제7장

제7장

미분법칙과 비교정태분석

제7장

미분법칙과

비교정태분석

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 일변수함수에 관한 미분법칙 u 일변수함수에 관한 미분법칙

è

상수함수의 미분법칙(constant function rule) 상수함수 y=k, 즉 f(x)=k의 도함수는 항상 0임. - 즉, x의 모든 값에 대하여 0임.

- 다음과 같은 형태로도 표시함.

- 고정비용 FC=f(Q)=1,200 : 0의 기울기를 갖는 수평선

è

상수함수의 미분법칙(constant function rule)

상수함수 y=k, 즉 f(x)=k의 도함수는 항상 0임. - 즉, x의 모든 값에 대하여 0임.

- 다음과 같은 형태로도 표시함.

- 고정비용 FC=f(Q)=1,200 : 0의 기울기를 갖는 수평선 dy

dx = dk =0 또는 dx

d

dx y= d f(x)= k=0 dx

d dx

f¢(x)=0

d

dQ FC= d

dQ 1200=0

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 일변수함수에 관한 미분법칙 u 일변수함수에 관한 미분법칙

è

멱함수의 미분법칙(power function rule) 멱함수 y=f(x)=xⁿ의 도함수는 nx^n-1임.

- y=x³의 도함수 : - y=x²의 도함수 :

- y[=f(x)]=x의 도함수 : - y=x⁰의 도함수 :

è

멱함수의 미분법칙(power function rule) 멱함수 y=f(x)=xⁿ의 도함수는 nx^n-1임.

- y=x³의 도함수 : - y=x²의 도함수 :

- y[=f(x)]=x의 도함수 : - y=x⁰의 도함수 :

d

dxxⁿ=nx^n-1 또는 f¢(x)=nx^n-1 dy

dx

f¢(x)=

= d dx

d dx

x³=3x²

x=1(x)⁰=1 d

dx x⁰=0(x^-1)=0 dy

dx

d

dx x²=2x

=

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 일변수함수에 관한 미분법칙 u 일변수함수에 관한 미분법칙

è

멱함수의 미분법칙(power function rule) : 멱함수 y=f(x)=xⁿ의 도함수는 nx^n-1임.

- y=1/x³(®y=x^-3)의 도함수 : - y=√ (®y=x^1/2)의 도함수 :

= =

è

멱함수의 미분법칙(power function rule) :

멱함수 y=f(x)=xⁿ의 도함수는 nx^n-1임. - y=1/x³(®y=x^-3)의 도함수 :

- y=√ (®y=x^1/2)의 도함수 :

= = x^-1/2 d

dx

x^-3=-3x^-4 (=-3/x⁴) x^1/2=

d dx

x 1

21 2√x

√ 2x

x

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 일변수함수에 관한 미분법칙 u 일변수함수에 관한 미분법칙

è

멱함수의 미분법칙(power function rule)

도함수들은 그 자체가 독립변수 x의 함수임.

- 예를 들어, 도함수 dy/dx=3x² 또는 f¢(x)=3x²이므로 다음과 같이 x의 값이 변하면 도함수의 값도 변함.

f¢(1)=3(1)²=3 f¢(2)=3(2)²=12

- 도함수의 값 f¢(1), f¢(2) 등을 구할 때 중요한 점은 우선 함수 f(x)를 미분하여 도함수 f¢(x)를 얻고, 그 다음에 x의 특정한 값을 f¢(x)에 대입해야 함.

è

멱함수의 미분법칙(power function rule)

도함수들은 그 자체가 독립변수 x의 함수임.

- 예를 들어, 도함수 dy/dx=3x² 또는 f¢(x)=3x²이므로 다음과 같이 x의 값이 변하면 도함수의 값도 변함.

f¢(1)=3(1)²=3 f¢(2)=3(2)²=12

- 도함수의 값 f¢(1), f¢(2) 등을 구할 때 중요한 점은 우선 함수 f(x)를 미분하여 도함수 f¢(x)를 얻고, 그 다음에 x의 특정한 값을 f¢(x)에 대입해야 함.

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 일변수함수에 관한 미분법칙 u 일변수함수에 관한 미분법칙

è

멱함수의 미분법칙의 일반화

f(x)=cxⁿ과 같이 멱함수에 상수 c가 곱해진 경우 - 이때 도함수는

- y[=f(x)]=2x일 때 도함수는 dy/dx=2(1)x^1-1=2(1)x⁰=2 - f(x)=4x³일 때 도함수는 f¢(x)=4(3)x^3-1=12x²

- f(x)=3x^-2일 때 도함수는 f¢(x)=3(-2)x^-2-1=-6x^-3

è

멱함수의 미분법칙의 일반화

f(x)=cxⁿ과 같이 멱함수에 상수 c가 곱해진 경우 - 이때 도함수는

- y[=f(x)]=2x일 때 도함수는 dy/dx=2(1)x^1-1=2(1)x⁰=2 - f(x)=4x³일 때 도함수는 f¢(x)=4(3)x^3-1=12x²

- f(x)=3x^-2일 때 도함수는 f¢(x)=3(-2)x^-2-1=-6x^-3

cxⁿ=cnx^n-1 또는 f¢(x)=cnx^n-1 d

dx

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

동일변수 x를 갖는 두 미분가능한 함수 f(x)와 g(x)가 있음.

è

합과 차의 미분법칙(sum-difference rule)

두 함수 합(차)의 도함수는 두 함수 도함수의 합(차)임.

- 함수 y=14x³으로부터 도함수 dy/dx=42x²을 구할 수 있음. 이는 14x³=5x³+9x³이므로 y는 두 함수

f(x)=5x³과 g(x)=9x³의 합으로 볼 수 있음.

è

동일변수 x를 갖는 두 미분가능한 함수 f(x)와 g(x)가 있음.

è

합과 차의 미분법칙(sum-difference rule)

두 함수 합(차)의 도함수는 두 함수 도함수의 합(차)임.

- 함수 y=14x³으로부터 도함수 dy/dx=42x²을 구할 수 있음. 이는 14x³=5x³+9x³이므로 y는 두 함수

f(x)=5x³과 g(x)=9x³의 합으로 볼 수 있음. [f(x)±g(x)]=

d dx

d dx

d

f(x)± dx g(x)=f¢(x)±g¢(x)

d

dx (5x³+9x³)= d dx

d

5x³+ dx 9x³=15x²+27x²=42x²

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

합과 차의 미분법칙(sum-difference rule) 다항함수는 멱함수들의 합(차)에 불과함. - 예 : = (ax²+bx+c)=2ax+b

- 예 : (7x⁴+2x³-3x+37)=28x³+6x²-3+0=28x³+6x²-3 - 변수에 곱해지는 상수(계수)는 미분과정에서 남지만,

가법적으로 주어지는 상수(상수항)는 미분하면 0이 되어 없어짐.

è

합과 차의 미분법칙(sum-difference rule) 다항함수는 멱함수들의 합(차)에 불과함. - 예 : = (ax²+bx+c)=2ax+b

- 예 : (7x⁴+2x³-3x+37)=28x³+6x²-3+0=28x³+6x²-3 - 변수에 곱해지는 상수(계수)는 미분과정에서 남지만,

가법적으로 주어지는 상수(상수항)는 미분하면 0이 되어 없어짐.

dy dx

d d dx

dx

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

합과 차의 미분법칙(sum-difference rule)

- 경제학에서 기업의 고정비용(FC)은 한계비용(MC)에 영향을 미치지 못함.

C=Q³-4Q²+10Q+75

여기서 한계비용함수는 차분몫 ⊿C/⊿Q의 극한임. 즉, 비용함수의 도함수(=한계비용)는 다음과 같음.

