자기 닮음의프랙탈도시 탐구

(1)

자기 닮음의

프랙탈도시 탐구

디자인에 수학적 원리를 활용하는 DIY MAKER STEAM 프로그램

중학교 자유학기제

2017 융합인재교육 (STEAM) 프로그램

(2)

아름다운 프랙탈 도시를 구성하여 서로 스토리텔링할 수 있다 . 아름다운 프랙탈 도시를 구성하여 서로 스토리텔링할 수 있다 .

자기 닮음의 프랙탈도시 탐구

대상의 확대와 축소에 대해서 설명할 수 있다 .

자연에서 자기 닮음과 관련된 내용을 찾아서 말할 수 있다 . NCTM TOOLS 를 이용하여 나만의 눈을 만들 수 있다 .

도시에서 자기 닮음 성질을 찾을 수 있다 .

아름다운 도시를 자연의 자기 닮음 성질을 이용하여 설계할 수 있다 .

(3)

Ⅰ 도형의 닮음과 자기 닮음 도 형 생각열기 대상의 확대와 축소

확대와 축소에 따른 도형의 닮 생각펼치기 음

실생활 문제의 해결

생각다지기

(4)

Ⅰ

대상의 확대와 축소

생각열기

이 두 렌즈의 개략적인 모양 , 상의 모습 , 특징에 대해서 설명해 보자 . 볼록 렌즈를 사용하는 사진기의 렌즈에 의한 상의 작도 원리를 말해보자 . 현미경을 사용하여 잎의 단면에서 각 세포의 모양과 배열된 모습을

간단히 말해보자 .

도형의 닮음과 자기 닮음 도형

[ 그림 1] 볼록 렌

즈 [ 그림 2] 오목 렌

즈

(5)

Ⅰ

확대와 축소에 따른 도형의 닮음

생각펼치기

도형의 닮음과 자기 닮음 도형

한 도형을 확대 또는 축소하면 모양은 같지만 크기가 다른 닮은 도형을 그릴 수 있다 . 예를 들어 [ 그림 1] 에서 정사각형 사각형 ABCD 는 다른 사각형 EFGH 를 2 배만큼 확대한 것으로 서로 닮은 도형이다 .

서로 닮은 도형인 사각형 ABCD 와 사각형 EFGH 에서 대응하는 선분의 길이의 비인 닮음비는 1 : 2 이다 . 또한 , 이때 , 닮음 두 도형은 대응하는 선분의 길이의 비는 일정하고 , 대응하는 각의 크기는 서로 같다 .

(6)

Ⅰ

확대와 축소에 따른 도형의 닮음

생각펼치기

도형의 닮음과 자기 닮음 도형

다음 두 사면체는 서로 닮은 도형이다 . 닮음비를 구하고 , 입체도형의 닮음 성질에 대해서 말해보자 .

(7)

Ⅰ

확대와 축소에 따른 도형의 닮음

생각펼치기

도형의 닮음과 자기 닮음 도형

다음 두 닮음 도형에서 닮음의 중심을 찾아보고 , 닮음의 중심에 대해서 알아보자 .

삼각형의 닮음 조건 3 가지를 알아보자 .

(8)

Ⅰ

실생활 문제의 해결

생각다지기

도형의 닮음과 자기 닮음 도형

세 평행선 l,m,n 이 임의의 른 두 직 선과만날 때 , 평행선 사이에는 성질

a : b = c : d

이 성립한다 . 즉 , 평행선 사이에 있 는선분의 길이의 비는 같다 .

( 기호로 표현하면

l//m//n이면 a : b = c : d 이다 .)

(9)

Ⅰ

실생활 문제의 해결

생각다지기

도형의 닮음과 자기 닮음 도형

사진기의 렌즈에 의한 상의 작도 원리와 삼각형의 닮음 조건을 이용하여 사진기 렌즈에서 학생까지의 거리를 구해보자 .

