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제 3 강 2계 상미분방정식제 3 강 2계 상미분방정식

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(1)

제 3 강

2계 상미분방정식

(2)

1.2계 선형 상미분방정식(Linear D. E. of second order)

(3)

1. 2계 선형 상미분방정식(Linear D. E. of second order)

(4)

2. 다른 근 구하기

(How to obtain another basis if one basis is known) 

'  '  ' 

'  ' 

'  ' 

'  ' 

'  , 

'  ' 

.  )  ( 

)  ( 

)  ( 

)  ( 

:  0  ) 

(  ' 

)  (  ' 

uy 

uy 

unknown 

known 

al  proportion  Not 

y

+ +

+

= +

=

×

=

=

®

¹

= +

+

(5)

2. 다른 근 구하기

(How to obtain another basis if one basis is known) 

0  ) 

(  '  )  ' 

2  ( 

)  '  ' 

'  '  2 

1

= +

+ +

+ +

×

=

+ +

+ +

+

= +

qy  py 

py 

quy  uy 

uy 

qy  py 

y

ò ò

ò

ò ò

ò ò

×

=

=

\

+ -

=

=

+ -

= +

-

= - +

=

¬

= +

+

×

=

=

= +

+

× 

)  '  ) 

(  2 (  exp  ' 

)  '  ) 

(  2 (  exp  , 

'  )  (  2

ln 

'  2 

.  0 

)  ' 

2  (  ' 

,  ' 

,  0  ' 

)  ' 

2  ( 

dx 

dx 

dx 

dx 

dx 

dx  py 

dU 

form  Separable 

py 

py 

y

(6)

3. 2계 상수계수 선형 제차 상미분방정식(Second order

homogeneous ordinary D.E. with constant coefficients)

(7)

3. 2계 상수계수 선형 제차 상미분방정식(Second order

homogeneous ordinary D.E. with constant coefficients)

(8)

3. 2계 상수계수 선형 제차 상미분방정식(Second order

homogeneous ordinary D.E. with constant coefficients)

(9)

3. 2계 상수계수 선형 제차 상미분방정식(Second order

homogeneous ordinary D.E. with constant coefficients)

예제 1 

sol 

.  0 

16  y p  

2

=

,  ,  4  4 

0  4 ) 

(  4 )  16  ( 

16  0 

"

p p

p p

l p l p

l p l p

l p p

+

=

=

=

= -

=

= -

+

= -

= -

- -

(10)

3. 2계 상수계수 선형 제차 상미분방정식(Second order

homogeneous ordinary D.E. with constant coefficients)

예제 2 

sol 

.  0  ' 

ky  +

2

=

kx  kx  kx 

kx  kx 

k

- - -

- -

+

=

× +

=

×

=

=

= +

= +

)  ( 

0  ) 

(  2 

2

l l

l  

k

-

l  

= , 중근

(11)

3. 2계 상수계수 선형 제차 상미분방정식(Second order

homogeneous ordinary D.E. with constant coefficients)

예제 3 

sol 

0  ) 

4  ( 

'

+ + =

y w  

)  sin 

cos  ( 

sin  , 

cos 

2  , 

2  2  ) 

4  (  4  2 

0  ) 

4  (  4

- -

-

+

=

\

×

=

×

=

- -

= +

-

=

± -

=

-

± -

= +

-

± -

=

= +

+ +

w w

w w

w l

w l

w w w

l

w l

l

(12)

3. 2계 상수계수 선형 제차 상미분방정식(Second order

homogeneous ordinary D.E. with constant coefficients)

예제 4 

sol 

2  6 

)  0  (  , 

2  ) 

0  (  , 

0  ) 

1  4 

"

-

= -

=

= +

+

- p   p

)  )  2  sin  2 

cos  2  (( 

2  6 

)  0  ( 

2  ) 

0  ( 

)  2  sin  2 

cos  ( 

2  sin  , 

2  cos 

2  1 

,  2  1 

2  1  4 

1  )  1  4 

(  1  1 

0  )  1  4 

(  2 

2

p p

p p

p p

p p

p

p p

p p

p l

p l

p p

p l

p l

l

+ -

= -

=

= -

=

+

=

÷ ÷ ø ö ç ç

è æ

×

=

×

=

× -

=

× +

=

±

= -

±

= + -

±

=

= + +

-

=

(13)

4. 미분연산자(Differential operator) 

'  '  ) 

(  ) 

(  , 

dx  dx 

dy  dx 

dx  Dy  dy 

dx 

= =

y

=

= = =

by  ay 

by  aDy 

aD 

aD 

L

+ +

=

+ +

=

+ +

=

=

+ +

=

)  ( 

)  )( 

(  ) 

)  ( 

2

(14)

4. 미분연산자(Differential operator)

