계 선형 상미분방정식 2

계 선형 상미분방정식 2

1. 2계 제차 선형 상미분방정식

2"#$!′′ + q"#$!′ + r"#$!& 5 "2"#$ ≠5$ ⇔ !′′ + c"#$!′ + s"#$! & 5 "표준형$

계 제차 선형 상미분방정식의 기본 정리

[2 ]

!₃* !_- 가 계 제차 선형 상미분방정식 2 !′′ + c"#$!′ + s"#$! & 5 의 해라면

! & /₃!₃ + /_-!_- "/₃* /_- 는 임의의 상수$

은 계 제차 선형 상미분방정식 2 !′′ + c"#$!′ + s"#$! &5 의 해이다.

증명:

주의: 2계 제차 선형 상미분방정식의 기본 정리는 비제차, 비선형에서는 성립하지 않는다.

예: ( ) ㄱ !₃& 3 + /0'#* !_-& 3 + '()# 는 비제차 미분방정식 !′′ + ! & 3 의 해이다. 그러나 !₃ + !_- 는 주어진 비제차 방정식의 해가 아니다.

( ) ㄴ !₃& 3* !_-& #^- 는 비선형 미분방정식 !!′′ . #!′ & 5 의 해이다. 그러나 !₃ + !_- 는 주어진 비선형 미분방정식의 해가 아니다.

정의: !₃* !_- 가 계 제차 선형 상미분방정식 2 !′′ + c"#$!′ + s"#$! & 5 의 해라고 하자. 이 때,

6!₃

!_-

≠ 상수 또는 6!_-

!₃

≠상수

이면 두 해

!₃ 과 !_- 는 일차 독립한해라고 말한다. 이 경우

! & /₃!₃ + /_-!_- "/₃* /_-는 임의의 상수$

를 계 제차 선형 상미분방정식

2 !′′ + c"#$!′ + s"#$! & 5 의 일반해라고 부른다. 만일 어 떤 구간

t 위에서 c"#$* s"#$ 가 연속함수이면 일반해가 2계 제차 선형 상미분방정식 !′′ + c"#$!′ + s"#$! & 5 의 모든 해이다. 상수 /₃* /_- 에 어 떤 특정한 수를 대입하여 얻

어진 해를 우리는 계 제차 선형 상미분방정식

2 !′′ + c"#$!′ + s"#$! &5 의 특수해라고 부

른다 그리고

.

u

^!3* !_-

v

를 계 제차 선형 상미분방정식 2 !′′ + c"#$!′ + s"#$! & 5 의 해집 합의 기저라고 부른다

.

기저 구하기: !₃ 이 계 제차 선형 상미분방정식 2 !′′ + c"#$!′ + s"#$! & 5 표준형( ) 의 알려진 한 해라면

!₃ 의 일차독립한 한 해 !_- 는 다음처럼 표현된다.

!_-& !₃

C

⁶_!

3-

@^.

C

^c"#$7#

7#

증명: 일차독립한 해 !_- 를 !_-& 1!₃라고 표현하면

주의: !₃ 의 일차독립한 해는 무수히 많다. 따라서 적당한 가장 간단한( ) 일차독립한 해를 구해서 일반해를 구하면 된다

.

문제: !₃& # 는 계 재차 선형 상미분방정식 2

"

#^- . #

$

!′′ . #!′ + ! & 5 의 한 해이다. 이 주어 진 미분방정식의 일반해를 구하시오

.

계 비선형 상미분방정식은 적절한 치환을 통하여 계 상미분방정식으로 변환시켜 해를 구한다

2 1 .

!′ & 67#

7! & 1 ⇒ !′′ & 67#

71 또는 !′′ & 67#

71 & 67!

7167#

7! &167!

71

문제: 다음 계 상미분방정식을 계 상미분방정식으로 변환시켜 해를 구하시오2 1 .

( ) ㄱ !′′ & 3 + "!′$^-

( ) ㄴ !!′′ & J"!′$^-

( ) ㄷ !′′ + "!′$^,'() ! & 5

( ) ㄹ #!′′ + -!′ + #!& 5

( ) ㅁ

"

3 . #^-

$

!′′ . -#!′ + -! & 5* !₃& #

상수 계수를 계 제차 선형 상미분 방정식2

<!′′ + =!′ + /! &5 "< ≠5* =* / 는 임의의 상수$

의 해를 구할 때, 우선적으로 ! & @^x# "x는 상수$를 해로 시도해 보면

!′ &x@^x#* !′′ & x^-@^x# 이고 이를 주어진 미분방정식에 대입하면

@^x#

"

<x^- + =x + /

$

& 5 ⇒ <x^- + =x + / & 5 "특성 방정식$

을 얻는다. 여기서 근의 공식을 통하여 x 값을 결정하면 주어진 미분방정식의 일반해를 구할 수 있 고, 이 경우에는 일반해가 모든 해 (why?)이므로 다른 형태의 해는 존재하지 않는다.

특성 방정식 <x^- + =x + / &5 의 해를 구하면

x₃ & 6-<

. = + l⁶=^- . J</

* x_-& 6-<

.= . l⁶=^- . J</

"

y& =^- . J</ p 판별식

$

이다.

경우

( ) ㄱ 1: y E 5

!₃&@^x3#* !_-&@^x-# 는 6!3

!_-

& @^{"x- . x3$#} ≠상수 "∵x₃≠x_-$ 이므로 일차독립한 해들이

다 따라서 일반해는 다음처럼 표현된다

. .