(=MC)=3Q²-8Q+10

- FC인 상수항 75는 dC/dQ 도출 과정에서 없어짐.

è

합과 차의 미분법칙(sum-difference rule)

- 경제학에서 기업의 고정비용(FC)은 한계비용(MC)에 영향을 미치지 못함.

C=Q³-4Q²+10Q+75

여기서 한계비용함수는 차분몫 ⊿C/⊿Q의 극한임. 즉, 비용함수의 도함수(=한계비용)는 다음과 같음.

(=MC)=3Q²-8Q+10

- FC인 상수항 75는 dC/dQ 도출 과정에서 없어짐.

dC dQ

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

총함수(total function)와 한계함수(marginal function) - 일반적으로 원시함수 y=f(x)가 총함수를 나타내면,

그 도함수 dy/dx는 한계함수가 됨.

- 즉, 한계함수는 주어진 x값에서 총함수의 기울기임. (총함수곡선상의 한 점에서 접선의 기울기를 나타냄.)

è

총함수(total function)와 한계함수(marginal function)

- 일반적으로 원시함수 y=f(x)가 총함수를 나타내면, 그 도함수 dy/dx는 한계함수가 됨.

- 즉, 한계함수는 주어진 x값에서 총함수의 기울기임. (총함수곡선상의 한 점에서 접선의 기울기를 나타냄.)

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

총함수(total function)와 한계함수(marginal function)

è

총함수(total function)와 한계함수(marginal function)

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

총함수(total function)와 한계함수(marginal function) - [그림 7.1](a)에서 일정한 기울기를 갖는 선형총함수는

상수인 한계함수를 가짐(수평형태의 기울기).

- [그림 7.1](b)처럼 기울기가 변하는 비선형총함수는 곡선으로 된 한계함수를 가짐.

한계함수는 총함수의 기울기가 음(양)일 때 가로축의 아래(위)에 위치함.

- [그림 7.1](c)처럼 매끄럽지 않은 총함수는 한계함수, 즉 도함수에 틈(불연속성)이 생김.

è

총함수(total function)와 한계함수(marginal function) - [그림 7.1](a)에서 일정한 기울기를 갖는 선형총함수는

상수인 한계함수를 가짐(수평형태의 기울기).

- [그림 7.1](b)처럼 기울기가 변하는 비선형총함수는 곡선으로 된 한계함수를 가짐.

한계함수는 총함수의 기울기가 음(양)일 때 가로축의 아래(위)에 위치함.

- [그림 7.1](c)처럼 매끄럽지 않은 총함수는 한계함수, 즉 도함수에 틈(불연속성)이 생김.

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

총함수(total function)와 한계함수(marginal function) - 원시함수가 매끄럽다는 것은 그 도함수의 연속성과

연결할 수 있음.

- 특히, 어떤 함수가 모든 점에서 매끄럽다(그리고 미분가능하다)는 대신, 연속도함수를 갖는 함수로, 이러한 함수를 연속미분가능함수(continuously

differentiable function)라고 함.

è

총함수(total function)와 한계함수(marginal function) - 원시함수가 매끄럽다는 것은 그 도함수의 연속성과

연결할 수 있음.

- 특히, 어떤 함수가 모든 점에서 매끄럽다(그리고 미분가능하다)는 대신, 연속도함수를 갖는 함수로, 이러한 함수를 연속미분가능함수(continuously

differentiable function)라고 함.

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

곱의 미분법칙(product rule)

- 미분가능한 두 함수의 곱의 도함수는 첫 번째 함수에 두 번째 함수의 도함수를 곱한 것과 두 번째 함수에 첫 번째 함수의 도함수를 곱한 것을 합한 것과 같음 (그 순서를 바꿔도 무방함).

[f(x)g(x)]=f(x) g(x)+g(x) f(x)

=f(x)g¢(x)+g(x)f¢(x) [=f¢(x)g(x)+g¢(x)f(x)]

è

곱의 미분법칙(product rule)

- 미분가능한 두 함수의 곱의 도함수는 첫 번째 함수에 두 번째 함수의 도함수를 곱한 것과 두 번째 함수에 첫 번째 함수의 도함수를 곱한 것을 합한 것과 같음 (그 순서를 바꿔도 무방함).

[f(x)g(x)]=f(x) g(x)+g(x) f(x)

=f(x)g¢(x)+g(x)f¢(x) [=f¢(x)g(x)+g¢(x)f(x)]

d dx

d dx

d dx

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

곱의 미분법칙(product rule) - y=(2x+3)(3x²)의 도함수?

우선, f(x)=2x+3 및 g(x)=3x²이라고 하면 f¢(x)=2 및 g¢(x)=6x임. 따라서 도함수는 다음과 같음.

[(2x+3)(3x²)]=(2x+3)(6x)+(2)(3x²)=18x²+18x 이 식은 다항함수의 도함수로도 확인할 수 있음.

f(x)g(x)=(2x+3)(3x²)=6x³+9x²

이를 미분하면 도함수는 18x²+18x 또는 18x(x+1)

è

곱의 미분법칙(product rule)

- y=(2x+3)(3x²)의 도함수?

우선, f(x)=2x+3 및 g(x)=3x²이라고 하면 f¢(x)=2 및 g¢(x)=6x임. 따라서 도함수는 다음과 같음.

[(2x+3)(3x²)]=(2x+3)(6x)+(2)(3x²)=18x²+18x 이 식은 다항함수의 도함수로도 확인할 수 있음.

f(x)g(x)=(2x+3)(3x²)=6x³+9x²

이를 미분하면 도함수는 18x²+18x 또는 18x(x+1) d

dx

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

곱의 미분법칙(product rule)

- 함수가 셋인 경우로 확장하면 다음과 같음.

[f(x)g(x)h(x)]=f¢(x)g(x)h(x)+f(x)g¢(x)h(x) +f(x)g(x)h¢(x)

세 함수의 곱의 도함수는 두 번째와 세 번째 함수의 곱에 첫 번째 함수의 도함수를 곱한 것 더하기

첫 번째와 세 번째 함수의 곱에 두 번째 함수의

도함수를 곱한 것 더하기 첫 번째와 두 번째 함수의 곱에 세 번째 함수의 도함수를 곱한 것

è

곱의 미분법칙(product rule)

- 함수가 셋인 경우로 확장하면 다음과 같음.

[f(x)g(x)h(x)]=f¢(x)g(x)h(x)+f(x)g¢(x)h(x) +f(x)g(x)h¢(x)

세 함수의 곱의 도함수는 두 번째와 세 번째 함수의 곱에 첫 번째 함수의 도함수를 곱한 것 더하기

첫 번째와 세 번째 함수의 곱에 두 번째 함수의

도함수를 곱한 것 더하기 첫 번째와 두 번째 함수의 곱에 세 번째 함수의 도함수를 곱한 것

d dx

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

곱의 미분법칙(product rule)

- y=x(x²-1)(x³-x²+1)일 때 도함수?

우선, f(x)=x, g(x)=x²-1, h(x)=x³-x²+1이라고 하면 f¢(x)=1, g¢(x)=2x, h¢(x)=3x²-2x임. 따라서 도함수는

=1(x²-1)(x³-x²+1)+x(2x)(x³-x²+1)+x(x²-1)(3x²-2x)

è

곱의 미분법칙(product rule)

- y=x(x²-1)(x³-x²+1)일 때 도함수?

