Chapter 4 삼각함수

(1)

1

P(x, y)

x y

-1 1

O x y q

X 이름으로 소개한 대부분의 공식들이 굳이 암기할 필요가 없는 식들이라는 것을 알게 해 준다.

4.2 삼각비의 성질 4.2.1 삼각비의 기본 성질 정리 4-1 삼각비의 항등식 (p162)

임의의 각도 q 에 대해 다음 항등식들이 성립한다.

(1) cos²q + sin²q = 1 (2) 1+ tan²q = sec²q (3) 1+ cot²q = cosec²q (증명)

우측 그림과 같이 반지름이 1인 원을 생각하면, Pythagoras 정리에 의해

x² + y² = 1

△OXP에서 삼각비의 정의에 의해

cosq = x/1 = x, sinq = y/1= y, cos²q = x², sin²q = y²

∴ cos²q + sin²q = x² + y² = 1 정리 4-1 (1)

위의 식의 양변을 cos²q 로 나누면,

[L] = 𝐜𝐨𝐬^𝟐𝜽 + 𝐬𝐢𝐧^𝟐𝜽 𝐜𝐨𝐬^𝟐𝜽 ^{= 1 +}

𝐬𝐢𝐧^𝟐𝜽

𝐜𝐨𝐬^𝟐𝜽^{= 1 + tan}

2q , [L] = 𝐜𝐨𝐬^𝟐𝜽 + 𝐬𝐢𝐧^𝟐𝜽 𝐜𝐨𝐬^𝟐𝜽 ⁼

𝟏 𝐜𝐨𝐬^𝟐𝜽^{= sec}

2q = [R]

∴ 1 + tan²q = sec²q 정리 4-1 (2)

(2)

4.2.1 삼각비의 기본 성질

정리 4-2 일반각에 대한 삼각비 (p164)

임의의 각 q 와 정수 n (즉, n = ±1, ±2, ±3, --- )에 대해 다음 식이 성립한다.

(1) sin(q +2np) = sinq (2) cos(q +2np) = cosq (3) tan(q +2np) = tanq

n = ±1, ±2, ±3, ---일 때 2n은 항상 짝수이고 ±2p, ±4p, ±6p, --- 등은 모두 r-q 의 극좌표계에서 시계 방향, 혹은 반시계 방향으로 돌아 출발점 (r, q )로 되돌아오게 된다.

따라서, 삼각비의 값들은 모두 같아질 것이므로 위의 식들은 굳이 증명하거나 외울 필요가 없다.

정리 4-3 음의 각에 대한 삼각비 (p165) 임의의 각 q 에 대해 다음 식이 성립한다.

(1) sin(-q ) = -sinq (2) cos(-q ) = cosq (3) tan(-q ) = -tanq

제1 사분면부터 시작하여 각 삼각비의 값의 양음이 어떻게 변화하는지를 나타내는 “A-S-T-C” (제1 사분면부터 시작하여 제 4사분면까지 가는 동안 양의 값을 가지는 삼각비의 앞 자만을 딴 것, 즉 제1 사분면에서 삼각비는 모두(All) 양의 값을 가지며, 제2 사분면에서는 Sine만, 제3 사분면에서는 Tangent만, 제4 사분면에서는 Cosine만 양의 값을 가진다)를 기억한다면 위 식들 또한 굳이 기억할 필요가 없는 식들이다. q 의 음의 값 –q 는 제4 사분면에 위치하고 제4 사분면에서는 “ASTC(All-Sine-Tangent-Cosine)” 규칙에 의해 오로지 Cosine 만 양의 값을 가진다.