! &G@^x3# + m@^x-# "G* m 는 임의의 상수$

경우

( ) ㄴ 2: y & 5

!₃& @^{. 6-<}

=#

이 한 해이다. 이 때, !₃의 일차독립한 한 해 !_-는 공식을 통하여 다음처럼 주 어진다

.

!_-& #!₃& #@^{. 6-<}

=#

그러므로

! & @^{. 6-<}

= #

"G + m#$ 가 일반해이다.

경우

( ) ㄷ 3: yF 5

우리는 서로 다른 두 해를 가진다.

x3& 6-<

. = + l⁶.y (* x-& 6-<

. = . l⁶.y (

"( &l⁶. 3 $

이므로 !₃* !_- 를 다음처럼 표현할 수 있다.

x₃& 2 + q (* x_-& 2 . q ( "2& 6-<

.=* q & 6-<

l⁶. y

≠5$

따라서 서로 일차 독립한 두 해

!₃& @"2 + q($#

⇒ !_,& @^2#/0' q #

!_-& @"2 . q($#

⇒ !_J& @^2#'() q # (오일러 공식)

!_,* !_J 를 얻는다.

그러므로 일반해는 다음처럼 표현된다.

! &@^2#"G /0' q# + m'() q#$ "G* m 는 임의의 상수$

문제: 다음 미분방정식의 해를 구하시오.

( ) ㄱ !′′ + !′ . -! & 5* !"5$ & J* !′"5$ & . I

( ) ㄴ !′′ + -!′ + !& 5* !"5$ &J* !"5$ & . H

( ) ㄷ !′′ + J!′ + I!& 5* !"5$ & -* !′"5$ & . I

모델화: 용수철 질량 문제 자유진동- ( )

-

D"용수철 상수$ E 5 +

완전히 늘어난 상태 '

"! &5$

추

평형상태 !

["추의 질량$ E 5

운동상태

뉴톤의 제2 운동법칙:

힘 질량 가속도

(Force)= ( [mass]) ( [acceleration]

즉, : & [<

비감쇠 비강제하에서 용수철 운동

(1) ,

비감쇠란 용수철이 주변 환경 그리고 시간에 영향을 받지 않는 상태를 의미하고, 비강제란 외부에서 용수철에 작용하는 힘이 없는 상태를 의미한다.

평형상태에서의 후커(Hooke) 법칙: D' &[A "A & 지구의 중력가속도$

D' 위로향하는 힘* [A & 아래로 향하는 힘

따라서 후커 법칙에 의하여

[!′′ & . D! 즉* [!′′ + D! & 5 이다.

그러므로 위의 미분방정식을 풀면 용수철 운동은 다음처럼 주어진다.

!"%$ &G /0' {₅% + m '() {₅% "G* m 는임의의 상수* {₅&

l

⁶⁶[ D $

이 운동은 조화 자유진동(Harmonic Oscillation)이라고 불린다.

K &l⁶G^- + m^- * | & <R/%<)

"

⁶G

m

$

& %<)^{. 3}

"

⁶G

m

$

라고 놓으면 위의 운동은 다음처럼 보다 간단히 표현된다.

!"%$ &K /0'

"

^{5% . |

$

주파수 진동수( )[frequ ency] & 6주기

3 & 6-j {₅

"주기 & 6{₅

-j$ , K & 진폭"<[c>(%17@$

추의 무게(Weight) = } &[A & D' "단위 & )% &DA 6'@/^- [ $

주위: 무게N>="c01)7$O ⇔ A & ,- 6 '@/^-

9% * 질량NDA O ⇔ A & ZkX6 '@/^-

[ * 질량NA O ⇔ A & ZX56 '@/^- /[

여기서 무게는 추의 무게 질량은 추의 질량이고

, , A 는 지구의 중력 가속도를 의미한다.

그리고

3-9% & 3-inch 이다. 평형상태 윗 지점은 (-)이고, 아랫 지점은 (+)이고, 상향

속도는 이고 하향속도는 이다

(-) , (+) .

문제: 무게가 ZX )%N약-- >="파운드$O인 아이런(iron) 볼이 용수철을 3k5Z [ "약 J, 인치$ 늘린다. 이 평형상태에서 용수철을 추가로

3H /[ 아래로 늘린 다음 초기 속도를 5 으로 주고 용수철

을 놓아았다 비감쇠 비강제 상태에 있는 용수철의 운동을 구하시오

. , .

문제: -파운드의 무게를 가지는 추가 용수철을 H인치만큼 늘린다. % & 5일 때, 질량은 평형위치로 부터

X인치 내려간 지점에서 6J , 6'@/

9% 의 상향속도를 가진다. 비감쇠, 비강제 상태에 있는 용수

철의 운동 방정식 을 구하시오 그리고 주파수 진폭을 구하시오

( ) . , .

감쇠 비강제하에서 용수철의 운동

(2) ,

감쇠란 용수철이 주변 환경 그리고 시간에 영향을 받는 상태를 의미한다

, .

용수철의 감쇠상수를 / "/ E 5$ 라 놓으면 용수철의 감쇠력은

/ !′ "! & 추가로늘어난 용수철의 길이$ 이다.

따라서 운동 상태에 있는 용수철의 작용하는 힘은 다음처럼 주어 진다.