우선, f(x)=x, g(x)=x²-1, h(x)=x³-x²+1이라고 하면 f¢(x)=1, g¢(x)=2x, h¢(x)=3x²-2x임. 따라서 도함수는

=1(x²-1)(x³-x²+1)+x(2x)(x³-x²+1)+x(x²-1)(3x²-2x) dy

dx

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 이윤(profit : p)=총수입(TR)-총비용(TC)

p=TR-TC=P×Q-TC

- 평균수입(average revenue : AR)=f(Q) AR(=P)=TR/Q(단위당 산출량)=15-Q

- 총수입(TR)ºAR×Q(=P×Q)=(15-Q)Q=15Q-Q²

- 한계수입(marginal revenue : MR) : 총수입(TR) 미분 MRº =f(Q)×1+Q×f¢(Q)=f(Q)+Qf¢(Q)=AR+Qf¢(Q)

è

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기

- 이윤(profit : p)=총수입(TR)-총비용(TC) p=TR-TC=P×Q-TC

- 평균수입(average revenue : AR)=f(Q) AR(=P)=TR/Q(단위당 산출량)=15-Q

- 총수입(TR)ºAR×Q(=P×Q)=(15-Q)Q=15Q-Q²

- 한계수입(marginal revenue : MR) : 총수입(TR) 미분 MRº dTR =f(Q)×1+Q×f¢(Q)=f(Q)+Qf¢(Q)=AR+Qf¢(Q)

dQ

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - MR-AR=MR-f(Q)=Qf¢(Q)

이로부터 MR과 AR은 항상 Qf¢(Q)만큼 차이가 발생 - 여기서 산출량 Q는 비음(non-negative, 즉 Q³0)임.

- f¢(Q)[=AR¢]는 Q에 관해서 그려진 평균수입곡선의 (접선의) 기울기임(<0).

- 평균수입(AR)과 가격(P)은 서로 같음.

AR[=f(Q)]º º ºP

è

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - MR-AR=MR-f(Q)=Qf¢(Q)

이로부터 MR과 AR은 항상 Qf¢(Q)만큼 차이가 발생 - 여기서 산출량 Q는 비음(non-negative, 즉 Q³0)임.

- f¢(Q)[=AR¢]는 Q에 관해서 그려진 평균수입곡선의 (접선의) 기울기임(<0).

- 평균수입(AR)과 가격(P)은 서로 같음.

AR[=f(Q)]ºTR º ºP Q

P×Q Q

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기

- 앞의 식에서 평균수입함수(AR)는 P=f(Q)의 관계임. 그러나 수요함수(demand function)는 Q=f(P)의 관계 이므로 이 두 함수는 서로 역함수(inverse function) 관계임.

- 완전경쟁하에서의 AR곡선은 수평이므로 f¢(Q)=0임.

따라서 MR-AR=0, 즉 MR=AR임.

- 불완전경쟁하에서 AR곡선의 기울기는 우하향함.

따라서 MR-AR<0, 즉 MR곡선은 AR곡선 아래 위치함.

è

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기

- 앞의 식에서 평균수입함수(AR)는 P=f(Q)의 관계임. 그러나 수요함수(demand function)는 Q=f(P)의 관계 이므로 이 두 함수는 서로 역함수(inverse function) 관계임.

- 완전경쟁하에서의 AR곡선은 수평이므로 f¢(Q)=0임.

따라서 MR-AR=0, 즉 MR=AR임.

- 불완전경쟁하에서 AR곡선의 기울기는 우하향함.

따라서 MR-AR<0, 즉 MR곡선은 AR곡선 아래 위치함.

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기

- 앞의 내용은 두 곡선의 상대적 위치만 관계된다는 점에서 정성적 분석(qualitative analysis)임.

- 그러나 이에 대한 정량적 분석(quantitative analysis)도 가능함(그림 7.2 참조).

è

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기

- 앞의 내용은 두 곡선의 상대적 위치만 관계된다는 점에서 정성적 분석(qualitative analysis)임.

- 그러나 이에 대한 정량적 분석(quantitative analysis)도 가능함(그림 7.2 참조).

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기

è

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기

- 앞의 그림에서 산출량이 N에서 결정되면 Qf¢(Q)는 구체적으로 Nf¢(N)으로 됨.

- 여기서 Nf¢(N) 크기를 알 수 있다면 AR곡선상의 G점 에서 얼마만큼 아래에 MR곡선상의 점이 위치하는가를 알 수 있음.

- f¢(N)은 점 G에서 AR곡선의 기울기임. 즉, 접선 JM의 기울기(OJ/OM 또는 HJ/HG)임.

è

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기

- 앞의 그림에서 산출량이 N에서 결정되면 Qf¢(Q)는 구체적으로 Nf¢(N)으로 됨.

- 여기서 Nf¢(N) 크기를 알 수 있다면 AR곡선상의 G점 에서 얼마만큼 아래에 MR곡선상의 점이 위치하는가를 알 수 있음.

- f¢(N)은 점 G에서 AR곡선의 기울기임. 즉, 접선 JM의 기울기(OJ/OM 또는 HJ/HG)임.

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기

- 따라서 (거리) 산출량 N에서 AR곡선과 그 아래 위치한 MR곡선 사이의 거리 Nf¢(N)은 다음과 같음.

Nf¢(N)=HG =HJ

- 따라서 HJ만큼 점 G에서 수직거리 KG(=HJ)만큼 아래 점 K를 정하면 반드시 MR곡선상의 한 점이 됨.

- 만약 산출량이 달라지면 마찬가지로 AR곡선상의 점 그 아래 위치한 MR곡선상의 한 점을 구할 수 있음.

è

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기

- 따라서 (거리) 산출량 N에서 AR곡선과 그 아래 위치한 MR곡선 사이의 거리 Nf¢(N)은 다음과 같음.

Nf¢(N)=HG =HJ

- 따라서 HJ만큼 점 G에서 수직거리 KG(=HJ)만큼 아래 점 K를 정하면 반드시 MR곡선상의 한 점이 됨.

- 만약 산출량이 달라지면 마찬가지로 AR곡선상의 점 그 아래 위치한 MR곡선상의 한 점을 구할 수 있음.

HJ HG

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기

- 독점기업의 경우 평균수입함수와 한계수입함수는 TR=P×Q

AR= =P, MR=

수요함수 : P=a-bQ (®AR) TR=(a-bQ)Q=aQ-bQ²

MR=a-2bQ

- MR곡선 기울기는 AR곡선 기울기보다 2배 큼(절대값).

è

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기

- 독점기업의 경우 평균수입함수와 한계수입함수는 TR=P×Q

AR= =P, MR=

수요함수 : P=a-bQ (®AR) TR=(a-bQ)Q=aQ-bQ²

MR=a-2bQ

- MR곡선 기울기는 AR곡선 기울기보다 2배 큼(절대값).

P×Q Q

dTR dQ

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기

è

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

몫의 미분법칙(quotient rule)

- 두 함수의 몫 f(x)/g(x)의 도함수는 다음과 같음.

=

- 우변의 분자에는 곱의 형태로 된 2개 항이 있고,

각 항은 두 함수 중 한 함수의 도함수를 포함하고 있음. 특히, f¢(x)는 양의 항에 나타나고 있고, g¢(x)은 음의 항에 나타나고 있으며, 분모는 g(x)의 제곱임을 유의 - 여기서 표기법의 정의상 g²(x)º[g(x)]²임.

è

몫의 미분법칙(quotient rule)

- 두 함수의 몫 f(x)/g(x)의 도함수는 다음과 같음.

=

- 우변의 분자에는 곱의 형태로 된 2개 항이 있고,

각 항은 두 함수 중 한 함수의 도함수를 포함하고 있음. 특히, f¢(x)는 양의 항에 나타나고 있고, g¢(x)은 음의 항에 나타나고 있으며, 분모는 g(x)의 제곱임을 유의 - 여기서 표기법의 정의상 g²(x)º[g(x)]²임.

d dx

f(x) g(x)

f¢(x)g(x)-f(x)g¢(x) g²(x)

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

몫의 미분법칙(quotient rule)

- 예 1 : 두 함수의 몫의 도함수를 구하라.

