수 학 교 육 전 공

석사학위논문

중학교 함수 지도에 있어서 수학사 도입의 효과에 관한 연구

국민대학교 교육대학원

수 학 교 육 전 공

이 혜 현

2 0 0 2

중학교 함수 지도에 있어서 수학사 도입의 효과에 관한 연구

지도교수 김 재 룡

이 논 문 을 교 육 학 석 사 학 위 청 구 논 문 으 로 제 출 함

2002 12월 일

국민대학교 교육대학원

수학교육전공

이 혜 현

2 0 0 2

이혜현의

석 사 학 위 청 구 논 문 을 인 준 함

2002년 12월 일

심 사 위 원 장 ꄫ 심 사 위 원 ꄫ 심 사 위 원 ꄫ

국민대학교 교육대학원

목 차

국문 요약

I. 서 론

1

1. 연구의 필요성 및 목적 ··· 1

2. 연구문제 ··· 3

3. 연구의 제한점 ··· 3

II. 이론적 배경

5

1. 수학교육의 특성 ··· 5

가. 수학교육의 목적 ··· 5

나. 수학과의 성격 ··· 6

2. 수학교육과 수학사 ··· 7

가. 수학사 도입의 필요성 ··· 8

나. 수학교육에서 수학사의 역할 ··· 10

다. 수학사 도입의 효과 ··· 12

3. 제7차 수학과 교육과정 ··· 13

가. 수학과 교육과정 개정의 배경 ··· 13

나. 제7차 수학과 교육과정의 기본 방향 ··· 14

다. 제7차 수학과 교육과정 목표 ··· 17

라. 제7차 수학과 교육과정의 특징 ··· 17

마. 수학과 교수․학습 방법 ··· 18

바. 수학교과의 평가 ··· 22

4. 제6, 7차 중학교 교육과정 함수 영역 비교 ··· 24

가. 함수 개념 지도의 의의 ··· 24

나. 제6, 7차 중학교 교육과정의 함수 개념 지도-학습 내용 비교 ··· 25

5. 제7차 중학교 교육과정 함수 개념의 역사적 배경 ··· 28

가. 함수의 역사 ··· 28

나. 함수의 현대적 정의 ··· 30

III. 연구 방법

31

1. 연구대상 ··· 31

2. 연구기간 ··· 31

3. 연구설계 ··· 32

가. 수학교사 대상으로 설문조사 실시 ··· 32

나. 연구집단, 비교집단의 분류 ··· 33

다. 집단별 탐구활동지 개발 ··· 40

라. 집단별 교수-학습 지도안 설계 ··· 42

4. 검사도구 ··· 56

5. 연구절차 ··· 58

6. 자료처리 ··· 59

IV. 결과 및 해석

60

1. <연구문제 가>에 대한 결과 분석 ··· 60

2. <연구문제 나>에 대한 결과 분석 ··· 66

가. 실험 후 사후 학업성취도 결과 비교 분석 ··· 66

나. 인지적 영역 검증 결과에 대한 분석 ··· 71

3. <연구문제 다>에 대한 결과 분석 ··· 72

가. 수학적 성향검사와 수학 학습 태도에 관한 설문조사 결과 ··· 72

나. 수학적 성향에 대한 검사 결과 비교 분석 ··· 79

다. 수학 학습 태도에 관한 설문 결과 비교 분석 ··· 94

Ⅴ. 결론 및 제언

103

1. 논의 및 결론 ··· 103

2. 제언 ··· 105

참 고 문 헌

Abstract

부 록 :

부록 2. 비교집단에 적용한 탐구활동지 ··· 129

부록 3. 수학 교사 설문지 ··· 136

부록 4. 수학적 성향 검사지 ··· 140

표 목 차

표 1. 제6, 7차 교육과정의 함수개념 지도-학습 비교 ··· 26

표 2. 연구기간 ··· 31

표 3. 설문 대상인 수학교사들의 경력사항 ··· 32

표 4. 두 집단간의 사전 학업성취도 검사결과 비교 ··· 33

표 5. 연구집단과 비교집단의 수준별 분류 ··· 34

표 6. 상위 수준간의 사전 학업성취도 검사결과 비교 ··· 35

표 7. 중위 수준간의 사전 학업성취도 검사결과 비교 ··· 36

표 8. 하위 수준간의 사전 학업성취도 검사결과 비교 ··· 37

표 9. 두 집단간의 사전 학업성취도 검사결과 수준별 비교 ··· 39

표 10. 지도계통 ··· 44

표 11. 지도계획 ··· 44

표 12. 연구집단에 적용한 학습 지도안 예시 ··· 46

표 13. 연구집단에 적용한 탐구활동지 예시 ··· 49

표 14. 비교집단에 적용한 학습 지도안 예시 ··· 52

표 15. 비교집단에 적용한 탐구활동지 예시 ··· 55

표 16. 교사 설문지의 내용 및 구성(설문지 내용은 부록 참고) ··· 56

표 17. 집단별 적용 검사도구 ··· 57

표 18. 수학적 성향 검사지와 학습 태도 검사지의 구성 ··· 57

표 19. 수학교사 설문지 분석결과 1 ··· 60

표 20. 수학교사 설문지 분석결과 2 ··· 61

표 21. 수학교사 설문지 분석결과 3 ··· 63

표 22. 수학교사 설문지 분석결과 4 ··· 65

표 23. 두 집단간의 사후 학업성취도 검사결과 비교 ··· 66

표 24. 상위 수준간의 사후 학업성취도 검사결과 비교 ··· 67

표 25. 중위 수준간의 사후 학업성취도 검사결과 비교 ··· 68

표 26. 하위 수준간의 사후 학업성취도 검사결과 비교 ··· 69

표 27. 두 집단간의 사후 학업성취도 검사결과 수준별 비교 ··· 70

표 28. 연구집단의 수학적 성향에 대한 검사결과 ··· 72

표 29. 연구집단의 수학학습태도에 관한 검사결과 ··· 74

표 30. 비교집단의 수학적 성향에 관한 검사결과 ··· 76

표 31. 비교집단의 수학학습태도에 관한 검사결과 ··· 77

표 32. 수학적인 자신감에 관한 질문 분석 ··· 80

표 33. 수학적인 융통성에 관한 질문 분석 ··· 82

표 34. 수학적인 의지에 관한 질문 분석 ··· 84

표 35. 수학적인 호기심에 관한 질문 분석 ··· 87

표 36. 수학적인 반성에 관한 질문 분석 ··· 89

표 37. 수학적인 가치에 관한 질문 분석 ··· 91

표 38. 수학 교과의 자아개념에 관한 질문 분석 ··· 94

표 39. 수학 교과 태도에 관한 질문 분석 ··· 97

표 40. 수학 교과 학습습관에 관한 질문 분석 ··· 100

그림 목차

그림 2. 연구․비교집단의 사후 학업성취도 검사결과 그래프 ··· 66

국문 요약

중학교 함수 지도에 있어서 수학사 도입의 효과에 관한 연구

이 혜 현

국민대학교 교육대학원 수학교육전공

본 연구의 목적은 수학사를 도입한 교수․학습방법에 대해 일선학교 수학 교사들의 관심 및 적용 실태를 파악․분석하고, 학생들의 학업성취도 검사 를 통한 인지적 영역과 수학에 대한 학습 태도를 알아보는 정의적 영역에 있어서 어떤 영향을 미치는가에 대하여 다음과 같은 연구문제를 설정, 적용 하여 검증해 보려는 것이다.

가. 서울과 경기도 소재 중․고등학교 수학 교사 100명을 대상으로, 수학 사 도입에 대한 관심, 수학사 도입의 실태 및 기대 효과, 실제 현장에 서 수학사 적용의 문제점 등 수학교사들의 문제인식 및 그 적용 실태 는 어떠한가?

나. 제7차 교육과정 수학과 수업에 있어 수학사 도입을 적용한 연구집단 과 수학사를 도입하지 않은 비교집단 간의 인지적 영역에 있어서 차이 점을 보이는가? (중학교 1학년 함수단원을 중심으로)

다. 수학사를 도입한 탐구활동지를 적용한 연구집단과 교과서를 바탕으 로 작성된 탐구활동지를 적용한 비교집단 간의 정의적 영역에 있어서 차이점을 보이는가? (단, 수학적 성향 검사와 학습 태도를 중심으로)

이러한 연구문제를 해결하기 위하여 연구 대상으로 서울과 경기도 소재 중․고등학교 수학교사 100명을 선정하여 설문지를 통하여 조사하였다. 그 리고 경기도 D교육청 소재 D중학교 1학년을 대상으로 사전 학업성취도 검사를 실시하여 연구집단 1개 학급과 비교집단 1개 학급을 선정하였다.

