삼각함수-2

삼각함수-2

2014년 3월 17일[수]

정윤수[[email protected]]

x y sin )

1

(  •

• 치 역 :

• 주 기 :

• 특 징 : 기함수

1 1 

 y



2

2.6. 삼각함수의 그래프

2.6. 삼각함수의 그래프

2.6. 삼각함수의 그래프

2.6. 삼각함수의 그래프

2.6. 삼각함수의 그래프

x y cos )

2

(  •

• 치 역 :

• 주 기 :

• 특 징 : 우함수

1 1  

 y



2

2.6. 삼각함수의 그래프 – 그래프 보기

x y tan )

3

( 

• 정의역 :

(n은 정수)인 모든 실수

• 치 역 : 실수 전체

• 주 기 :

• 특 징 : 기함수

2  1 2 

 n x



2.6. 삼각함수의 그래프

연습문제

가 에서 최대값 M을 가질 때, 와 M 을 각각 구하여라.

x

y  sin x  



[ ]

^{, 1}

2 

  M



2.6. 삼각함수의 그래프

 _ 2 n

(1) n이 홀수이면 sin은 cos , cos 은 sin , tan는 cot로 바뀌고,

n이 짝수이면 sin은 sin , cos 은 cos , tan는 tan 즉, 함수는 불변이다.

(2) 를 예각으로 보고 가 몇 사분면에 있는지를 판정하여 부호를 결정한다.







 n

 90

2.7. 의 삼각함수

그래프로 보기(1) : ^{ }

1

-1 1

-1

x y

P(x,y)

P (x ,y ) =P (x, -y)







 _ 2

2.7. 의 삼각함수 n

그래프로 보기(2) : ^{  }

2 y

1

x

1

-1

 

2 



P(x,y)

P (x ,y ) =P (y, x)

 _ 2

2.7. 의 삼각함수 n

그래프로 보기(3) : ^{  }

1 1

-1 -1



 



P(x,y) P (x ,y )

=P (-x,y)

 _ 2

2.7. 의 삼각함수 n

*point-up

sin, tan 는 기함수 이고, cos 은 우함수 이므로



 ^{) sin}

sin(   



 ^{) cos}

cos(  



 ^{) tan}

tan(   

 _ 2

2.7. 의 삼각함수 n

연습문제

다음 삼각비의 값을 구하여라.

 210 sin

) 1 (

 480 cos

) 2 (

[ ]

2 ) 1

2 2 (

) 1 1

(  

 _ 2

2.7. 의 삼각함수 n

삼각함수 최대값 최소값 주기

)

sin( bx c a

y  

) cos( bx c a

y  

) tan( bx c a

y  

a a

 a

 a

b

 2

b

 2

b

없다. 없다.



2.8. 삼각함수의 최대, 최소와 주기

* point-up

함수 f(x)의 정의역에 속하는 모든 x에 대하여

를 만족시키는 0이 아닌 상수 p가 존재할 때, 함수 f(x)는 주기함수이고, 상수 p중에서

최소인 양수가 함수의 주기이다.

) (

)

( x p f x

f  

함수의 주기 ?

2.8. 삼각함수의 최대, 최소와 주기

연습문제

함수 의 최대값, 최소값 및 주기를 구하여라.

) 60 2

2 cos(

1  

 x

y

[최대: ]

₂ ¹

2

 1

[주기: ]



2.8. 삼각함수의 최대, 최소와 주기

(1) 한 종류의 삼각함수로 통일 하여

꼴로 나타낸다.

이 때, y=sinx와 y=a의 그래프를 그려서 특수해를 구하고, 각의 제한이 없는

경우에는 일반해를 구한다.

) tan

, (cos

sin x  a x  a x  a

2.9. 삼각방정식

(2) 꼴의

삼각방정식은 를 대입한 다음 로 치환하여

이차방정식을 풀고 (1) 에서와 같이 x를 구한다.

0 cos

sin

x  b x  c  a

x

x

2

1 cos

sin  

x t  cos

* 삼각부등식 의 해법

우선 삼각방정식으로 생각해서 푼 후 그래프를 그려서 해결한다.

2.9. 삼각방정식

연습문제

일 때, 다음 삼각방정식을 풀어라.



2 0  x 

0 1

sin

cos ² x  x  

[ ]

^

2

 3

x

삼각형 ABC에서 세 각 의 크기를 각각 A, B, C 로 나타내고 이들의

대변의 길이를 각각 a, b, c라 할 때 A, B, C, a, b, c

를 삼각형의 6요소 라 한다.

C B

A  

 , ,

2.10. 삼각형의 6요소

삼각형 ABC의 세 각

A, B, C 와 세 변의 길이 a, b, c 및 외접원의

반지름의 길이 R사이에는 다음이 성립한다.

C R c B

b A

a 2

sin sin

sin   

a

b c

A

B C

R

2.11. 사인 법칙

a c b

A

B C

h

H

c B  h sin

) 1 ( sin B  c

h 

b C  h sin

) 2 ( sin

C

b

h 

c b 

 proof))

2.11. 사인 법칙

A

B C

H 

a c b

a H B C 

 sin

) 3 ( sin B  a

H

C  

b H A C 

 sin

) 4 ( sin

A

b

H

C  

b a 



2.11. 사인 법칙

연습문제

삼각형ABC에서

일 때, a와 외접원의 반지름의 길이 R을 구하여라.