= =

- 예 2 : 두 함수의 몫의 도함수를 구하라.

= =

- 예 3 : 두 함수의 몫의 도함수를 구하라.

= = =

è

몫의 미분법칙(quotient rule)

- 예 1 : 두 함수의 몫의 도함수를 구하라.

= =

- 예 2 : 두 함수의 몫의 도함수를 구하라.

= =

- 예 3 : 두 함수의 몫의 도함수를 구하라.

= = = d

dx

2x-3 x+1

2(x+1)-(2x-3)(1) (x+1)²

5 (x+1)² d

dx

5x x²+1

5(x²+1)-5x(2x) (x²+1)²

5(1-x²) (x²+1)² d

dx

ax²+b cx

2ax(cx)-(ax²+b)(c) (cx)²

c(ax²-b) (cx)²

ax²-b cx²

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

Relationship between marginal cost and average cost function - 총비용함수(TC) C=C(Q)가 주어지고 Q>0이면,

평균비용함수(AC)= : Q에 관한 두 함수의 몫 한계비용함수(MC)= = =C¢(Q) - AC의 변화율은 AC를 미분하면 됨.

= = C¢(Q)-

è

Relationship between marginal cost and average cost function - 총비용함수(TC) C=C(Q)가 주어지고 Q>0이면,

평균비용함수(AC)= : Q에 관한 두 함수의 몫 한계비용함수(MC)= = =C¢(Q) - AC의 변화율은 AC를 미분하면 됨.

= = C¢(Q)- C(Q)

C(Q)-C(a)Q Q-a d

dQ

C(Q) Q

C¢(Q)×Q-C(Q)×1 Q²

1 Q

C(Q) Q dC(Q)

dQ

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

Relationship between marginal cost and average cost function - 앞의 식으로부터 Q>0에 대하여 다음의 관계가 성립

C¢(Q) 이면, 0

여기서 C¢(Q)는 한계비용함수(MC), C(Q)/Q는 평균비용 함수(AC), (d/dQ)[C(Q)/Q]는 AC곡선의 기울기임.

- 위 식의 경제적 의미 :

한계비용(MC)>평균비용(AC) ® AC의 기울기 증가 한계비용(MC)=평균비용(AC) ® AC의 기울기 0

한계비용(MC)<평균비용(AC) ® AC의 기울기 감소

è

Relationship between marginal cost and average cost function

- 앞의 식으로부터 Q>0에 대하여 다음의 관계가 성립 C¢(Q) 이면, 0

여기서 C¢(Q)는 한계비용함수(MC), C(Q)/Q는 평균비용 함수(AC), (d/dQ)[C(Q)/Q]는 AC곡선의 기울기임.

- 위 식의 경제적 의미 :

한계비용(MC)>평균비용(AC) ® AC의 기울기 증가 한계비용(MC)=평균비용(AC) ® AC의 기울기 0

한계비용(MC)<평균비용(AC) ® AC의 기울기 감소 C(Q)

Q

>=

< d

dQ

C(Q) Q

>=

<

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

Relationship between marginal cost and average cost function - 다음의 그림 7.3은 총비용함수 C=Q³-12Q²+60Q가

주어졌을 때 MC곡선과 AC곡선이 그려진 것임.

- 여기서 Q=6의 왼쪽에서는 AC가 감소하고 이에 따라 MC는 AC의 아래쪽에 위치하고, 오른쪽에서는 AC가 증가하고 이에 따라 MC는 AC의 위쪽에 위치함.

Q=6에서는 AC가 0의 기울기를 가지고 MC와 AC는 일치함.

è

Relationship between marginal cost and average cost function - 다음의 그림 7.3은 총비용함수 C=Q³-12Q²+60Q가

주어졌을 때 MC곡선과 AC곡선이 그려진 것임.

- 여기서 Q=6의 왼쪽에서는 AC가 감소하고 이에 따라 MC는 AC의 아래쪽에 위치하고, 오른쪽에서는 AC가 증가하고 이에 따라 MC는 AC의 위쪽에 위치함.

Q=6에서는 AC가 0의 기울기를 가지고 MC와 AC는 일치함.

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 u 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

è

Relationship between marginal cost and average cost function

è

Relationship between marginal cost and average cost function

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙 u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙

è

연쇄법칙(chain rule)

- 함수 z=f(y)이고 y=g(x)라면 두 함수는 z=f[g(x)]로 변형이 가능함.

- 여기서 z의 x에 관한 도함수는 z의 y에 대한 도함수에 y의 x에 관한 도함수를 곱한 것과 같음.

- 즉, 이를 기호로 표시하면 다음과 같음.

= =f¢(y)g¢(x) 또는 f¢[g(x)]g¢(x) - 이를 연쇄법칙(chain rule)이라 함.

è

연쇄법칙(chain rule)

- 함수 z=f(y)이고 y=g(x)라면 두 함수는 z=f[g(x)]로 변형이 가능함.

- 여기서 z의 x에 관한 도함수는 z의 y에 대한 도함수에 y의 x에 관한 도함수를 곱한 것과 같음.

- 즉, 이를 기호로 표시하면 다음과 같음.

= =f¢(y)g¢(x) 또는 f¢[g(x)]g¢(x) - 이를 연쇄법칙(chain rule)이라 함.

dz dx

dz dy

dy dx

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙 u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙

è

연쇄법칙(chain rule)

- ⊿x가 주어지면 함수 y=g(x)를 통하여 ⊿y가 결정되고, 이 ⊿y는 다시 함수 z=f(y)를 통하여 ⊿z를 결정함.

⊿x ® ⊿y ® ⊿z

- 이 연쇄반응에서의 관계는 두 개의 차분몫, ⊿y/⊿x와

⊿z/⊿y를 수반하지만 이들이 곱해지면 ⊿y는 소거됨.

=

è

연쇄법칙(chain rule)

- ⊿x가 주어지면 함수 y=g(x)를 통하여 ⊿y가 결정되고, 이 ⊿y는 다시 함수 z=f(y)를 통하여 ⊿z를 결정함.

⊿x ® ⊿y ® ⊿z

- 이 연쇄반응에서의 관계는 두 개의 차분몫, ⊿y/⊿x와

⊿z/⊿y를 수반하지만 이들이 곱해지면 ⊿y는 소거됨.

⊿y =

⊿x

⊿z

⊿y

⊿z

⊿x

g를 통하여 f를 통하여

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙 u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙

è

연쇄법칙(chain rule)

- 앞에서 본 바와 같이 함수 y=g(x)이면 z=f(y)는 z=f[g(x)]로 나타낼 수 있음.

- 여기서 두 함수기호 f와 g가 서로 인접하여 나타나는 함수를 합성함수(함수의 함수)라고 함.

- 따라서 이 연쇄법칙은 합성함수의 법칙(composite function rule) 또는 함수의 함수의 법칙(function of a function rule)이라고도 함.

è

연쇄법칙(chain rule)

- 앞에서 본 바와 같이 함수 y=g(x)이면 z=f(y)는 z=f[g(x)]로 나타낼 수 있음.

- 여기서 두 함수기호 f와 g가 서로 인접하여 나타나는 함수를 합성함수(함수의 함수)라고 함.

- 따라서 이 연쇄법칙은 합성함수의 법칙(composite function rule) 또는 함수의 함수의 법칙(function of a function rule)이라고도 함.

