2012년 2월
교육학석사(특수교육)학위논문
시각장애학생의
입체도형 지도방안 연구
조선대학교 교육대학원
특수교육전공
나 수 현
시각장애학생의
입체도형 지도방안 연구
Strategies for Teaching Three-Dimensional Geometry to Students
with Visual Impairments
2012년 2월
조선대학교 교육대학원
특수교육전공
나 수 현
시각장애학생의
입체도형 지도방안 연구
지도교수 김 영 일
이 논문을 교육학석사(특수교육)학위 청구논문으로 제출함
2011년 10월
조선대학교 교육대학원
특수교육전공
나 수 현
나수현의 교육학
석사(특수교육)학위논문을 인준함
심사위원장 조선대학교 교수 이 승 희 (인) 심사위원 조선대학교 교수 정 은 희 (인) 심사위원 조선대학교 교수 김 영 일 (인)
2011년 12월
조선대학교 교육대학원
목 차
표 목차 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ⅲ ABSTRACT · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Ⅴ
Ⅰ. 서론 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1
1. 연구의 필요성 ··· 1
2. 연구 목적 및 연구 문제 ··· 3
3. 용어의 정의 ··· 3
Ⅱ. 이론적 배경 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5
1. 수학과 교육과정의 분석 ··· 5
1) 교육과정 목표 분석 ··· 5
2) 교육과정 내용 분석 ··· 7
3) 입체도형 영역의 도형요소와 학습요소 ··· 8
2. 수학과 도형지도에 관한 이론 ··· 10
1) 피아제의 공간 개념 발달론 ··· 10
2) 반 힐레의 기하 학습 수준 이론 ··· 11
3. 미국 수학교사 협의회의 도형 학습 ··· 14
4. 도형 학습 지도의 단계 ··· 16
5. 시각장애학생의 도형 학습 ··· 17
6. 선행연구 고찰 ··· 18
Ⅲ. 연구 방법 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 21
1. 연구 대상 ··· 21
2. 연구 도구 ··· 22
1) 시각장애학생의 입체도형에 관한 개념 이해 및 문항풀이 과정 평가지 ··· 22
2) 시각장애학생의 입체도형 교수학습에 대한 면접지 ··· 27
3. 연구 절차 ··· 28
4. 자료 분석 ··· 29
Ⅳ. 연구 결과 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 30
1. 입체도형에 관한 개념 이해 및 문항풀이 과정 평가 결과 ··· 30
1) 대상학생별 분석 결과 ··· 30
2) 문항별 분석 결과 ··· 33
2. 입체도형 교수학습에 대한 면접 결과 ··· 52
1) 대상학생별 분석 결과 ··· 52
2) 문항별 분석 결과 ··· 56
Ⅴ. 논의 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 76
1. 체계적인 도형 탐색 방법의 지도 ··· 76
2. 실물을 활용한 구체적인 조작활동 ··· 77
3. 입체도형에 대한 탐색 경험의 다양화 ··· 77
4. 학생 수준에 적절한 교수 적합화 ··· 78
5. 수학적 개념의 깊이 있는 이해와 활용 ··· 78
6. 입체도형 학습에 대한 긍정적인 태도 형성 ··· 79
Ⅵ. 결론 및 제언 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 80
1. 결론 ··· 80
2. 제언 ··· 81
참고문헌 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 83
부 록 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 85
<부록 1> 시각장애학생의 입체도형에 관한 개념 이해 및 문항풀이 과정 평가지 ··· 86
<부록 2> 시각장애학생의 입체도형 교수학습에 대한 면접지 ··· 88
표 목 차
<표 Ⅱ-1> 교육과정 목표 분석 ··· 6
<표 Ⅱ-2> 교육과정 내용 분석 ··· 7
<표 Ⅱ-3> 입체도형 영역의 도형요소와 학습요소 ··· 9
<표 Ⅱ-4> 반 힐레의 기하 학습 수준 ··· 14
<표 Ⅲ-1> 대상학생에 대한 기본정보 ··· 21
<표 Ⅲ-2> 각기둥과 각뿔 단원의 전개 계획 ··· 23
<표 Ⅲ-3> 교과서의 문항과 수정한 문항 구성 ··· 24
<표 Ⅳ-1> 입체도형에 관한 개념 이해 및 문항풀이 과정에 대한 문항별 평가 결과 ··· 31
<표 Ⅳ-2> 평면도형과 입체도형 구별에 대한 개념 이해 평가 및 촉각활용 관찰 ··· 34
<표 Ⅳ-3> 각기둥의 밑면과 옆면에 대한 개념 이해 평가 및 촉각활용 관찰 ··· 36
<표 Ⅳ-4> 각기둥의 이름 이해에 대한 개념 이해 평가 및 촉각활용 관찰 39 <표 Ⅳ-5> 각기둥의 모서리와 꼭짓점, 높이에 대한 개념 이해 평가 및 촉각활용 관찰 ··· 41
<표 Ⅳ-6> 각뿔의 밑면과 옆면에 대한 개념 이해 평가 및 촉각활용 관찰 44 <표 Ⅳ-7> 각뿔의 이름에 대한 개념 이해 평가 및 촉각활용 관찰 ··· 46
<표 Ⅳ-8> 각뿔의 모서리와 꼭짓점, 각뿔의 꼭짓점, 높이에 대한 개념 이해 평가 및 촉각활용 관찰 ··· 48
<표 Ⅳ-9> 각기둥의 전개도에 대한 개념 이해 평가 및 촉각활용 관찰 ··· 49
<표 Ⅳ-10> 각뿔의 전개도에 대한 개념 이해 평가 및 촉각활용 관찰 ··· 50
<표 Ⅳ-11> 입체도형 교수학습에 대한 문항별 면접 결과 ··· 53
<표 Ⅳ-12> 입체도형에 대한 흥미 정도에 관한 면접 ··· 56
<표 Ⅳ-13> 입체도형의 공부에 관한 생각에 관한 면접 ··· 57
<표 Ⅳ-14> 입체도형의 학습에 관한 면접에 관한 면접 ··· 58
<표 Ⅳ-15> 교과서에 실린 입체도형에 대한 내용의 양에 관한 면접 ··· 59
<표 Ⅳ-16> 교과서에 실린 입체도형의 학습 정도에 관한 면접 ··· 60
<표 Ⅳ-17> 입체도형 학습할 때 실물 사용의 정도에 관한 면접 ··· 61
<표 Ⅳ-18> 입체도형 학습할 때 점자교과서의 그림 사용 정도에 관한 면접 ··· 63
<표 Ⅳ-19> 선생님의 점자교과서 그림 안내 정도에 관한 면접 ··· 64
<표 Ⅳ-20> 입체도형 학습할 때 쉬운 순서에 관한 면접 ··· 65
<표 Ⅳ-21> 점자교과서에 그림으로 제시된 입체도형 그림의 이해 순서 관한 면접 ··· 67
<표 Ⅳ-22> 입체도형 학습할 때 가장 어려운 점에 관한 면접 ··· 69
<표 Ⅳ-23> 입체도형에 대한 그림 및 개념 이해 정도 ··· 69
<표 Ⅳ-24> 입체도형 학습할 때 선생님의 설명 방법에 관한 면접 ··· 70
<표 Ⅳ-25> 수학 과목에 대한 태도에 관한 면접 ··· 71
<표 Ⅳ-26> 수학 공부할 때 어려운 점에 관한 면접 ··· 73
<표 Ⅳ-27> 점자 수학교과서의 입체도형 점역에 대한 생각에 관한 면접 ·· 74
ABSTRACT
Strategies for Teaching Three-Dimensional Geometry to Students with Visual Impairments
by Su-hyun Na
Advisor: Young-il Kim, Ed.D.
Department of Special Education Graduate School, Chosun University
The purpose of this study was to propose the instructional strategies for teaching three-dimensional geometry to students with visual impairments by observing their performance of solving three-dimensional geometry problems and interviewing about their experiences of math instruction in three-dimensional geometry. Three seventh-grade students with blindness from three different special schools for students with visual impairments were recruited to participate in this study with consent from their parents. The instrument for evaluating the ability to solve three-dimensional geometry problems consisted of 27 items, derived from nine learning objectives in unit three of the sixth-grade math textbook. The instrument for interviewing consisted of 15 items addressing their interest, preference, experience, and opinion about geometry-related learning strategies.