(한 학급의 인원은 40명.) 즉, 연구집단과 비교집단을 각각 40명으로 선정하 여 실험을 실시하였다.

본 연구를 통하여 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다.

첫째, 서울과 경기도 소재 중․고등학교 수학교사를 대상으로 실시한 설 문조사 결과, 수학사 도입에 대하여 교사들의 상당수가 많은 관심을 보이고 있으며, 이전에 수학사에 대한 강의는 1학기 정도 들었고, 수학사 관련 서적 을 한 두 권 정도 읽는 편이며, 효과적인 수학수업을 위하여 수학사의 이용 이 필요하다고 하였다. 실제로 대부분의 교사들이 수학수업에 수학사를 도 입하고 있으며, 이 때 반 학생들의 반 이상이 관심을 보이고 있고, 도입하는 수학사의 내용들은 학습 단원의 내용이나 화제가 된 문제들을 중심으로 선 택하고 싶다고 대답하였다. 그리고 수학사 도입 효과에 대해서는 기대할 수 있는 모든 효과에 대해 긍정적인 대답을 했지만, 특히 흥미 유발에 의한 학 습 증대가 가장 클 것이라고 답하였다. 이는 수학사가 수학교육에 있어 의 미 있는 역할을 할 수 있음을 교사들 역시 주장하고 있는 것이다.

둘째, 비슷한 성적분포를 가진 학생들을 대상으로 한 인지적 영역에 대한 검사에서 수학사를 도입하여 적용한 교수․학습방법을 진행한 연구집단이

비교집단보다 인지적 영역에서 긍정적 결과를 보임을 알 수 있다. 학생들의 흥미 유발과 수학적 호기심을 유발시키고 문제 해결력의 신장에 긍정적인 반응을 보임으로써, 연구집단 학생들의 학업성취도에 효과가 있다. 이 결과 에서 주의 깊게 살펴 볼 점은 성적을 상․중․하위 집단으로 구분한 후 각 집단 간의 성적을 비교한 결과에서 연구집단의 상․중․하위 집단의 성적이 비교집단의 상․중․하위 집단의 학생들보다 많은 향상을 보이고 있음을 확 실히 알 수 있다. 특히 연구집단의 중․하위 집단의 성적이 비교집단의 중․하위 집단의 성적보다 크게 향상되었음을 뚜렷하게 알 수 있다. 문제를 푸는 다양한 수학적 방법을 효과적으로 사용하는 능력뿐만 아니라, 탐구하 고, 추측하고, 논리적인 추론 및 수학에 대한 개인적 자신감의 개발을 뜻하 는 수학적 힘을 향상시키는데 영향력을 주었다고 본다. 이는 학업성취도가 낮거나 수학에 흥미가 없는 학생에게 더 학습 효과가 크다는 것을 알 수 있 다. 즉, 하위 집단에서 기초 개념의 이해와 수학교과에 대한 흥미가 많이 향 상된 것을 발견할 수 있었다.

셋째, 수학사를 도입한 탐구활동지를 적용한 연구집단이 교과서 내용을 바탕으로 구성한 탐구활동지를 적용한 비교집단보다 학생들의 심리적 측면 인 수학적 성향에 있어서 자신감, 융통성, 의지력, 호기심, 반성, 수학적 가 치 분야에 괄목할 만큼의 변화를 보이고 있다.

특히, 수학 학습 태도에 대한 검사 결과를 보면 연구집단은 전체 3개 영 역에서 모두 긍정적으로 나타났으며, 비교집단은 자아개념, 학습습관 영역에 있어서 부정적으로 나타났다. 따라서 수학사를 도입한 탐구활동지를 적용하 여 수업을 한 연구집단이 교과서 내용을 바탕으로 한 탐구활동지를 적용하

여 수업을 한 비교집단보다 정의적 영역에서 긍정적인 태도를 보인 것을 알 수 있다.

앞으로의 과제는 수학사 도입에 대해 교사들이 많은 관심을 가지고 이의 보편화가 이루어지게 하기 위하여 예비교사들을 위한 수학사 관련 강좌 개 설은 물론, 교사들을 위한 연수 프로그램이 마련․운영되어야 한다고 본다.

또한 수학사 도입에 관한 좀 더 다양한 연구가 활성화되어야 할 것이다. 그 리고 학생들이 수학사 내용을 쉽게 접할 수 있도록 수준에 맞는 관련 서적 이나 영상 자료들이 제작․보급되어 교수-학습에 도움을 줄 수 있어야 할 것이다.

Ⅰ. 서 론

1. 연구의 필요성 및 목적

수학은 그 발생부터 인간생활의 필요에 의해 생겨났고 또 발전하여 왔다.

즉, 수학이란 수학적 발견의 근원인 직관으로부터 시작하여 끊임없는 시행 착오와 반성, 분석, 종합하는 인간활동을 통해서 그 핵심이 정리되는 ‘과정’

과 그 과정의 결과로 완성된 ‘산물’이라고 볼 수 있다. 그러나 대부분의 학 생들은 수학의 가치나 중요성을 인식하지 못하고 있다.

오늘날 우리가 학생들에게 가르치는 수학적 지식은 오랜 기간에 걸쳐 많 은 수학자들의 노력으로 얻어진 결과이다. 수학의 역사를 보면 수학은 완전 한 지식의 체계가 아니고 만들어지는 과정의 학문임을 알 수 있다. 포앙카 레는 이러한 이유에서 수학의 역사는 수학교사에게 첫째가는 안내자가 되어 야 한다고 주장하였다. 수학적 활동을 이해하는 제일 좋은 방법은 수학자들 의 활동이 역사적으로 어떻게 변화하고 발전되어 왔는지를 알아보는 것이기 때문이다.¹⁾

수학교육은 수학적인 탐구 과정, 수학이 형성되어 가는 과정, 수학이 갖고 있는 인간적인 측면을 고려하여 능동적인 수학적 사고 활동을 촉진하는 교 육이 되어야 한다. 수학교육에서 수학사를 도입하는 것은 실제 생활에서 수 학이 어떻게 쓰였는지, 수학이 무엇인지, 수학이 인류문화와 문명의 발전에 어떤 역할을 하였는지를 알게 됨으로써 수학에 대한 학생들의 흥미와 관심

1) 한옥규 : 수학사를 활용한 교수 학습 지도 자료 개발 연구, 고려대학교, 2001

을 자연스럽게 유발하고 수학교육이 인간화되는 한 방법이 되며 나아가 인 류라는 가장 큰 학습자의 학습과정인 수학사를 고려한 자연스러운 수학 지 도에 의해 유발된 동기와 흥미를 학습에 지속시켜 수학교육의 진정한 목표 를 달성하게 하는 중요한 수단이 될 수 있다.

그러나 실제로 수학사는 수학 수업에서 그 활용이 미흡한 실정이다. 이는 여러 선행연구와 본 연구에서 시행한 설문조사 결과가 잘 말해 주고 있다.

대부분의 교사들은 대학에서 수학사를 제대로 배우지 않아 실제 수업에 활 용할 수학사적 내용을 잘 모르고 만약 알고 있더라도 이를 수업에 적절하게 활용할 수 있는 구체적인 방법을 알지 못한다. 또한 교과서마다 흥미나 관 심을 줄 수 있는 수학사의 내용이 빈약하고, 다른 수학사 자료를 참고하자 면 너무 양이 방대하며 어려운 수학적 내용들을 포함하고 있다. 특히 중학 교 수학과정 중 가장 기초적이고 쉬운 1학년 학생들에게 맞춘 수학사적 자 료를 찾기엔 어려움이 많다.

따라서 중등교육에서 수학의 첫 단계인 1학년 과정에서 수학의 흥미와 호 기심을 유발시키고 그 중요성을 인식하도록 하여 수학의 첫 걸음을 잘 내디 딜 수 있도록 하는 수학사 도입에 관한 연구가 필요하다고 생각하였다.

