로반지름의길이는2'3이다.

그러므로사인법칙에의하여 BÕCÕ

sin`;6Ò;=2_2'3 따라서

BÕCÕ=4'3_sin` p6

=4'3_ 12

=2'3

④

10-2

피타고라스정리에의하여 BÕCÕ=¿¹ABÓ ²-CAÓ ²

="Ã5Û`-3Û`=4

OHÓ=cos`h이므로점Q의x좌표는

OHÓ`cos`h=cosÛ``h Û p2 <hÉp일때

OHÓ=-cos`h이므로점Q의x좌표는

OHÓ`cos(p-h)=-cos`h_cos(p-h)=cosÛ``h Üp<hÉ;2#; p일때

OHÓ=-cos`h이므로점Q의x좌표는

OHÓ`cos(p+h)=-cos`h_cos(p+h)=cosÛ``h Ý;2#; p<h<2p일때

OHÓ=cos`h이므로점Q의x좌표는

OHÓ`cos(2p-h)=cos`h_cos(2p-h)=cosÛ``h 따라서점Q의x좌표는cosÛ``h이다.

5a+4=2b에서 5`sin`h+4=2`cosÛ``h 5`sin`h+4=2(1-sinÛ``h) 2`sinÛ``h+5`sin`h+2=0 이때sin`h=t로놓으면 2tÛ`+5t+2=0 (2t+1)(t+2)=0 t=-;2!;또는t=-2

즉,sin`h=-;2!;또는sin`h=-2 -1Ésin`hÉ1이므로

sin`h=-;2!;

이방정식의근은함수y=sin`h의그래프와직선y=- 12 의

교점의x좌표이다.

0 D

Z ZTJOAD

L L

Z

L

따라서a=;6&; p,b=;;Á6Á;; p이므로 b-a=;3@; p

그러므로 p+q=3+2=5

5

(17)

A= p3

BÕCÕ=®ÉABÓ ²+CAÓ ²-2_ABÓ_CAÓ_cos` p3

=®É3Û`+2Û`-2_3_2_ 12

='7

외접원의반지름의길이를R라하면 sin`A =2R에서BÕCÕ

'7'3 2

=2R

R= '¶21 3

그러므로외접원의중심의좌표는{ '¶21 3 ,'¶21

3 }이므로 ab= 73

⑤ 그러므로∠ABC=h라하면

cos`h= BÕCÕABÓ=;5$;

따라서BDÓ=2,BEÓ=BÕCÕ-EÕCÕ=4-1=3이므로 DEÓ=¿¹BDÓ ²+BEÓ ²-2`BDÓ_BEÓ_cos`h

=®É2Û`+3Û`-2_2_3_ 45

=®Â 175 ='¶85 5

①

10-3

선분AB가원의지름이므로

∠_{BDA= p2}

"

# % $

이때코사인법칙에서 cos`B= ABÓ ²+BÕCÕ ²-CAÓ ²

2_ABÓ_BÕCÕ

= 3Û`+4Û`-2Û`2_3_4

= 78 따라서

BDÓ=ABÓ`cos`B

=3_;8&;= 218

②

10-4

삼각형ABC의넓이가3'3 2 이므로

;2!;_ABÓ_CAÓ_sin`A= 3'32

;2!;_3_2_sin`A= 3'32 sin`A= '32

이때∠CAB< p2 이므로

(18)

11-1 ^② 11-2 ^① 11-3 ^① 11-4 ^③

본문 48 ~49쪽

11-1

주어진등차수열의일반항을bÇ이라하고,공차를d라하자.

bÁ=1,

b_n+2=5n+6 이므로

1+(n+1)d=5n+6 (n+1)(d-5)=0 이때n은자연수이므로 d=5

등차수열의합의공식에의하여 (n+2)(1+5n+6)

2 =112

(n+2)(5n+7)=224 5nÛ`+17n-210=0 (n-5)(5n+42)=0 n은자연수이므로

n=5 따라서

a°+5=b¤+5=(5_4+6)+5=31

②

11-2

등차수열{aÇ}의첫째항을a,공차를d라하자.