The participants performed correctly on 16 of 27 tasks. They succeeded in solving problems involving concrete or real objects or knowledge about terminology. They tended to fail to solve problems involving diagrams in braille.
The participants differed with one another in terms of interest in math and perception about the importance of three-dimensional geometry. They agreed that teachers should guide their hands to correctly explore the diagrams in braille textbooks.
Based on the results, this study proposed the following strategies for teaching three-dimensional geometry to students with visual impairments:
instruction in systematic exploration by both hands, activities using real objects, diversification in exploring three-dimensional geometry, instructional adaptation individualized for each student, and promotion of the students' motivation to learn about three-dimensional geometry.
Ⅰ. 서론
1. 연구의 필요성
도형 영역은 자연 예술, 건축, 그래픽, 공간 탐험, 지도 읽기 등 실생활 상황의 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 할 뿐만 아니라, 도형 영역에서의 많은 아이디 어는 수학의 다른 영역의 문제를 해결하는 데 유용하다. 프로이덴탈에 따르면, 도 형 영역의 학습목표는 단순히 도형을 탐구하는 것만이 아니라 학생들이 이 세상에 서 더 풍요롭게 생활하고, 호흡하고, 활동하기 위해 이해하고, 탐구하고, 정복해야 할 공간을 파악하는 것이라고 한다. 또한 이런 내용을 다루면서 추상화, 특수화, 귀 납적 추론, 연역적 추론, 공간 추론, 유비 추론 등 학생들이 수학적으로 사고하고 추측하며 정당화하는 추론 능력을 발달시키는 것이 필요하다(교육과학기술부, 2008a).
최근에는 이런 관점을 바탕으로 평면과 공간의 도형에 대한 기본적인 사실뿐만 아니라 공간에 대한 직관적 감각이라고 할 수 있는 공간 감각이 초등 수학의 도형 영역에서 중요한 내용이 되고 있다. 도형 영역을 지도할 때는 구체물, 그림 등을 활용한 구체적 조작 활동을 통하여 도형의 기본 개념과 성질을 발견하는 것뿐만 아니라 공간 감각을 발달시키는 것이 필요하다. 또한 필요한 경우에는 탐구형 기하 소프트웨어 등을 활용할 수도 있다. 그리고 실생활의 현상이나 상황을 이용하거나 직접 구성해 보는 활동을 통해 구체적이고 직관적으로 도형의 개념과 성질을 인식 하는 과정에서 먼저 머릿속에서 추측하고 그 후에 정당화하는 과정으로 점진적으 로 전이하는 것이 필요하다(교육과학기술부, 2008a).
하지만 시각장애학생들은 시각의 손상으로 인하여 시각을 통한 경험을 잘 하지 못하거나 전혀 하지 못하기 때문에 환경적 상호작용과 문제해결 및 의사결정을 위 한 기회가 제한되어 있어 추상적 추리에 지체를 보일 뿐만 아니라, 거리, 시간 개 념, 형태와 공간 인지 등의 모든 영역에 제한을 받고 있다. 따라서 시각장애학생들 에게 수학은 학습하기 매우 어려운 과목임과 동시에 장애를 극복할 수 있는 매우 중요한 과목 중 하나인 것이다(정유미, 2006).
시각장애학생들은 ‘도형’에서 용어의 정의와 점자기호에 대한 정확한 이해가 부
족하고 도형의 개념도 모양과 방향각의 읽기 등 촉각을 이용하는데 많은 부담감을 가진다고 한다. 뿐만 아니라 맹학생은 촉각에 의하여 문제를 인식하기 때문에 읽는 속도가 느려서 수학학습 활동에 지체를 보이며 도형에 대한 이해와 습득, 실선과 보조선의 구분 등에서 학습을 저해하는 요인이 발생한다고 한다. 또한 시각적 손상 으로 인한 기초지식의 부족은 수학 학업성취도에도 영향을 미친다. 시각장애학생의 경우 전반적으로 언어영역에서 강세를 보였지만, 시각적인 정보 입수가 필수적인 도형 부분에서는 맹학생과 저시력학생 모두 많은 어려움을 나타냈다(김은주 외, 2002).
초등학교 5학년까지 평면도형, 입체도형의 구성, 수직과 평행, 다각형, 직육면체 와 정육면체의 성질에 대한 학습을 한 학생들은 6학년 때 입체도형과 각기둥, 각기 둥의 여러 가지 구성 요소, 각뿔의 이해, 각뿔의 여러 가지 구성 요소, 각기둥의 전 개도, 각뿔의 전개도에 대하여 학습하게 된다. 초등학교에서 도형에 관한 학습의 마무리 단계인 6학년 ‘각기둥과 각뿔’ 단원에서는 입체도형에서 각기둥과 각뿔의 구성 요소를 바르게 이해하고, 정확한 개념들을 바르게 활용함으로써 수학적으로 의사소통하는 능력을 신장시킬 수 있게 된다. 또한 각기둥과 각뿔의 전개도를 그려 봄으로써 공간지각능력과 수학적 사고력을 신장시킬 수 있게 된다.
중학교 1학년 2학기에는 다면체의 뜻과 성질, 회전체의 뜻과 성질, 입체도형의 겉넓이와 부피 등 여러 가지 입체도형의 성질에 대한 학습이 이루어진다.
수학수업 시간에 학생들이 배우는 수학 내용이 어느 정도로 어렵다고 생각하는 가 즉, 난이도에 대하여 학생과 교사, 전문가들에게 설문 조사한 내용을 살펴보면 초등학생들의 경우는 수학이 어렵다는 부정적인 비율이 낮았고, 중등학생들의 경우 는 수학이 어렵다는 비율이 높았다. 수학 내용이 어렵다고 생각하는 이유에 대해서 는 초등학생의 경우 ‘계산이 복잡해서’라고 응답한 학생의 비율이 높았고, 다음으로 는 ‘이전 단계에 대한 이해의 부족’으로 인해 다음에 배우는 내용에 대한 이해가 어렵다고 응답한 학생의 비율이 높았다. 중․고등학생들은 모두 수학 내용이 어려운 이유에 대해서 ‘전 단계에 대한 이해가 필요해서’라는 응답률이 가장 높게 나타나, 고학년이 될수록 학습결손 문제가 심각한 것으로 나타났다(김은주 외, 2002). 또 한, 시각장애 여학생이나 남학생 모두 수학에 대한 기초지식이 부족하면 따라가기 힘들며 수학내용이 자기 수준에 비해 너무 어려울 때 불안을 느낀다(전재윤, 2004).
한 학생의 이전 경험에서 비롯된 기대감은 다음 학습상황에의 접근 방식을 결정 한다. 이전 단계에 대한 이해부족으로 새로운 단계에서 빈번한 실패 경험을 가지고 있는 학생들은 과제의 난이도에 상관없이 실패를 미리 예상하는 경향이 강하다. 이 로 인해 낮은 기대와 목표를 설정하고, 노력의 양이 적어 실패가 거듭되는 악순환 을 되풀이하게 된다.
이 연구에서는 중학교 1학년 1학기 내용까지 학습을 한 중학교 1학년 학생들을 대상으로 여름방학동안 연구를 실시하고자 한다. 아직 중학교 1학년 2학기 도형에 대한 학습이 이루어지지 않은 학생들을 대상으로 도형 영역의 이전 단계인 초등학 교 6학년 ‘각기둥과 각뿔’ 단원을 통해 이전 단계에 대한 이해 정도가 어떠한지 파 악하고자 한다. 이를 통하여 학생들의 도형에 대한 학습수준을 이해하고, 다음 단 계에서의 적절한 교수․학습방법을 결정하고자 중학교 1학년 학생들을 대상으로 전 단계에 대한 이해 정도가 어떠한가에 대한 연구가 필요하다.
2. 연구 목적 및 연구 문제
이 연구는 중학교 1학년 학생들의 입체도형에 대한 개념 이해 및 문항풀이를 통 한 탐색과정을 관찰하고, 입체도형에 대한 학습 태도 및 경험이 어떠한가를 조사함 으로써 시각장애학생을 위한 효과적인 입체도형 지도방안을 도출하는데 그 목적이 있었다.
이러한 연구 목적에 따라 설정한 연구문제는 다음과 같다.
첫째, 시각장애학생들의 입체도형에 대한 개념 이해 정도와 문항풀이 과정은 어 떠한가?