힘 &비감쇠에서작용하는 힘 . 감쇠력

그러므로

[!′′ & . D! . /!′ 즉* [!′′ + /!′ + D! &5

위의 미분방정식의 특성방정식은

[x^- + /x + D & 5 이고 판별식은 , y& /^- . J[D 이다.

( ) ㄱ y E 5 이면 용수철의 운동 유형은 과감쇠라고 부른다.

( ) ㄴ y F 5 이면 용수철의 운동 유형은 저감쇠라고 부른다.

( ) ㄷ y & 5 이면 용수철의 운동 유형은 임계감쇠라고 부른다.

문제: 감쇠 상태에 있으면서 무게가 ZX )%N약-- >="파운드$O인 아이런(iron) 볼이 용수철을 3k5Z[ "약 J, 인치$ 늘린다. 이 평형상태에서 용수철을 추가로 3H /[ 아래로 늘린 다음 초

기 속도를

5 으로 주고 용수철을 놓아았다. 감쇠상수 / 가 다음처럼 주어질 때 비강제 상태 에 있는 용수철의 운동을 구하시오

.

( ) ㄱ / & 355 6'@/

DA ( ) ㄴ / & H56'@/

DA ( ) ㄷ / & 35 6'@/

DA

문제: X파운드 무게의 추가 용수철을 -피트 늘어나게 한다. 순간속도의 두 배와 같은 값의 감쇠력 이 자유진동계에 작용한다고 가정하고, 추를 평형위치에서 , 9%~' 의 하향속도로 놓았을 때 비강제 상태에 있는 자유진동계의 운동 방정식을 구하시오. 그리고 운동 유형을 기술하시오.

문제: 3H파운드 무게의 추가 I 9% 길이의 용수철에 매달려 있다. 평형상태에서 용수철을 재니 Xk- 9% 였다. 추를 밀어 올려 평형위치 위 - 9% 지점에서 정지시켰다가 놓았다. 주변 매체

가 순간속도와 같은 저항력 감쇠력 준다고 알려져 있을 때 비강제 상태에 있는 용수철 질

( ) , -

량 계의 변위 운동 방정식 를 구하고 운동 유형을 기술하시오

( ) , .

오일러 코시 방정식-

미분방정식 #^-!′′ + <#!′ + =! & 5 "<* = 는 임의의 상수$ 을 우리는 오일러 코시 방정식이- 라고 부른다.

오일러 코시 방정식의 해를 구하는 법-

해로써 ! & #^[ "≠5$ 을 시도한다 그러면.

!′ & [#^{[ . 3}* !′′ & ["[ . 3$ #^{[ . -} 이고 이를 주어진 방정식에 대입하면,

#^[

N

[^- + "< . 3$[ + =

O

& 5 이다. #^[≠5 이므로 우리는 다음 특성방정식을 가진다.

[^- + "< . 3$[ + = & 5

위의 차 방정식의 판별식은 2 y &"< . 3$^- . J= 이다.

경우

( ) ㄱ : y E 5 ⇒ [ & [₃* [ & [_- "[₃≠[_-$

해

: !₃&#^[3* !_-& #^[-

[₃≠[_- 이므로 이 들 해는 일차독립이다 그러므로 일반해는 다음처럼 주어진다. .

! &G#^[3 + m#^[-

주의: 오일러 코시 방정식의 일반해 이외에 어떠한 해도 가지지 않는다- .(Why?)

경우

( ) ㄴ : y & 5 ⇒ [ & 6- 3 . <

해

: !₃& #^6-

3 . <

차수 줄이기 공식에 의해서

!₃ 에 일차독립한 해 !_- 는 다음처럼 주어 진다.

!_-& #^6-

3 . <

>)#

그러므로 일반해는 다음처럼 주어 진다

. ! &#^6-

3 . <

"G + m >) #$ "G* m 는 임의의 상수$

경우

( ) ㄷ : y F 5 ⇒ [& 2 ± q( "q≠5* ( &l⁶. 3 $

해

: !₃& #^{2 + q(}* !_-& #^{2 . q(}

오일러 공식을 이용하면 우리는 해

!₃* !_- 를 보다 친숙한 형태의 해로 변환시킬 수 있다.

!_,&#²/0'"q>)#$* !_J&#²'()"q>) #$

q≠5 이므로 !_, 와 !_J 는 명백히 일차도립한 해들이다.

그러므로 일반해는 다음처럼 주어진다

.

! & #²NG/0'"q>)#$ + m '()"q >) #$ O

문제: 다음 미분방정식의 해를 구하시오.

( ) ㄱ #^-!′′ . H! & 5

( ) ㄴ J#^-!′′ + J#!′ . !& 5

( ) ㄷ #^-!′′ + ,#!′ + ! & 5

( ) ㄹ #^-!′′ . J#!′ + H! &5* !"3$ & 3* !′"3$ & 5

( ) ㅁ #^-!′′ + ,#!′ + ! & 5* !"3$ & J* !′"3$ & . -

정리: 미분방정식 !′′ + c"#$ !′ +s"#$! & 5 "여기서* c"#$* s"#$ 는 연속함수$ 의 두 해 !₃ 과

!_- 가 일차독립이기위한 필요충분 조건은 !₃ 과 !_- 의 론스키안(Wronskian)

}

"

^!3* !_-

$

^&

f

^!!3³′ !^!_-^-′

f

& !₃!_-′ . !_-!₃′ ≠ 5 이다

.

