삼각방정식과 삼각부등식

삼각방정식과 삼각부등식

• 삼각방정식

𝑠𝑖𝑛𝜃 = 1

2 → 𝛼 = 30°

𝛼 = 30° + 360° × 𝑛 𝛽 = 150° + 360° × 𝑛

𝜃 = 30° + 360° × 𝑛와 θ = 150° + 360° × 𝑛

보기2) 2𝑠𝑖𝑛²𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 = 0 을 풀어라.

2(1 − 𝑐𝑜𝑠²𝑥) + 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 = 2 − 2𝑐𝑜𝑠²𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1

= − 2𝑐𝑜𝑠²𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 = −2cosx − 1 cosx − 1 = 0 ∴ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1, 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −¹

2 𝑥 = 0° + 360° × 𝑛

𝑥 = 120° + 360° × 𝑛 , 또는 𝑥 = −120° + 360° × 𝑛

문제1) 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 1, 𝑠𝑖𝑛𝜃 = −1의 𝜃를 구하여라.

문제2) 2𝑐𝑜𝑠²𝑥 + 3sinx = 3에서 x를 구하여라.

문제3) 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 2에서 x를 구하여라.

• 삼각부등식

보기1) 2𝑠𝑖𝑛𝜃 ≥ _{𝑠𝑖𝑛𝜃}¹ 에서 𝜃의 범위를 구하여라.(단, 0° ≤ 𝜃 ≤ 360°) 양변에 𝑠𝑖𝑛²𝜃 를 곱하면

2𝑠𝑖𝑛³𝜃 ≥ 𝑠𝑖𝑛𝜃

2𝑠𝑖𝑛³𝜃 − 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑠𝑖𝑛𝜃(2𝑠𝑖𝑛²𝜃 − 1) ≥ 0 + + ⇒ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ≥ 0, 2𝑠𝑖𝑛²𝜃 − 1 ≥ 0

- - ⇒𝑠𝑖𝑛𝜃 ≤ 0, 2𝑠𝑖𝑛²𝜃 − 1 ≤ 0

(1)

𝑠𝑖𝑛𝜃 ≥ 0 → 0° ≤ 𝜃 ≤ 180°

𝑠𝑖𝑛𝜃 ≥ 1

2 → 45° ≤ 𝜃 ≤ 135°

45° ≤ 𝜃 ≤ 135°

(2) 𝑠𝑖𝑛𝜃 ≤ 0→ 180° ≤ 𝜃 ≤ 360°

− ¹₂≤ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ≤ ¹

2 → 0° ≤ 𝜃 ≤ 45° , 135° ≤ 𝜃 ≤ 225° , 315° ≤ 𝜃 ≤ 360°

180° ≤ 𝜃 ≤ 225° 또는 315° ≤ 𝜃 ≤ 360°

보기 2) ¹

𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 < 1에서 𝜃범위를 구하여라.

(단, −90° < 𝜃 < 90°)

주어진 범위에서 𝑐𝑜𝑠𝜃 > 0이다.

1 − 2𝑐𝑜𝑠²𝜃 < 𝑐𝑜𝑠𝜃

2𝑐𝑜𝑠²𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 1 > 0 cosθ + 1 2cosθ − 1 > 0 2𝑐𝑜𝑠𝜃 − 1 > 0 → 𝑐𝑜𝑠𝜃 > ¹

2 ∴ −60° < 𝜃 < 60°

문제1) 𝜃범위를 구하여라.

¹

𝑠𝑖𝑛𝜃 − 2𝑠𝑖𝑛𝜃 < 1(단, 0° < 𝜃 < 180°)

문제2) 𝑠𝑖𝑛𝜃 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝜃의 부등식을 풀어라 (단, 0° < 𝜃 < 360°)

삼각함수의 합성과 단진동

sin 𝜃 + ^𝜋

4 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠 ^𝜋

4 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠 ^𝜋

4

2sin 𝜃 + ^𝜋

4 = 2 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠 ^𝜋

4 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠 ^𝜋

4

= 2 ¹

2𝑠𝑖𝑛𝜃 + ¹

2𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝜋 4

𝑎

𝑎² + 𝑏² = 𝑎

𝑜𝑝 = 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑏

𝑎² + 𝑏² = 𝑏

𝑜𝑝 = 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑎² + 𝑏²( ^𝑎

𝑎²+𝑏²sinθ + ^𝑏

𝑎²+𝑏² cosθ) = 𝑎² + 𝑏²(cosφsinθ + 𝑠𝑖𝑛𝜑cosθ)

= 𝑎² + 𝑏²𝑠𝑖𝑛(θ + 𝜑)

∴ 𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑎² + 𝑏²𝑠𝑖𝑛(θ + 𝜑)

문제 1) 다음 함수를 합성하여라.

a) cos𝜃 + 3𝑠𝑖𝑛𝜃 b) 3sin𝜃 + 3𝑐𝑜𝑠𝜃 c) 3cos𝜃 − 3𝑠𝑖𝑛𝜃 d) ³

2 sin𝜃 − ¹

2𝑐𝑜𝑠𝜃

문제 2) sin𝜃 + 3𝑠𝑖𝑛𝜃를 합성하여라.

문제3) a) sin𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝜃를 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝛼𝑥 + 𝛽 의 꼴로 나타내어라.

b) 3𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥를𝑟𝑠𝑖𝑛 𝛼𝑥 + 𝛽 의 꼴로 나타내어라.

• 점P의 정사영이 주기적 왕복운동을 할 때, 이와 같은 운동을 단진동이라고 한다.