둘째, 시각장애학생들이 입체도형을 학습할 때 효과적인 교수학습방법은 어떤 것 이 있는가?
3. 용어의 정의
도형이란 물체에 있는 크기, 색, 딱딱함, 부드러움, 광택, 위치 등의 여러 가지 속성 중 형과 위치와 크기만을 추상화한 것이다(현종익, 1999). 또한 도형의 개념 은 추상화된 도형의 본질적 속성뿐 아니라 그러한 도형이 가리키는 전체 범위를
포함한다고 하겠다. 그러므로 이 연구에서는 입체도형의 개념 이해라 함은 입체 도 형의 정의 및 구성요소, 성질에 대한 이해라 규정하고, 7차 교육과정에서 추가된 공간 감각의 내용에 대한 이해 부분은 제외하기로 한다. 여기서 입체도형은 초등학 교 교육과정에 제시된 직육면체, 정육면체, 각기둥, 각뿔, 원기둥, 원뿔 등으로 한 정한다(손희진, 2007).
① 각기둥
위아래의 면이 서로 평행하고 합동인 다각형으로 이루어진 기둥 모양의 입체도 형이다. 초등학교 교육과정에 제시된 직육면체와 정육면체는 각기둥에 포함된다.
② 각뿔
밑면이 다각형이고 옆면이 모두 삼각형인 입체도형이다.
③ 원기둥
두 면이 서로 평행하고 합동인 원으로 된 기둥 모양의 입체도형이다.
④ 원뿔
밑면이 원이고 옆면이 굽은 면인 뿔 모양의 입체도형이다.
Ⅱ. 이론적 배경
1. 수학과 교육과정의 분석
수학과는 수학적 개념, 원리, 법칙을 이해하고 논리적으로 사고하며, 여러 가지 현상을 수학적으로 관찰하고 해석하는 능력을 기르고, 여러 가지 문제를 수학적인 방법을 사용하여 합리적으로 해결하는 능력과 태도를 기르는 교과이다(교육과학기 술부, 2008a).
수학적 개념의 깊이 있는 이해와 활용, 합리적인 문제해결 능력과 태도는 모든 교과를 성공적으로 학습하는 데 필수적일 뿐만 아니라 개인의 전문적인 능력을 향 상시키고 민주 시민으로서 합리적 의사 결정 방법을 습득하는 데에도 필요하다. 또 한 수학적 지식과 사고 방법은 오랜 역사를 통해 인간 문명 발전의 지적인 동력의 역할을 해왔으며, 미래의 지식 기반 정보화 사회를 살아가는 데 필수적이다.
초등학교 수학과 교육 내용은 ‘수와 연산’, ‘도형’, ‘측정’, ‘확률과 통계’, ‘규칙성 과 문제 해결’의 5개 영역으로 구성되며, ‘도형’ 영역에서는 평면도형과 입체도형의 개념과 성질을 다룬다(교육과학기술부, 2008a). 중학교 수학과 교육 내용은 ‘수와 연산’, ‘문자와 식’, ‘함수’, ‘확률과 통계’, ‘기하’의 5개 영역으로 구성되며, ‘기하’
영역에서는 기본 도형의 성질에 대한 이해와 증명, 피타고라스의 정리, 삼각비에 대한 이해와 활용을 다룬다(교육과학기술부, 2008b).
1) 교육과정 목표 분석
수학과 교육과정에서 도형영역 중 입체도형 영역의 교육과정 목표는 다음과 같 다.
학교급 학년 목표
초등 학교
1학년
(입체도형의 모양)
① 여러 가지 물건을 관찰하여 직육면체, 원기둥, 구의 모양을 찾 을 수 있다.
② 여러 가지 모양을 만드는 활동을 통하여 기본적인 입체도형에 대한 감각을 익힌다.
2학년
(입체도형의 구성)
① 쌓기나무로 만들어진 입체도형을 보고 똑같이 만들 수 있다.
② 주어진 쌓기나무로 여러 가지 입체도형을 만들 수 있다.
5학년
(직육면체와 정육면체의 성질)
① 직육면체와 정육면체의 구성 요소를 알고, 여러 가지 성질을 알 수 있다.
② 직육면체와 정육면체의 전개도와 겨냥도를 그릴 수 있다.
6학년
(각기둥과 각뿔의 성질)
① 각기둥과 각뿔을 이해하고, 구성 요소와 성질을 안다.
② 각기둥의 전개도를 그릴 수 있다.
(원기둥과 원뿔의 성질)
① 원기둥과 원뿔을 이해하고, 구성 요소와 성질을 안다.
② 원기둥의 전개도를 이해한다.
③ 회전체를 이해한다.
(여러 가지 입체도형)
① 쌓기나무로 만든 입체도형을 보고 사용된 쌓기나무의 개수를 구할 수 있다.
② 쌓기나무로 여러 가지 모양을 만들고 규칙을 찾을 수 있다.
③ 쌓기나무로 만든 입체도형의 위, 앞, 옆에서 본 모양을 표현할 수 있다.
④ 여러 가지 물체의 위, 앞, 옆에서 본 모양을 표현할 수 있다.
중학교 1학년
(입체도형의 성질)
① 다면체의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.
② 회전체의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.
② 입체도형의 겉넓이와 부피를 구할 수 있다.
<표 Ⅱ-1> 교육과정 목표 분석
학교급 학년 내용
초등 학교
1학년
(입체도형의 모양)
① 여러 가지 모양을 관찰하여 상자모양, 둥근 기둥 모양, 공 모양 찾기
② 상자모양, 둥근 기둥 모양, 공 모양을 이용하여 여러 가지 모양 만들기
2학년
(입체도형의 구성)
① 쌓기나무로 입체도형 똑같이 만들기
② 쌓기나무로 여러 가지 모양 만들기
③ 쌓기나무 개수 세기
5학년
(직육면체와 정육면체의 성질)
① 주변에서 상자 모양을 찾아보고 직육면체를 알고 성질 이해하 기
② 직육면체의 모서리를 재어보는 활동을 통해서 모서리가 같은 직육면체를 정육면체로 약속하기
③ 직육면체의 겨냥도를 그리는 방법을 알고 빠진 부분을 그려 넣 기
④ 정육면체의 겨냥도 이해하기
⑤ 정육면체의 전개도를 그리는 방법을 알고 전개도를 보고 합동 인 면과 수직인 면 찾기
⑥ 정육면체의 전개도 이해하기
⑦ 여러 가지 전개도에서 직육면체와 정육면체의 전개도 찾기
⑧ 직육면체와 정육면체의 전개도 그리기
6학년
(각기둥과 각뿔의 성질)
① 각기둥, 각뿔 약속하기
② 각기둥의 구성요소(밑면, 옆면, 모서리, 꼭짓점, 높이) 등 이해
2) 교육과정 내용 분석
수학과 교육과정에서 도형영역 중 입체도형 영역의 교육과정 내용은 다음과 같다.
<표 Ⅱ-2> 교육과정 내용 분석
하기
③ 각뿔의 구성요소(밑면, 옆면, 각뿔의 꼭짓점, 모서리, 높이) 등 이해하기
(원기둥과 원뿔의 성질)
① 원기둥, 원뿔 약속하기
② 원기둥의 구성요소(밑면, 옆면, 높이) 등을 이해하기
③ 원뿔의 구성요소(밑면, 옆면, 높이, 모선, 원뿔의 꼭짓점) 등 이 해하기
(여러 가지 입체도형)
① 쌓기나무로 만든 입체도형을 보고 사용된 쌓기나무 구하기
② 쌓기나무로 여러 가지 모양을 만들고 규칙 찾기
③ 쌓기나무로 만든 입체도형의 위, 앞, 옆에서 본 모양 표현하기
④ 여러 가지 물체의 위, 앞, 옆에서 본 모양 표현하기
중학교 1학년
(입체도형의 성질)
① 다면체의 뜻과 성질 알아보기
② 회전체의 뜻과 성질 알아보기
② 입체도형의 겉넓이와 부피 구하기
3) 입체도형 영역의 도형요소와 학습요소
수학과 교육과정에서 도형영역 중 입체도형 영역의 도형요소와 학습요소는 다음 과 같다.