1

P(x, y)

x y

-1 1

O x

y q -q

P’(x, - y)

제1 사분면 All 제2 사분면 Sine

제3 사분면 Tangent -y 제4 사분면 Cosine

y

(3)

P(x, y)

x y

-1 1

O x

y q q

제3 사분면 Tangent 제4 사분면 Cosine

P(-x, -y) -x

p+q 정리 4-4 (p ±q )에 대한 삼각비 (p166)

임의의 각 q 에 대해 다음 식이 성립한다 (1) sin(p +q ) = - sinq

(2) cos(p +q ) = - cosq (3) tan(p +q ) = tanq (4) sin(p -q ) = sinq (5) cos(p -q ) = - cosq (6) tan(p -q ) = - tanq

(1)~(3) 식은 오른쪽 그림에서 보면 (p+q )의 위치는 원래의 좌표 P(x, y)와 원점에 대해 대칭인 점이므로 제1 사분면부터 시작하여 각 삼각비의 값의 양음이 어떻게 변화하는지를 나타내는 “ASTC”를 상기한다면 위 식들 또한 굳이 기억할 필요가 없는 식들이다. (p+q )는 제3 사분면에 위치하고 제4 사분면에서는 다시 한번 “ASTC(All-Sine-Tangent-Cosine)” 규칙에 의해 오로지 Tangent만 양의 값을 가진다.

(4)~(6) 식은 q 대신 (-q )를 각각 (1)~(3)에 대입하면, 아래의 식을 얻는다. 그 결과에 정리 4-3을 이용하면 우측의 결과를 얻는다.

(1) sin(p -q ) = sin[p +(-q )] = - sin(-q ) = sinq (2) cos(p -q ) = cos[p +(-q )] = - cos(-q ) = - cosq (3) tan(p -q ) = tan[p +(-q )] = tan (-q ) = - tanq

정리 4-3

(4)

P(x, y)

x y

-1 1

O x

y q

제3 사분면 Tangent 제4 사분면 Cosine

- y

𝜋 𝟐+q P’(- y, x)

y

x q

4.2.1 삼각비의 기본 성질 정리 4-5 (^𝛑

𝟐±q )에 대한 삼각비 (p168) 임의의 각 q 에 대해 다음 식이 성립한다 (1) sin(^𝛑

𝟐 +q ) = cosq (2) cos(^𝛑

𝟐 +q ) = - sinq (3) tan(^𝛑

𝟐 +q ) = - cotq (4) sin(^𝛑

𝟐 -q ) = cosq (5) cos(^𝛑

𝟐 -q ) = sinq (6) tan(^𝛑

𝟐 -q ) = cotq

그림과 같이 우측 그림에서 동경 OP를 반 시계 방향으로 (^𝜋

𝟐)만큼 회전시킨 점을 P’이라고 하면 그 좌표는 (-y, x).

따라서, (^𝜋_𝟐+q )에 대한 삼각비는 (1)~(3)과 같다. (1)~(3)에서 q 대신 (-q )를 대입하고 정리 4-3을 이용하면 (4)~(6)식을 얻는다. 앞의 경우와 마찬가지로 우측 그림을 상기하면서 더불어 삼각비의 원리에 충실하면 역시 외울 필요가 없는 식들이다.

(4) sin[^𝛑

𝟐 +(-q )] = - sin[^𝛑

𝟐 +(-q )] = cosq (5) cos[^𝛑

𝟐 +(-q )] = - cos[^𝛑

𝟐 +(-q )] = sinq (6) tan[^𝛑

𝟐 +(-q )] = tan[^𝛑

𝟐 +(-q )] = - cotq

정리 4-3

(5)

A

x y

O a Y2

X1 X2

Y1

b

a B a C 정리 4-6 삼각비의 덧셈 정리 (p169)

(1) sin(a +b ) = sina cosb + cosa sinb (2) sin(a -b ) = sina cosb - cosa sinb (3) cos(a +b ) = cosa cosb - sina sinb (4) cos(a -b ) = cosa cosb + sina sinb (5) tan(a +b ) = 𝐭𝐚𝐧𝝰 + 𝐭𝐚𝐧𝝱

𝟏 − 𝐭𝐚𝐧𝝰 𝐭𝐚𝐧𝜷 (6) tan(a -b ) = 𝐭𝐚𝐧𝝰 − 𝐭𝐚𝐧𝝱

𝟏+ 𝐭𝐚𝐧𝝰 𝐭𝐚𝐧𝜷 [증명]

정리 (1)에 대해서 우측 그림과 같이 반경 AO = r = 1 인 원에서 △AOX1에서 sin(a+b )를 생각해 보자.