(10)

Ⅰ

실생활 문제의 해결

생각다지기

도형의 닮음과 자기 닮음 도형

다음 그림과 같이 자연계의 거미줄에서 삼각형 모양과 평행선을 찾을 수 있다 . 거미가 사냥과 이동 등을 위해서 만드는 거미줄에서

일 때 , 를 구해보고 , 성질에 대해서 말해보자 .

(11)

Ⅰ

실생활 문제의 해결

생각다지기

도형의 닮음과 자기 닮음 도형

다음 그림에서 △ ABC 의 어느 두 변의 중점을 찾아 연결하고 , 이 선분과 대응하는 변과의 관계에 대해서 알아보자 .

(12)

Ⅰ

실생활 문제의 해결

생각다지기

도형의 닮음과 자기 닮음 도형

다음 그림에서 □ PQRS 는 평행사변형임을 증명해보자 . ( 단 , 점 P, Q, R, S 는 변 AB, BC, CD, DA 의 중점이다 .)

(13)

Ⅱ 내 안에 나 있다 !

자연에서 찾는 자기 닮음 현 생각열기 상

시어핀스키 삼각형에서 규칙 찾 생각펼치기 기

다양한 자기 닮음 도형 만

생각다지기 들기

(14)

Ⅱ 내 안에 나 있다 !

② 책상 위에 직각삼각자를 둔 다음 , 하드보드지 2 장이 서로 직각 이 되도록 직각삼각자의 두 변에 세웁니다 .

③ 두 장의 하드보드지의 뒷면을 스카치테이프로 붙입니다 .

④ 거울에 얼굴을 비춰보고 얼굴 표정을 다양하게 바꾸면서 좌우가 바뀌지 않는지 관찰해봅니다 .

자연에서 찾는 자기 닮음 현상

생각열기

주변에서 볼 수 있는 자연물 중에서 동일한 모습이 반복되어 무늬를 만드는 것은 어떤 것이 있는지 찾아서 발표해 보자 .

자연은 복잡해 보이지만 나뭇가지 , 식물의 잎 , 손가락의 지문 등에서 알 수 있듯이 일정한 자기 닮음의 규칙성을 지니고 반복되는 구조를 지 니고 있다 . 자기 닮음이란 미세한 부분이 번체의 모양과 유사한 형태를 가지면서 무한히 되풀이 되는 형태를 말한다 . 눈의 결정 , 꽃 , 조개껍 데기 등과 같은 자연의 여러 현상 중에서 자기 닮음의 구조를 발견할 수 있다 ( 집필진 촬영 자료 ).

(15)

Ⅱ 내 안에 나 있다 !

자연에서 찾는 자기 닮음 현상

생각열기

나뭇잎이 붙어있는 세 종류의 사진을 비교하여 그 차이점을 써보자

가 . 아카시아 나 . 향천 다 . 고사리

주변의 자연물이나 현상 중에서 자기 닮음의 성질을 가지는 것들을 찾아서 발표해 보자 .

집필진 촬영 자료

(16)

Ⅱ 내 안에 나 있다 !

자연에서 찾는 자기 닮음 현상

생각열기

사진은 앵무조개의 외형과 단면의 모습이다 .

어떤 모양이 반복되는지 설명해보자 ( 집필진 촬영 자료 ).

(17)

Ⅱ 내 안에 나 있다 !

자연에서 찾는 자기 닮음 현상

생각열기

사진은 우리나라 서해안 갯벌에 나타난 물길을 인공위성에서 찍은

것이다 . 왼쪽의 사진과 왼쪽 한 부분을 확대한 오른쪽 사진을 비교하여 그 모습을 설명해보자 ( 구글지도 검색 자료 ).

(18)

Ⅱ

시어핀스키 삼각형에서 규칙 찾기

생각펼치기

자기 닮음 도형인 시어핀스키 삼각형에 대해서 알아보고 , 각 단계가 만들어지는 원리를 찾아보자 .

