삼각함수-2
2014년 3월 17일[수]
정윤수[bukmunro@gmail.com]
x y sin )
1
( •
정의역 : 실수 전체• 치 역 :
• 주 기 :
• 특 징 : 기함수
1 1
y
2
2.6. 삼각함수의 그래프
2.6. 삼각함수의 그래프
2.6. 삼각함수의 그래프
2.6. 삼각함수의 그래프
2.6. 삼각함수의 그래프
x y cos )
2
( •
정의역 : 실수 전체• 치 역 :
• 주 기 :
• 특 징 : 우함수
1 1
y
2
2.6. 삼각함수의 그래프2.6. 삼각함수의 그래프 – 그래프 보기
x y tan )
3
(
• 정의역 :
(n은 정수)인 모든 실수
• 치 역 : 실수 전체
• 주 기 :
• 특 징 : 기함수
2 1 2
n x
2.6. 삼각함수의 그래프
연습문제
가 에서 최대값 M을 가질 때, 와 M 을 각각 구하여라.
x
y sin x
[ ]
, 1
2
M
2.6. 삼각함수의 그래프
2 n
(1) n이 홀수이면 sin은 cos , cos 은 sin , tan는 cot로 바뀌고,
n이 짝수이면 sin은 sin , cos 은 cos , tan는 tan 즉, 함수는 불변이다.
(2) 를 예각으로 보고 가 몇 사분면에 있는지를 판정하여 부호를 결정한다.
n
90
2.7. 의 삼각함수
그래프로 보기(1) :
1
-1 1
-1
x y
P(x,y)
P (x ,y ) =P (x, -y)
2
2.7. 의 삼각함수 n
그래프로 보기(2) :
2 y
1
x
1
-1
2
P(x,y)
P (x ,y ) =P (y, x)
2
2.7. 의 삼각함수 n
그래프로 보기(3) :
1 1
-1 -1
P(x,y) P (x ,y )
=P (-x,y)
2
2.7. 의 삼각함수 n
*point-up
sin, tan 는 기함수 이고, cos 은 우함수 이므로
) sin
sin(
) cos
cos(
) tan
tan(
2
2.7. 의 삼각함수 n
연습문제
다음 삼각비의 값을 구하여라.
210 sin
) 1 (
480 cos
) 2 (
[ ]
2 ) 1
2 2 (
) 1 1
(
2
2.7. 의 삼각함수 n
삼각함수 최대값 최소값 주기
)
sin( bx c a
y
) cos( bx c a
y
) tan( bx c a
y
a a
a
a
b
2
b
2
b
없다. 없다.
2.8. 삼각함수의 최대, 최소와 주기
* point-up
함수 f(x)의 정의역에 속하는 모든 x에 대하여
를 만족시키는 0이 아닌 상수 p가 존재할 때, 함수 f(x)는 주기함수이고, 상수 p중에서
최소인 양수가 함수의 주기이다.
) (
)
( x p f x
f
함수의 주기 ?
2.8. 삼각함수의 최대, 최소와 주기
연습문제
함수 의 최대값, 최소값 및 주기를 구하여라.
) 60 2
2 cos(
1
x
y
[최대: ]
2 1
[최소: ]2
1
[주기: ]
2.8. 삼각함수의 최대, 최소와 주기
(1) 한 종류의 삼각함수로 통일 하여
꼴로 나타낸다.
이 때, y=sinx와 y=a의 그래프를 그려서 특수해를 구하고, 각의 제한이 없는
경우에는 일반해를 구한다.
) tan
, (cos
sin x a x a x a
2.9. 삼각방정식
(2) 꼴의
삼각방정식은 를 대입한 다음 로 치환하여
이차방정식을 풀고 (1) 에서와 같이 x를 구한다.
0 cos
sin
2x b x c a
x
x
22
1 cos
sin
x t cos
* 삼각부등식 의 해법
우선 삼각방정식으로 생각해서 푼 후 그래프를 그려서 해결한다.
2.9. 삼각방정식
연습문제
일 때, 다음 삼각방정식을 풀어라.
2 0 x
0 1
sin
cos 2 x x
[ ]
2
3
x
2.9. 삼각방정식삼각형 ABC에서 세 각 의 크기를 각각 A, B, C 로 나타내고 이들의
대변의 길이를 각각 a, b, c라 할 때 A, B, C, a, b, c
를 삼각형의 6요소 라 한다.
C B
A
, ,
2.10. 삼각형의 6요소
삼각형 ABC의 세 각
A, B, C 와 세 변의 길이 a, b, c 및 외접원의
반지름의 길이 R사이에는 다음이 성립한다.
C R c B
b A
a 2
sin sin
sin
a
b c
A
B C
R
2.11. 사인 법칙
a c b
A
B C
h
H
c B h sin
) 1 ( sin B c
h
b C h sin
) 2 ( sin
C
b
h
c b
proof))
2.11. 사인 법칙
A
B C
H
a c b
a H B C
sin
) 3 ( sin B a
H
C
b H A C
sin
) 4 ( sin
A
b
H
C
b a
2.11. 사인 법칙
연습문제
삼각형ABC에서
일 때, a와 외접원의 반지름의 길이 R을 구하여라.