sin(a+b ) = 𝑶𝒀_𝟐 𝑨𝑶⁼

𝑶𝒀_𝟏+𝒀_𝟏𝒀_𝟐

𝑨𝑶 ^{= 𝑶𝒀}^𝟏^{+ 𝒀}^𝟏^𝒀^𝟐 ^{Eq. 1)}

△BOX2 에서 OY1 = BX2이고, △ABO에서 BO = AOcosb 이고 AO = r = 1이므로

OY1 = BX2 = BOsina = AOcosb ∙sina = cosb ∙sina Eq. 2)

또, 선분 𝒀_𝟏𝒀_𝟐는 △ABC의 한 변인 AC와 그 길이가 같고, △ABC 에서 본다면 AC = ABcosa , △ABO에서 AB = AOsinb, AO = 1 이므로

𝒀_𝟏𝒀_𝟐 = AC = ABcona = AOsinb ∙cosa = cosa ∙sinb Eq. 3)

Eq. 1), 2), 3)에서

(6)

A

x y

O a Y2

X1 X2

Y1

b

a B a C 4.2.2 삼각비의 여러가지 공식 (계속)

정리 4-6 삼각비의 덧셈 정리 (계속, p169)

정리 4-6 (2)는 앞에서의 경우와 마찬가지로 위의 식에서 b 대신 (–b )를 대입하고 정리 4-3을 적용하면 아래 결과를 얻는다.

sin(a –b ) = sin[(a+(-b )]= sina ∙cos(-b )+ cosa ∙sin(-b ) = sina ∙cosb + cosa ∙(-sinb )

= sina ∙cosb - cosa ∙sinb 정리 4-6 (2)

정리 (3)은 우측 그림 △AOX1에서 cos(a+b ) = 𝑶𝑿_𝟏

𝑨𝑶^{= OX}¹^{= 𝑶𝑿}^𝟐^{− 𝑿}^𝟏^𝑿^𝟐 ^{Eq. 1)}

△BOX2 에서 OX2 = BOcosa 이고, BO는 다시 △ABO에서 BO = AOcosb 로 바꿔 표현할 수 있으므로

OX2 = BOcosa = AOcosb ∙cosa = cosb ∙cosa Eq. 2)

또, 선분 𝑿_𝟏𝑿_𝟐는 △ABC의 한 변인 BC와 그 길이가 같고, △ABC 에서 본다면 BC = ABsina , △ABO에서 AB = AOsinb, AO = 1 이므로

𝑿_𝟏𝑿_𝟐 = BC = ABsina = AOsinb ∙sina = sinb ∙sina Eq. 3)

Eq. 1), 2), 3)에서

cos(a+b ) = 𝑶𝑿𝟐− 𝑿_𝟏𝑿_𝟐 = cosa ∙cosb - sina ∙sinb 정리 4-6 (3)

정리 4-6 (4)는 앞의 Sine 삼각비의 경우와 마찬가지로 위의 식에서 b 대신 (–b )를 대입하고 정리 4-3을 적용하여 얻는다.

cos(a –b ) = cos[(a+(-b )]= cosa ∙cos(-b ) - sina ∙sin(-b ) = cosa ∙cosb - sina ∙(-sinb )

= cosa ∙cosb + sina ∙sinb 정리 4-6 (4)

AO = 1

(7)

정리 4-6 삼각비의 덧셈 정리 (계속, p169)

정리 4-6 (5)는 삼각비의 상관관계 (tanq = sinq /cosq )를 도입하고 정리 4-6 (1), (3)을 이용하면

tan(a +b ) = sin(𝜶+𝜷) 𝐜𝐨𝐬(𝜶+𝜷)⁼

sin𝜶∙𝐜𝐨𝐬𝜷 + 𝐜𝐨𝐬𝜶∙ 𝐬𝐢𝐧𝜷 𝐜𝐨𝐬𝜶∙𝐜𝐨𝐬𝜷 −𝐬𝐢𝐧𝜶∙ 𝐬𝐢𝐧𝜷

위의 식의 분모, 분자를 각각 (𝐜𝐨𝐬𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜷)로 나누어 주면 아래와 같이 정리 4-6 (5)를 얻는다. 일단 이해가 되었으면 매번 지금과 같은 요령으로 유도하여 사용할 수 없기 때문에 최소한 정리 4-6 (1), (3) 식은 암기해야 한다. 다만, 무턱대고 암기하는 것 보다는 증명하는 과정을 되풀이하면서 자연스럽게 암기하도록 반복하여 익히는 것이 필요하다.