조건(가)에서

aÁ+aª=2a+d=3 yy`㉠

조건(나)에서

(aÁ¼¢-aÁ¼£)+(aÁ¼¤-aÁ¼°)+(aÁ¼¥-aÁ¼¦)=3d=-3 d=-1이므로㉠에서a=2

따라서등차수열{aÇ}의첫째항부터제 10항까지의합은 10(2_2-9)

2 =-25

①

11-3

aÁ=SÁ=(2+1)Û`-1=8 aÁ¼=SÁ¼-S»

=(21Û`-1)-(19Û`-1)

=21Û`-19Û`

Ⅲ . 수열

등차수열의 일반항과 합

11

본문 47쪽

aÁ+a£=-14에서 a+(a+2d)=-14

a+d=-7 yy`㉠

a¥+aÁ¼=28에서 (a+7d)+(a+9d)=28

a+8d=14 yy`㉡

㉠,㉡을연립하여풀면 a=-10,d=3 따라서

|aÁ|+|aª|+|a£|+y+|aÁ¼|

=|-10|+|-7|+|-4|+|-1|+2+5+8+11+14+17

=79

79

| 다른 풀이 |

등차중항의성질에의하여 aÁ+a£=2aª

a¥+aÁ¼=2a»

aÁ+a£=-14에서2aª=-14

aª=a+d=-7 yy`㉠

a¥+aÁ¼=28에서2a»=28

a»=a+8d=14 yy`㉡

㉠,㉡을연립하여풀면 a=-10,d=3 따라서

|aÁ|+|aª|+|a£|+y+|aÁ¼|

=|-10|+|-7|+|-4|+|-1|+2+5+8+11+14+17

=79

(19)

등비수열의 일반항과 합

12

본문 51쪽

등비수열{aÇ}의첫째항을a,공비를r라하자.

S£= a(rÜ`-1)r-1 yy`㉠

S¤= a(rß`-1)r-1 =a(rÜ`-1)(rÜ`+1)

r-1 yy`㉡

㉠,㉡과S¤

S£ =9에서 rÜ`+1=9,즉rÜ`=8 따라서r은양수이므로r=2

a¢

aª =arÜ`

ar =rÛ`=4

④

12-1 ¹⁶² 12-2 ^③ 12-3 ¹² 12-4 ^④

본문 52 ~53쪽

12-1

등비수열{aÇ}의첫째항과공비를각각a,r라하자.

a>0,r>0 aÁ¼

a¤ =81에서ará`

arÞ`=rÝ`=3Ý`

따라서r=3 a£+a¢=72에서 a£+a¢ =arÛ`+arÜ`

=a(9+27)

=36a 이므로36a=72 따라서a=2이므로 a°=arÝ`=2_3Ý`=162

162

12-2

aÁ=SÁ=3_2Û`-6=6 이고

n¾2일때, a_n=S_n-S_n-1

=(21-19)(21+19)

=2_40=80 따라서

aÁ+aÁ¼=8+80=88

①

11-4

두등차수열{aÇ},{bÇ}의첫째항을각각a,b라하자.

aÁ¼=10에서

a+9=10 a=1

따라서aÇ=n이므로 SÇ=n(n+1)

2

SÇ_TÇ=4nÝ`-4nÛ`

=4nÛ`(nÛ`-1)

=4nÛ`(n-1)(n+1) 에서

TÇ=4nÛ`(n-1)(n+1) SÇ

=8nÛ`(n-1)(n+1) n(n+1)

=8n(n-1)

수열의합과일반항사이의관계에의하여n¾2일때 bÇ=TÇ-TÇÐÁ

=8n(n-1)-8(n-1)(n-2)

=8(nÛ`-n)-8(nÛ`-3n+2)

=8(2n-2)=16(n-1) 따라서

bÁ¼=16_9=144

③

(20)

12-4

조건(가)에서

ECÓ=a,CBÓ=ar,ABÓ=arÛ`(a>0,r>0) 으로놓자.