이에 본 연구에서는 설문지를 통하여 일선 학교 수학교사들의 수학사 도 입에 대한 관심 및 적용실태를 파악․분석하고자 한다. 그리고 수학사를 도 입한 탐구활동지를 제작하여 연구집단에 적용함으로써 수학사 도입이 수학 과의 정의적 영역과 인지적 영역에 어떤 영향을 미치는지에 대하여 살펴보 고, 그 결과 수학사 도입에 대한 효율성과 문제점 및 개선방안을 제시하는 데 그 목적이 있다.

2. 연구문제

본 연구에서는 앞에서 제시한 연구의 필요성과 목적을 구현하기 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다.

가. 서울과 경기도 소재 중․고등학교 수학교사 100명을 대상으로, 수학 사 도입에 대한 관심, 수학사 도입의 실태 및 기대 효과, 실제 현장에 서 수학사 적용의 문제점등 수학교사들의 문제인식 및 그 적용 실태는 어떠한가?

나. 제7차 교육과정 수학과 수업에 있어 수학사 도입을 적용한 연구집단 과 수학사를 도입하지 않은 비교집단 간의 인지적 영역에 있어서 차이 점을 보이는가? (중학교 1학년 함수단원을 중심으로)

다. 수학사를 도입한 탐구활동지를 적용한 연구집단과 교과서를 바탕으 로 작성된 탐구활동지를 적용한 비교집단 간의 정의적 영역에 있어서 차이점을 보이는가? (단, 수학적 성향 검사와 학습 태도를 중심으로)

3. 연구의 제한점

본 연구의 제한점은 다음과 같다.

가. 본 연구의 대상 학교와 학생을 연구자가 임의로 경기도 북부지역 1개 교를 선정하였기 때문에 다른 지역의 학교와 학생들에게도 동일한 연 구 결과가 나올 것이라고 일반화하는 데에 제한점을 갖는다.

나. 수학사 도입에 대한 의견을 알아보기 위하여 실시한 설문 조사의 대 상으로 선정된 교사들은 서울시와 경기도에 재직중인 교사들로서 전국 의 모든 교사들의 의견을 대표한다고 생각할 수 없으므로, 그들의 의 견을 일반화하여 생각하는 데는 무리가 있을 것으로 생각된다.

다. 본 연구에서는 중학교 1학년 수학교과를 중심으로 한 연구방법이기 때문에 다른 교과 및 다른 학년으로 일반화하는 데에 제한점을 갖는다.

라. 수학사 도입을 중학교 수학과 7-가 단계 규칙성과 함수영역인 함수단 원에 국한하여 실시하였으므로 수학과의 다른 영역으로 일반화하는 데 에 제한점을 갖는다.

Ⅱ. 이론적 배경

1. 수학교육의 특성

가. 수학교육의 목적

학교에서 수학 교과를 가르쳐야 하는 이유는 대체로 다음의 네 가지로 설 명될 수 있다.²⁾

첫째, 수학의 실용성을 들 수 있다. 수학을 배우면 사회 생활을 할 때나 과학이나 다른 학문을 공부하는 데 도움이 된다는 것이다. 컴퓨터와 첨단 과학 기술의 발달은 거의 모든 분야에서 수학의 필요성을 증대시켰으며, 이 에 따라 수학은 민주 시민으로 성장하는데 기본 소양이 되고 있다.

둘째, 수학의 정신 도야성을 들 수 있다. 이것은 수학을 배우면 우리의 정 신 능력을 신장시킬 수 있다는 것이다. 수학을 배움으로써 신장될 수 있는 능력은 합리적이고 논리적인 사고력, 추상적 사고력, 창의적 사고력, 비판적 능력, 기호화하고 형식화하는 능력, 단순화하고 종합화하는 능력 등이다. 이 러한 능력은 치열한 경쟁이 예상되는 21세기 지식 기반 사회에서 요구되는 정신 능력으로서, 수학을 배워야 하는 강력한 이유이기도 하다.

셋째, 수학의 심미성을 들 수 있다. 기하학적 도형이나 황금 분할 등을 보 면 그 절묘함과 정교성을 느낄 수 있으며, 수의 신비한 성질이나 수학의 형 식성 등은 그 자체가 곧 아름다움이라 할 수 있다. 그러나 수학의 미적 가 치의 문제는 주관적인 요소가 강하기 때문에 수학을 배우는 학생들에게 심 미성을 인식시키기는 매우 어렵지만, 위대한 수학자들은 수학의 아름다움을

2) 교육부 : 중학교 교육과정 해설(Ⅲ), 1997

인식하였고 바로 이 아름다움이 그들의 수학 연구에 커다란 원동력이 되었 다는 역사적 사실을 통하여 지도하는 것이 바람직하다.

넷째, 수학의 문화적 가치를 들 수 있다. 인류가 오래 전부터 오늘날까지 구축해 온 수학이라는 문화는 수용, 전달할 가치가 있다는 것이다.

이와 같은 네 가지의 수학을 가르쳐야 하는 이유를 그 시대의 사회, 경제 상황, 철학 등에 따라, 또 학생들의 능력, 관심, 정서에 따라 적절하게 비중 을 두고 가르치는 것이 수학교육의 올바른 목적이 되리라고 본다.

나. 수학과의 성격

수학과는 수학의 기본적인 개념, 원리, 법칙을 이해하고, 사물의 현상을 수학적으로 관찰하여 해석하는 능력을 기르며, 실생활과의 여러 가지 문제 를 논리적으로 사고하고 합리적으로 해결하는 능력과 태도를 기르는 교과이 다.

수학에서의 수량 관계나 도형에 관한 수학적 개념의 이해, 논리적인 사고 력, 합리적인 문제 해결 능력과 태도는 과학을 비롯한 대부분 교과들의 성 공적인 학습을 위해 필요하다. 즉, 수학은 다른 교과의 효율적인 학습에 기 초가 되는 교과이다.

국민 공통 기본 교육과정의 수학을 단계형 수준별 교육과정으로 구성한 다. 단계형 수준별 교육과정은 학생의 인지 발달 수준을 고려하여 수학의 기본적인 필수 학습 내용을 정선하고, 학습 위계와 난이도에 따라 단계별로 구성한다. 또, 기본 과정과 심화 과정을 두어 학생 개인의 학습 능력에 따라 자기 주도적 학습을 촉진하는 창의적인 학습 기회를 제공한다.

수학과 교수․학습에서는 학생들의 구체적인 경험에 근거하여 사물의 현 상을 수학적으로 해석하고 조직하는 활동, 구체적인 사실에서 점진적인 추

상화 단계로 나가는 과정, 직관이나 구체적인 조작 활동에 바탕을 둔 통찰 등의 수학적 경험을 통하여 형식이나 관계를 발견하고, 수학적 개념, 원리, 법칙 등을 이해한다. 또, 수학적 문제를 해결할 때에는 먼저 문제를 분명히 이해한 후, 문제 해결을 위한 합리적이고 창의적인 해결 계획을 작성하여 실행한 다음, 반성 과정을 거치는 사고 태도를 거치도록 한다. 그리고 수학 적 지식과 기능을 활용하여 실생활의 여러 가지 문제를 해결해 봄으로써 수 학의 필요성과 실용성 등을 인식할 수 있게 하여 수학에 대한 긍정적인 태 도를 가지게 한다.

수학의 학습을 통하여 학생들은 수학의 기초적인 개념, 원리, 법칙을 습득 하고 기능을 익혀, 자연과 사회에서 일어나는 현상이나 문제를 수학적인 방 법으로 조직하고 해결할 수 있는 문제 해결 능력을 높이며, 유연하고 다양 한 사고 활동을 통하여 수학적 사고력과 창의력을 배양할 수 있다.³⁾

2. 수학교육과 수학사

현대 수학교육의 중요한 관심사는 수학적 사고력의 향상 에 있다. 즉 수학이 기성의 지식 체계로서가 아닌 학습자의 구성 활동 및 재발견 과정이 되어야 한다는 것이 현대 수학교육의 흐름이자 교육과정 구성의 주된 원리 가 되고 있다. 따라서 이제는 수학 학습을 지적 영역으로 한정하려는 경향 에서 탈피하여 적극적인 사고 활동을 통해 즐기며 행하는 방향으로 전환시 켜야 한다고 생각한다.