도형요소 학습요소
점
․ 점 이해하기
․ 꼭짓점 알기
․ 꼭짓점 개수 세기
선
․ 선 이해하기
․ 모서리 이해하기
․ 높이 이해하고, 길이 재기
․ 선을 이용하여 면 그리기
면
․ 면의 개념 이해하기
․ 삼각형, 사각형, 오각형 등의 다각형 이해하기
․ 원의 구성요소 이해하기
직육면체
․ 직육면체 구성요소 이해하기
․ 직육면체에서 면, 모서리, 꼭짓점의 수를 찾고 세어보기
․ 직육면체의 여러 가지 성질 찾아내기
(평행인 면, 수직인 면 찾기, 밑면, 옆면 알기)
․ 직육면체의 겨냥도를 이해하고 겨냥도 그려보기
․ 직육면체 모양의 상자를 모서리를 따라 오려보고 접혔던 부분 점선으 로 표시하기
․ 직육면체의 전개도를 여러 가지로 그리기
정육면체
․ 정육면체 구성요소 이해하기
․ 정육면체의 면, 모서리, 꼭짓점의 수를 찾고 세어보기
․ 정육면체의 여러 가지 성질 찾아내기
․ 정육면체의 겨냥도를 이해하고 겨냥도 그려보기
․ 정육면체 모양의 상자를 모서리를 따라 오려보고 접혔던 부분 점선으 로 표시하기
․ 정육면체의 전개도를 여러 가지로 그리기
각기둥
․ 각기둥 이해하기
․ 각기둥의 구성요소 알기
․ 각기둥의 밑면에 따른 이름 알기
․ 각기둥의 성질 알기
(밑면이 합동, 평행, 옆면이 모두 직사각형)
각뿔
․ 각뿔 이해하기
․ 각뿔의 구성요소 알기
․ 각뿔의 밑면에 따른 이름 알기
<표 Ⅱ-3> 입체도형 영역의 도형요소와 학습요소
․ 각뿔의 성질 알기
(옆면이 모두 이등변삼각형)
․ 각뿔의 전개도 이해하고 그리기
원기둥
․ 원기둥 이해하기
․ 원기둥의 구성요소 알기
․ 원기둥의 성질 알기
(원모양 밑면이 2개, 옆면은 곡면, 직사각형 옆면 모양은 1개)
․ 원기둥의 전개도 이해하고 그리기
원뿔
․ 원뿔 이해하기
․ 원뿔의 구성요소 알기
․ 원뿔의 성질 알기
(원모양 밑면 1개, 옆면은 곡면)
․ 원뿔의 전개도 이해하고 그리기
회전체
․ 회전체 이해하기
․ 반원을 회전시켜 구 만들기
․ 구의 구성요소 알고 이해하기
․ 원기둥 모양의 물건을 여러 가지 방향으로 잘라 단면 확인하기
․ 다양한 평면도형을 회전시켰을 때 만들어지는 회전체 확인하기
2. 수학과 도형지도에 관한 이론
1) 피아제의 공간 개념 발달론
학생의 도형 이해에 관한 피아제의 연구는 아동의 공간 개념 발달과 관련하여 심리학적인 접근의 중심을 이룬다. 학생의 공간 개념의 발달은 위상적 공간 개념에 서 출발하여 사영적 공간 개념, 유클리드적 공간 개념으로 발달한다.
첫째, 위상적 이해의 단계에서 학생은 근접, 분리, 순서, 포함의 개념을 중심으로 도형과 공간을 이해하게 되는데, 이러한 위상적 공간 개념을 가짐으로서 단절되거 나 연결된 도형을 변별할 수 있으나 곡선과 직선의 명확한 구분은 곤란하다. 즉, 내부와 외부의 차이를 구별하고 단일 폐곡 도형과 아닌 것을 구별할 수 있는 능력 은 있다. 그러나 도형을 늘이거나 줄임으로써 다른 형태로 변화되는 삼각형과 사각 형의 구별이나 다각형과 원의 명확한 구분은 불가능한 수준이다(강지형 외, 2004).
둘째, 사영적 이해의 단계는 관찰자의 위치에 따라 대상을 다르게 인지하고 사고
할 수 있는 단계로서 직선과 곡선, 삼각형과 사각형의 구별이 가능하고 한 사물을 그 자체에 의한 것으로만 생각하지 않고 그 공간의 어떤 다른 위치와의 관계에 의 해 생각함으로 위치에 따라서 다르게 본다. 그러나 이 단계의 학생은 직선과 평행, 수직의 개념은 이해할 수 없다. 따라서 평행한 철길도 먼 곳에서 만나는 것으로 생 각하고, 같은 물건이면 거리에 관계없이 같은 크기로 그리게 된다(강지형 외, 2004).
셋째, 유클리드적 이해의 단계는 유클리드적 공간 개념을 가짐으로 기하학적인 공간 개념을 형성하여 아동은 수평과 수직이라는 완벽한 조정으로 거리, 길이, 크 기, 각도, 면적, 부피와 같은 개념을 점차적으로 조정하는 단계이다. 따라서 아동은 자신이 살고 움직이는 1, 2, 3차원의 공간 개념을 모두 형성하게 되며 도형에 대한 지적 조작이 가능하게 된다(강지형 외, 2004).
이상과 같은 피아제의 연구는 인간의 사고발달의 본질은 조작이고, 조작은 행동 의 조정과 내면화의 산물인 가역적 사고의 통합과정으로 본다(강지형 외, 2004).
2) 반 힐레의 기하 학습 수준 이론
반 힐레에 의하면 기하 학습에는 다섯 수준이 존재하며, 각 수준에는 독특한 언 어 구조가 있어서 서로 다른 수준에 있는 사람끼리는 의사소통에 많은 어려움을 겪는다. 따라서 기하 교수에서의 주된 문제는 교사가 학생에게 기대하는 수준과 학 생들의 수준의 차이로부터 발생한다. 즉, 교사는 자신의 수준에서 학생들에게 설명 하는데 학생들은 교사의 수준보다 낮은 수준에서 사고하기 때문에 교사의 설명을 이해할 수 없게 된다. 이러한 상황을 극복하기 위하여 반 힐레는 교사가 학생들의 수준을 파악하고 학생들의 수준에서 지도할 것을 권고하였다. 다시 말해서 교사는 학생의 수준에서 풍부한 사고를 유발시켜야 하며, 학생들이 다음 수준으로 진행해 나가도록 지도해야 한다는 것이다(황혜정 외, 2007).
가) 반 힐레의 기하 학습 수준 이론
제1수준은 시각적 인식 수준으로서 이 수준의 학생들은 전체적인 모양새로 도형 을 인식하며 도형의 성질에 주목하지 않는다. ‘이 도형이 왜 정사각형일까요?’라는
질문에 대해 이 수준의 학생들은 ‘정사각형으로 보이니까요.’라고 대답한다. 학생들 은 도형을 시각적 전체로 인식하며 따라서 시각적 이미지로서의 도형을 정신적으 로 표상할 수 있다. 그러나 학생들은 도형의 성질에 주목하지 않는다. 즉, 도형은 그 성질에 의해 결정되는데도 불구하고 제1수준의 학생들은 도형의 성질을 인식하 지 못한다. 시각적 인식 수준에서의 사고의 대상은 시각적으로 ‘같은 모양’으로 인 식되는 여러 모양이다. 예컨대 ‘이 도형은 마름모이다.’라는 문장은 ‘이 도형은 내 가 마름모로 부르도록 배웠던 것과 같은 모양이다.’라는 것을 의미한다. 학생들이 제1수준인 시각적 수준에서 제2수준인 분석적 수준으로 이행하는 동안, 시각적 대 상으로서의 도형은 그 성질들과 결합하기 시작한다(황혜정 외, 2007).
제2수준은 기술적/분석적 인식 수준으로서 학생들은 도형의 성질에 주목하며 도 형의 성질을 분석할 수 있다. 학생들은 시각적으로 지각되는 모양을 분석함으로써 도형의 성질을 알게 되고 결과적으로 도형을 성질에 의해 인식하고 특징짓는다. 학 생들은 도형을 전체적으로 바라보지만 시각적 형태로서가 아닌 성질의 집합으로서 고려하게 되며, 시각적 이미지는 배경으로 물러나게 된다. 따라서 각 도형은 그 도 형을 특징짓는 데 필요한 성질들의 집합이 된다. 따라서 각 도형은 그 도형을 특징 짓는 데 필요한 성질들의 집합이 된다. 예컨대 마름모를 네 변의 길이가 같은 도형 으로 생각하게 되며, ‘마름모’라는 용어는 ‘마름모라고 부르도록 배웠던 성질의 집 합’을 의미한다. 그러나 학생들은 도형들 사이의 포함 관계를 모호하게 인식하며, 도형에 대한 개인적 특성화에 의해 포함 관계를 거부하기도 한다(황혜정 외, 2007).