2 ,

30 ,

60    

 B b

A

A B

C b a

O





2.11. 사인 법칙

B c

C b

a  cos  cos

A c

C a

b  cos  cos

A b

B a

c  cos  cos

A

B C

a c b

2.11. 사인 법칙 – 코사인 제 1법칙

proof)) 90

)

( i C 

A

B H C

a c b

HC BH

a  





2.11. 사인 법칙 – 코사인 제 1법칙

proof)) 90

)

( ii C  ^A

B

a C

b

0 c

90 cos

cos C 



B c

a  cos

C b

B

c cos  cos



2.11. 사인 법칙 – 코사인 제 1법칙

proof)) 90

)

( iii C 

A

B C H

a

b c

CH BH

a  

) 180

cos(

cos B b C

c  







2.11. 사인 법칙 – 코사인 제 1법칙

A

B C

a c b

A bc

c b

a





 2 cos

B ac

c a

b





 2 cos

C ab

b a

c





 2 cos

2.11. 사인 법칙 – 코사인 제 2법칙

* point-up : 삼각형의 해법

일반적으로, 삼각형을 풀 때는 다음과 같은 법칙을 이용한다.

(1) 한 변과 두 각이 주어질 때 : 사인법칙 (2) 두 변과 그 끼인 각이 주어질 때 :

코사인 법칙, 사인법칙

(3) 세 뱐이 주어질 때 : 코사인 법칙

2.11. 사인 법칙 – 코사인 제 1법칙

연습문제

삼각형 ABC 에서 일 때, a 를 구하여라







 3 , c 6 , A 60 b

[ ]

a  3 3

(1) 이웃하는 두변과 끼인 각의 크기를 알 때



2 sin 1 ab S 

a

b



2.11. 사인 법칙 – 삼각형의 넓이

(2) 외접원의 반지름, 세변의 길이를 알 때 :

a

b O c

R

R

S abc

 4

2.11. 사인 법칙 – 삼각형의 넓이

(3) 외접원의 반지름, 세각의 크기를 알 때 :

R O

A

B C

C B

A R

S  2

sin sin sin

2.11. 사인 법칙 – 삼각형의 넓이

(4) 내접원의 반지름, 세변의 길이를 알 때 :

a c b

r

O

S ( a b c ) r

2

1  



2.11. 사인 법칙 – 삼각형의 넓이

(5) Heron의 공식 :

세 변의 길이만을 알고 있을때,

) 2 (

1 a b c

s   

) )(

)(

( s a s b s c s

S    

2.11. 사인 법칙 – 삼각형의 넓이

(6) 삼각형의 꼭지점의 좌표 를 알고 있을 때 :

) ,

( ),

, (

), ,

( x

y

B x

y

C x

y

A

3 1 2

3 1

2 1

3 3

2 2

2

1 x y x y x y x y x y x y

S      

1 1 3

3 2

2 1

1

2 1

y x y

x y

x y

S  x

2.11. 사인 법칙 – 삼각형의 넓이

삼각함수 를

또는 의 꼴로 변형

2.12. 삼각함수의 합성



 cos

sin b

a   sin(    ) )

cos(  

 

a

b P(a,b)

x y

O

2

2 b

a 



a

b P(b,a)

x y

O

2

2 b

a 



(a) (b)

그림 2.19(a)에서

2.12. 삼각함수의 합성

a

b P(a,b)

x y

O

2

2 b

a 

2 

sin 2

b a

b

 



2

cos 2

b a

a

 

 ,

이므로 의 꼴의 합성은 다음과 같이 구해진다.

r sin(   a )

) cos

(sin cos

sin 2 2 2 2

2 2

b a

b b

a b a

a b

a   

 





   



) sin cos

cos

2(sin

2      

 a b

) sin(

cos

sin    ²  ²  

a b a b

2

2 b

a   a² b² 2( 360^)

최대값 최소값 주 기

그림 2.19(b)에서

2.12. 삼각함수의 합성

2

sin 2

b a

a

 



2

cos 2

b a

b

 

 ,

이므로 의 꼴의 합성은 다음과 같이 구해진다.

r cos(    )

) cos

(sin cos

sin 2 2 2 2

2 2

b a

b b

a b a

a b

a   

 





   



) cos cos

sin

2 (sin

2      

 a b







    



a

b P(b,a)

x y

O

2

2 b

a 



2

2 b

a   a² b² 2( 360^)

최대값 최소값 주 기

의 합성

2.12. 삼각함수의 합성





a 

) sin(

cos

sin b   a² b²  

a ^단,

a

1 b tan^

 

(1)

) cos(

cos

sin b   a² b²  

a ^단,

b

1 a tan^

 

(2)

☞ 삼각함수의 덧셈정리로부터 얻어지는 공식들의 유도 과정

☞

덧셈 정리 2배각 정리

3배각 정리

반각 정리

곱을 합(또는 차)으로 고치는 공식