학생들이 수학적 사고력을 신장해야 된다는 요구는 학생들 모두를 수학자 로 만들자는 것이 아니라 그들이 활동하고 있는 삶의 현장에서, 즉 물리적 상황에서 나타나는 여러 가지 문제를 수학적으로 생각하고 수학을 이용하여

3) 교육부 : 중학교 교육과정 해설(Ⅲ), 1997

해결할 수 있게 하자는 것이다. 그러기 위해서 수학사를 수학교육에 도입하 여 좀 더 흥미를 유발시키고, 수학내용의 발달과정을 살펴보면서 개념이나 원리 이해에 도움을 주자는 것이다. 따라서 구체적으로 수학교육에 수학사 를 도입해야 할 필요성과 그 역할, 수학사 도입의 효과를 살펴보기로 한다.

가. 수학사 도입의 필요성

Abraham Arcavi는 수학사와 수학교육이 합쳐져야 할 이유에 관한 여러 학자들의 견해를 다음과 같이 요약하였다.⁴⁾

․ 개체 발생은 계통 발생을 반복한다 즉, 역사적 발전과 개념에 관한 인간 사고의 발전사이에 있을 법한 유사성이 수학을 배우는 과정에 어 떤 빛을 던질 수 있을 것이다.

․ 역사는 수학의 주제들의 이해를 돕는데 기여할 수 있다.

․ 역사는 수학이 역동적이며 살아 있는 분야라는 옳은 이미지, 즉 수학 내의 각 분야가 서로 연관되어 있으며 또한 다른 분야와도 연관되어 있 는 역동적인 분야라는 이미지를 창조하는데 기여할 수 있다.

․ 역사는 동기와 관심의 원천으로써, 혹은 과거에 관한 자연스런 호기심 에 대한 대답으로써, 또는 학생들의 자신감을 강화시키는데 기여함으로 써 (예를 들면, 학생들의 어려움 중의 어떤 것들이 과거에 수학자들에 의해 공유되었다는 인식 등을 통해), 혹은 단순히 즐기는 것의 원천으 로써 도움을 줄 수 있다.

4) 박창균 : ‘수학사적’ 수리철학과 ‘수학사적’ 수학교육학, 대한수학교육학회 논문집 제 3권 1호, 1993

백석윤(1990)은 수학사 지도의 필요성을 다음과 같이 말하고 있다.⁵⁾ 첫째, 수학내용에 대한 역사적 의의를 알게 됨으로써 학생들의 수학에 대 한 흥미, 적극적인 학습 의욕, 학습 노력을 불러일으킨다.

둘째, 수학적 개념이나 내용의 생성․변천 과정을 통하여 학생들의 잘못 된 인식과 오개념을 정립시킨다.

셋째, 수학에 대한 무미건조함을 해소시킨다. 즉, 수학 내용을 실생활과 연결시켜 의미를 찾아볼 수 있게 하는 계기를 마련하고 수학 내용이 실생활 과 유리된 불필요한 과목이라는 잘못된 편견을 시정할 수 있는 계기를 마련 한다.

넷째, 수학 형성의 배경 - 수학자나 당시 사회와 관련된 흥미로운 Episode, 수학적 개념․내용의 발생과 변천 과정에 대한 재미있는 이야기 - 으로 학생들의 잘못된 선입관, 편견을 바람직한 방향으로 시정․유도하게 한다. 이를 위하여 수학사가 제공하는 수학자들의 관련 일화는 수학의 인간 적인 측면을 인식하게 할 수 있고, 수학의 엄밀성․완벽성에 대한 학생들의 거부감 해소에 도움이 된다.

다섯째, 수학의 발달과정은 자연과학의 발달과정과 밀접하게 연관되어 있 으므로 수학은 편협한 과목이 아니라 일반적인 성격이 강하고 적용범위가 넓은 기초 과학 과목이라는 폭 넓은 이해를 갖게 하는데 도움이 되며, 이러 한 이해를 통하여 갖게 되는 수학에 대한 올바른 인식은 학생들의 수학 공 부에 대한 올바른 태도를 가져다 줄 것으로 기대된다.

여섯째, 일선 교사의 적절한 방법을 통한 수학사의 응용은 학생들의 주의 집중과 변화를 가져오게 한다.

일곱째, 수학적 구조나 개념의 형성․발전 과정의 고찰은 학생의 수학적 구조나 개념의 형성에 도움이 되고, 수학교육과정의 연구에도 중요한 참고 자료가 된다.

5) 백석윤 : 수학사와 수학교육과정, 제5회 수학 교육학 세미나집, 수학교육 세미나 그 룹, 1990

나. 수학교육에서 수학사의 역할

신영미(1993)는 수학교육에서 수학사의 역할을 다음과 같이 말하고 있 다.⁶⁾

첫째, 인류의 문화와 기술문명 발달에서의 수학의 중심적 역할에 대한 교육 수학사는 현대 기술 문명의 발달에서 수학의 중심적인 역할과 수학의 문 화적인 역할, 특히 인간관과 세계관 형성에 미친 수학의 역할을 이해하게 함으로써 수학에 대한 학생들의 인식을 바꿀 수 있다.

둘째, 수학교육 연구에 중요한 자료 제공

수학사는 인류라는 가장 큰 학습자의 학습 과정이므로 수학사에서 찾아 볼 수 있는 일련의 수학적 구조나 개념 형성 발달 과정의 고찰은 학생들의 수학적 구조나 개념의 형성과정을 이해하고 연구하는데 도움이 된다. 나아 가서 수학 교육과정의 연구와 지도방법의 연구에도 중요한 자료가 된다.

셋째, 수학 학습에 생기를 주고 학습동기를 유발

수학의 역사적 발달과정을 되돌아봄으로서 수학적 사고의 인간적인 모습 과 수학의 진정한 모습을 접해 보게 하여, 학습동기를 유발하고 수학 학습 에 생기를 불어넣을 방안을 찾을 수 있다. 그리고 수업에서 학생들의 주의 를 집중시키고 수업에 변화를 주는 방법으로 사용 될 수 있다.

넷째, 개념적 사고의 고취

알고리즘적 계산수학을 반성하게 하여 개념적 사고를 고취하게 하는데 이 용할 수 있다.

다섯째, 다양한 문제 해결 방법의 제공

수학사는 다양한 문제 해결 과정이나 방법을 배울 수 있는 기회를 제공하 며 교사에게는 학생들에게 이해되기 쉽고 개념 형성에 도움이 되는 지도 과

6) 신영미 : 수학사와 수학교육, 서울대학교 대학원 교육학석사학위논문, 1993

정이나 방법을 선택하는데 도움을 줄 수 있다.

여섯째. 학생들이 겪는 학습상의 어려움에 대해 적절한 대처 방법을 제공 교사의 수학사에 대한 지식은 수학 수업에서 학생들이 오류를 범하거나 이해하는데 곤란을 겪는 것에 대해 민감하고 적절하게 대처 할 수 있는 방 법을 제공한다.

일곱째, 수학의 형성과정에 대한 이해

수학사는 학생들로 하여금 수학이 창조되고, 발전되며, 변화되고 일반화되 는 과정과 이유에 대한 이해를 도와준다.

여덟째, 수학과 실세계와의 관계에 대한 이해

수학사는 수학과 실세계와의 관계에 대한 이해를 돕는다. 수학의 역사에 서 발견되는 여러 가지 사실들은 실세계에 존재하는 여러 가지 원리들이 수 학과 어떤 관련이 있는가를 이해하는데 도움을 준다. 따라서 수학이 어떤 편협한 과목이라기 보다는 일반적인 성격이 강하며 그 적용범위가 매우 광 범위한 기초과학 과목이라는 폭넓은 이해를 갖는데 도움이 된다. 또한 수학 과 실세계의 현상과의 관계가 매우 흥미롭고 복잡 미묘한 갈림길과 같은 면 이 있다는 것을 보여준다.

아홉째, 수학의 구조, 공리론적 체계, 증명 등의 이해

수학사는 수학의 구조, 공리론적 체계, 증명 등의 이해를 도와준다.

이상과 같이 수학사는 수학교육에서 담당할 수 있는 역할이 매우 다양하 고 이러한 역할들은 수학의 진정한 모습을 대할 수 있게 하고 의미 있 는 수학교육을 가능하게 하며 수학교육을 인간화하는데 수학사가 매우 중 요하고 필요한 도구임을 말해 준다.