제 3수준은 관계적/추상적 인식 수준으로서, 도형의 성질이나 도형 자체가 논리 적으로 정렬된다. 학생들은 개념에 대한 추상적 정의를 형성하고, 개념의 성질에 대한 필요조건과 충분조건을 구분하며, 기하 영역에서 논리적으로 논쟁하기도 한 다. 도형의 성질의 일부는 도형의 정의로 채택되고 나머지 성질은 논리적 방법으로 정리되며, 학생들은 여러 도형 사이의 관계와 한 도형의 여러 성질 사이의 관계를 이해한다. 학생들은 도형들의 성질을 정렬함으로써 도형들을 위계적으로 분류할 수 있고 자신들의 도형 분류를 정당화하기 위하여 비형식적 논증을 제시한다. 예컨대, 이 수준의 학생들에게 있어서 정사각형은 마름모인 동시에 직사각형이고 평행사변 형이며 사다리꼴이다. 이 수준의 학생들은 다양한 성질을 발견함에 따라 그 성질들 을 조직할 필요성을 느낀다. 한 성질은 다른 성질의 전제가 된다는 것을 인식하는
논리적 사고는 연역적 추론을 향한 첫걸음이라고 할 수 있다. 그러나 학생들은 연 역적 추론을 완전히 이해하지는 못하며, 연역적인 체계 전체를 파악하는 정도에는 이르지 못한다. 이 수준의 학생들에게 연역적 추론은 소규모로 또는 국소적으로 파 악된다(황혜정 외, 2007).
제 4수준은 형식적 연역 수준으로서, 연역의 의의가 전반적으로 이해된다. 학생 들은 기하학의 이론 전체를 구성하며 전개시키는 공리적 방법의 의의를 이해하게 된다. 학생들은 공리적 체계 내에서 정리를 확립할 수 있으며, 무정의 용어, 공리, 정의, 정리 사이의 논리적인 차이점을 인식한다. 또한 학생들은 연역적 추론을 이 해하며 형식적 증명을 구성할 수 있다(황혜정 외, 2007).
제 5수준은 엄밀한 수학적 수준으로서, 대상의 구체적 성질이나 그 성질들 사이 의 관계의 구체적 의미가 사상된다. 즉, 여러 가지 구체적 해석을 떠나서 발전하는, 여러 수학 체계에 대하여 형식적으로 추론할 수 있는 수준이다. 이 수준에서는 모 델을 참고하지 않고 기하를 연구할 수 있으며, 공리, 정의, 정리 등의 문장을 형식 적으로 다룸으로써 추론할 수 있다. 다양한 공리 체계와 논리 체계에 대한 논의의 가치를 이해할 수 있으며, 다양한 수학 체계 안에서 가장 엄밀한 방식으로 추론할 수 있다. 이 수준에서는 기하학의 이론이 추상적인 연역적 체계로서 구성된다. 수 학적 구조를 잘 이해하며, 구조에 관한 고차원적 수준의 명제를 정당화할 수 있는 등 전문적인 수학자의 수준이라고 할 수 있다. 이러한 추론의 결과는 공리적인 여 러 기하 체계들을 확립하여 정련시키는 동시에 유클리드 기하, 비유클리드 기하와 같은 여러 기하 체계를 비교하는 것이다(황혜정 외, 2007).
나) 반 힐레의 기하 학습 수준 이론의 특징
반 힐레의 학습 수준 이론의 특징은 크게 다섯 가지로 살펴볼 수 있다(황혜정 외, 2007).
첫째, 사고는 상대적인 수준이 있는 불연속적인 활동으로서 수학 학습에서 하위 수준을 통과하지 않고 상위 수준에 도달할 수 없으며, 수학적 사고는 모든 수준을 순차적으로 거쳐서 발달하게 된다는 것이다. 즉, 학생들은 n-1 수준을 통과하지 않 고는 n 수준에 도달할 수 없다.
둘째, 모든 학생들이 같은 속도로 각 수준을 통과하는 것은 아니며, 수준의 이행
은 적절한 학습 지도에 의해 촉진될 수도 있고 부적절한 지도 때문에 지연될 수도 있다는 것이다. 한 수준에서 다음 수준으로의 발달은 나이나 신체의 성숙보다 교육 의 내용이나 방법에 더 많이 의존한다.
셋째, 더 높은 수준에서는 낮은 수준에서의 행동이 분석의 대상이 된다는 것이 다. 다시 말해서, 전 수준에서는 사고의 수단이었던 것이 다음 수준에서는 사고의 대상이 되며, 전 수준에서 암묵적으로 이해된 개념이 그 다음 수준에서는 분명하게 이해된다. 다시 말해서, 제1수준은 주변 사물이라는 대상을 도형이라는 수단에 의 해 파악하는 단계이며, 제2수준은 도형이라는 대상을 도형의 성질이라는 수단에 의 해 사고하는 단계이다. 제3수준은 도형의 성질이 사고 대상이 되고, 그러한 도형의 성질을 명제라는 수단으로 파악하는 단계이다. 제4수준에서는 명제가 사고의 대상 이 되고 논리를 수단으로 그러한 명제들을 파악하며, 제5수준에서는 논리 그 자체 가 연구의 대상이 된다.
<표 Ⅱ-4> 반 힐레의 기하 학습 수준
제1수준 제2수준 제3수준 제4수준 제5수준
사고의 대상 주변사물 도형 성질 명제 논리
사고의 수단 도형 성질 명제 논리
넷째, 각 수준이 그 자체의 언어적 상징과 그 상징들을 연결하는 관계 체계를 가 지고 있음을 의미한다. 따라서 수준의 상승은 언어의 확장과 관계된다.
다섯째, 서로 다른 수준에서 추론하는 두 사람은 서로를 이해할 수 없다는 것이 다. 이것은 교사와 학생 사이에서 자주 발생하는 현상이며 학습 지도를 어렵게 만 드는 요인이 되고 있다.
3. 미국 수학교사 협의회의 도형 학습
NCTM(미국 수학교사 협의회, National Council of Teachers Mathematics)에 의하면 학생들은 학교에서 형식적 교육을 받기 이전에 도형에 대한 개념을 이미 형성하기 시작한다. 초등학교 저학년은 이해를 정련하고 확장할 수 있는 이상적인 시기이다. 학생들은 처음에는 도형의 전체적인 모양이나 ‘뾰족함’과 같은 특징에 의
하여 도형을 인식한다. 이 시기의 도형은 모양을 기술하고 명명하는 것으로부터 시 작한다. 학생들은 자신들이 소유한 단어를 사용하여 대상을 기술하고, 대상들이 어 떤 점에서 비슷하고 어떤 점에서 다른가를 파악하기 시작한다. 이에 따라 교사는 학생들이 수학 용어를 2차원, 3차원 도형의 기술에 점진적으로 통합할 수 있도록 도와주고 다양한 구체물을 제공하여 학생들이 도형과 도형의 성질에 대하여 탐구 할 수 있는 환경을 조성해 주어야 한다. 또한, 교사는 모든 학생들이 다룰 수 있으 며 학생들의 다양한 관심을 충족시킬 수 있는 충분히 개방된 과제를 제시해야 한 다. 학생들은 도형 개념의 예가 되는 모양과 예가 되지 못하는 모양을 다양하게 다 루고 학생들은 도형을 합성하거나 분해하여 새로운 도형을 만듦으로써 도형의 성 질에 대하여 학습한다.