또,조건(나)에서

;2!;_a_ar=;6!;_arÛ`_ar rÛ`=3

이때r>0이므로r='3 직각삼각형EBC에서 EBÓ=¿¹ECÓ Û`+CBÓ Û`

="ÃaÛ`+('3a)Û`

=2a

BDÓ=ACÓ=¿¹ABÓ Û`+BCÓ Û`

="Ã(3a)Û`+('3a)Û`

=2'3a 따라서

EBÓ BDÓ= 2a

2'3a= '3 3

④

=(3_2ⁿ⁺¹-6)-(3_2Ç`-6)

=3_2Ç`

=6_2^n-1

이므로수열{aÇ}의일반항은 aÇ=6_2^n-1`(n=1,2,3,y) 이때

6_2Ú`â`=6_1024<10000, 6_2Ú`Ú`=6_2048>10000

이므로부등식aÇ<10000을만족시키려면 n-1É10

nÉ11

따라서조건을만족시키는자연수n의개수는11이다.

③

12-3

등비수열{aÇ}의첫째항을a,공비를r`(r<0)라하자.

aª=5,a¤=80에서 ar=5,arÞ`=80

arÞ`ar =:¥5¼:

rÝ`=16 r<0이므로 r=-2 이때a=-;2%;

SÇ=-;2%;{1-(-2)Ç`}

1-(-2)

=;6%;{(-2)Ç`-1}

SÇ¾2000에서

;6%;{(-2)Ç`-1}¾2000 (-2)Ç` ¾2401

이때n은2의배수이어야하고 (-2)Ú`â`=1024<2401, (-2)Ú`Û`=4096>2401 이므로

n¾12

따라서자연수n의최솟값은12이다.

12

(21)

| 다른 풀이 |

aÁ¼ =_k=1Á¹⁰3k(11-k)

=_n=1Á¹⁰(33k-3kÛ`)

=33_k=1Á¹⁰k-3_k=1Á¹⁰kÛ`

=33_ 10_112 -3_ 10_11_216

=1815-1155

=660

13-2

Án

k=1(aû*Á-aû)

=(aª-aÁ)+(a£-aª)+(a¢-a£)+y+(aÇ*Á-aÇ)

=aÇ*Á-aÁ

이므로조건(나)에서aÇ*Á-aÁ=2n+1

aÇ*Á=2n+1+aÁ yy`㉠

조건(가)에서a°=2_4+1+aÁ=10

aÁ=1 yy`㉡

㉠,㉡에서aÇ*Á=2n+2=2(n+1)`(n¾1) 따라서수열{aÇ}은

aÇ=à 1 2n

(n=1) (n¾2)이므로

Á10

k=1aû=1+2(2+3+4+y+10)

=2(1+2+3+4+y+10)-1

=2_k=1Á¹⁰k-1

=2_ 10_112 -1

=109

②

13-3

SÇ=_k=1Áⁿkaû=2nÛ`+n으로놓으면 n=1일때,SÁ=aÁ=2+1=3 n¾2인자연수n에대하여

naÇ=SÇ-SÇÐÁ

=2nÛ`+n-2(n-1)Û`-(n-1)

=4n-1

이고이식은n=1일때도성립한다.

합의 기호 ;` 의 뜻과 여러 가지 수열의 합

13

본문 55쪽

수능 유형 체크 ak+1=Sk+1-Sû이므로 Án

k=1

SûSû*Á`aû*Á =_k=1Áⁿ Sû*Á-Sû Sû*ÁSû

=_k=1Áⁿ { 1 Sû- 1

Sû*Á }

={ 1 SÁ - 1

Sª }+{ 1 Sª - 1

S£ }+y

+{ 1

SÇ- 1 SÇ*Á }

= 1 SÁ -

1 SÇ*Á=;n!;

1 SÇ*Á=1

SÁ -;n!;

aÁ=SÁ=2이므로 1

SÇ*Á=;2!;-;n~~!;= n-22n 따라서

SÁ¼ =1 9-2 2_9= 7

18 ③

13-1 ^④ 13-2 ^② 13-3 ^④ 13-4 ¹⁰

본문 56 ~57쪽

13-1

aÇ=_k=1Áⁿ3k(n+1-k)