다. 수학사 도입의 효과

교수 도구로서의 수학사는 학생들이 수학사를 통해서 「왜」를 이해하도 록 하여 수학의 본질, 역할, 매력 등을 가르쳐 줌으로써 수학의 발명과 발견 의 짜릿함을 가질 수 있도록 하는 것은 영원히 추구해야 할 수학의 목표이 다. 또한 수학의 역사에 대한 의식은 새로운 수학에 대한 그의 이용과 짝 을 이루어 「왜」를 가르치는 수학교사들에게 중요한 수단이 된다.⁷⁾

이러한 수학사를 수학교육에 도입 할 때의 이점을 우정호(1998)는 다음과 같이 제시하고 있다.⁸⁾

첫째, 알고리즘 적인 계산 수학을 반성하여 개념적 사고를 고취하는 데 이용할 수 있다.

둘째, 교육과정 구성에서 자연스러운 내용 배열의 준거가 되며, 학습- 지도에서 수학적 아이디어의 발달과정을 따름으로써 자연스럽게 그 이해를 도울 수 있다.

셋째, 수학의 역사적 발달 과정에 소급해 봄으로써 수학적 사고의 인간적 인 모습을 접해 보게 하여, 학습 동기를 유발하고 수학 학습에 생기를 불어 넣을 방안을 찾을 수 있다.

넷째, 현대 기술 문명의 발달에서의 수학의 중심적인 역할과 수학의 문화 적인 역할, 특히 인간관과 세계관 형성에 미친 수학의 역할을 이해함으로써 수학에 대한 학생들의 인식을 바꿀 수 있다.

7) NCTM(National Council of Teachers of Mathematics), 1996 8) 우정호 : 학교수학의 교육적 기초, 서울대학교출판부, 1998

3. 제7차 수학과 교육과정

가. 수학과 교육과정 개정의 배경

제7차 교육과정 개정의 배경 요인은 세계화, 정보화, 다양화를 지향하는 교육 체제의 변화와 급속한 사회 변동, 과학․기술과 학문의 급격한 발전, 경제․산업․취업 구조의 변혁, 교육 수요자의 요구와 필요의 변화, 교육 여 건 및 환경의 변화 등 교육을 둘러싸고 있는 내외적인 체제 및 환경, 수요 의 대폭적인 변화라고 할 수 있다.

교육부에서는 교육과정 개정의 기본 방향을 ‘21세기의 세계화․정보화 시 대를 주도할 자율적이고 창의적인 한국인 육성’으로 설정하여, ① 건전한 인 성과 창의성을 함양하는 기초․기본 교육의 충실, ② 세계화․정보화에 적 응할 수 있는 자기 주도적 능력의 신장, ③ 학생의 적성, 능력, 진로에 적합 한 학습자 중심의 실천, ④ 지역 및 학교의 교육과정 편성․운영의 자율성 확대에 중점을 두고 교육과정 개정 업무를 추진하였다.

21세기의 지식 기반, 정보화 기반 사회에서의 학교 교육의 중점은 단순 기능인의 양성보다는 자기 주도적으로 지적 가치를 창조할 수 있는 자율적 이고 창의적인 인간의 육성에 있다. 이에 대비하기 위한 수학과의 역할은, 수학의 기본적인 개념, 원리, 법칙을 토대로 탐구하고 예측하며 논리적으로 추론하는 능력, 수학을 사용한 또는 수학을 통한 정보를 처리하고 교환하는 능력, 실생활이나 다른 교과 영역에서 수학적 지식을 사용하여 문제를 구성 하고 해결하는 문제 해결력, 창의력, 수학적으로 사고하는 성향, 사고의 유 연성, 자신감 등의 수학적 힘(mathematical power)을 기르게 하는 것이다.

수학과 교육은 수학교육 현대화 운동 이후 국내외적으로 많은 변화가 있 어왔다. 1980년대 이후에는 수학적 사고력 신장과 문제 해결력 배양에 중점

을 두어 왔고, 1990년대에 들어서는 문제 해결력보다 광의의 개념인 수학적 힘의 신장을 강조하고 있다. 그러나 우리 수학교육은 상급 학교 진학을 위 한 준비에 급급하여 단편적 지식의 습득과 단순한 문제풀이의 기능 숙달에 치중하여 온 것이 사실이다. 또 학생 개개인의 능력과 관심을 고려하기보다 획일적인 학습 목표, 내용의 수준과 범위를 설정하여 모든 학생이 똑같은 내용을 학습하도록 하여 왔다.

그러나 이제부터라도 이와 같은 상황에서 탈피하여 학생의 능력과 진로에 따른 학습의 기회를 제공함과 아울러, 수학적 힘의 신장이라는 수학 교육의 본질적인 목표를 계속 추구하여야 할 것이다.

이에 따라 제6차 수학과 교육과정의 운영에서 드러난 문제점, 외국의 수 학 교육의 최신 동향 및 추세를 반영하여 자율과 창의성에 바탕을 둔 학생 중심 교육과정을 목표로 다음과 같은 이유에서 제7차 교육과정을 구성하여 시행하게 되었다.

1) 수학 교육의 획일성과 경직성 개선의 필요 2) 교수․학습 및 평가 방법 개선의 필요

3) 정보화 사회에 적응하기 위한 수학 교육의 필요

나. 제7차 수학과 교육과정의 기본방향

앞으로의 수학 교육은 진학을 위주로 한 수학에 대한 단편적 지식의 습득 과 단순한 문제 풀이 기능 숙달에서 벗어나 수학적 힘의 신장을 위한 교육 이어야 하며, 평가에 있어서도 풀이의 결과나 지식 암기의 측정에서 벗어나 문제 이해 및 해결 과정, 적용․능력을 평가하여야 하며, 수학에 대한 태도 와 관심 등 수학적 성향도 평가해야 한다는 것이다.

이에 따라 제7차 수학과 교육과정 개발 연구 위원회에서는 제6차 중학교

수학과 교육과정의 운영상의 문제점을 분석하여 다음과 같은 요소들을 추출 하게 되었다.

․중학교 1, 2, 3학년의 학습량이 많아서 학습 부담이 많고, 논증기하의 수준을 약화 할 필요가 있다.

․초등학교 5, 6학년 내용과 중복되는 부분이 많고, 중학교 학년 내에서 연계가 잘 안 된다.

․수학적 사고력이나 문제 해결력 신장의 필요성은 인식하지만, 그 지도 를 위한 구체적인 지침 및 자료의 제시가 요청된다.

이러한 수학 교육 동향을 고려하여 다음과 같이 8개 항목으로 요약되는 제7차 중학교 수학과 교육과정 개정의 방향이 설정되었다.

1) 개인의 능력 수준과 진로를 고려한 수학교육

현행 초, 중등학교 교육은 평준화 정책에 의하여 모집된 능력 차가 다양 한 학생들을 한 교실에서 지도하기 때문에, 다수의 학생들이 자기의 능력에 맞지 않는 수학을 비교육적으로 학습하고 있는 실정이다. 제7차 교육과정에 서는 초등학교 1학년부터 고등학교 1학년까지 10년 간을 국민 공통 기본 교 육 기간으로 정하고 이 기간 동안 수학과는 20개의 단계(기본적으로 10개의 단계이나 각 단계에 대한 2개의 하위 단계를 설정)를 설정한 단계 수준별 교육과정을 운영하고 있다. 학생들은 학년에 관계없이 자기 능력에 맞는 단 계에서 수학을 공부할 수 있다. 또 고등학교 2, 3학년 과정에서는 계열별 구 분 없이 자기의 능력과 진로 또는 취향에 맞는 수학 과목을 선택하여 학습 할 수 있는 과목 선택형 교육과정을 도입하였다.

2) 수학의 기본 지식을 중시하는 수학교육

중학교 수학교육의 중요한 목적은 수학의 기본적인 개념, 원리, 법칙을 통 하여 논리적이고 합리적인 사고를 기르고, 수학적 지식과 기능을 활용하여 실생활 문제 해결이나 다른 교과목의 학습에 활용할 수 있게 하기 위한 것

이다.