초등학교 고학년은 추론 기술을 이용하여, 점점 더 복잡해지는 도형 문제를 탐구 하고 도형의 성질을 다룰 수 있다. 학년이 올라감에 따라, 학생들은 점점 더 명확 하고 정확하게 기하 대상의 성질을 기술하고 이러한 성질에 따라 직사각형, 삼각 형, 삼각뿔, 삼각기둥 등의 범주로 분류할 수 있어야 한다. 도형 학습에는 행하면서 사고하기가 요구된다. 학생들은 정렬하고, 만들고, 그리고, 모형화하고, 선을 따라 그리고, 측정하고, 작도하면서, 기하적 관계를 시각화하는 능력을 발달시킨다. 도형 에 대한 학생들의 사고가 발달하면서 학생들은 기하적 속성과 관계에 대한 추측을 형식화하게 된다. 그림, 구체물, 기하 소프트웨어 등을 사용하여 자신의 사고를 발 달시키고 검사하면서, 학생들은 기하적 관계가 참인 수학적 논지를 명확하고 세련 되게 만들어 갈 수 있다. 학생들은 도형을 나누고, 결합하고, 변형하면서 도형의 관 계를 탐구한다. 이러한 활동을 통하여 도형의 분류에 대한 사고를 구성하고, 기하 적 관계성에 대한 추측을 형식화하고, 기하와 측정이 어떻게 관련되는지를 탐구하 고, 도형에 대해서 탐구한다. 학생들은 도형의 형태에 대해서 토론을 하면서 용어 를 반복적으로 들으며 수학적 어휘력을 확장시키게 된다. 조금 더 명확하게 평행, 수직, 면, 모서리, 꼭짓점, 각, 사다리꼴, 삼각기둥 등의 수학 용어를 듣고, 이해하 고, 사용하게 되는 것이다. 예컨대, 도형들이 왜 같고 다른지를 정교하게 이해하기 위해서, 학생들은 ‘같다’의 일상적인 의미가 더 이상 충분치 않음을 알게 되며, ‘합 동’과 ‘닮음’ 같은 단어를 사용하여 사고를 확장시켜야 할 필요가 생기게 된다.
학생들은 2차원과 3차원 도형의 성질과 도형들 사이의 관계를 조사하여야 한다.
교사는 학생들이 공간의 관계를 활용하여 성질에 대해서 추론할 수 있도록 도와주
어야 한다. 학생들은 도형을 다른 영역의 수학, 다른 과목, 실생활 상황의 문제에 응용할 기회를 가져야 한다. 도형은 다른 수학의 영역을 탐구하고 이해하는 데 유 용할 뿐 아니라, 과학, 사회 등 다른 과목과도 밀접히 관련되어 있기 때문이다.
중학교에서는 다양한 도형을 탐구하고 그 특성을 조사해야 한다. 공간의 관계에 관한 시각화와 추론 기능은 도형 학습에서 매우 기본적인 것이다. 그러나 많은 학 생들이 도형의 보이지 않는 면을 시각화하지 못하기 때문에, 예를 들어, 3차원 도 형의 겉넓이를 2차원 표현을 사용하여 구하는 것을 어려워한다. 3차원 도형의 모 델과 그 2차원적 연결에 대한 경험은 시각화에 유용하다. 또한, 복잡한 2차원 도형 과 3차원 도형을 종이와 연필을 이용한 스케치, 기하학적 모형, 역동적인 기하소프 트웨어 등의 다양한 매체를 이용함으로써, 조사하고, 만들고, 합성하고, 분해할 필 요가 있다. 이를 통하여 2차원적으로 표현된 것으로부터 3차원적인 사물을 만들어 기하학적으로 설명된 것을 보고 사물을 그리기도 하고, 주어진 사물의 기하학적인 속성을 포함한 설명을 제시할 수도 있게 되는 것이다(NCTM, 2007).
4. 도형 학습 지도의 단계
도형은 구체물에서 추상화된 개념이므로 그 지도는 구체물에서 출발하여야 한다.
따라서 도형 학습 단계는 크게 구체물의 수집․관찰의 단계, 조작․실험의 단계, 이론 화의 세 단계로 구분할 수 있다.
첫째, 수집․관찰의 단계에서는 여러 구체물을 관점에 따라 수집하고 분류함으로 써 구체물의 공통성을 발견한다. 또, 구체물의 공통성을 발견하고 분류하는 과정에 서 그 공통성을 일상적인 용어로 명명함으로써 적절히 추상화한다. 구체물의 위치 나 크기, 색깔 등을 사상하고, 형적인 면에서 같은 것과 다른 것을 수집, 비교, 분 류한다.
둘째, 조작․실험의 단계에서는 도형의 특징을 관찰하고 구성 요소를 조사함으로 써 도형의 간단한 성질을 발견하는 단계이다. 이를 통하여 도형의 표상을 습득하 고, 도구를 사용하여 도형을 조작하고 실험한다. 또 학생 상호간의 효율적인 의사 소통과 조작활동을 유도하기 위하여 적절한 수학적 용어를 도입한다.
셋째, 이론화의 단계에서는 개념을 일반에서 특수한 개념으로 심화하고, 간단한 추론이나 초보적인 논리적 사고를 기르는 단계이다. 이를 위하여 다음의 지도 방법
을 생각할 수 있다(교육과학기술부, 2011c).
․ 기본 도형의 성질과 그들 사이의 상호 관계를 이해한다. 즉, 각기둥과 각뿔의 특징 및 구성 요소 사이의 상호 관계를 이해한다.
․ 도형의 성질을 발견하는 과정에서 간단한 추론을 적용한다. 도형의 범위를 이 해함으로써 도형이 구체물에서 벗어나 언어로서 의사소통할 수 있게 된다.
․ 평면도형과 입체도형 사이의 상호 관련성을 이해한다. 도구를 사용하여 도형을 작도하고 자유롭게 이동하고 변형한다. 도형의 전개도를 측도와 관련시키고 측 정에 활용한다.
5. 시각장애학생들의 도형 학습
정안학생은 자신이 의식하든 의식하지 않든 간에 시각적 정보를 다양하게 받아 들여 특별한 교수가 없어도 사물에 대해 배우고 개념을 형성하게 된다. 반면 시각 장애학생은 시각을 통해 사물을 보고, 배우고, 탐색하는 과정을 거치지 못해 사물 의 전체 개념이나 기능, 의미를 이해하는데 속도가 느리며, 그나마 부분적으로 터 득하게 되는 경향이 있다(최명숙, 2008). 교과 학습에서의 주된 시각적 정보로는 묵자, 그림, 다어어그램, 차트, 지도, 라벨, 도형 등이 있는데, 시각장애학생들은 이 러한 시각적 정보들을 획득할 수 있는 감각을 상실했기 때문에 환경에 대한 정보 의 획득 양도 적고, 또 정보 내용에 오차가 많게 되며 정안학생이 흔히 사용하는 비언어적인 자료 즉 도형, 지도, 그래프, 다이어그램 등을 사용하기가 힘들 뿐 아니 라, 그런 비언어적 정보의 내용을 정확하게 이해하기가 매우 어렵다고 한다. 즉, 도 표나 그래프, 지도 등의 경우 정안학생은 한 눈에 개념이 파악되지만, 시각장애학 생은 촉각을 이용하거나 잔존시력을 활용하여 확대경 등으로 그 내용을 파악해야 하는데, 촉각으로 내용을 읽고 이해하기가 쉽지 않으며, 시야가 제한될 수밖에 없 는 보조기구로 정보를 파악하기도 하기 때문이다.
도형에 관한 학습은 그림을 보고 문제를 이해하는 것이 우선이지만, 촉각을 이용 하여 도형 학습을 하는 시각장애학생들은 촉각으로 형태와 공간을 지각하는 데 제 한이 있다. 또한, 평면도형이나 입체도형은 구체적인 자료 없이 교과서만으로는 거 의 이해가 불가능한 실정이다. 이마저도 점자교과서는 정안학생들이 사용하는 묵자 교과서와 동일하여 점역 과정상 부득이하게 필요한 많은 도안이 누락되고 촉각 도
안부분도 잘못 도안된 부분이 많다. 또한, 시각장애학생들은 촉각 도안에서 정확한 눈금의 확인이 어렵고 점선이나 실선, 색깔 표시 등으로 잘못 지각하는 경우가 많 다(김요민, 2008).
시각장애학생들의 경우 언어나 평면도형으로는 입체도형을 제대로 이해할 수 없 어, 복잡한 입체도형의 학습은 대부분의 학생들이 인지를 포기하고 있으며, 또 직 관적으로 문제의 답을 찾아내는 경향이 있어 정안학생들보다 더 많은 어려움을 느 끼고 있다(이해균, 2003).
도형 학습은 추상적인 영역으로 학생들이 직관적으로 판단․수용하도록 구체물을 활용하는 것이 효과적이다. 그러나 구체적 조작의 경험이 부족한 가운데 이루어지 는 도형 학습은 학생들의 상상에 의존하게 되어 오개념을 가지기 쉽다. 시공간적 제약, 측정 오차의 발생과 시간적 부담으로 인해서 구체물의 사용 범위가 한정적이 지만, 분명히 설명식 학습보다는 구체적 조작활동이나 측정을 통한 학습활동이 효 과적이다(김헌수, 2000).