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙 u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙

è

연쇄법칙(chain rule)

- 연쇄법칙을 확장(expansion)하여 만약 함수가 z=f(y), y=g(x), x=h(w)로 주어지면 연쇄법칙은 다음과 같음.

= =f¢(y)g¢(x)h¢(w)

- 예 1 : z=3y²이고 y=2x+5이면 dz/dx(연쇄법칙)?

= =6y(2)=12y=12(2x+5)

è

연쇄법칙(chain rule)

- 연쇄법칙을 확장(expansion)하여 만약 함수가 z=f(y), y=g(x), x=h(w)로 주어지면 연쇄법칙은 다음과 같음.

= =f¢(y)g¢(x)h¢(w)

- 예 1 : z=3y²이고 y=2x+5이면 dz/dx(연쇄법칙)?

= =6y(2)=12y=12(2x+5) dz

dw

dz dy

dy dx

dx dw dz

dx

dz dy

dy dx

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙 u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙

è

연쇄법칙(chain rule)

- 예 2 : z=y-3이고 y=x³이면 dz/dx(연쇄법칙)?

= =1(3x²)=3x²

- 예 3 : z=(x²+3x-2)¹⁷일 때 중간변수(intermediate variable) y=x²+3x-2를 연쇄적으로 연결하면, 즉 z=y¹⁷이고 y=x²+3x-2일 때 도함수 dz/dx?

= =17y¹⁶(2x+3)=17(x²+3x-2)¹⁶(2x+3)

è

연쇄법칙(chain rule)

- 예 2 : z=y-3이고 y=x³이면 dz/dx(연쇄법칙)?

= =1(3x²)=3x²

- 예 3 : z=(x²+3x-2)¹⁷일 때 중간변수(intermediate variable) y=x²+3x-2를 연쇄적으로 연결하면, 즉 z=y¹⁷이고 y=x²+3x-2일 때 도함수 dz/dx?

= =17y¹⁶(2x+3)=17(x²+3x-2)¹⁶(2x+3) dz

dx

dz dy

dy dx

dz dx

dz dy

dy dx

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙 u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙

è

연쇄법칙(chain rule)

- 예 4 : 총수입함수 R=f(Q)이고 생산함수 Q=g(L)일 때 dR/dL(연쇄법칙)?

= =f¢(Q)g¢(L) ® MRP_L=MR×MPP_L

여기서 dR/dQ는 한계수입(MR)이고, dQ/dL은 노동의 한계실물생산(marginal physical product of labor : MPP_L)이고, dR/dL은 노동의 한계수입생산(marginal revenue product of labor : MRP_L)임.

è

연쇄법칙(chain rule)

- 예 4 : 총수입함수 R=f(Q)이고 생산함수 Q=g(L)일 때 dR/dL(연쇄법칙)?

= =f¢(Q)g¢(L) ® MRP_L=MR×MPP_L

여기서 dR/dQ는 한계수입(MR)이고, dQ/dL은 노동의 한계실물생산(marginal physical product of labor : MPP_L)이고, dR/dL은 노동의 한계수입생산(marginal revenue product of labor : MRP_L)임.

dR dL

dR dQ

dQ dL

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙 u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙

è

역함수(inverse function)의 미분법칙

- 함수 y=f(x)에서 1대 1사상(one to one mapping), 즉 서로 다른 x값에 대하여 y가 항상 서로 다른 값을 갖는 함수라면 함수 f는 역함수 x=f^-1(y)가 존재함.

(역함수는 함수 f(x)의 역수 1/f(x)가 아님.) - 역함수 존재의 본질적 의미는

주어진 x값에 대하여 유일한 y값이 결정되고[y=f(x)], 주어진 y값에 대하여 유일한 x값이 결정된다는 것임 [x=f^-1(y)].

è

역함수(inverse function)의 미분법칙

- 함수 y=f(x)에서 1대 1사상(one to one mapping), 즉 서로 다른 x값에 대하여 y가 항상 서로 다른 값을 갖는 함수라면 함수 f는 역함수 x=f^-1(y)가 존재함.

(역함수는 함수 f(x)의 역수 1/f(x)가 아님.) - 역함수 존재의 본질적 의미는

주어진 x값에 대하여 유일한 y값이 결정되고[y=f(x)], 주어진 y값에 대하여 유일한 x값이 결정된다는 것임 [x=f^-1(y)].

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙 u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙

è

역함수(inverse function)의 미분법칙

- 역함수가 존재하는 함수를 강단조함수(strictly monotonic function)라고 함.

- 강증가함수(strictly increasing function) :

x가 순차적으로 더 큰 값을 가질 때 f(x)는 항상 순차적 으로 더 큰 값을 가짐. 즉, x₂>x₁ ® f(x₂)>f(x₁)

- 강감소함수(strictly decreasing function) :

x가 순차적으로 더 큰 값을 가질 때 f(x)는 항상 순차적 으로 더 작은 값을 가짐. 즉, x₂>x₁ ® f(x₂)<f(x₁)

è

역함수(inverse function)의 미분법칙

- 역함수가 존재하는 함수를 강단조함수(strictly monotonic function)라고 함.

- 강증가함수(strictly increasing function) :

x가 순차적으로 더 큰 값을 가질 때 f(x)는 항상 순차적 으로 더 큰 값을 가짐. 즉, x₂>x₁ ® f(x₂)>f(x₁)

- 강감소함수(strictly decreasing function) :

x가 순차적으로 더 큰 값을 가질 때 f(x)는 항상 순차적 으로 더 작은 값을 가짐. 즉, x₂>x₁ ® f(x₂)<f(x₁)

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙 u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙

è

역함수(inverse function)의 미분법칙

- 대수적으로는 주어진 함수 y=f(x)의 강단조성을 확인 하는 실제 방법은 모든 x값에 대해 f¢(x)가 항상 같은 (0이 아닌) 대수 부호(+/-)를 갖는지 여부를 점검하는 것임.

- 기하학적으로는 함수의 기울기가 항상 위쪽으로 또는 아래쪽으로 향하는 것을 의미함.

è

역함수(inverse function)의 미분법칙

- 대수적으로는 주어진 함수 y=f(x)의 강단조성을 확인 하는 실제 방법은 모든 x값에 대해 f¢(x)가 항상 같은 (0이 아닌) 대수 부호(+/-)를 갖는지 여부를 점검하는 것임.

- 기하학적으로는 함수의 기울기가 항상 위쪽으로 또는 아래쪽으로 향하는 것을 의미함.

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙 u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙

è

역함수(inverse function)의 미분법칙

- 예 : 함수 y=5x+25는 도함수 dy/dx=+5를 갖고, 이것은 x값에 관계없이 항상 양수임. 즉, 강증가함수임.

따라서 역함수가 존재함.

이 때, 역함수는 y=5x+25를 x에 대해 풀면 됨.

즉, x=(1/5)y-5임.

이 역함수도 모든 y값에 대해 도함수 dx/dy=+1/5로 0보다 큼(양수). 따라서 강증가함수임.

è

역함수(inverse function)의 미분법칙

- 예 : 함수 y=5x+25는 도함수 dy/dx=+5를 갖고, 이것은 x값에 관계없이 항상 양수임. 즉, 강증가함수임.

따라서 역함수가 존재함.

이 때, 역함수는 y=5x+25를 x에 대해 풀면 됨.

즉, x=(1/5)y-5임.

이 역함수도 모든 y값에 대해 도함수 dx/dy=+1/5로 0보다 큼(양수). 따라서 강증가함수임.

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙 u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙

è

역함수(inverse function)의 미분법칙

- y=f(x)의 graph와 x=f^-1(y)의 graph는 축만 바뀔 뿐 동일한 graph임.