3) 수학적 사고력, 문제 해결력을 신장하는 수학교육

수학교육의 중요한 목표인 수학적 사고력과 문제 해결력의 강조는 수학교 육에서 지속적으로 추구하여, 급변하고 다양화하는 미래 사회에 적응할 수 있는 힘을 길러 주어야 한다.

4) 학습자의 활동을 중시하는 수학교육

수학적 지식을 구성하는 능력을 기르기 위해서는 학생들 스스로 관찰, 조 작, 분석, 종합하는 활동을 통하여 수학적 원리나 법칙을 예측하고 추론할 수 있어야 한다. 또, 학생들 상호간의 토론과 협력 학습 활동은 수학적 개념 을 바르게 이해하고, 문제를 다양한 방법으로 해결하는 능력을 기르게 한다.

5) 수학 학습에 흥미와 자신감을 가지게 하는 수학교육

수학 학습에 대한 흥미, 자신감과 같은 수학적 성향 및 태도는 수학 학습 의 성취도에 적지 않은 영향을 끼친다. 수학 학습에 대한 흥미와 자신감을 길러 주기 위해서는 학생 수준에 맞는 내용을 자기 주도적으로 학습하여 성 취하게 하고, 학생 스스로 탐구 활동을 활발히 할 수 있도록 배려하여야 한 다.

6) 수학의 실용성을 강조하는 수학교육

중학교에서 수학을 학습하는 중요한 이유는 수학적 지식의 습득과 기능의 숙달을 통하여 실생활 문제를 해결하거나 다른 교과의 학습에 적극적으로 활용할 수 있게 하기 위해서이다.

7) 구체적 조작물을 학습 도구로 활용하는 수학교육

수학과 교수․학습에서는 다양한 구체적 조작물 및 학습 기자재를 활용하 여 개념, 원리, 법칙 등의 이해를 돕도록 하는 것은 매우 효과적이다. 더욱 이 정보화 사회를 맞이하여 사회 각 분야에서 멀티 미디어를 긴요하게 사용 하고 있고, 장차 그 필요성은 점점 증가할 것으로 예측할 수 있음을 감안할

때, 학교 교육에서도 이를 이용하여 교수, 학습하는 것은 당연하다.

8) 다양한 교수․학습 방법과 평가 방법을 활용하는 수학교육

제7차 수학과 교육과정은 수학적 힘 의 신장을 강조하고 있으므로, 이 를 구현하기 위해서는 다양한 교수․학습 방법을 강구하도록 해야 한다.

설명식 학습 지도에서 벗어나 토론, 프로젝트 수행, 탐구 활동, 소집단 활 동 등을 적극적으로 도입하며, 수준별 이동식 수업, 열린 수업, 개별화된 교 수․학습 등 다양한 교수․학습 방법과 계산기, 컴퓨터, 영상 매체 등 적절 한 공학 기술을 활용하는 것이 필요하다.

다. 제7차 수학과 교육과정 목표

국민 공통 기본 교육 기간의 수학과 교육과정의 목표를 살펴보면 수학의 기본적인 지식과 기능을 습득하고, 수학적으로 사고하는 능력을 길러, 실생 활의 여러 가지 문제를 합리적으로 해결할 수 있는 능력과 태도를 기른다.

1) 여러 가지 생활 현상을 수학적으로 고찰하는 경험을 통하여 수학의 기 초적인 개념, 원리, 법칙과 이들 사이의 관계를 이해 할 수 있다.

2) 수학적 지식과 기능을 활용하여 생활 주변에서 일어나는 여러 가지 문 제를 수학적으로 관찰, 분석, 조직, 사고하여 해결할 수 있다.

3) 수학에 대한 흥미와 관심을 지속적으로 가지고, 수학적 지식과 기능을 활용하여 여러 가지 문제를 합리적으로 해결하는 태도를 기른다.⁹⁾

라. 제7차 수학과 교육과정의 특징

제7차 수학과 교육과정의 특징은 다음과 같다.

9) 교육부 : 중학교 교육과정 해설(Ⅲ), 1997

1) 초등학교 1학년부터 고등학교 1학년까지 10년 동안을 국민공통 기본 교육 기간으로 설정하였다. 단계 또는 학년제 개념에 기초하여 일관성, 체계성 있게 구성한다.

2) 고등학교 2, 3학년에서는 일반 선택과 심화 선택을 구분하였고, 선택 과목을 다양하게 개설하여 학생이 선택하여 학습할 수 있도록 선택중심 교육과정을 구성하였다. 과정이나 계열의 구분 없이 운영한다.

3) 학생의 능력, 개인차에 따른 다양한 교육 기회를 제공하고, 단계형, 심 화․보충형, 과목 선택형 수준별 교육과정이 도입된다.

4) 교과별 학습 내용과 분량을 최적화하고, 이수 교과목 수를 축소하여 학생의 학습 부담을 경감하였다.

5) 정보화 사회에 대비하여 컴퓨터 교육 내용의 강화, 정보 활용 교육을 강조하고, 개방적 자기 주도 학습 능력을 촉진하는 창의적 교육 활동 을 한다.

6) 학생의 자기 주도적 학습 능력을 신장하고, 학교와 학생에게 자율권과 선택권을 부여하기 위하여 재량 활동 시간을 신설, 확대한다.

7) 교과별 교육 목표 성취 기준을 설정하고, 주기적인 학력 평가 및 학교 교육과정 운영을 평가하여 질 관리 중심의 교육과정 평가 체제를 확 립한다.

마. 수학과 교수․학습 방법

1) 국민 공통 기본 교육 기간의 수학은 1학년부터 10학년까지를 10단계로 하고, 각 단계별로 두 개의 하위를 두어 구성한다.

2) 단계별 내용의 제시 순서가 반드시 교수․학습의 순서를 의미하는 것 은 아니므로, 학습 자료의 개발이나 교수․학습 계획의 수립 시에는 내

용의 특성과 난이도를 고려하여 내용 및 순서를 재구성할 수 있다.

3) 단계별 내용은 학생들이 학습하여야 할 최저 기준을 제시한 것이다.

따라서, 학생의 능력과 수준, 단계간의 연계성, 지역성 및 현실성을 고 려하여 보충, 심화 학습의 기회를 제공한다.

4) 단계형 수준별 교육과정을 효율적으로 운영하기 위하여 다음 사항을 유의한다.

․ 개인차에 따른 학습 능력을 고려하여 수준별로 분단이나 학급을 편성 하고, 이를 적절히 운영한다.

․ 개인차에 따라 교수․학습을 개별화하여 학습의 효율을 높인다.

․ 소집단 협력 학습 체제를 적절히 운영하여 서로 도우며 학습 할 수 있도록 한다.

5) 보충 과정, 심화 고정의 학습을 효율화하기 위해 다음 사항에 유의한 다.

․ 보충 과정의 내용은 기본 과정의 내용 중, 최소 필수가 되는 내용 요소들을 추출하여 구성한다. 여기서의 최소 필수는 내용의 기본 요 소, 연계성, 다음에 학습할 내용과의 관계 등에 중점을 두되, 학생, 단 원에 따라 또는 보충 과정에 할애할 수 있는 시간에 따라 유동적일 수 있다.

․ 보충 과정의 내용은 기본 과정의 내용을 더 낮은 난이도로 하향 초 등화하여 구성한다. 예를 들면, 어떤 정리와 이에 대한 증명이 기본 과정에 포함되어 있다고 할 때, 형식적인 증명은 난이도가 높으므로 생략하고 몇 개의 수치로 대입해 봄으로써 정리가 성립함을 확인해 보는 경우가 이에 해당한다.

․ 심화 과정의 내용은 기본 과정에서 습득한 수학적 지식을 실생활에 활용하는 다양한 방법을 찾아보게 하고, 문제 해결력을 배양하는 데

그 중점을 둔다.

․ 심화 과정의 내용을 다룰 때에는 상위 단계에서 학습할 수학적 개 념, 원리, 법칙을 도입하거나 탐구하게 해서는 안된다.

6) 다양한 교수․학습을 위해서는 다음 사항에 유의한다.

․ 생활 주변 현상이나 구체적인 사실을 학습 소재로 하여 수학의 기초 적인 개념, 원리, 법칙을 지도하고 실생활과 관련된 문제를 해결할 수 있는 능력을 길러 주도록 한다.

․ 구체적 조작 활동과 사고 과정을 중시하고, 원리나 법칙을 학생 스 스로 맛볼 수 있도록 한다.