tan(a +b ) = sin𝜶∙𝐜𝐨𝐬𝜷 + 𝐜𝐨𝐬𝜶∙ 𝐬𝐢𝐧𝜷 𝐜𝐨𝐬𝜶∙𝐜𝐨𝐬𝜷 −𝐬𝐢𝐧𝜶∙ 𝐬𝐢𝐧𝜷⁼

(sin𝜶/𝐜𝐨𝐬𝜶)+(𝐬𝐢𝐧𝜷/𝐜𝐨𝐬𝜷) 𝟏 −(sin𝜶/𝐜𝐨𝐬𝜶)∙(𝐬𝐢𝐧𝜷/𝐜𝐨𝐬𝜷) = 𝐭𝐚𝐧𝜶 + 𝐭𝐚𝐧𝜷

𝟏 − 𝐭𝐚𝐧𝜶∙𝐭𝐚𝐧𝜷 정리 4-6 (5)

또한, 정리 4-6 (6)은 (2)와 (4)를 이용하여 얻을 수도 있고, 정리 (5)로부터 출발하여 정리 4-3을 이용하여 얻을 수도 있다. 암기할 필요가 없다.

정리 4-7 삼각비의 배각 공식 (p170) (1) sin2𝜶 = 2sin𝜶∙cos𝜶

(2) cos2𝜶 = cos²a – sin²a = 1 – 2sin²a = 2cos²a – 1 (3) tan2𝜶 = 𝟐𝐭𝐚𝐧𝜶

𝟏 − 𝐭𝐚𝐧^𝟐𝜶

정리 4-7의 식들은 모두 정리 4-6 (1), (3), (5)에서 각각 b = a 로 놓고 정리하면 얻을 수 있는 식들이므로 역시 암기할 필요가 없는 식들이다.

(8)

4.2.2 삼각비의 여러가지 공식 (계속)

정리 4-8 삼각비의 반각 공식 (p171) (1) sin²𝜶 = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶

𝟐 (2) cos²𝜶 = 𝟏+ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶

𝟐 (3) tan²𝜶 = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶

𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶

정리 4-8 (1), (2)식은 모두 정리 4-7 (2)식으로 부터 얻을 수 있으며, (3)은 삼각비의 상관관계 tanq = (sinq /cosq )와 위의 (1), (2)를 이용하여 쉽게 얻을 수 있으므로 굳이 암기할 필요가 없는 식들이다. 한편, 정리 4-8의 식들은 삼각함수의 적분에 매우 유용하게 사용되므로 눈에 잘 익혀두도록 해야 된다.

정리 4-9 삼각비의 곱을 합 또는 차로 고치는 공식 (積合 전환, p172) (1) sina cosb = ^𝟏

𝟐[sin(a+b ) + sin(a-b )]

(2) cosa sinb = ^𝟏

𝟐[sin(a+b ) - sin(a-b )]

(3) cosa cosb = ^𝟏

𝟐[cos(a+b ) + cos(a-b )]

(4) sina sinb = - ^𝟏

𝟐[cos(a+b ) - cos(a-b )]

위 식들은 정리 4-6 삼각비의 덧셈 정리 (p169)로부터 출발하여 얻을 수 있는 식들이다. 나머지 식들도 아래와 같은 방법으로 정리 4-6의 식들 중 두 식을 합하거나 빼서 얻을 수 있다.

여전히 외울 필요가 없는 식들이다.