내 안에 나 있다 !

0 단계 1 단계 2 단계 3 단계

단계별로 만들어지는 작은 색칠된 삼각형들의 개수를 생각해 보자 . 단계별로 만들어지는 색칠된 작은 삼각형 한 개의 넓이를 생각해 보자 .

단계별로 만들어지는 작은 사각형의 개수와 한 개의 넓이를 이용해 단계별 색칠된 전체 작은 사각형들의 넓이의 합을 생각해 보자 .

(19)

Ⅱ

시어핀스키 삼각형에서 규칙 찾기

생각펼치기

다음 도형의 0 단계에서 1 단계에 적용된 규칙을 말해보고 , 2 단계와 3 단계를 만들어 보자 .

내 안에 나 있다 !

0 단계 1 단계 3 단계

단계별로 만들어지는 작은 색칠된 사각형들의 개수를 생각해 보자 . 단계별로 만들어지는 색칠된 작은 사각형 한 개의 넓이를 생각해 보자 .

단계별로 만들어지는 작은 삼각형의 개수와 한 개의 넓이를 이용해 단계별 색칠된 전체 작은 삼각형들의 넓이의 합을 생각해 보자 .

2 단계

? ?

(20)

Ⅱ

다양한 자기 닮음 도형 만들기

생각다지기

자기 닮음의 성질을 이용하여 0 단계의 정사각형에서 각자의 방식과 규칙대로 자기 닮음 도형을 만들고 , 아래에 만든 방식과 규칙을 쓰고 그림으로 나타내 보자 .

내 안에 나 있다 !

0 단계 1 단계 2 단계 3 단계

? ?

?

(21)

Ⅲ Fractal Tool 를 이용한 자기 닮은 도형 만들기

FractalTool 에 대해서 알아보 생각열기 기

다양한 자기 닮음 도형 만들기 생각펼치기

자신만의 자기닮음 도형 만들기

생각다지기

(22)

Ⅲ Fractal Tool 를 이용한 자기 닮은 도형 만들기

FractalTool 에 대해서 알아보기

생각열기

공학 도구인 FractalTool 에 대해서 알아보고 , 다음 물음에 답해보자 .

FractalTool 은 자기 닮은 도형을 간단히 그려주고 , 그 성질을 파악할 수 있도록 도와주는 프로그램이다 . 이 프로그램은 사용법이 간단한 것 이 장점으로 , 그림과 같이 [1 단계 ] 에서 를 누르면 [2 단계 ] 가 되고 , [2 단계 ] 에서 를 누르면 [3 단계 ] 가 된다 . 이 Fractal- Tool 은 http://illuminations. nctm.org/Activity.aspx?id=3513 에 서 자유롭게 활용 가능하다 .

(23)

Ⅲ Fractal Tool 를 이용한 자기 닮은 도형 만들기

다양한 자기 닮음 도형 만들기

생각펼치기

주어진 과정에 따라 자기 닮음 도형을 만들어 보고 , 그 과정에서 쓰였던 도구 상자들에 대해서 실행 형태를 설명해 보자 .

(24)

Ⅲ Fractal Tool 를 이용한 자기 닮은 도형 만들기

다양한 자기 닮음 도형 만들기

생각펼치기

(25)

Ⅲ Fractal Tool 를 이용한 자기 닮은 도형 만들기

다양한 자기 닮음 도형 만들기

생각펼치기

(26)

Ⅲ Fractal Tool 를 이용한 자기 닮은 도형 만들기

자신만의 자기 닮음 도형 만들기

생각다지기

FractalTool 을 이용하여 각자의 방식과 규칙대로 자기 닮음 도형을 만들어 보자 .

0 단계

본인이 만든 도형을 보면서 단계별 작은 도형의 개수와 한 개의 넓이를 이용해 단계별 색칠된 전체 작은 도형의 넓이를 생각해 보자 .