비제차 계 선형 표준형 상미분방정식2

"∗$ !′′ + c"#$ !′ + s"#$ ! &R"#$ "c"#$ * s"#$* R"#$ ≠ 5 는 연속함수$

우리는 위의 미분방정식의 일반해를 구하고자 한다.

정리: 위의 미분방정식의 일반해는 다음처럼 표현된다.

!"#$ & !_;"#$ + !_c"#$

여기서

, !_;"#$ 는 "∗$ 의 제차 방정식의 일반해이고, !_c"#$ 는 "∗$ 의 특수해이다.

증명: !^∗ 는 "∗$ 의 임의의 해라고 하자 그러면 . !^∗. !_c 는 "∗$ 의 제차 방정식의 해이다.

그러므로

!^∗ . !_c"#$ & !_;"#$ 로 표현된다.

따라서

, !^∗& !_;"#$ + !_c"#$ 로 표현된다. [증명 끝]

주목: "∗$ 의 재차 방정식의 일반해를 구하는 것은 비교적 쉽지만 "∗$ 의 특수해를 구하는 것은

쉽지 않다 따라서 특수해를 구하는 방법을 찾아야만 한다

. .

"∗$ !′′ + c"#$ !′ + s"#$ !& R"#$ "c"#$* s"#$* R"#$ ≠ 5 는 연속함수$ 의 특수해 !_c"#$

를 구하는 법

미정계수법 미정계수법은 입력함수

(1) : R"#$ 에 의존한다. 따라서 매우 제한적이지만 계산하기가

비교적 쉽다 .

기본규칙 ( ) ㄱ

입력함수 R"#$ 특수해 !_c"#$ 의 선택 D@^2# G@^2#

D#⁾") & 5* 3* -* ⋯$ G₎#⁾ + G_{). 3}#^{) .3} + ⋯ + G₃# + G₅ ,#^- . - G#^- + m# + K

D /0'{# G/0' {# + m '(){#

D '(){# G/0' {# + m '(){#

- '(),# G /0' ,# + m '() ,#

D@^2#/0' {# @^2#"G/0'{# + m '() {#$

D@^2#'() {# @^2#"G /0'{# + m '(){#$

,@^I#'() J# @^I#"G/0'J# + m '()J#$

#^-@^,#

"

G#^- + m# + K

$

@^,#

#@^,#/0' J# "G# + m$@^,#/0' J# + "K# + y$@^,#'() J#

특수해 !_c"#$ 를 주어진 비제차 방정식에 대입하여 !_c"#$ 의 상수들을 결정함으로써 특수해 !_c"#$

를 구한다. 미정계수법에 적용되는 입력함수 R"#$ 는 어떤 특수한 미분규칙을 가진다. 예를 들면 R"#$ & '@/ # 이면 R"#$ 는 특수한 미분규칙을 가지지 않으므로 미정계수법을 이용할 수 있다. 미정 계수법을 이용할 수 없을 때 우리는 나중에 소개하는 매개변수변환법을 이용한다.

문제: 다음 초기값 문제의 해를 구하시오.

(a) !′′ + !& #^-* !"5$ & 5* !′"5$ &-

(b) !′′ . X!′ + -I! & I#^,@^{. #} . L@^{. #}

(c) !′′ + J! &#/0' #

수정규칙 ( ) ㄴ

비제차 미분방정식의 입력함수 R"#$ 가 비제차 미분방정식의 제차 부분의 일반해에 나탄나면 원래 선택한 특수해 !_c"#$ 에 # 를 곱해서 이용하는 데 만일 #!_c"#$ 가 또 비제차 미분방정식의 제차 부 분의 일반해에 나탄나면 #^-!_c"#$ 를 이용한다 이 경우에 ( #^-!_c"#$ 는 비제차 미분방정식의 제차 부 분의 일반해에 나타나지 않는다.)

#!_c"#$ ⇒ #^-!_c"#$ ⇒ #^,!_c"#$ ⇒ ⋯ 등 등

문제: 다음 미분방정식의 해를 구하시오.

(a) !′′ . -!′ + ! & @^#

(b) !′′ + ! & 35'() #* !"j$ &5* !′"j$ & -

합의 규칙 ( ) ㄷ

예를 들어 입력함수 R"#$ & J# + 35 /0'# 인 경우에 특수해 !_c"#$ &!_c

3"#$ + !_c

-"#$,

!_c

3"#$ &G# + m, !_c

-"#$ & K /0' # + y '() # 로 구분해서 특수해 !_c"#$ 를 구할 수 있다. 또는 구분하지 않고 특수해로써 !_c"#$ & G# + m + K /0'# + y '() # 를 선택하여 특수해를 구 할 수 있다.

문제: 다음 미분방정식의 해를 구하시오.

(a) !′′ + J!′ + I! & -I#^- + 3,'() -#

(b) !′′ + ! & J# + 35 '()#* !"j$ & 5* !′"j$ & -

© !′′ . H!′ + Z! & H#^- + - . 3-@^,#

(d) !^",$ + !′′ & @^#/0'#

매개변수변환법 (2)

입력함수

R"#$ 의 도함수가 어 떤 특수한 규칙을 가지지 않을 때 우리는 매개변수변환법을 이

용한다 미정계수법이 가능할 때는 매개변수변환법을 이용하는 것 보다는 미정계수법을 이용하는

.

것이 비교적 계산이 쉽다 여하튼 매개변수변환법은 모든 입력함수에 이용할 수 있다 하지만 경

. .