- 즉, 두 곡선은 원점을 통과하는 45°선에 대해서 서로 대칭(mirror image)임.

- 이러한 대칭관계를 사용하면 원래의 함수 f의 graph가 주어지면 역함수 f^-1의 graph를 쉽게 그릴 수 있음.

è

역함수(inverse function)의 미분법칙

- y=f(x)의 graph와 x=f^-1(y)의 graph는 축만 바뀔 뿐 동일한 graph임.

- 즉, 두 곡선은 원점을 통과하는 45°선에 대해서 서로 대칭(mirror image)임.

- 이러한 대칭관계를 사용하면 원래의 함수 f의 graph가 주어지면 역함수 f^-1의 graph를 쉽게 그릴 수 있음.

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙 u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙

è

원래 함수와 역함수의 graph

è

원래 함수와 역함수의 graph

y=f(x)

x=f^-1(y)

x y

25

-5 -5 0

y

x 25

45°

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙 u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙

è

역함수(inverse function)의 미분법칙

- 앞에서 살펴본 연쇄법칙은 여러 가지 형태의 도함수를 구하는 데 유용함.

- 함수 y=f(x)의 역함수가 x=f^-1(y)일 때[편의상 x=g(y)라 하면] 이 역함수를 원래함수에 대입하면 y=f[g(y)]가 됨.

- 위의 함수에서 좌변과 우변이 각각 y의 함수이므로 각 항을 y에 대해 미분하면 양변이 동일해야 함.

- 좌변은 y에 대해 미분하면 1이 되고, 우변은 앞에서의 연쇄법칙에 의해 f¢(x)g¢(y)임.

è

역함수(inverse function)의 미분법칙

- 앞에서 살펴본 연쇄법칙은 여러 가지 형태의 도함수를 구하는 데 유용함.

- 함수 y=f(x)의 역함수가 x=f^-1(y)일 때[편의상 x=g(y)라 하면] 이 역함수를 원래함수에 대입하면 y=f[g(y)]가 됨.

- 위의 함수에서 좌변과 우변이 각각 y의 함수이므로 각 항을 y에 대해 미분하면 양변이 동일해야 함.

- 좌변은 y에 대해 미분하면 1이 되고, 우변은 앞에서의 연쇄법칙에 의해 f¢(x)g¢(y)임.

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙 u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙

è

역함수(inverse function)의 미분법칙

- 따라서 이를 다시 정리하면 다음과 같음.

1=f¢(x)g¢(y)

- 위의 식을 역함수의 도함수로 변형하면 다음과 같음.

g¢(y)=

- 사실 역함수의 미분법칙은 그다지 중요한 것은 아님.

다만 미분하기 어려운 함수가 있는 경우 역함수를 구한 후 쉽게 미분계수(기울기)를 구할 수 있음.

è

역함수(inverse function)의 미분법칙

- 따라서 이를 다시 정리하면 다음과 같음.

1=f¢(x)g¢(y)

- 위의 식을 역함수의 도함수로 변형하면 다음과 같음.

g¢(y)=

- 사실 역함수의 미분법칙은 그다지 중요한 것은 아님.

다만 미분하기 어려운 함수가 있는 경우 역함수를 구한 후 쉽게 미분계수(기울기)를 구할 수 있음.

1 f¢(x)

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙 u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙

è

역함수(inverse function)의 미분법칙

- y=f(x)의 역함수인 x=f^-1(y)의 미분법칙은 다음과 같음.

=

- 역함수의 도함수는 원래함수의 도함수의 역수임을 의미함.

- 이 때문에 dx/dy는 dy/dx와 같은 부호를 가지게 되어 f가 강증가(감소)함수이면 f^-1도 반드시 강증가(감소) 함수가 됨(앞의 예 : dy/dx=5, dx/dy=1/5).

è

역함수(inverse function)의 미분법칙

- y=f(x)의 역함수인 x=f^-1(y)의 미분법칙은 다음과 같음.

=

- 역함수의 도함수는 원래함수의 도함수의 역수임을 의미함.

- 이 때문에 dx/dy는 dy/dx와 같은 부호를 가지게 되어 f가 강증가(감소)함수이면 f^-1도 반드시 강증가(감소) 함수가 됨(앞의 예 : dy/dx=5, dx/dy=1/5).

dx dy

1 dy/dx

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙 u 상이한 변수를 갖는 함수 (=합성함수)들의 미분법칙

è

역함수(inverse function)의 미분법칙

- 예 : y=x⁵+x가 주어졌을 때 역함수의 도함수 dx/dy?

=5x⁴+1 (항상 0보다 큼 ® 강증가함수)

위 식은 역함수가 존재하므로 역함수의 미분법칙에 따라 다음과 같이 구할 수 있음.

= =

è

역함수(inverse function)의 미분법칙

- 예 : y=x⁵+x가 주어졌을 때 역함수의 도함수 dx/dy?

=5x⁴+1 (항상 0보다 큼 ® 강증가함수)

위 식은 역함수가 존재하므로 역함수의 미분법칙에 따라 다음과 같이 구할 수 있음.

= = dy

dx

dx dy

1 dy/dx

1 5x⁴+1

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 편미분 (partial differentiation) u 편미분 (partial differentiation)

è

편도함수(partial derivatives)

- 지금까지는 독립변수가 하나인 함수 y=f(x)의 도함수 와 미분을 설명하였음.

- 여기서는 변수가 둘 이상의 경우 y=f(x₁, x₂,L, x_n)의 미분법칙을 다룸.

- 따라서 여기서는 각 내생변수의 균형값들이 둘 이상의 파라미터들의 함수인 경우에 대한 도함수를 구하는 방법을 살펴볼 것임.

è

편도함수(partial derivatives)

- 지금까지는 독립변수가 하나인 함수 y=f(x)의 도함수 와 미분을 설명하였음.

- 여기서는 변수가 둘 이상의 경우 y=f(x₁, x₂,L, x_n)의 미분법칙을 다룸.

- 따라서 여기서는 각 내생변수의 균형값들이 둘 이상의 파라미터들의 함수인 경우에 대한 도함수를 구하는 방법을 살펴볼 것임.

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 편미분 (partial differentiation) u 편미분 (partial differentiation)

è

편도함수의 의미

- 편도함수(partial derivatives) :

함수 y=f(x₁, x₂,L, x_n), 여기서 변수 x_i(i=1, 2,L, n)는 모두 서로 다른 독립변수(independent variables)임.

따라서 각 변수는 다른 변수에 영향을 주지 않고, 그 변수자체만 변화함.

- 만약 다른 변수는 고정되고(상수로 취급) 변수 x₁만

⊿x1만큼 변화하면 이에 대응하여 y는 ⊿y만큼 변함.

è

편도함수의 의미

- 편도함수(partial derivatives) :

함수 y=f(x₁, x₂,L, x_n), 여기서 변수 x_i(i=1, 2,L, n)는 모두 서로 다른 독립변수(independent variables)임.

따라서 각 변수는 다른 변수에 영향을 주지 않고, 그 변수자체만 변화함.

- 만약 다른 변수는 고정되고(상수로 취급) 변수 x₁만

⊿x1만큼 변화하면 이에 대응하여 y는 ⊿y만큼 변함.

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 편미분 (partial differentiation) u 편미분 (partial differentiation)

è

편도함수(partial derivatives)

- 이 경우 차분몫(=차분계수)은 다음과 같음.

=

만약 ⊿x1®0일 때 ⊿y/⊿x1의 극한을 취하면, 그 극한은 도함수가 됨. 이것을 x₁에 관한 y의 편도함수(partial derivative)라고 함.

- 이를 편도함수라고 하는 이유는 x₁을 제외한 다른 변수들은 일정하게 유지(상수로 취급)되기 때문임.