․ 학생들의 경험과 욕구를 바탕으로 하여, 수학의 기초적인 개념과 원 리를 간단하고 구체적인 것으로 추상적인 것의 순서로 교수․학습함 으로써, 스스로 발견하고 창의적으로 문제를 해결 할 수 있도록 한다.

․ 생활 주변이나 다른 교과에서 접할 수 있는 수학과 관련된 여러 가 지 형태의 문제를 다루어, 수학에 대한 흥미와 관심을 가지게 하고, 수학의 필요성을 느낄 수 있도록 한다.

․ 발문은 학생들의 인지 발달과 경험을 고려하여 적절하게 선택하고, 그에 대한 반응을 의미 있게 처리함으로, 학생들이 효율적인 학습을 할 수 있도록 한다.

․ 발문은 창의적인 답이 나올 수 있도록, 되도록 열린 형태의 질문을 사용하도록 한다.

․ 수학의 활용성, 타 분야와의 관련성, 가치성 등에 대한 올바른 인식 을 가지도록 하여 수학을 대하는 바람직한 태도를 지닐 수 있도록 한 다.

7) 문제 해결력을 신장시키기 위하여 교수․학습 과정에서 다음 사항에 유의한다.

․ 문제 해결력을 신장시키기 위하여 문제 해결 과정(문제의 이해 → 해결 계획 수립 → 계획 실행 → 반성)에서 구체적인 해결 전략(그림 그리기, 예상과 확인, 표그리기, 규칙성찾기, 단순화하기, 식세우기, 거 꾸로풀기, 논리적 추론, 반례들기 등)을 적절히 사용하며, 문제 해결 의 결과뿐만 아니라 해결과정과 그 방법도 중시하도록 한다.

․ 습득된 수학적 지식과 사고 방법을 토대로 문제를 발견하고, 문제 해결을 위한 전략을 자주적으로 세워 이를 해결해 나갈 수 있도록 한 다.

․ 문제 해결은 전 영역에서 정형 문제 및 비정형 문제를 통하여 지속적 으로 지도되어야 하며, 여기서 습득된 문제 해결 전략이 문제 해결에 활용될 수 있도록 한다.

8) 각 영역의 내용은 다음 사항에 유의하여 지도한다.

․ ‘수와 연산’에서는 수 개념에 대한 올바른 이해를 바탕으로 기본적인 계산 능력을 함양하여 문제 해결과 타 영역에서도 활용할 수 있도록 한다.

․ ‘도형’에서는 직관에 의한 관찰이나 여러 가지 구체적 조작물 및 적 절한 컴퓨터 프로그램을 활용하여 도형의 기초적인 성질을 알고 도형 의 아름다움을 찾아볼 수 있도록 배려하며, 추론은 간단한 소재로부 터 복합적인 소재로 발전시켜 연역적 추론이 통합적으로 완성되도록 유의한다.

․ ‘측정’에서는 임의 단위에 의한 측정 활동을 통하여 표준단위의 필요 성을 인식하게 하고, 이를 바탕으로 국제 단위계에 익숙하도록 하여 실생활에 활용할 수 있게 한다.

․ ‘확률과 통계’에서는 현실적인 과제, 즉 실생활에서 접하는 자료를 효율적으로 조사, 정리, 분석해 봄으로써 유용한 정보를 얻는데 효과

적인 도구가 통계적 방법임을 알 수 있게 하며, 창의적인 문제 해결 에 적용할 수 있도록 실제적이면서 통합적인 지도를 한다.

․ ‘문자와 식’에서는 수학적 의사 소통이나 문제 해결을 위해서는 문자 의 도입이나 식의 활용이 효과적이라는 사실을 인식할 수 있도록 문 자와 식의 유용성을 강조한다.

․ ‘규칙성과 함수’에서는 주위 사물의 상호 관련성에 주목하여 관계나 규칙을 찾아내고자 하는 태도를 기르는데 주안점을 두고, 이러한 과 정에는 문자와 식의 활동이 유용한 것임을 인식하도록 지도한다.

9) 국민공통기본교육기간의 수학 교수․학습 과정에서 교육 기자재의 활 용은 다음 사항에 유의한다.

․ 교수․학습의 전 과정을 통하여 적절하고 다양한 교육 기자재를 적극 활용하여 학습의 효과를 높이도록 한다.

․ 교수․학습 과정에서 계산 능력 배양이 목표인 영역을 제외하고는, 복잡한 계산, 수학적 개념․원리․법칙의 이해, 문제 해결력 향상 등 을 위하여 가능하면 계산기나 컴퓨터를 적극 활용하도록 한다.

바. 수학교과의 평가

1) 평가 목적

제7차 교육과정이 추구하는 인간상은 건강하고 자주적이며 창의적이고 도 덕적인 인간이다. 수학 학습의 평가도 바로 이러한 전인 교육의 실현에 기 여하여야 한다. 따라서 평가가 일련의 수학 교수․학습 과정의 중요한 실현 에 기여하여야 한다. 따라서 평가가 일련의 수학 교수․학습 과정의 중요한 부분으로서 시행되고, 평가 결과가 차후 연계되는 수학 학습의 개선적 지도

를 위한 자료로 재활용될 수 있도록 해야 한다. 또 학생의 학습 활동 측면 에 대한 평가뿐만 아니라 교사의 지도 활동 측면에 대해서도 자발적인 평가 를 함으로써 발전적인 학습 지도 개선의 참고 자료로서 활용될 수 있어야 한다.

2) 평가 내용

평가의 세부 내용은 교육과정에 제시된 수준과 범위에서 다음과 같이 수 학교육의 목표에 부합되는 내용을 포함시켜야 한다.

․ 수학의 기초적인 개념, 원리, 법칙, 기능 등에 대한 의미 있는 습득, 숙달 정도를 평가할 수 있어야 한다.

․ 자연이나 생활 속에서 실제적으로 접하게 되는 현상이나 사태를 수학 적으로 접근, 조직, 해결하는 문제 해결력에 대한 평가를 할 수 있어야 한다.

․ 수학 내용과 관련된 문제 상황에서 스스로 발견, 탐구, 유추할 수 있 는 추론 능력과 수학적 사고력, 창의성의 발휘 정도에 대한 평가를 할 수 있어야 한다.

․ 수학 학습에 대한 바람직한 가치관이나 관심, 흥미 등에 대한 평가를 할 수 있어야 한다.

․ 자신의 생각이나 아이디어를 수학적으로 표현하고 서로 의사 교환을 할 수 있는 능력에 대한 평가를 할 수 있어야 한다.

3) 평가 방법

충실한 평가를 위해서 해당 내용의 성격과 목표에 따라 기법을 달리할

수 있으며, 타당도와 신뢰도를 갖춘 다양한 평가 방법을 개발할 수 있어야 한다.

․ 목표 지향적인 결과 중심의 평가보다는 과정 중심적인 평가로 학생의 수학적 사고의 전개 능력을 평가할 수 있어야 한다.

․ 객관식 선다형 위주의 평가를 지양하고, 주관식 지필 검사, 프로젝트 평가, 포트폴리오, 관찰 및 면담 등의 다양한 평가 기법을 활용함으로 써, 수학교육 본래 목표한 의도의 실천을 유도하는 수학 학습 평가를 할 수 있어야 한다.

․ 수학 학습에 있어서의 인지적 능력의 평가와 아울러 수학적 소양을 길러 주기 위한 수학적 태도 및 가치 인식 등의 정의적 성향을 평가할 수 있는 도구의 개발과 이를 적용할 수 있는 능력을 갖추는 의지와 노 력이 중요하다.

․ 수학의 교수․학습에서와 같이 평가의 경우도 해당 학생들의 인지 발 달 단계에 따른 학습 심리적인 요소를 고려하여, 적절히 고안된 평가 기법의 적용이 필요하다.