=3_k=1Áⁿ{(n+1)k-kÛ`}

=3(n+1)_k=1Áⁿk-3_k=1ÁⁿkÛ`

=3(n+1)_n(n+1)

2 -n(n+1)(2n+1) 2

=n(n+1)

2 {3(n+1)-(2n+1)}

=n(n+1)(n+2) 2 따라서

aÁ¼=10_11_12 2

=660

④

(22)

수열의 귀납적 정의

14

본문 59쪽

2(aÇ*Á-1)=2aÇ+1에서 2aÇ*Á=2aÇ+3

aÇ*Á=aÇ+;2#;

즉,수열{aÇ}은첫째항이2이고공차가;2#;인등차수열이다.

따라서

Án k=1aû=

n[4+;2#;(n-1)]

2

=n(3n+5) 4

100É_k=1Áⁿ aû<1000에서 100Én(3n+5)

4 <1000 400Én(3n+5)<4000 이때

350=10_35<400<11_38=418, 3850=35_110<4000<36_113=4068

이므로조건을만족시키는자연수n은11,12,13,y,35로

그개수는25이다.

③

14-1 ^⑤ 14-2 ^② 14-3 ⁵¹² 14-4 ^④

본문 60 ~61쪽

14-1

수열{aÇ}을차례대로나열하면다음과같다.

1,2,4,8,3,6,1,2,4,8,3,6,1,…

즉,수열{aÇ}의각항은6개의수 1,2,4,8,3,6

이반복된다.

따라서 Á30 k=1aû

=(1+2+4+8+3+6)+(1+2+4+8+3+6)

+y+(1+2+4+8+3+6) 따라서

aÇ=4n-1

n =4-;n!;`(n=1,2,3,y) 이므로

Á10 k=1

(aû-4)(aû*Á-4)1

=_k=1Á¹⁰ 1 {-;k!;}{- 1k+1 }

=_k=1Á¹⁰k(k+1)

=_k=1Á¹⁰(kÛ`+k)

= 10_11_216 + 10_112

=385+55=440

④

13-4

조건(나)에서모든자연수n에대하여

|aÇ*Á|+|aÇ|¾aÇ*Á+aÇ 이고등호는

|aÇ*Á|=aÇ*Á,|aÇ|=aÇ,즉aÇ*Á¾0,aÇ¾0 일때성립한다.

따라서aÇ*Á+aÇÉ2n+1이므로

Á41

k=1aû=aÁ+_k=1Á²⁰(aªû+aªû*Á) É1+_k=1Á²⁰(4k+1)

=1+2_20_21+20=861

조건(가)에의하여1ÉnÉ41인모든자연수n에대하여 aÇ¾0

임을알수있다.

등식aÇ*Á+aÇ=2n+1에n=1,2,3,y,9를차례로대입

하면

aª+aÁ=3에서aª=2 a£+aª=5에서a£=3 a¢+a£=7에서a¢=4 a°+a¢=9에서a°=5

⋮

a»+a¥=17에서a»=9 aÁ¼+a»=19에서aÁ¼=10

10

(23)

aªa£=pÛ`에서a£=2p

a£a¢=pÜ`에서a¢=pÛ`

2

a¢=8에서pÛ`

2 =8,pÛ`=16

이때p>0이므로p=4

a¢a°=4Ý`에서a°=32

a°a¤=4Þ`에서a¤=32<100(거짓) ㄷ.aÁ=p일때

aª=p

aÁ =1,a£=pÛ`

aª =pÛ`,a¢=pÜ`

a£ =p,

a°=pÝ`

a¢ =pÜ`,y

즉,

aªÇÐÁ=pÇ` ,aªÇ=p^n-1`(n=1,2,3,y)

이성립한다.

aÁ¼=pÝ`<10Ý`에서p<10이므로부등식을만족시키는자연 수p는1,2,3,y,9로그개수는9이다.(참)

따라서옳은것은ㄱ,ㄷ이다.