è

편도함수(partial derivatives)

- 이 경우 차분몫(=차분계수)은 다음과 같음.

=

만약 ⊿x1®0일 때 ⊿y/⊿x1의 극한을 취하면, 그 극한은 도함수가 됨. 이것을 x₁에 관한 y의 편도함수(partial derivative)라고 함.

- 이를 편도함수라고 하는 이유는 x₁을 제외한 다른 변수들은 일정하게 유지(상수로 취급)되기 때문임.

⊿y

⊿x1

f(x₁+⊿x1,x₂,L,x_n)-f(x₁,x₂,L,x_n)

⊿x1

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 편미분 (partial differentiation) u 편미분 (partial differentiation)

è

편도함수(partial derivatives)

- 편미분 : 편도함수를 구하는 과정

- 편도함수의 기호(® 도함수의 미분기호는 d, dy/dx) 편도함수의 미분기호는 d의 변형인 ∂(round)를 사용함 : (∂/∂x₁)y에서 ∂/∂x₁부분은 변수 x₁에 대해서 편도함수 를 구할 것을 지시하는 연산기호임.

- ∂y/∂x₁; partial y over partial x₁

또 다른 편도함수 표기법 : f₁, f₂, f₃, L

f₁º º , f₂º º , L

è

편도함수(partial derivatives)

- 편미분 : 편도함수를 구하는 과정

- 편도함수의 기호(® 도함수의 미분기호는 d, dy/dx) 편도함수의 미분기호는 d의 변형인 ∂(round)를 사용함 : (∂/∂x₁)y에서 ∂/∂x₁부분은 변수 x₁에 대해서 편도함수 를 구할 것을 지시하는 연산기호임.

- ∂y/∂x₁; partial y over partial x₁

또 다른 편도함수 표기법 : f₁, f₂, f₃, L

f₁º ∂y º , f₂º º , L

∂x₁

⊿y

⊿x1

⊿x1®0lim ∂y

∂x₂

⊿y

⊿x2

⊿x2®0lim

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 편미분 (partial differentiation) u 편미분 (partial differentiation)

è

편미분법칙(techniques of partial differentiation) - 편미분은 한 독립변수의 변화만 허용하고 나머지

(n-1)개의 독립변수들은 일정하다고 가정함.

- 즉, 앞에서의 미분법칙처럼 다른 변수들이 더해지는 경우에는 미분과정에서 없어지지만 곱해지는 변수인 경우에는 상수처럼 미분과정에서 남음.

è

편미분법칙(techniques of partial differentiation) - 편미분은 한 독립변수의 변화만 허용하고 나머지

(n-1)개의 독립변수들은 일정하다고 가정함.

- 즉, 앞에서의 미분법칙처럼 다른 변수들이 더해지는 경우에는 미분과정에서 없어지지만 곱해지는 변수인 경우에는 상수처럼 미분과정에서 남음.

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 편미분 (partial differentiation) u 편미분 (partial differentiation)

è

편미분법칙(techniques of partial differentiation) - 예 1 : y=f(x₁, x₂)=3x₁²+x₁x₂+4x₂²의 편도함수?

ºf₁º6x₁+x₂ (여기서 x₂는 상수로 취급) ºf₂ºx₁+8x₂ (여기서 x₁은 상수로 취급)

여기서 주의할 점은 원시함수 f와 마찬가지로 두 편도함수는 그 자체가 모두 변수 x₁과 x₂의 함수임. 즉, 두 편도함수는 다음과 같이 유도된 함수임.

f₁=f₁(x₁, x₂) 및 f₂=f₂(x₁, x₂)

è

편미분법칙(techniques of partial differentiation) - 예 1 : y=f(x₁, x₂)=3x₁²+x₁x₂+4x₂²의 편도함수?

ºf₁º6x₁+x₂ (여기서 x₂는 상수로 취급) ºf₂ºx₁+8x₂ (여기서 x₁은 상수로 취급)

여기서 주의할 점은 원시함수 f와 마찬가지로 두 편도함수는 그 자체가 모두 변수 x₁과 x₂의 함수임. 즉, 두 편도함수는 다음과 같이 유도된 함수임.

f₁=f₁(x₁, x₂) 및 f₂=f₂(x₁, x₂)

∂y

∂x₁

∂y

∂x₂

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 편미분 (partial differentiation) u 편미분 (partial differentiation)

è

편미분법칙(techniques of partial differentiation)

- 예 1에서 구한 편도함수에 특정한 값 (x₁, x₂)=(1, 3)을 대입하면 편도함수는 다음과 같은 특정한 값을 가짐.

f₁(1, 3)=6(1)+3=9 및 f₂(1, 3)=1+8(3)=25

- 예 2 : y=(u+4)(3u+2v)의 편도함수? (곱의 미분법칙) f_u=(u+4)(3)+1(3u+2v)=2(3u+v+6) ¬ v를 상수 취급 f_v=(u+4)(2)+0(3u+2v)=2(u+4) ¬ u를 상수 취급

여기서 u=2이고 v=1일 때 편도함수들의 값?

f_u(2, 1)=2(13)=26 및 f_v(2, 1)=2(6)=12

è

편미분법칙(techniques of partial differentiation)

- 예 1에서 구한 편도함수에 특정한 값 (x₁, x₂)=(1, 3)을 대입하면 편도함수는 다음과 같은 특정한 값을 가짐.

f₁(1, 3)=6(1)+3=9 및 f₂(1, 3)=1+8(3)=25

- 예 2 : y=(u+4)(3u+2v)의 편도함수? (곱의 미분법칙) f_u=(u+4)(3)+1(3u+2v)=2(3u+v+6) ¬ v를 상수 취급 f_v=(u+4)(2)+0(3u+2v)=2(u+4) ¬ u를 상수 취급

여기서 u=2이고 v=1일 때 편도함수들의 값?

f_u(2, 1)=2(13)=26 및 f_v(2, 1)=2(6)=12

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 편미분 (partial differentiation) u 편미분 (partial differentiation)

è

편미분법칙(techniques of partial differentiation)

- 예 3 : y=(3u-2v)/(u²+3v)의 편도함수 (몫의 미분법칙)

= =

= =

여기서 u=2이고 v=1일 때 편도함수들의 값 f_u(2, 1)=5/361 및 f_v(2, 1)=-26/361

è

편미분법칙(techniques of partial differentiation)

- 예 3 : y=(3u-2v)/(u²+3v)의 편도함수 (몫의 미분법칙)

= =

= =

여기서 u=2이고 v=1일 때 편도함수들의 값 f_u(2, 1)=5/361 및 f_v(2, 1)=-26/361

∂y

∂u

∂y

∂v

3(u²+3v)-2u(3u-2v) (u²+3v)²

-3u²+4uv+9v (u²+3v)² -2(u²+3v)-3(3u-2v)

(u²+3v)²

-u(2u+9) (u²+3v)²

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 편미분 (partial differentiation) u 편미분 (partial differentiation)

è

편도함수의 기하학적 의미(geometric interpretation) - 편도함수는 특정 변수의 순간변화율의 척도임.

따라서 기하학적으로 특정 변수의 기울기와 관련됨. - 생산함수 Q=Q(K, L); 이 함수는 독립변수가 2개임.

따라서 두 개의 편도함수 정의 :

⑴ ∂Q/∂K(또는 Q_K)는 자본의 변화에 대한 산출량의 변화율로 자본의 한계실물생산(MPP_K)임.

⑵ ∂Q/∂L(또는 Q_L)는 노동의 변화에 대한 산출량의 변화율로 노동의 한계실물생산(MPP_L)임.