우에따라 계산시 적분을 해야 하는 데 이적분 계산이 용이치 않을 때가 있다

.

"∗$ !′′ + c"#$!′ + s"#$ ! &R"#$ [비제차 계 선형 2 ODE]

(a) "∗$의 재차 부분 !′′ + c"#$!′ + s"#$ !& 5 의 일반해 !_;"#$가

!_;"#$ & G!₃"#$ + m !_-"#$

로 표현되면 특수해

, !_c"#$를 다음처럼 선택한다.

!_c"#$ &1₃"#$ !₃"#$ + 1_-"#$ !_-"#$ "1₃"#$* 1_-"#$ 는 어떤 미지의 함수$

지금 우리는 미지의 함수

, 1₃"#$* 1_-"#$를 구해야만 한다.

미지의 함수

1₃"#$* 1_-"#$를 구하기 위해서 우리는 다음 조건을 만족하는 특수해 !_c"#$를 구

한다 .

1₃′"#$ !₃"#$ + 1_-′"#$ !_-"#$ & 5 ( )ㄱ

한편

, !_c"#$ 를 "∗$ 에 대입하여 우리는 다음 방정식을 얻어낸다.

1₃′"#$ !₃′"#$ + 1_-′"#$!_-′"#$ &R"#$؀ ( )ㄴ

크래머 규칙을 이용하여 의 연립 미분방정식으로부터 우리는

(Cramer) ( ), ( )ㄱ ㄴ

문제: 다음 미분방정식의 해를 구하시오.

(a) !′′ + ! & '@/ #

(b) !′′ + Z!& 6J /'/ ,#

© #^-!′′ . #!′ + ! & #>)?#?

(d) #^-!′′ + #!′ . J! & 6

#^- 3

(e) #^-!′′ . -#!′ + -! & #^,'() #

전기회로 RLC-

K

a € €

•"%$ & •₅'() {%

€t ′"%$ + a t "%$ + 6K

3`"%$ & •"%$ N`"%$ &

C

t"%$7%O

여기서, t"%$ 는 시간 % 에서 전류를 의미하고, `"%$ t"%$ 는 시간 % 에서 전하를 의미하고, a 은 옴의 저항, € 은 인덕턴스, K 는 커패시턴스, at * €t ′* 6K

3 ` 세 양은 전압강하를 뜻하고, a 의

단위는 옴"‚$, € 의 단위는 헨리"ƒ$, K 의 단위는 패럿":$ 이다.

적분기호를 없애기 위해, 시간 % 에 관하여 양변을 미분하면

€t ′′"%$ + a t ′"%$ + 6K

3 t"%$ & • ′ "%$ &•₅{ /0' {%

전기 시스템 역학 시스템

인덕턴스

€ 질량 [ 저항

a 감쇠상수 / 커패시턴스의 역수

6K

3 용수철 상수 D

전류

t"%$ 변위 !"%$

문제: a &33‚* €& 5k3 ƒ* K &5k53 : 을 갖고 •"%$ &355 '() J55 % 인 전압원에 연결된 a€K 회 로에서 전류

t"%$ 를 구하시오. [여기서, % & 5 일 때 전류와 전하는 5 이다.]

변환 안 상욱 Laplace

정의 함수 : 9 가 % ≥5 에서 정의될 때 적분 , ℒ"9"%$$ &

C

5

∞

@^.'%9"%$ 7% 가 수렴한다면 앞에 언급 , 한 이상적분을 함수

9 의 Laplace 변환(Laplace Transfor m)이라고 말한다 이 경우에 . 우측 이상적분은

' 에 관한 함수이므로 ℒ"9"%$$ &:"'$ 로 표현한다. 그리고 9"%$ 를 :"'$

의 역변환이라하고 이를 다음처럼 표현한다

Laplace .

9"%$ &ℒ^{. 3}":"'$$.

그러므로

, ℒ^{. 3}"ℒ"9"%$$$ & 9"%$ 이고 ℒ

"

ℒ^.3":"'$$

$

&:"'$ 이다.

이상적분의 정의: 9"#$ 가 N<* ∞$ 에서 정의된 연속 함수라고 하자.

C

_<^∞9"#$7# &

lim

a→∞

C

_<^a9"#$ 7# 적분 (

C

_<^a9"#$7# 는 미분적분학의 나타나는 보통적분 다ㅇ .) 보기: (1) 9"%$ & 3* 5 ≤% F ∞ 일 때 9"%$ 의 Laplace 변환 :"'$ & ℒ"9"%$$ 를 구하시오.

ℒ"9"%$$ & ℒ"3$ &

C

5

∞

@^.'%"3$ 7% &

lim

a→∞

C

5 a

@^{. '%}7% &

lim

a→∞

d e f_{. 6}

' 3 @^.'%g

h i

5 a

&

lim

a→∞

d e

f

_{. 6}

' 3"6

@^'a 3 $ + 6'

3 g h

i

& 6'

3 "(9 ' E5$

(2) 9"%$ & @^<% * % ≥ 5 일 때 9"%$ 의 Laplace 변환 :"'$ & ℒ"9"%$$ 를 구하시오.