그런데 sin 𝜔𝑡 + 𝛼 = sin (𝜔𝑡 + 𝛼 + 2𝜋) =sin (𝜔 𝑡 +^2𝜋

𝜔 + 𝛼) 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛼 = cos (𝜔𝑡 + 𝛼 + 2𝜋) =cos (𝜔 𝑡 +^2𝜋

𝜔 + 𝛼)

• x, y 는 모두 를 주기로 하는 주기함수이다. 각속도 가 동등한 2개의 단진동을 합성하자.

𝑥 = 𝑥₁ + 𝑥₂ = 𝑟₁cos 𝜔𝑡 + 𝛼₁ + 𝑟₂cos 𝜔𝑡 + 𝛼₂

=(𝑟₁cos 𝛼₁ + 𝑟₂ cos 𝛼₂) cos 𝜔𝑡 −(𝑟₁𝑠𝑖𝑛 𝛼₁ + 𝑟₂𝑠𝑖𝑛 𝛼₂) 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡

여기서 𝑟₁cos 𝛼₁ + 𝑟₂cos 𝛼₂ = 𝑟 cos 𝛼 𝑟₁sin 𝛼₁ + 𝑟₂𝑠𝑖𝑛 𝛼₂ = 𝑟 sin 𝛼 라 놓으면 가법정리에서

𝑥 = 𝑟 cos 𝛼 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 − 𝑟 sinα𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 = 𝑟 cos(𝜔𝑡 + 𝛼) 단, 𝑟 = 𝑟₁² + 𝑟₂² + 2𝑟₁𝑟₂cos (𝛼₂ − 𝛼₁)

𝑡𝑎𝑛𝛼 = _𝑟^{𝑟1sin 𝛼1+𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝛼2}

1cos 𝛼₁+𝑟₂cos 𝛼₂

진동수가 같은 단진동은 합성해도 동일한 진동수를 지닌 단진동이다.

보기 2) 2개의 단진동 의 합성운동은 또 단진동인 것을 밝히고, 그 진폭 과 주기를 구하여라.

𝑦 = 4𝑠𝑖𝑛^𝜋

3𝑡 + 3sin (^𝜋

3 𝑡 + ^𝜋

2) = 4𝑠𝑖𝑛 ^𝜋

3 𝑡 + 3cos^𝜋

3 𝑡

𝑠𝑖𝑛𝜑 = ³

5, 𝑐𝑜𝑠𝜑 = ⁴

5 이므로

𝑦 = 5(⁴

5𝑠𝑖𝑛^𝜋

3 𝑡 + ³

5cos ^𝜋

3 𝑡) = 5(𝑠𝑖𝑛 ^𝜋

3 𝑡𝑐𝑜𝑠𝜑 + cos ^𝜋

3 𝑡𝑠𝑖𝑛𝜑) = 5sin (^𝜋

3 𝑡 + 𝜑)

보기 3) 단진동 의 진폭, 주기, 진동수를 구하여라.

𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 ^𝜋₆𝑡 − 3cos ^𝜋₆𝑡 = 2(¹₂𝑠𝑖𝑛^𝜋₆ 𝑡 − ₂³cos ^𝜋₃ 𝑡) = 2(𝑐𝑜𝑠 ^𝜋

3𝑠𝑖𝑛 ^𝜋

6 𝑡 + sin ^𝜋

3 𝑐𝑜𝑠^𝜋

6 𝑡) = 2sin (𝜋

6𝑡 − 𝜋 3)

문제 4) 다음 식의 진폭, 주기, 초기위상, 진동수를 구하여라.

𝑦 = 3 sin ^𝜋

6 𝑡 − ^𝜋

3 , 𝑦 = 7cos (^𝜋

2 𝑡 + ^𝜋

2)

문제 5) 𝑦₁ = 3 sin^𝜋₆ , 𝑦₂ = sin (^𝜋₂ − ^𝜋₆ 𝑡) 를 합한 운동이 단진동임을 보이 고, 진폭, 주기, 진동수를 구하여라.

역삼각함수

sin함수를 구간 로 제한한다. 즉 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥, (−^𝜋

2 ≤ 𝑥 ≤ ^𝜋

2)

역함수는 𝑠𝑖𝑛⁻¹또는 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛으로 나타낸다.

𝑦 = 𝑠𝑖𝑛⁻¹𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑦(−^𝜋₂ ≤ 𝑦 ≤ ^𝜋₂, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠⁻¹𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑦(0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1) 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛⁻¹𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑦(−^𝜋₂ ≤ 𝑦 ≤ ^𝜋₂, −∞ ≤ 𝑥 ≤ ∞) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐⁻¹𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑦(−^𝜋₂ ≤ 𝑦 ≤ ^𝜋₂, 𝑦 ≠ 0, 𝑥 > 1) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐⁻¹𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑦(0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋, 𝑦 ≠ ^𝜋₂, 𝑥 ≥ 1)

𝑦 = 𝑐𝑜𝑡⁻¹𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑦(0 < 𝑦 < 𝜋, −∞ < 𝑥 < ∞)

문제 1) 다음을 구하여라.

a) 𝑠𝑖𝑛⁻¹0 b) 𝑠𝑖𝑛⁻¹(−¹

2) c) 𝑠𝑖𝑛⁻¹( ¹

2) d) 𝑐𝑜𝑠^{−1 1}

2 e) 𝑐𝑜𝑠⁻¹(− ¹

2) f) 𝑐𝑜𝑠⁻¹1 g) 𝑡𝑎𝑛⁻¹(−1) h) 𝑡𝑎𝑛⁻¹( 3) i) 𝑡𝑎𝑛⁻¹∞