4. 제6, 7차 중학교 교육과정 함수 영역 비교

가. 함수 개념 지도의 의의

함수 개념이 학교수학에 도입된 것은 20세기 초에 독일의 수학자 Klein이 수학교육 개혁을 주창한 이후이다. Klein은 “함수 개념은 단순히 하나의 수 학적 방법이 아니라 수학적 사고의 심장이요 혼이다”라고 하면서 함수 개념 이 학교수학의 중심 관념이 되어야 한다고 주장하였다. 그리고 그는 정신 도야의 핵심은 개념적 사고 방법에서 찾아야 한다고 주장하고 ‘함수적 사고

습관의 도야’를 강조하였으며, 함수 개념이 수학 수업에 효소처럼 스며들도 록 해야 하며 학생들에게 살아 있는 자산이 되도록 지도되어야 한다고 주장 하였다.¹⁰⁾

7차 교육과정에서도 다음과 같이 함수 지도의 의의를 밝히고 있다.¹¹⁾ 함수의 개념은 수학에서 아주 중요한 통합적 아이디어의 하나이다. 두 집 합의 원소 사이의 특수한 대응 관계인 함수는 산술, 대수에서 기하, 확률에 이르기까지 교육과정 전체의 공통된 주제일 뿐만 아니라, 실생활이나 자연 현상에서 찾아볼 수 있는 많은 투입과 산출 상황의 수학적 표상이기도 하 다. 함수적 사고는 미래 사회의 일원으로서 살아가는 데 그 소양으로 필요 한 경우가 많으므로, 함수에 관한 학습은 큰 의의를 가질 뿐만 아니라 수학 의 여러 가지 분야에서 중요한 역할을 하게 된다.

이와 같이 Klein이 함수적 사고 교육의 중요성을 강조한 이후로 함수적 사고 교육은 수학교육의 중요한 목적의 하나가 되어 왔으며, 7차 교육과정 에서도 수학적 힘의 육성이라는 목적 아래 함수 교육의 목적을 함수적 사 고․태도 육성에 초점을 맞추고 있다.

나. 제6, 7차 중학교 교육과정의 함수 개념 지도-학습 내용 비교

중학교 1학년을 중심으로 6, 7차 중학교 함수 영역의 내용을 비교하여 이 를 바탕으로 6, 7차 중학교 함수 개념 지도-학습의 차이점과 7차 중학교 교 육과정의 함수 개념 지도-학습의 방향을 살펴보고자 한다.

10) 우정호 : 학교 수학의 교육적 기초, 서울대학교출판부, 1998 11) 교육부 : 중학교 교육과정 해설(Ⅲ), 1997

표 1. 6, 7차 교육과정의 함수개념 지도-학습 비교

구분 6차 교육과정 7차 교육과정 비 교

영역 ․함수 ․규칙성과 함수 ▶ 영역명 변경

교육

시기 ․중1학년 1학기 ․7-가 단계

▶학년 구애 없이 능력에 맞는 단계 에서 학습

함수 개념 의 정의

․집합 X의 각 원소에 대 하여 집합 Y의 원소가 하나씩만 ‘대응’할 때, 이 대응을 집합 X에서 집합 Y로의 함수

․‘비례’관계 이용하여 변 화하는 두 양의 관계로 서 함수 개념을 정의

▶‘비례’관계로 함수 개념 도입

선수 학습

․짝짓기를 통한 개수비교

․대응표에서 두 수 사이 의 대응 규칙 알아보기

․수량 사이의 관계를 △ 또는 □를 사용한 식으 로 나타내기

․따라서 변하는 두 수 사 이의 대응 관계를 변수 x, y 사용한 식으로 나 타내기

․좌표평면

․‘정비례와 반비례’ 및 그 식과 그래프

․규칙적인 배열에서 규칙 찾기, 자신이 정한 규칙 에 따라 배열하기

․수 배열표와 곱셈표에서 규칙 찾기

․다양한 변화의 규칙 찾 기, 다양한 변화의 규칙 을 수로 나타내고 설명 하기

․규칙을 추측하고 말이나 글로 표현하기

․규칙과 대응

․짝짓기를 통한 개수 비 교

․대응표에서 두 수 사이 의 대응 규칙 알아보기

․수량 사이의 관계를 △ 또는 □를 사용한 식으 로 나타내기

․비와 비율, 비례식

․연비와 비례배분

▶관계나 규칙 찾기 중시

▶대응 관계를 변수 x, y 사용한 식 으로 나타내기 삭 제

▶좌표평면 7-가 단 계로 이동

▶정비례와 반비례 및 그 식과 그래 프 7-가 단계로 이동

내용 개요

․두 집합의 원소 사이의 대응

․함수의 뜻

․함수값의 변화 (정비례와 반비례)

․순서쌍과 좌표

․함수의 그래프

․정비례와 반비례

․함수의 뜻 (함수값의 변화)

․순서쌍과 좌표

․함수의 그래프

․함수의 활용

▶정비례와 반비례 초등에서 이동

용어 와 기호

․대응, 함수, 정의역, 공 역, 함수값, 치역, 변수, 좌표, 순서쌍, x좌표, y 좌표, 원점, 좌표축, x축, y축, 좌표평면, 제 1, 2, 3, 4분면, 함수의 그래프, f : X→Y, f( x), y = f(x)

․정비례, 반비례, 함수, 정 의역, 공역, 함수값, 치 역, 변수, 좌표, 순서쌍, x 좌표, y좌표, 원점, 좌표 축, x축, y축, 좌표평면, 제 1, 2, 3, 4분면, 함수 의 그래프

▶대응, f : X→Y f( x)기호 삭제

▶정비례, 반비례 초 등에서 이동

지도 상의 유의점

․세상의 모든 사물들이 갖가지 형태의 관계를 맺고 있음을 주지시키고, 사물을 수학적 모델로 바꾸어 두 변량 사이의 관계로서 관찰하고, 함수 적인 사고에 의해 원리 나 법칙, 형식을 발견하 고 구조화시켜 통합하는 방법을 인식

․생활 장면에서 변화하는 두 양을 조사하여 비례 관계를 이해하게 한다.

․함수 개념의 도입은 비 례관계를 이용한다.

▶6, 7차 모두 실생 활 소재로부터 개 념 도입 중시 동 일

6차 교육과정과는 다르게 7차 교육과정에서는 영역 명이 규칙성과 함 수 로 변경되었고, 함수 개념에 대한 선수학습으로서 변수 x, y 사용한 식으로 나타내기 , 정비례와 반비례 및 그 식과 그래프 내용이 삭제되 었음을 알 수 있다. 7차 교육과정에서는 7-가 단계에서 처음으로 정비례․

반비례 관계를 배우게 되며, 정비례․반비례 관계를 통하여 함수 개념을 도

입하고, 함수 관계를 변수 x, y를 사용하여 함수식으로 대수화 하는 과정 을 처음 학습하게 된다.

5. 제7차 중학교 교육과정 함수 개념의 역사적 배경

가. 함수의 역사

함수 개념의 근원은 바빌로니아 시대까지 거슬러 올라간다. B. C. 500년 경의 바빌로니아시대의 수표는 함수를 나타내며, 함수는 천문학과 관련하여 등장한다. 그들은 함수의 일종인 비례관계를 나타내는 수표를 통해 천체운 동을 서술하려 했으며 그들이 표로 나타낸 여러 함수는 지금의 주기함수이 다. 그리스인들은 천체 운동을 구면 삼각법을 사용해 삼각함수와 같은 형태 로 서술하였다. 그리스어로 일차 종속은 비례를 나타내며, 이 관습은 케플러 (Kepler, J. ; 1571∼1630)까지 계속되었다.

함수(function)라는 용어는 1692년 독일의 수학자 라이프니츠(Leibniz, G.

W. ; 1646∼1716)에 의하여 처음으로 도입되었다. 그는 곡선과 관련된 모든 양, 이를테면 곡선 위의 점의 좌표, 접선의 기울기와 같은 양을 나타내기 위 한 용어로 함수를 도입하였다. 처음에 그는 곡선 위의 점 P에 대하여 정해 지는 기하학적인 양인 x좌표 또는 y좌표, 접선의 길이 등을 함수라고 불렀 다. 그 후 그는 변량 x의 식을 함수라고 하였다.

함수의 개념은 스위스의 수학자 가문인 베르누이 형제(Bernoulli, J. ; 1654∼1705, Bernoulli, J. ; 1667∼1748)에 의해 더욱 발전되었는데 형인 요 한 베르누이는 변수와 어떤 상수로 이루어진 임의의 식 을 함수로 고려 하였다. 이와 같은 함수의 개념은 그의 제자인 스위스의 수학자 오일러 (Euler, L. ; 1707∼1783)에게 이어졌다.