ℒ

"

@^<%

$

&

C

₅^{∞@.'%@<%7% &}_a→∞

^lim C

₅^a@."' . <$%7% &

lim

a→∞

d

ef_{. 6} ' . <

3 @."' . <$%g hi

5 a

&

lim

a→∞

d

e

f

_{. 6}

' . <

3 "6

@"' . <$a

3 $ + 6' . <

3 g

h

i

_{& 6}

' . <

3 "(9 ' E<$

정리: Laplace 변환의 선형성

% ≥5 에서 9"%$ 와 A"%$ 의 Laplace 변환이 존재하면 임의의 상수 <* = 에대하여 다음 등식이 성립한다.

ℒ"<9"%$ + =A"%$$ &<ℒ"9"%$$ + =ℒ"A"%$$

증명:

문제: /0' ;<%* '() ;<% 의 Laplace 변환을 각각 구하시오.

문제: /0' {%* '(){% 의 Laplace 변환을 각각 구하시오.

문제: %⁾ (여기서 ) 은 자연수 의 ) Laplace 변환을 각각 구하시오.

첫 번째 ' .이동 정리: ' E D 인 어떤 D 에 대해서 ℒ"9"%$$ &:"'$ 이면

ℒ

"

@^<%9"%$

$

& :"' . <$ ⇔ @^<%9"%$ &ℒ^{. 3}":"' . <$$

증명:

문제: @^<%/0' {%* @^<%'() {%* @^<%/0' ;{%* @^<%'() ;{%* @^<%%⁾ 의 Laplace 변환을 각각 구하시오.

변환의 존재성 함수

Laplace : 9"%$ 가 % ≥5 에서 너무 빨리 증가하지 않는다면 즉( , % ≥5 에서

?9"%$? ≤ ] @^D% 를 만족시키는 상수 ]* D 존재하면 성장제한 조건( ))

9"%$ 의 Laplace 변환은 존재한다.

증명:

문제 첫 번째 : ' .이동 정리를 이용하여 다음 함수 :"'$ 의 Laplace 역변환 9"%$ 를 구하시오.

(a) 6

"' . 3$^J L

(b) 6

"' . 3$^- + Z ' . L

© 6'^- + H' + ,J -53I

(d) 6 '^- . L' + 35

,' . 3

도함수 적분의 , Laplace 변환 그리고 초기값 상미분방정식

정리 도함수의 : Laplace 변환

(1) ℒ"9′"%$$ & 'ℒ"9"%$$ . 9"5$

(2) ℒ"9′′"%$$ & '^-ℒ"9"%$$ . ' 9"5$ . 9′"5$

(3) ℒ

"

9^")$"%$

$

& '⁾ℒ"9"%$$ . '^{) . 3}9"5$ . '^{) . -}9′"5$ . ⋯ . 9") . 3$"5$

증명:

정리 적분의 : Laplace 변환 안 상 욱

% ≥5 에서 9"%$ 는 성장제한 조건을 만족시키는 조각 연속이고, :"'$ & ℒ"9"%$$ 이면

ℒ

" ^C

₅^%9"‡$7‡

$

^{& 6}' :"'$

⇔

C

5

%

9"‡$7‡ & ℒ^.3

"

⁶' :"'$

$

"' E5* 'E D* % E5$

증명:

문제 함수 : :"'$ 의 Laplace 역변환 ℒ^.3":"'$$ 를 구하시오.

(a) 6 '

"

'^- + Z

$

3

(b) 6 '^-

"

'^- + Z

$

,

초기값 상미분방정식 안 상 욱

!′′ + <!′ + =! & R"%$, !"5$ &w₅ , !′"5$ &w₃ ⋯ (*)

여기서, R"%$ 는 입력함수, !"%$ 는 출력함수라고 부른다.[Laplace 변환 해법은 제차 비제차를 구, 분할 필요가 없다는 장점과 입력함수 R"%$ 가 복잡한 경우에도 손쉽게 해결할 수 있다는 장점을 가 지고 있다.

단계

[ 1] ℒ"!$ &ˆ ⇔ ! &ℒ^{. 3}"ˆ$ 이 ! 가 우리가 구하고자하는 (*)의 특수해이다.

의 양변에 변환을 택하면

(*) Laplace

ℒ"!′′$ + < ℒ"!′$ + = ℒ"!$ & ℒ"R"%$$ [ℒ 의 선형성]

ℒ"!′$ & 'ˆ . w₅* ℒ"!′′$ & '^-ˆ . 'w₅ . w₃

∴

"

'^- + <' + =

$

ˆ & "' + <$w₅ + w₃ + a"'$ "여기서* a"'$ &ℒ"R"%$$$

단계

[ 2] `"'$ & 6 '^- + <' + =

3 & 6

"

^{' + 6}-

<

$

^{- + = . 6}J

<^- 3

ˆ & ˆ"'$ &

N

"' + <$w₅ + w₃

O

`"'$ + a"'$ `"'$

단계

[ 3] ! & ℒ^.3"ˆ$ 특수해 ( )

문제 다음 초기값 상미분방정식의 해를 구하시오: .

(a) !′′ . !& %* !"5$ &3* !′"5$ & 3

(b) !′′ + L!′ + 3-!& -Z @^,%* !"5$ & ,* !′"5$ & . 35

© !′′ + ! & -%* !

"

⁶J j

$

^{& 6}-

j* !′

"

⁶J

j

$

^{& - . l6- [힌트: % . 6}J j &Š% ]

문제 함수 : :"'$ 의 Laplace 역변환 ℒ^.3":"'$$ &9"%$ 를 구하시오.