정리 4-6 (1) sin(a+b ) = sina cosb + cosa sinb sin(a+b ) = sina cosb + cosa sinb

(2) + ) sin(a-b ) = sina cosb - cosa sinb - ) sin(a-b ) = sina cosb - cosa sinb sin(a+b ) + sin(a-b ) = 2sina cosb sin(a+b ) - sin(a-b ) = 2cosa sinb

∴ sina cosb = ^𝟏

𝟐[sin(a+b )+sin(a-b )] ∴ cosa sinb = ^𝟏

𝟐[sin(a+b )-sin(a-b )]

(9)

정리 4-10 삼각비의 합 또는 차를 삼각비의 곱으로 고치는 공식 (合積 전환, p173) (1) sinA + sinB = 2sin 𝑨+𝑩

𝟐 ^{∙ cos} 𝑨−𝑩

𝟐 (2) sinA - sinB = 2cos𝑨+𝑩

𝟐 ^{∙ sin} 𝑨−𝑩

𝟐 (3) cosA + cosB = 2cos 𝑨+𝑩

𝟐 ^{∙ cos} 𝑨−𝑩

𝟐 (4) cosA - cosB = - 2sin 𝑨+𝑩

𝟐 ^{∙ sin} 𝑨−𝑩

𝟐

정리 4-10의 식들은 모두 정리 4-9로 부터 얻을 수 있지만, 먼저 아래와 같은 변형이 필요하므로 그 방법을 익혀 두어야 한다. 이것은 자주 쓰이는 수학적 변형 기법으로서 익혀 두면 여러모로 유용하게 쓸 수 있는 기법이다.

정리 4-9에서

a +b = A, a -b = B

라 하면 두 식을 연립하여 더하거나 빼 주어서 아래의 결과를 얻는다.

a = 𝑨+𝑩 𝟐 ^{, b =}

𝑨−𝑩 𝟐

이 결과를 정리 4-9에 대입하면 정리 4-10의 식들이 쉽게 얻어진다.

(10)

머리 속에 떠 올려야 할 상황;

아래 1/4원을 나타내는 극좌표계에서 삼각비를 이용하여 기하학적으로 Sine과 Cosine의 덧셈 공식을 유도하는 방법

1 P(x, y)

x y

-1 1

O x q y X

* 앞에서 살펴 본 바와 같이, 암기해야 하는 내용을 최소화하는 방법으로 정리 4-1부터 정리 4-10까지의 공식의 흐름을 다시 한번 정리하면 아래와 같다.

정리 4-1 삼각비의 항등식 (p162) (1) cos²q + sin²q = 1 (2) 1+ tan²q = sec²q (3) 1+ cot²q = cosec²q

머리 속에 떠 올려야 할 상황;

반경 1인 원을 나타내는 극좌표와 Pythagoras 정리

정리 4-2 일반각에 대한 삼각비 (p164) (1) sin(q +2np) = sinq

(2) cos(q +2np) = cosq

(3) tan(q +2np) = tanq 머리 속에 떠 올려야 할 상황;

극좌표에서 임의의 점 P의 ±2np 에 의한 회귀성 P(x, y)

±2np

정리 4-3 음의 각에 대한 삼각비 (p165) (1) sin(-q ) = -sinq

(2) cos(-q ) = cosq (3) tan(-q ) = -tanq 머리 속에 떠 올려야 할 상황;

극좌표에서 사분면을 따라 변화하는 삼각비의 법칙, ASTC

정리 4-4 (p ±q )에 대한 삼각비 (p166) (1) sin(p +q ) = - sinq (4) sin(p -q ) = sinq (2) cos(p +q ) = - cosq (5) cos(p -q ) = - cosq (3) tan(p +q ) = tanq (6) tan(p -q ) = - tanq

정리 4-5 (^𝛑_𝟐±q )에 대한 삼각비 (p168) (1) sin(^𝛑_𝟐 +q ) = cosq (4) sin(^𝛑_𝟐 -q ) = cosq (2) cos(^𝛑_𝟐 +q ) = - sinq (5) cos(^𝛑_𝟐 -q ) = sinq (3) tan(^𝛑_𝟐 +q ) = - cotq (6) tan(^𝛑_𝟐 -q ) = cotq 1

P(x, y)

x y

-1 1

O x

y q -q

P’(x, - y) Sine All

Tangent Cosine -y

y

P(-x, -y) p +q P(-y, x) ^𝛑

𝟐 +q

A

x y

O a Y2

X1 X2

Y1

b a B a C 정리 4-6 삼각비의 덧셈 정리 (p169)