(27)

Ⅳ 고체 상태의 물분자 모양 만들기

물질의 상태 생각열기

FractalTool 로 자기 닮음 도형 ( 코흐의 눈송이 ) 만들기

생각펼치기

나만의 자기 닮음 도형 만들기

생각다지기

(28)

Ⅳ 고체 상태의 물분자 모양 만들기

물질의 상태

생각열기

어떤 물질의 상태를 나타낸 아래 표에서 , 빈칸에 들어갈 알맞은 것을 생각해 보자 .

어떤 물질의 상태 변화를 나타낸 표의 빈칸에 들어갈 알맞은 것을 생각해 보자 .

(29)

Ⅳ 고체 상태의 물분자 모양 만들기 ^{생각펼치기}

FractalTool 로 자기 닮음 도형 ( 코흐의 눈송이 ) 만들기

수학자인 코흐 (Koch) 에 의해 만들어진 자기 닮음 도형으로 눈송이와 유사한 모양이라고 해서‘코흐의 눈송이’라고 불리 어 진다 . 이 코흐의 눈송이는 수학적으로 유한한 넓이를 갖 지만 단계가 커질수록 둘레의 길이는 무한히 커지는 성질을 가지고 있으며 , 굴곡진 해안선을 표현하는데 쓰이기도 한다 .

(30)

Ⅳ 고체 상태의 물분자 모양 만들기 ^{생각펼치기}

FractalTool 로 자기 닮음 도형 ( 코흐의 눈송이 ) 만들기

코흐의 눈송이를 직접 그려주는 명령어 를 이용하여 다음과 같은 방법으로 만들 수 있다 .

1 단계 2 단계 3 단계

(31)

Ⅳ 고체 상태의 물분자 모양 만들기 ^{생각펼치기}

FractalTool 로 자기 닮음 도형 ( 코흐의 눈송이 ) 만들기

일반적인 도형을 그릴 수 있도록 초기 화면을 나타내 주는 명령어 를 이용하여 다음과 같은 방법으로 코흐의 눈송이를 만들 수 있다 .

(32)

Ⅳ 고체 상태의 물분자 모양 만들기 ^{생각펼치기}

FractalTool 로 자기 닮음 도형 ( 코흐의 눈송이 ) 만들기

(33)

Ⅳ 고체 상태의 물분자 모양 만들기 ^{생각펼치기}

FractalTool 로 자기 닮음 도형 ( 코흐의 눈송이 ) 만들기

(34)

Ⅳ 고체 상태의 물분자 모양 만들기 ^{생각다지기}

나만의 자기 닮음 도형 만들기

FractalTool 로 여러 형태의 눈송이 모양들을 만들어보자 .

FractalTool 로 눈송이 모양의 프랙탈 도형을 만들어 보고 , 규칙을 찾아보자 .

(35)

Ⅴ 내 안에 내가 또 있다 !

두개의 표에서 관계 알아보기 생각열기

규칙을 적용해서 다양한 디자인 만 생각펼치기 들기

나만의 자기 닮음 도형 만들기

생각다지기

(36)

Ⅴ 내 안에 내가 또 있다 !

두 개의 표에서 관계 알아보기

생각열기

다음 그림과 같이 왼쪽 표는 9 개의 칸으로 구성되어 있다 . 그리고 , 오른쪽 표는 크게 가로와 세로의 개수가 왼쪽 표와 같게 9 개로 구성되어 있는데 , 그 각각은 또한 9 개의 칸으 로 구성되어 있다 . 그런데 , 왼쪽 표만을 이용해서 만들어진 것이 오른쪽 표이다 . 즉 , 두 개의 표는 서로 관련성을 가지 고 있다 . 그 관련 ( 규칙 ) 에 대해서 생각해 보자 .