(a) 6 '^, . j'^-

I

(b) 6 '^J + '^-

-

© 6'^J . Z'^- 3

(d) 6 '^J + j^-'^-

L

(e) 6 '^, . ,'^-

35

정의 단위계단함수 : 1"% . <$ &

u

^5* 5 ≤ % F <

3* % ≥ < "< ≥ 5$

정리: ℒ"1"% . <$$ & 6'

@^.<'

"' E 5$

증명:

두 번째 이동정리: :"'$ & ℒ"9"%$$ 이다 이 때. ,

ℒ"9"% . <$1"% . <$$ & @^.<':"'$ ⇔ 9"% . <$ 1"% . <$ & ℒ^.3

"

@^.<':"'$

$

증명:

문제: ℒ^.3":"'$$ 를 구하시오. 여기서 :"'$ & 6'^-+ j^-

@^.'

+ 6'^- + j^-

@^{. -'}

+ 6"' . -$^-

@^.,'

이다.

문제: :"'$ &ℒ"9"%$$ 를 구하시오 여기서.

9"%$ &

‹

Œ

•

Ž Ž

-* 5 ≤ % F 3

6-

%^-* 3 ≤ % F 6- j

/0' %* % ≥ 6- j

문제: Laplace 변환을 이용하여 다음 초기값 문제 상미분방정식의 해를 구하시오.

(a) !′′ + ,!′ + -! & R"%$* !"5$ & 5* !′"5$ &5

여기서

, R"%$ &

‹ Œ

•

Ž

Ž

3* 5 ≤ % F 3

5* % ≥ 3

(b) !′′ + !′ . -!& R"%$* !"5$ & 3* !′"5$ & 5

여기서

, R"%$ &

‹ Œ

•

Ž

Ž

, '() % . /0'%* 5 ≤% F -j , '() -% . /0' -%* % ≥ -j

© !′ + !& R"%$* !"5$ & I 여기서, R"%$ &

‹ Œ

•

Ž

Ž

5* 5 ≤ % Fj

, /0'%* % ≥ j

(d) !′′ + ! & 9"%$* !"5$ & 5* !′"5$ & 3 여기서, 9"%$ &

‹ Œ

•

Ž Ž

5* 5 ≤ % F j 3* j ≤ % F -j

5* % ≥ -j

문제 함수 : :"'$ 의 Laplace 역변환 9"%$ 를 구하시오.

(a) 6"' . 3$^J 3

(b) 6 '^- + -' + L

3

© 6'^- + H' + ,J -' + I

(d) 6 '^-"' + 3$^,

-' . 3

(e) 6"' + -$^J

"' + 3$^-

문제 다음 미분방정식의 해를 구하시오: .

(a) !′ . !& 3 + % @^%* !"5$ & 5

(b) !′′ . !& @^%/0' %* !"5$ & 5* !′"5$ & 5

© !′′ . -!′ + I! & 3 + %* !"5$ & 5* !′"5$ &J

충격함수(Dirac’s Delta Function) 안 상 욱

(a) 9_D"% . <$ &

‹ Œ

•

Ž Ž

6D

3 * < ≤% ≤ < + D

5* 5 ≤% F < 또는 % E< + D

(< E 5)

(b) |"% . <$ &

lim

D→59_D"% . <$ &‹ Œ

•

Ž

Ž

∞* % &<

5* % ≠ < (충격함수)

정리: ℒ"•"% . <$$ & @^{. <'}

증명:

문제 다음 초기값 문제의 해를 구하시오: .

(a) !′′ + ,!′ +-! & |"% . 3$* !"5$ & 5* !′"5$ & 5

(b) !′′ + ,!′ + -! & 1"% . 3$ . 1"% . -$* !"5$ & 5* !′"5$ &5

© !′′ + -!′ + -! & A"%$* !"5$ & 3* !′"5$ & . I

여기서

, A"%$ &

‹ Œ

•

Ž

Ž

35 '()- %* 5 ≤ % F j

5* % ≥ j

(d) !′′ + !& . - '() % + 35 |"% . j$* !"5$ & 5* !′"5$ & 3؀

(e) !′′ + I!′ + H! &|

"

^{% . 6}-

j

$

+ 1"% . j$ /0' %* !"5$ & 5* !′"5$ & 5

정리: :"'$ &ℒ"9"%$$ 이고, ) &3* -* ,* ⋯ 이면

ℒ

"

%⁾9"%$

$

& ". 3$⁾6 7'⁾ 7⁾

:"'$ & ". 3$⁾:^")$"'$

증명:

주목: ) & 3 인 경우

ℒ"% 9"%$$ & . : ′"'$* 9"%$ & ℒ^.3":"'$$ ⇒ %9"%$ & . ℒ^.3": ′"'$$ऀ

∴ ℒ^.3":"'$$ & . 6% ℒ^.3": ′"'$$

문제 다음 초기값 문제의 해를 구하시오: .

!′′ + 3H! & /0'J %* !"5$ & 5* !′"5$ & 3

문제: :"'$ &>) 6 '^- '^- + {^-

"{≠ 5$ 의 Laplace 역변환 9"%$ 를 구하시오.

문제 다음 : Laguerre’s ODE 의 해를 구하시오.

% !′′ + "3 . %$!′ + )!& 5

합성곱 안 상 욱

일반적으로, ℒ"9"%$ A"%$$ ≠ ℒ"9"%$$ ℒ"A"%$$ 이다.