그러므로 시각장애학생들에게 도형을 가르칠 때에는 언어를 매개로 한 대리 경 험보다는 촉각자료, 조작자료, 청각자료 등을 사용하여 직접 경험을 할 수 있도록 해야 한다. 도형들은 입체 복사기를 사용하고 양각자료를 제작하여 지도하며, 즉석 에서 도형을 양각시켜 지도할 때에는 양각 필기구를 사용한다(이해균, 2003). 또 한, 주변 생활도구들을 수업교재로 활용하여 도형 학습 경험의 향상에 도움을 주도 록 하여야 한다.
6. 선행연구 고찰
시각장애학생의 입체도형에 관한 실증연구는 수행되지 않은 것으로 보인다. 따라 서 여기에서는 정안학생을 대상으로 수행된 입체도형에 관한 선행 연구를 고찰하 고자 한다.
김수희(2009)는 부산광역시에 소재한 한 초등학교 학생 126명에게 평면도형과 입체도형의 개념 이해 검사를 실시하였는데, 초등학교 6학년 학생들의 평면도형과 입체도형에 대한 오개념과 그 원인을 파악하여 학생들의 도형 학습 능력을 향상시 키기 위한 기초 자료와 교사의 도형 수업 지도 및 교육과정 개발에 도움을 주고자
하였다. 연구자는 각기둥에서 ‘각기둥’은 각이 있는 기둥이라는 오개념 외에 10가 지의 오개념을 발견하였는데, 그 원인은 수학적 개념을 언어적으로 지각, 개념의 일부에만 집중, 단편적인 수학 지식, 교과서의 제한적인 내용 제시로 나타났다. 각 뿔에서 ‘각뿔’은 위에 꼭짓점이 하나 밖에 없는 도형이라는 오개념 외에 11가지 오 개념을 발견하였는데, 그 원인은 시각화능력 부족, 수학적 개념을 언어적으로 지각, 개념의 일부에만 집중, 근접에 의한 연합적 사고, 교과서의 제한적인 내용 제시로 인한 것이었다.
손희진(2007)은 초등학교 4개교의 각 1학급씩 총 120명을 연구대상으로 입체도 형의 개념 이해 검사와 공간 감각 능력 검사의 두 가지 지필검사를 통한 조사 연 구 방법을 사용하여, 초등학교 6학년 학생들의 입체도형에 대한 개념 이해 정도와 공간 감각에 대한 실태를 파악하였다. 입체도형의 개념 이해 정도는 정의 및 구성 요소에 대한 이해에 비해 성질에 대한 이해가 부족하며, 입체도형의 겨냥도에 대한 이해에 비해, 전개도와 전개도를 접어 만들어지는 입체도형에서 구성요소의 관계에 대한 이해가 부족하였다.
나양순(2005)은 도형의 지도 방안에 관한 연구에서, 지금껏 많은 시간과 노력을 도형 지도에 할애하고 있지만 도형 부분에 관해서는 학생들에게 정답률이 60% 이 상이 되도록 이해시키기가 어려웠다고 하였다. 이는 기하분야가 상상력과 직관력이 필요하기도 하지만, 연역적 추론에 따른 비형식적 접근방법과 증명을 이용한 형식 적 방법을 택하면서 수학적 이론에 대한 부분을 많이 다루기 때문에 지루하고 딱 딱한 학문으로 느끼는 것과 기하학습에 있어서 학생들의 부정확한 용어 사용과 개 념이해의 어려움 및 선수학습의 부재에서 오는 결과로 보여진다. 학생들에게 도형 을 지도할 때에는 정의, 정리, 용어 및 개념 정리를 보다 명확하게 이해시키고 유 사한 문제, 관련성을 파악할 수 있는 다양한 유형의 문제들을 제시하여야 할 것이 다. 그리고 조작물의 사용, 공간 시각화 활동에 따른 컴퓨터 활용이 첨가된다면 보 다 더 효율적인 도형지도가 이루어 질 것이다.
정효문(2000)은 중학교 수학에서 도형의 지도 방안으로 정의와 정리를 확실하게 이해하도록 지도하고, 이에 대한 적용의 예와 반례를 충분히 연구․지도함으로써 정 의 및 정리의 활용 능력을 길러 주어야 한다고 하였다. 또한, 시청각 자료를 적절 히 사용하여 효율적 수업으로 흥미를 갖게 하고, 한 시간에 많은 분량보다는 적당 량의 수업으로 충분히 소화할 수 있도록 지도해야 할 것이다. 학생들에게 학습 활
동을 많이 시킴으로써 스스로 해결할 수 있는 기회를 주고 학생들의 오류를 지적 하고 교정해 줌으로써 오류의 반복을 최소화해야 하겠다. 즉, 학생들의 학습 활동 은 개인 능력을 최대한으로 신장시킬 수 있으며, 학습에 대한 적응성을 기르게 됨 을 알 수 있다.
박수영(1999)은 학생들에게 도형을 지도함에 있어 지금까지의 주입식 위주의 교 육보다는 학생 스스로가 문제에 대한 대응력을 키울 수 있도록 유도하여 자기 주 도적 학습을 이루도록 하여야 한다. 도형 단원의 가장 기본이 되는 개념, 용어의 사용, 용어의 정의, 정리, 성질을 완전히 이해할 수 있도록 학생들에게 정확하게 설 명하고 이해시키며, 특히 이해의 발달의 중심이 되는 개념의 이해를 중시해야 한 다. 그리고 학생 스스로가 흥미를 가지고 문제를 접할 수 있도록 교사 스스로가 학 생의 흥미를 유발시킬 수 있도록 하여야 하며 많은 유사문제를 제시함으로써 학생 들에게 도형을 친숙하게 만들어 학생들의 학습 의욕을 강하게 만들어야 할 것이다.
Ⅲ. 연구 방법
1. 연구 대상
이 연구의 대상은 시각장애학교의 중학교 1학년 학생 3명이다. 연구대상의 선정 은 시각장애학생들의 입체도형 학습과정을 탐구하기 위한 연구목적을 반영하여 목 적표집(purposive sampling)에 의해 이루어졌다. 연구대상의 선정기준은 다음과 같다.
○ 시각장애학교의 중학교 1학년 학생
○ 공통 교육과정에 따라 수업을 받고 있는 학생
○ 점자를 주된 문해매체로 사용하고, 학습하는데 시각을 활용할 수 없는 학생 전국 시각장애학교 12개 중 연구자가 접촉할 수 있는 시각장애학교 3개교의 중 학교 1학년 학생 중 위의 선정기준에 모두 일치하는 학생 명부를 작성하였다. 이렇 게 작성된 명부의 학생 11명 중 부모와 학생 자신이 각각 이 연구에 참여하기로 동의한 3명의 학생을 이 연구의 연구대상으로 최종 선정하였다.
이 연구의 대상학생에 대한 기본정보를 제시하면 <표 Ⅲ-1>과 같다.
<표 Ⅲ-1> 대상학생에 대한 기본정보
S1 S2 S3
성별 남 여 여
연령 14세 14세 14세
학교 S학교 H학교 K학교
학년 중학교 1학년 중학교 1학년 중학교 1학년
시력정도 전맹 전맹 전맹
일차
문해매체 점자 점자 점자
대상학생 S1은 A지역에 있는 시각장애학교에 재학 중인 중학교 1학년 남학생으 로 점자를 일차 문해매체로 사용하는 전맹학생이다.
대상학생 S2는 B지역에 있는 시각장애학교에 재학 중인 중학교 1학년 여학생으 로 점자를 일차 문해매체로 사용하는 전맹학생이다.
대상학생 S3은 C지역에 있는 시각장애학교에 재학 중인 중학교 1학년 여학생으 로 점자를 일차 문해매체로 사용하는 전맹학생이다.