(1) sin(a +b ) = sina cosb + cosa sinb (2) sin(a -b ) = sina cosb - cosa sinb (3) cos(a +b ) = cosa cosb - sina sinb (4) cos(a -b ) = cosa cosb + sina sinb (5) tan(a +b ) = 𝐭𝐚𝐧𝝰 + 𝐭𝐚𝐧𝝱

𝟏 − 𝐭𝐚𝐧𝝰 𝐭𝐚𝐧𝜷

(6) tan(a -b ) = 𝐭𝐚𝐧𝝰 − 𝐭𝐚𝐧𝝱 𝟏+ 𝐭𝐚𝐧𝝰 𝐭𝐚𝐧𝜷

(1), (3)

정리 4-6 삼각비의 덧셈 정리 (p169) (1) sin(a +b ) = sina cosb + cosa sinb (2) sin(a -b ) = sina cosb - cosa sinb (3) cos(a +b ) = cosa cosb - sina sinb (4) cos(a -b ) = cosa cosb + sina sinb (5) tan(a +b ) = 𝐭𝐚𝐧𝝰 + 𝐭𝐚𝐧𝝱

(2), (4)

(5), (6)

정리 4-6 삼각비의 덧셈 정리 (p169) (1) sin(a +b ) = sina cosb + cosa sinb (2) sin(a -b ) = sina cosb - cosa sinb (3) cos(a +b ) = cosa cosb - sina sinb (4) cos(a -b ) = cosa cosb + sina sinb (5) tan(a +b ) = 𝐭𝐚𝐧𝝰 + 𝐭𝐚𝐧𝝱

정리 4-7 삼각비의 배각 공식 (p170) (1) sin2𝜶 = 2sin𝜶∙cos𝜶

(2) cos2𝜶 = cos²a – sin²a = 1 – 2sin²a = 2cos²a – 1 (3) tan2𝜶 = _{𝟏 − 𝐭𝐚𝐧}^{𝟐𝐭𝐚𝐧𝜶}𝟐𝜶

정리 4-6 (1), (3), (5) 에서 b 를 a 로 바꾼다

정리 4-8 삼각비의 반각 공식 (p171) (1) sin²𝜶 = ^{𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶}

𝟐

(2) cos²𝜶 = ^{𝟏+ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶}_𝟐 (3) tan²𝜶 = ^{𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶}_{𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶} 정리 4-7 (2)를

변환 4-8 (1), (2)를, 정리 4-8 (3)은

(1), (2) 에서 얻는다

정리 4-9 삼각비의 적-합 전환 공식 (p172) (1) sina cosb = ^𝟏_𝟐[sin(a+b ) + sin(a-b )]

(2) cosa sinb = ^𝟏_𝟐[sin(a+b ) - sin(a-b )]

(3) cosa cosb = ^𝟏_𝟐[cos(a+b ) + cos(a-b )]

(4) sina sinb = - ^𝟏_𝟐[cos(a+b ) - cos(a-b )]

정리 4-6 의 (1) –(4) 식들 중 두 식을 적절히 골라 그 합이나 차를 구하면

4-9의 식들을 얻는다

정리 4-10 삼각비의 합적 전환 공식 (p173) (1) sinA + sinB = 2sin ^𝑨+𝑩_𝟐 ∙ cos ^𝑨−𝑩_𝟐 (2) sinA - sinB = 2cos ^𝑨+𝑩_𝟐 ∙ sin ^𝑨−𝑩_𝟐 (3) cosA + cosB = 2cos ^𝑨+𝑩_𝟐 ∙ cos ^𝑨−𝑩_𝟐 (4) cosA - cosB = - 2sin ^𝑨+𝑩_𝟐 ∙ sin ^𝑨−𝑩_𝟐 정리 4-9에서 출발하되

유용한 수학적 변형의 응용으로 4-10 유도 가능

a +b = A, a -b = B a = ^𝑨+𝑩_𝟐, b = ^𝑨−𝑩_𝟐 (2), (4)는 (1), (3)에 각각

b 대신 (–b )를 대입하고 정리 4-3을 적용

(5), (6)은 각각 (1), (3)과 (2), (4)를

짝지어 얻을 수 있다