생각펼치기

생각다치기

(37)

Ⅵ 내 안의 나를 확장하기

세 개의 표에서 관계 알아보기 생각열기

규칙적인 패턴 찾기 생각펼치기

나만의 자기 닮음 도형 만들기

생각다지기

(38)

Ⅵ 내 안의 나를 확장하기

세 개의 표에서 관계 알아보기

생각열기

(39)

Ⅵ 내 안의 나를 확장하기

세 개의 표에서 관계 알아보기

생각열기

규칙을 확장한 세 개의 표 사이의 관계에 대해서 정리해 보자 .

(40)

Ⅵ 내 안의 나를 확장하기

규칙적인 패턴 찾기

생각펼치기

3 단계의 표에 들어갈 알맞은 수를 찾고 , 규칙에 따라 적절한 색을 칠해보자 .

(41)

Ⅵ 내 안의 나를 확장하기

규칙적인 패턴 찾기

생각펼치기

3 단계의 표에 들어갈 알맞은 수를 찾고 , 규칙에 따라 적절한 색을 칠해보자 .

(42)

Ⅵ 내 안의 나를 확장하기

규칙적인 패턴 찾기

생각다지기

1 단계에서 2 단계와 3 단계를 만들어보고 , 만든 자기 닮음 도형의 성질을 찾아보자 .

(43)

Ⅵ 내 안의 나를 확장하기

규칙적인 패턴 찾기

생각다지기

1 단계에서 2 단계와 3 단계를 만들어보고 , 만든 자기 닮음 도형의 성질을 찾아보자 .

(44)

Ⅶ 자기 닮음 도형을 이용하여 프랙탈 도시 만들기

세 개의 표에서 관계 알아보기 생각열기

규칙을 적용하여 입체로 만들기 생각펼치기

나만의 자기 닮음 도형 만들기

생각다지기

(45)

Ⅵ 내 안의 나를 확장하기

세 개의 표에서 관계 알아보기

생각열기

다음의 예를 통해서 1 단계에서 엑셀을 이용하여 2 단계와 3 단계를 만드는 방법에 대해 알아보자 .

1단계 2단계 3단계

(46)

Ⅵ 내 안의 나를 확장하기

규칙을 적용하여 입체로 만들기

생각펼치기

자기 닮음 도형을 엑셀의 조건부 서식 기능을 이용하여 색칠하는 방법을 알아보자 .

색칠한 자기 닮음 도형

(47)

Ⅵ 내 안의 나를 확장하기

규칙을 적용하여 입체로 만들기

생각펼치기

1 단계가 다음과 같을 때 , 확장된 ‘내안에 나있다’의 규칙에 따른

2 단계와 3 단계의 모양을 예측해 보고 , 실제로 엑셀을 활용하여 구해보자 .

(48)

Ⅵ 내 안의 나를 확장하기

규칙을 적용하여 입체로 만들기

생각펼치기

1 단계가 다음과 같을 때 , 확장된 ‘내안에 나있다’의 규칙에 따른

2 단계와 3 단계의 모양을 예측해 보고 , 실제로 엑셀을 활용하여 구해보자 .

(49)

Ⅵ 내 안의 나를 확장하기

규칙을 적용하여 입체로 만들기

생각다지기

1 단계가 다음과 같을 때 위의 규칙에 따라 2 단계와 3 단계의 모양을 예측해 보고 , 엑셀로 구해보자 .

(50)

Ⅵ 내 안의 나를 확장하기

규칙을 적용하여 입체로 만들기

생각다지기

위에서 구한 디자인을 엑셀의 차트 기능을 활용하여 다양한 형태의 그림으로 나타내 보자 .

(51)

Ⅵ 내 안의 나를 확장하기

규칙을 적용하여 입체로 만들기

생각다지기

(52)

Ⅵ 내 안의 나를 확장하기

규칙을 적용하여 입체로 만들기

생각다지기

위에서 구한 디자인을 엑셀의 차트 기능을 활용하여 다양한 형태의 그림으로 나타내 보자 .

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