2. 연구 도구
1) 시각장애학생의 입체도형에 관한 개념 이해 및 문항풀이 과정 평가지
‘시각장애학생의 입체도형에 관한 개념 이해 및 문항풀이 과정 평가지’는 초등학 교 6학년 수학 교과서의 3단원 ‘각기둥과 각뿔’을 이용하여 문항을 구성하였다. 이 단원에서는 여러 가지 기준에 따라 구체물을 분류해 봄으로써 평면도형과 입체도 형의 특징을 이해하게 한다. 입체도형 가운데 기둥 모양의 입체도형을 찾아 각기둥 의 개념을 이해하고, 옆면이 모두 삼각형인 입체도형을 찾아 각뿔을 알 수 있게 한 다. 또한 학생들이 직접 각기둥과 각뿔을 만들어 보는 활동을 통하여 각기둥과 각 뿔의 구성 요소를 알고 서로 비교할 수 있게 한다. 각기둥과 각뿔의 전개도를 이해 하고, 여러 가지 방법으로 그릴 수 있게 한다(교육과학기술부, 2011c).
초등학교 6학년 ‘각기둥과 각뿔’ 단원은 단원 평가와 탐구 활동, 문제 해결, 놀이 마당을 제외하고 총 7차시의 내용으로 구성되어 있으며, 총 9개의 차시 목표가 제 시되어 있다. 단원의 전개 계획은 다음과 같다.
문항 번호
차
시 주제 학습목표 수업 내용 및 활동
1 1
입체도형 과 각기둥
알아보기
구체물 분류 활동 을 통하여 입체도 형과 각기둥을 알 수 있다.
○ 여러 가지 도형을 기준에 따라 분류해 보고, 입 체도형을 이해하게 한다.
○ 여러 가지 입체도형에서 각기둥을 찾아보고, 이 해하게 한다.
2 2
~ 3
각기둥에 대해 알아보기
각기둥의 밑면과 옆면을 이해할 수 있다.
○ 각기둥의 여러 가지 구성 요소를 이해하게 한다.
3 각기둥의 이름을
이해할 수 있다.
○ 여러 가지 모양의 각기둥을 만들어 보고, 각기둥 을 이해하게 한다.
4
각기둥의 모서리와 꼭짓점, 높이를 이 해할 수 있다.
○ 각기둥의 여러 가지 구성 요소를 이해하게 한다.
5 4
~ 5
각뿔에 대해 알아보기
각뿔의 밑면과 옆 면을 이해할 수 있 다.
○ 각뿔의 여러 가지 구성 요소를 이해하게 한다.
6 각뿔의 이름을 이
해할 수 있다.
○ 여러 가지 모양의 각뿔을 만들어 보고, 각뿔을 이해하게 한다.
7
각뿔의 모서리와 꼭짓점, 높이를 이 해할 수 있다.
○ 각뿔의 여러 가지 구성 요소를 이해하게 한다.
8 6
각기둥의 전개도 알아보기
각기둥의 전개도를 이해하고, 다양한 방법으로 그릴 수 있다.
○ 각기둥의 전개도를 이해하고, 여러 가지 방법으 로 그려 보게 한다.
9 7
각뿔의 전개도 알아보기
각뿔의 전개도를 이해하고, 다양한 방법으로 그릴 수 있다.
○ 각뿔의 전개도를 이해하고, 여러 가지 방법으로 그려 보게 한다.
<표 Ⅲ-2> 각기둥과 각뿔 단원의 전개 계획
시각장애학생의 입체도형에 관한 개념 이해 및 문항풀이 과정 평가지는 각 차시 별 학습목표를 기준으로 각 1문항씩 총 9문항으로 구성하였다. 문항 구성을 할 때 는 교과서에 제시된 문항을 그대로 사용하고 않고, 시각장애학생들의 장애특성을 고려하여 문항을 수정하였다. 교과서의 문항과 수정한 문항 구성은 다음과 같다.
문항 번호
구
분 문항 출처 비고
1 교 과 서
․ 수학 묵자 36쪽 점자 68~69쪽
생활 주변의
물건 그림 제시
학 생 용
책상 위에 놓인 물건은 생활 주변에서 찾을 수 있는 여러 가지 도형입니다. 이 도형들 중 입체도형을 모두 상자 안에 넣으세요.
① 삼각자 ② 수수깡 ③ 야구공 ④ 과자상자 ⑤ 주사위 ⑥ 색종이 ⑦ 화장품 ⑧ 나무공
문항 수정 (실제 구체물
제시)
2 교 과 서
․ 수학익힘책 묵자 40쪽 점자 88~89쪽
학 생 용
다음 주어진 자료를 보고 문제에 답하세요.
(1) 그림
① 사각기둥에서 면ㄱㄴㄷㄹ과 평행한 면은 무엇입니까?
② 사각기둥에서 밑면에 수직인 면을 무엇이라고 합니까?
③ 사각기둥에서 옆면을 모두 말해보시오.
(2) 실물
① 사각기둥에서 면 ㄱㄴㄷㄹ과 평행한 면은 무엇입니까?
② 사각기둥에서 밑면에 수직인 면을 무엇이라고 합니까?
③ 사각기둥에서 옆면을 모두 말해보시오.
문항 수정
․ 그림 과 실물 제시
․ ①, ② 문항 그 대 로 ,
③ 문 항 추가
<표 Ⅲ-3> 교과서의 문항과 수정한 문항 구성
3 교 과 서
․ 수학익힘책 묵자 46쪽 점자
109~110쪽
학 생 용
책상 위에 여러 가지의 도형이 있습니다. 이 중에서 각기둥 을 찾아보고 그 각기둥의 이름을 말해보세요.
삼각기둥, 사각기둥, 원뿔, 삼각뿔, 사각뿔, 오각뿔, 육각뿔
문항 구성
4 교 과 서
․ 수학익힘책 묵자 45쪽 점자
107~108쪽
학 생 용
수학 익힘책 107쪽의 5번 문제를 풀어보세요.
① 면과 면이 만나는 선은 모두 몇 개입니까?
② 모서리를 모두 말해 보시오.
③ 모서리와 모서리가 만나는 점은 모두 몇 개입니까?
④ 꼭짓점을 모두 말해 보시오.
⑤ 높이를 잴 수 있는 선분을 모두 말해 보시오.
문제 지문 수정
5 교 과 서
․ 수학익힘책 묵자 49쪽 점자
122~123쪽
학 수학익힘책 122쪽 4번 문제를 풀어보세요. 문제
생 용
① 밑면은 몇 개입니까?
② 밑면을 말해 보시오.
③ 옆면은 몇 개입니까?
④ 옆면을 말해 보시오.
지문 수정
6 교 과 서
․ 수학익힘책 묵자 49쪽 점자 121쪽
학 생 용
수학익힘책 121쪽 3번 문제를 풀어보세요.
① 밑면의 도형 이름을 말해 보시오.
② 각뿔의 이름을 말해 보시오.
문제 지문 수정
7 교 과 서
․ 수학 묵자 45쪽 점자
102~103쪽
학 생 용
다음 ( ) 안에 알맞은 용어를 적으시오.
각뿔에서 면과 면이 만나는 선을 (①)라 하고, 모서리와 모 서리가 만나는 점을 (②)이라고 합니다. 옆면을 이루는 모든 삼각형이 공통으로 만나는 꼭짓점을 (③)이라고 합니다. 각 뿔의 꼭짓점에서 밑면에 수직인 선분의 길이를 (④)라고 합 니다.
문항 수정
8 교 과 서
․ 수학익힘책 묵자 52쪽 점자
134~135쪽
학 생 용
수학익힘책 134쪽 3번 문제를 풀어보세요. 문항
수정
9 교 과 서
․ 수학 묵자 48쪽 점자
105~106쪽
학 생 용
다음은 각뿔의 전개도입니다. 어떤 각뿔의 전개도인가요?
문항 지문 수정
2) 시각장애학생의 입체도형 교수학습에 대한 면접지
‘시각장애학생의 입체도형 교수학습에 대한 면접지’는 입체도형에 대한 흥미 정 도에 관한 문항, 입체도형 학습의 곤란 정도에 관한 문항, 입체도형 학습의 필요성 에 관한 문항, 교과서의 입체도형 분량에 관한 문항, 교과서 입체도형 학습의 필요 성에 관한 문항, 실물 활용 선호도에 관한 문항, 점자교과서 그림 활용의 선호도에 관한 문항, 신체적 촉진 활용의 선호도에 관한 문항, 입체도형 학습 순서에 관한 문항, 점자 그림 이해정도의 순서에 관한 문항, 입체도형 학습시 가장 어려운 점에 관한 문항, 효과적인 설명 방법에 관한 문항, 수학과목에 대한 태도에 관한 문항,