2 ,
30 ,
60
B b
A
A B
C b a
O
2.11. 사인 법칙
B c
C b
a cos cos
A c
C a
b cos cos
A b
B a
c cos cos
A
B C
a c b
2.11. 사인 법칙 – 코사인 제 1법칙
proof)) 90
)
( i C
A
B H C
a c b
HC BH
a
2.11. 사인 법칙 – 코사인 제 1법칙
proof)) 90
)
( ii C A
B
a C
b
0 c
90 cos
cos C
B c
a cos
C b
B
c cos cos
2.11. 사인 법칙 – 코사인 제 1법칙
proof)) 90
)
( iii C
A
B C H
a
b c
CH BH
a
) 180
cos(
cos B b C
c
2.11. 사인 법칙 – 코사인 제 1법칙
A
B C
a c b
A bc
c b
a
2
2
2 2 cos
B ac
c a
b
2
2
2 2 cos
C ab
b a
c
2
2
2 2 cos
2.11. 사인 법칙 – 코사인 제 2법칙
* point-up : 삼각형의 해법
일반적으로, 삼각형을 풀 때는 다음과 같은 법칙을 이용한다.
(1) 한 변과 두 각이 주어질 때 : 사인법칙 (2) 두 변과 그 끼인 각이 주어질 때 :
코사인 법칙, 사인법칙
(3) 세 뱐이 주어질 때 : 코사인 법칙
2.11. 사인 법칙 – 코사인 제 1법칙
연습문제
삼각형 ABC 에서 일 때, a 를 구하여라
3 , c 6 , A 60 b
[ ]
a 3 3
2.11. 사인 법칙 – 코사인 제 1법칙(1) 이웃하는 두변과 끼인 각의 크기를 알 때
2 sin 1 ab S
a
b
2.11. 사인 법칙 – 삼각형의 넓이
(2) 외접원의 반지름, 세변의 길이를 알 때 :
a
b O c
R
R
S abc
4
2.11. 사인 법칙 – 삼각형의 넓이
(3) 외접원의 반지름, 세각의 크기를 알 때 :
R O
A
B C
C B
A R
S 2
2sin sin sin
2.11. 사인 법칙 – 삼각형의 넓이
(4) 내접원의 반지름, 세변의 길이를 알 때 :
a c b
r
O
S ( a b c ) r
2
1
2.11. 사인 법칙 – 삼각형의 넓이
(5) Heron의 공식 :
세 변의 길이만을 알고 있을때,
) 2 (
1 a b c
s
일 때,) )(
)(
( s a s b s c s
S
2.11. 사인 법칙 – 삼각형의 넓이
(6) 삼각형의 꼭지점의 좌표 를 알고 있을 때 :
) ,
( ),
, (
), ,
( x
1y
1B x
2y
2C x
3y
3A
일 때 :3 1 2
3 1
2 1
3 3
2 2
2
11 x y x y x y x y x y x y
S
1 1 3
3 2
2 1
1
2 1
y x y
x y
x y
S x
2.11. 사인 법칙 – 삼각형의 넓이
삼각함수 를
또는 의 꼴로 변형
2.12. 삼각함수의 합성
cos
sin b
a sin( ) )
cos(
a
b P(a,b)
x y
O
2
2 b
a
a
b P(b,a)
x y
O
2
2 b
a
(a) (b)
그림 2.19(a)에서
2.12. 삼각함수의 합성
a
b P(a,b)
x y
O
2
2 b
a
2
sin 2
b a
b
2
cos 2
b a
a
,
이므로 의 꼴의 합성은 다음과 같이 구해진다.
r sin( a )
) cos
(sin cos
sin 2 2 2 2
2 2
b a
b b
a b a
a b
a
) sin cos
cos
2(sin
2
a b
) sin(
cos
sin 2 2
a b a b
2
2 b
a a2 b2 2( 360)
최대값 최소값 주 기
그림 2.19(b)에서
2.12. 삼각함수의 합성
2
sin 2
b a
a
2
cos 2
b a
b
,
이므로 의 꼴의 합성은 다음과 같이 구해진다.
r cos( )
) cos
(sin cos
sin 2 2 2 2
2 2
b a
b b
a b a
a b
a
) cos cos
sin
2 (sin
2
a b
a
b P(b,a)
x y
O
2
2 b
a
2
2 b
a a2 b2 2( 360)
최대값 최소값 주 기
의 합성
2.12. 삼각함수의 합성
sin sin ba
) sin(
cos
sin b a2 b2
a 단,
a
1 b tan
(1)
) cos(
cos
sin b a2 b2
a 단,
b
1 a tan
(2)
☞ 삼각함수의 덧셈정리로부터 얻어지는 공식들의 유도 과정
☞
덧셈 정리 2배각 정리
3배각 정리
반각 정리
곱을 합(또는 차)으로 고치는 공식