④

=(1+2+4+8+3+6)_5

=24_5

=120

⑤

14-2

aÁ=1

aª=paÁ+1=p+1 a£=paª+1=pÛ`+p+1 a¢=pa£+1=pÜ`+pÛ`+p+1 a°=pa¢+1=pÝ`+pÜ`+pÛ`+p+1 a¤=pa°+1=pÞ`+pÝ`+pÜ`+pÛ`+p+1 a¤-a°=pÞ`=243에서pÞ`=3Þ`이므로 p=3

②

14-3

조건(나)에서

aÇaÇ*ª=(aÇ*Á)Û`,즉aÇ*Á aÇ =aÇ*ª

aÇ*Á 이므로수열{aÇ}은등비수열이다.

따라서이등비수열의첫째항을a,공비를r라하면조건(가) 에서

aªa£a¢=(arÛ`)Ü`=64=4Ü`

이므로arÛ`=4

이때등비수열{aÇ}의모든항이자연수이므로a,r의값도자 연수이어야한다.

이때r+1이므로

a=1,r=2

따라서aÇ=2^n-1이므로 aÁ¼=2á`=512

512

14-4

ㄱ.aÁ=1,p=3이면

aÁaª=3에서aª=3

aªa£=3Û`에서a£=3

a£a¢=3Ü`에서a¢=3Û`=9(참) ㄴ.aÁ=2이면

aÁaª=p에서aª=;2P;

(24)

㉠에서

a_k+1=kaû+aû+6 k+2

=k+1

k+2 _aû+ 6k+2

=k+1

k+2 _6k+4 k+1 + 6

k+2

=6(k+1)+4 (k+1)+1

= 6k+10 k+2

이므로n=k+1일때도㉡이성립한다.

Ú,Û에의하여모든자연수n에대하여㉡이성립한다.

따라서 f(k)= k+1k+2,g(k)=6k+10 k+2 이므로 f(10)+g(10)=;1!2!;+;1&2);=;1*2!;=:ª4¦:

p=4, q=27이므로

p+q=4+27=31

31

15-2

Ún=1일때,(좌변)=1,(우변)=5_1-4=1이므로㉡이

성립한다.

Ûn=k`(k¾1)일때,㉡이성립한다고가정하면 aû=5k-4

㉠에서kaû*Á=(k+1)aû+4 aû*Á=k+1

k _(5k-4)+;k$;

=(k+1)(5k-4)+4 k

= 5kÛ`+kk

= 5k+1

이므로n=k+1일때도㉡이성립한다.

Ú,Û에의하여모든자연수n에대하여㉡이성립한다.

따라서

f(k)= k+1k ,g(k)=5k+1 이므로

f(6)_g(7)=;6&;_36=42

⑤

수학적 귀납법

15

본문 63쪽

Ún=1일때,aÁ=1+;2!;É;2#;이므로주어진부등식이성립

한다.

Ûn=k일때,주어진부등식이성립한다고가정하면

aûÉ;2#;이다.

aû*Á= 1 k+1 + 1

k+2 +y+ 1 3k+2

=aû+{;3Ák;+ 1

3k+1 + 1

3k+2 }-;k!;

이때3k+1>3k,3k+2>3k이므로

1

3k+1 + 1 3k+2 < 1

3k + 1 3k = 2

3k

aû*Á<aû+{;3Ák;+;3ªk;}-;k!;

=aûÉ;2#;

따라서n=k+1일때도주어진부등식이성립한다.

Ú,Û에의하여모든자연수n에대하여부등식aÇÉ;2#;이성 립한다.

따라서 f(k)=;k!;,g(k)= 2 3k 이므로

6g(10)

f(10) =6_;3ª0;

;1Á0; =4

4

수능의 감을 쑥쑥^키워주는수능 유제 15-1 ³¹ 15-2 ^⑤

본문 64쪽

15-1

Ún=1일때,(좌변)=5,(우변)= 6_1+41+1 =5이므로㉡

이성립한다.

Ûn=k일때,㉡이성립한다고가정하면

aû=6k+4 k+1