정의: 9"%$ ∗A"%$ & "9 ∗A$"%$ &

C

5

%

9"‡$A"% . ‡$7‡,

우리는

"9∗A$"%$ 를 9"%$ 와 A"%$ 의 합성곱(convolution)이라고 부른다.

합성곱의 성질

(a) 9∗A & A ∗9 (b) 9 ∗"A + ;$ & 9 ∗A + 9∗;

© "9∗A$ ∗; & 9∗"A∗;$ (d) 9 ∗5 & 5 ∗9 & 5

증명:

주목: % ∗3 &

C

₅^%"‡$"3$ 7‡ & 6-

%^-

≠ % 이므로 일반적으로 9∗3 ≠ 9 이다.

합성곱 정리: 9"%$ 와 A"%$ 의 Laplace 변환이 존재하면

ℒ"9"%$∗A"%$$ & ℒ"9"%$$ℒ"A"%$$

이다 .

증명:

문제 역변환 : ℒ^.3

"

⁶

"

'^- + JZ

$

^-

3

$

^{을 구하시오.}

문제 다음 적분방정식: (Volterra 방정식 의 해를 구하시오) .

(a) !"%$ .

C

!"‡$ '() "% . ‡$ 7‡ & %

(b) !"%$ .

C

₅^%"3 + ‡$ !"% . ‡$7‡ & 3 . '();%

© !′ + H!"%$ + Z

C

₅^%!"‡$ 7‡ &3* !"5$ & 5

(d) !′"%$ & 3 . '() % .

C

5

%

!"‡$ 7‡* !"5$ &5

(e) A"%$ + -

C

₅^%A"‡$ /0'"% . ‡$ 7‡ & J@^.% + '() %

HONGIK UNIVERSITY May 6TH. 2015 An, SangWook (Today is a New Day) 1. Let 9"%$ be piecewise continuous for % ≥ 5 and satisfy a growth restriction.

Prove that ℒ

u ^C

5

%

9"‡$7‡

v

^{& 63':"'$,}

where ℒ"9"%$$ & :"'$.

2. Prove that the Laplace transform of a

piecewise continuous function 9"%$ with period c is ℒ"9$ & 6 3 . @^.c'

3

C

₅^{c@. '%}9"%$7%.

3. Find the inverse Laplace transform of :"'$& >)6' +-' +3 , and calculate the integral

C

5

∞

6%

@^{. ,%}. @^.J%7%.

4. Solve the initial value problem

!″ +-!′ +-! & I|"% .-$* !"5$ &5* !′"5$ & 3.

5. (a) Assume that the Laplace transform of R"%$ exists. Show that the solution of the initial value problem

!″ +! & R"%$* !"5$ &G* !′"5$ & m is !"%$ & G/0'% +m '()% +

C

5

%'() "%. ‡$R"‡$ 7‡.

(b) In (a), when R"%$ &

u

3 (9 3 F % F -

5 otherwise and G & m& 3, solve the initial value problem.

6. Consider a system of linear ODEs of !3& !₃"%$* !_-& !_-"%$,

u

^!!³_-^{′ & !}′ & !³₃^{. J!}+!_-^-+,@^%

!₃"5$ & ,* !_-"5$ & 5 Find ˆ_-"'$ & ℒ"!_-"%$$ and !_-"%$.

7. a) Prove that if ℒu9"%$v&:"'$, then ℒu9"% .<$1"% .<$v& @^.<':"'$.

(b) Let R"%$&

‹ Œ

•

Ž Ž

5 * 5 F % F 6- j

'()% * 6- jF % F j

3 * % E j

Solve the initial value problem

!′ .! & R"%$* !"5$ & 5.

8. (a) Prove that if ℒu9"%$v& :"'$ and ℒuA"%$v& —"'$, then ℒ

u ^C

₅^%9"‡$A"% . ‡$7‡

v

&:"'$—"'$.

(b) Solve !"%$.

C

₅^%!"‡$/0';"% . ‡$7‡ & %. LOVE YOUR DREAM

HONGIK UNIV. MAY. 20Th.. 2015 AN, SangYook -Today is a New Day- APPLIED MATH(I)

1. Find the general solutions of #^-!″ +J#!′ . "#^-.-$! & 5.

(Note that '();# &

˜

[& 5

∞

6"-[+3$™

3 #^-[+3.)

2. Solve the ODE "#^-+3$!″ +#!′ . ! & 5 by power series method.

3. Use power series method to solve the second order differential equation

!″ + "/0'#$ ! & 5

and determine the first three nonzero terms.

4. Consider

#

^-

!″ +I#!′ + "# +J$! & 5

. Find a basis of solutions.

5. We have an ODE #^-!″ +#!′ +"#^-. š^-$! & 5 with a positive parameter š.

(a) Find the indicial equation of the ODE with š & -.

(b) Find a solution of the ODE with š &-.

(c) What is your plan or idea to find out another solution that is linearly independent of your solution in (b)

6. Solve !″ +"#.#^-$! & 5 and determine the first three nonzero terms.

7. Use power series method to solve a following ODEs

!″ +! & 5

and

!′ & -#!

8. Solve the ODE

!″ +@

^#

! & 5

.

9. Solve the ODE

#"# . 3$!″ + ",# . 3$!′ +! & 5

10. Solve the ODE

"#

^-

. #$!″ . #!′ +! & 5

. 11. Find the general solution of

#!″ +! &5

and determine the first three terms.

-