제9장 표본분포와 중심극한정리

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제9장 표본분포와 중심극한정리

표본분포 표본분포와 중심극한 정리

연속확률 변수 x의 평균이 25이고, 표준편차가 4일 때, 다음 x값 또는 범위를 z로 바꾸고 그 면 적을 계산하여라

적을 계산하여라.

(1) x=32 (2) (2) 18<x<3418<x<34

(2)

2

표본의

표본의 특성을특성을 요약요약 설명한설명한 값값

모집단 모집단 대상은대상은 시간과 시간과 비용이비용이 많이 많이 듬듬

표본의

표본의 크기크기(n)(n)이이 커질수록커질수록, , 표본의표본의 형균은형균은 모집단의모집단의 평균에

평균에 가까이가까이 밀집된다밀집된다.(.(분산은분산은 00로로 수렴수렴))

(3)

표본분포와 중심극한정리 표본분포

[예] 0과 1의 두 종류의 값을 갖는 개체들로 구성된 모집단에 서 일부를 표본으로 추출시, 추출된 1의 비율

(4)

4

중심극한정리 표본분포와 중심극한정리

<예> 모집단의 확률분포

x 0 3 12

P(x) 1/3 1/3 1/3

[ [평균평균]] μ

μ = E(x)=(0)(1/3) + (3) (1/3) + (12) (1/3) = 5= E(x)=(0)(1/3) + (3) (1/3) + (12) (1/3) = 5 σ

σ = E(x= E(x--μμ))²²p(x) = (0p(x) = (0--5)5)²²(1/3) +(3(1/3) +(3--5)5)²²(1/3) +(12(1/3) +(12--5)5)²²(1/3) =26(1/3) =26

22 5 15 1 σ σ²²= 5.1= 5.1

⇬ 3

⇬ 3개를개를 무작위로무작위로 반복추출하는반복추출하는 경우는경우는 3*3*3=27 (3*3*3=27 (각각의각각의 경우경우 어느어느 하나의하나의 숫자가숫자가 서로서로 독립적독립적 사건이므로사건이므로, , 독립적독립적 사건의

사건의 곱셈법칙에곱셈법칙에 의해서의해서 (1/3)*(1/3)*(1/3) =1/27(1/3)*(1/3)*(1/3) =1/27이다이다. .

표본 표본평균 확률

(0,0,0) 0 1/27

(0,0,3) 1 1/27

(0 0 12) 4 1/27

평균이

평균이 00인인 경우는경우는 전체전체 2727가지가지 중에서중에서 11번이므로번이므로, p(x=0)=1/27, p(x=0)=1/27 평균이

평균이 11인인 경우는경우는 33번이므로번이므로 p(x=1)=3/27p(x=1)=3/27

x 0 1 2 3 4 5 6 8 9 12

(0,0,12) 4 1/27

… … …

(12,12,12) 12 1/27

P(x) 1/27 3/27 3/27 1/27 3/27 6/27 3/27 3/27 3/27 1/27 μ

μ = E(x)=(0)(1/27) + (1) (3/27) + (2) (1/27) + (3) (1/27) +(4) (3/27) +(5) = E(x)=(0)(1/27) + (1) (3/27) + (2) (1/27) + (3) (1/27) +(4) (3/27) +(5) (6/27) +(6) (3/27) +(8) (3/27) +(9) (3/27) +(12) (1/27)= 5

(6/27) +(6) (3/27) +(8) (3/27) +(9) (3/27) +(12) (1/27)= 5 σ

σ = E(x= E(x--μμ))²²p(x) = (0p(x) = (0--5)5)²²(1/27) +(1(1/27) +(1--5)5)²²(3/27) +…. =8.667(3/27) +…. =8.667 σ

σ²²= 2.94= 2.94

확률변수의

확률변수의 분포는분포는 매우매우 다양하여다양하여, , 분포곡선을분포곡선을 파악하여파악하여, , 확률밀도함수를확률밀도함수를 구하는구하는 것이것이 어려움어려움 Æ

Æ 확률변수를확률변수를 표준화하여표준화하여, , 표준정규분포나표준정규분포나, t, t분포상의분포상의 값으로값으로 치환하면치환하면 가능가능

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중심극한정리

표본분포와 중심극한정리 표본분포의 중심극한정리 중심극한정리

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중심극한정리

표본분포와 중심극한정리 표본분포와 중심극한정리 중심극한정리

[ [예제예제]]

1. 지난 학기에 통계학을 수강한 학생들의 평균 결석일수는 4일이고, 표준편차는 3.16일이다. 수강생의 출석부에 서 무작위로 4명을 추출하여 가능한 모든 표본을 만들 때, 표본분포의 평균과 표준편차를 구해라.

2. 임의로 선택한 36대의 중형 자가용 승용차 S모델의 평균연비는 리터당 15km이고, 표준편차는 3.6km이다. 표 본분포의 평균과 평균의 표준오차를 구해라.

3. 통계학 수업을 수강하는 6명의 학생을 대상으로 하여 모집단과 표본분포의 개념을 설명하려고 한다. 지난 학기 에 수업을 결석했던 학생 6명의 자료는 다음과 같다

에 수업을 결석했던 학생 6명의 자료는 다음과 같다.

학생 결석일수

나잘난 7

강태만 0

이철판 1

장곱창 9

(1) 이 모집단의 평균과 표준편차를 구해라.

(2) 표본의 크기가 3개일 때 선택가능 한 표본과 표본평균 및 평균 의 표준오차는 얼마인가? (중복해서 선택은 안함) (3) 표본의 크기가 4개일 때 선택 가능한 표본과 표본평균 및 평균

의 표준오차는 얼마인가?(중복선택은 안함) (4) 모집단의 평균과 표본의 평균을 비교하여라.

나공주 4

김이박 3

(5) 표본의 크기가 3개일 때와 4개일 때의 어느 경우에 평균의 오 차가 더 작을까?

(7)

4. 비자카드의 지난해 계좌당 월평균사용액은 100만원이었고, 표준편차는 24만원이엇다. 36개의 계좌를 임 의로 추출하여 그 평균을 계산하였을 때, 평균값이 96만원과 108만원 사이에 있을 확률은 얼마인가?

5. 서울시 가구 250만 가구 중 무주택가구는 50만 가구라고 하자. 동대문구에서 500가구를 무작위로 추출했 을 때 무주택가구는 80 만가구였다. 여기서 모집단 비율과 표본비율을 계산하여라.

6. D대학교의 신입생 3,000명 중에서 여학생은 1,2000명이다. 20명씩 뽑아서 표본마다 여자의 비율을 조사 한다고 하자. 가능한 표본으로부터 뽑힌 여학생의 비율분포에 대한 평균과 표준편차를 구해라.

7. 정부의 조사에 의하면 전국 가구당 자동차 보유율은 약 66%였다. 무작위로 추출한 120가구의 자동차 보 유율은 p^라고 할 때, p^가 68%와 72% 사이에 있을 확률은 얼마인가?

8. 덕성전자는 소비자 중에서 최소한 25%는 자사의 제품을 선호한다고 주장한다. 이 주장이 맞다고 가정할 때, 소비자 100명을 임의로 조사했을때 덕성전자 제품에 대한 선호의 비율이 30%이상일 확률을 구하여라.