예제 5 

(  64 

2

16  + 1  )  = 0  sol 

,  8  ,  1 

0  8  )

(  1  64 

1  4 

64  0  '  1 

"  1 

0  ' 

16 

64

-

-

= ×

=

-

=

= +

= +

+

= +

+

= +

+

l

l l

l

(15)

5. 2계 선형 제차 상미분방정식 / Euler-Cauchy equation 

0  ' 

2

axy  + by  =

0  ) 

1  ( 

0  ) 

1  ( 

,  0 

0  } 

)  1  ( 

)  1  ( 

)  1  ( 

)  1  ( 

,  ' 

1

= +

- +

= +

+ -

¹

= +

+ -

=

+ +

-

=

+

× +

-

×

-

=

=

=

- -

-

am 

am 

bx  amx 

bx  mx 

ax 

mx 

: m의 특성 방정식

(16)

5. 2계 선형 제차 상미분방정식 / Euler-Cauchy equation 

0  ) 

2

= +

-

4  ) 

1  ( 

)  1 

m - - ± - -

root 

double  real 

ii 

roots  real 

distinct 

)  ln 

)  (  (  ) 

(  , 

;  ( 

,  0  4 

)  1  ( 

)  , 

;  ( 

,  0  4 

)  1  ( 

1

=

×

=

¹

=

=

= -

-

+

=

=

=

>

-

-

(17)

5. 2계 선형 제차 상미분방정식 / Euler-Cauchy equation

예제 6 

10 

2

46  xy  '  + 32  .  4  = 0 

sol 

ln 

ln  , 

5  , 9 

10  0  18 

10 

324  18 

18 

0  4 

.  32  36 

10 

4  .  32  46 

)  1  ( 

10 

2

× +

=

×

=

=

-

=

±

= - -

±

= -

= +

+

=

+ +

-

- -

- -

중근

(18)

5. 2계 선형 제차 상미분방정식 / Euler-Cauchy equation

예제 7 

sol 

0  ) 

xD 

2

=

equation  Cauchy 

Euler  xy 

xy 

ln 

ln  , 

,  0  , 

0  ) 

1  ( 

:  0  ' 

0  ' 

2

+

=

=

=

=

=

=

= +

-

-

= +

=

+

(19)

6. 2계 선형 비제차 상미분방정식

미정 계수법(method of undetermined coefficients) 

)  (  ) 

(  ' 

)  ( 

y

+ + =

일반해 : (여기서 y 

y

+

는 r(x)의 근) 

)  (  ' 

ay  by 

y + + =

(20)

6. 2계 선형 비제차 상미분방정식

미정 계수법(method of undetermined coefficients) 

rx  rx 

rx  rx 

wx 

wx 

wx  ke 

wx 

wx 

wx 

wx 

wx 

wx 

kx 

ce  ke 

for  Choice 

in  Term 

)  sin 

cos  ( 

cos 

sin  cos 

sin 

sin  cos 

cos 

)  3  ,  2  ,  1  ,  0  ( 

)  ( 

1

+

×

+ +

+ +

+ +

= L

- -

L

(21)

6. 2계 선형 비제차 상미분방정식

예제 8 

" = 2 

+ 6 

sol 

xe 

xe 

xe 

xe 

xe 

xe 

2  , 

6  3 

1  , 

2  2 

6  2 

3  2 

4  2 

2  ' 

)  ( 

,  1  ,  1 

0  ) 

1  ( 

)  1  ( 

1

+

=

=

=

=

=

+

= +

=

- -

+ +

+ +

+

=

+ +

=

+

=

=

= -

=

= -

+

= -

- -

중근 가

실근 l 두

l l

l

(22)

6. 2계 선형 비제차 상미분방정식

변수변환법(Method of variation of parameters) 

)  (  ) 

(  ' 

)  ( 

y +  + =

.  , 

x 에 대한 근 를 구하는 가장 일반적 해법이다

dx 

dx 

p

-

ò

× +

ò

×

dx 

dx 

or  p

ò

× +

ò

×

(23)

6. 2계 선형 비제차 상미분방정식

변수변환법(Method of variation of parameters)

증명 대한

의 

qy 

py 

" + ' + = (  ) 

(24)

6. 2계 선형 비제차 상미분방정식

예제 9 

'  + 5  =

2

× cosec  sol 

dx 

dx 

dx 

cot  sin 

cos 

sin  cos 

sin  sin  sin 

cos 

sin  (cos 

sin  cos 

sin 

cos  sin 

cos 

cos  sin 

sin  cos 

sin 

cos 

sin 

cos 

2

× +

×

× -

=

×

×

×

× +

×

×

×

× -

=

= +

=

× -

×

× -

× +

×

×

=

× +

×

× -

×

×

= ×

×

=

×

=

±

= -

±

=

= + -

ò

ò ò

공액복소근 l

l l

참조

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