è

편도함수의 기하학적 의미(geometric interpretation) - 편도함수는 특정 변수의 순간변화율의 척도임.

따라서 기하학적으로 특정 변수의 기울기와 관련됨. - 생산함수 Q=Q(K, L); 이 함수는 독립변수가 2개임.

따라서 두 개의 편도함수 정의 :

⑴ ∂Q/∂K(또는 Q_K)는 자본의 변화에 대한 산출량의 변화율로 자본의 한계실물생산(MPP_K)임.

⑵ ∂Q/∂L(또는 Q_L)는 노동의 변화에 대한 산출량의 변화율로 노동의 한계실물생산(MPP_L)임.

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 편미분 (partial differentiation) u 편미분 (partial differentiation)

è

편도함수의 기하학적 의미(geometric interpretation) - 생산함수는 3차원 공간에서 생산곡면(production surface)

è

편도함수의 기하학적 의미(geometric interpretation)

- 생산함수는 3차원 공간에서 생산곡면(production surface)

- 그림에서 변수 Q를 세로축에 표시하면 밑 평면(KL 평면)에 있는 어떤 점에서 곡면까지 높이는 산출량Q임.

- 여기서자본투입량을K₀로 고정시키면 (K=K₀) K₀CDA곡선은 노동의 총실물 생산곡선(TPP_L)이 됨(경제학에서 TP_L).

- 이곡선상의(한 점에서 접선의) 기울기는 K가 일정하게 유지될 때 L의 변화에 대한 Q의 변화율을 의미함.

- 따라서 하나의 곡선K₀CDA 의 기울기는 편도함수 Q_L을 기하학적으로 표현한 것임.

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 편미분 (partial differentiation) u 편미분 (partial differentiation)

è

편도함수의 기하학적 의미(geometric interpretation) - 생산함수는 3차원 공간에서 생산곡면(production surface)

è

편도함수의 기하학적 의미(geometric interpretation)

- 생산함수는 3차원 공간에서 생산곡면(production surface)

- 그리고 노동투입량을L₀로 고정시키면 (L=L₀) L₀EFA곡선은 자본의 총실물생산 곡선(TPP_K)이 됨(경제학에서 TP_K).

- 이곡선상의(한 점에서 접선의) 기울기는 L이 일정하게 유지될 때 K의 변화에 대한 Q의 변화율을 의미하고, L₀EFA 곡선상의(접선의) 기울기는 편도함수 Q_K를 기하학적으로 표현한 것임. - C점 기울기(값)는 K=K₀이고L=L₁일 때Q_L - D점 기울기(값)는 K=K₀이고L=L₂일 때Q_L - E점 기울기(값)는 L=L₀이고K=K₁일 때Q_K - F점 기울기(값)는 L=L₀이고K=K₂일 때Q_K

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 편미분 (partial differentiation) u 편미분 (partial differentiation)

è

기울기벡터(=경사벡터 : gradient vector)

- 함수 y=f(x₁, x₂,L, x_n)의 모든 편도함수들은 함수 f의 기울기벡터(gradient vector 또는 간단히 gradient) 라고 함.

grad f(x₁, x₂,L, x_n)=(f₁, f₂,L, f_n) 단, f_i=∂y/∂x_i임.

- 여기서 벡터를 사용할 때 대괄호가 아니라 소괄호임. - 또다른 표기법으로 Ñf(x₁, x₂,L, x_n) (Ñ는 del이라 읽음.) - 함수 f는 n개의 독립변수를 가지므로 모두 n개의

편도함수가 있음.

è

기울기벡터(=경사벡터 : gradient vector)

- 함수 y=f(x₁, x₂,L, x_n)의 모든 편도함수들은 함수 f의 기울기벡터(gradient vector 또는 간단히 gradient) 라고 함.

grad f(x₁, x₂,L, x_n)=(f₁, f₂,L, f_n) 단, f_i=∂y/∂x_i임.

- 여기서 벡터를 사용할 때 대괄호가 아니라 소괄호임. - 또다른 표기법으로 Ñf(x₁, x₂,L, x_n) (Ñ는 del이라 읽음.) - 함수 f는 n개의 독립변수를 가지므로 모두 n개의

편도함수가 있음.

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 편미분 (partial differentiation) u 편미분 (partial differentiation)

è

기울기벡터(=경사벡터 : gradient vector) - 그러므로 grad f는 n차원 벡터임.

- 도함수들이 특정한 점 (x₁₀, x₂₀,L, x_n0)에서 계산될 때 특정 도함수값들의 벡터 grad f(x₁₀, x₂₀,L, x_n0)를 얻음.

- 생산함수 Q=Q(K, L)의 기울기벡터는 다음과 같음.

ÑQ=ÑQ(K, L)=(Q_K, Q_L)=(∂Q/∂K, ∂Q/∂L)

è

기울기벡터(=경사벡터 : gradient vector)

- 그러므로 grad f는 n차원 벡터임.

- 도함수들이 특정한 점 (x₁₀, x₂₀,L, x_n0)에서 계산될 때 특정 도함수값들의 벡터 grad f(x₁₀, x₂₀,L, x_n0)를 얻음.

- 생산함수 Q=Q(K, L)의 기울기벡터는 다음과 같음.

ÑQ=ÑQ(K, L)=(Q_K, Q_L)=(∂Q/∂K, ∂Q/∂L)

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 비교정태분석에의 응용 u 비교정태분석에의 응용

è

시장모형(market model)

Q=a-bP [demand] (a, b>0) Q=-c+dP [supply] (c, d>0) - 위 식의 (균형)해는 다음과 같음.

P*= Q*=

- 두 내생변수는 상호독립인 4개의 파라미터 a, b, c, d의 명시적 함수로 축약되어 있음.

- 파라미터 중 하나가 변하는 것은 P*와 Q*값에 어떻게 영향 미치는가는 각각의 파라미터에 대해 편미분하면 됨.

è

시장모형(market model)

Q=a-bP [demand] (a, b>0) Q=-c+dP [supply] (c, d>0) - 위 식의 (균형)해는 다음과 같음.

P*= Q*=

- 두 내생변수는 상호독립인 4개의 파라미터 a, b, c, d의 명시적 함수로 축약되어 있음.

- 파라미터 중 하나가 변하는 것은 P*와 Q*값에 어떻게 영향 미치는가는 각각의 파라미터에 대해 편미분하면 됨.

a+c b+d

ad-bc b+d

l 미분법칙과 비교정태분석 l 미분법칙과 비교정태분석

u 비교정태분석에의 응용 u 비교정태분석에의 응용

è

시장모형(market model)

- 여기서 ∂P와 ∂P* 그리고 ∂Q와 ∂Q*는 차이가 있음.

예를 들어 ∂Q/∂a는 수요함수만 고려한 개념이고,

∂Q*/∂a는 균형량을 고려한 개념임.

마찬가지로 ∂P/∂c는 공급함수만 고려한 개념이고,

∂P*/∂c는 균형가격을 고려한 개념임.

- 따라서 파라미터에 관한 P*와 Q*의 편도함수를 비교 정태도함수(comparative static derivative)라고 하기로 함.

è

시장모형(market model)

- 여기서 ∂P와 ∂P* 그리고 ∂Q와 ∂Q*는 차이가 있음.

예를 들어 ∂Q/∂a는 수요함수만 고려한 개념이고,

∂Q*/∂a는 균형량을 고려한 개념임.

마찬가지로 ∂P/∂c는 공급함수만 고려한 개념이고,

∂P*/∂c는 균형가격을 고려한 개념임.

- 따라서 파라미터에 관한 P*와 Q*의 편도함수를 비교 정태도함수(comparative static derivative)라고 하기로 함.