제7차 중학교 교육과정 함수 개념의 역사적 배경

가. 함수의 역사

함수 개념의 근원은 바빌로니아 시대까지 거슬러 올라간다. B. C. 500년 경의 바빌로니아시대의 수표는 함수를 나타내며, 함수는 천문학과 관련하여 등장한다. 그들은 함수의 일종인 비례관계를 나타내는 수표를 통해 천체운 동을 서술하려 했으며 그들이 표로 나타낸 여러 함수는 지금의 주기함수이 다. 그리스인들은 천체 운동을 구면 삼각법을 사용해 삼각함수와 같은 형태 로 서술하였다. 그리스어로 일차 종속은 비례를 나타내며, 이 관습은 케플러 (Kepler, J. ; 1571∼1630)까지 계속되었다.

함수(function)라는 용어는 1692년 독일의 수학자 라이프니츠(Leibniz, G.

W. ; 1646∼1716)에 의하여 처음으로 도입되었다. 그는 곡선과 관련된 모든 양, 이를테면 곡선 위의 점의 좌표, 접선의 기울기와 같은 양을 나타내기 위 한 용어로 함수를 도입하였다. 처음에 그는 곡선 위의 점 P에 대하여 정해 지는 기하학적인 양인 x좌표 또는 y좌표, 접선의 길이 등을 함수라고 불렀 다. 그 후 그는 변량 x의 식을 함수라고 하였다.

함수의 개념은 스위스의 수학자 가문인 베르누이 형제(Bernoulli, J. ; 1654∼1705, Bernoulli, J. ; 1667∼1748)에 의해 더욱 발전되었는데 형인 요 한 베르누이는 변수와 어떤 상수로 이루어진 임의의 식 을 함수로 고려 하였다. 이와 같은 함수의 개념은 그의 제자인 스위스의 수학자 오일러 (Euler, L. ; 1707∼1783)에게 이어졌다.

오일러는 그의 저서 「무한 해석 개론(Introductio in Analysis Infinitorum)」에서 한 개의 변수를 가진 함수란 그 변수와 몇 개의 상수 로서 만들어진 해석적인 식 이라고 오늘날의 함수 개념에 근접하는 정의를 하였다. 그는 다항함수, 유리함수, 무리함수 등과 같이 변량과 상수에 유한 번의 사칙연산을 시행함으로써 대수함수와 지수함수, 로그함수, 삼각함수와 같이 무한 번의 사칙연산을 시행하는 초월함수로 함수를 구분하였다.

푸리에(Fourier, J. B. J. ; 1768∼1830)는 그의 열전도에 대한 그의 연구 논문에서 유한 폐구간에서 정의된 임의의 함수는 사인함수와 코사인함수의 합으로 분해될 수 있다는 주장을 하였는데, 이를 정확하게 말하면 임의의 함수는 구간 _{[ - π,π]}에서 어떻게 변화하도록 정의하였든 간에 적당한 실수

a, b에 대하여

a ₀

2 + ∑^∞

n = 1 ( a_ncosnx + b_nsinnx )

와 같이 표현될 수 있다고 주장하였다. 이 급수가 바로 푸리에 급수라고 불리는 삼각급수이다.

푸리에의 주장을 바탕으로 독일의 수학자 디리클레(Dirichlet, P. ; 1805∼

1895)는 다음과 같이 대응 관계로 함수를 정의하였다.

「 어느 구간 내의 값을 취하는 어떤 변량 x의 각각의 값에 대하여 y의 값이 각각 정해질 때, _y를 _x의 함수라고 한다.」

이러한 정의는 표현 방법이나 그 배경에 놓인 원인을 주고받는 인과 법칙 과는 무관하게 대응 관계로써 함수를 정의한 것이다. 이와 같은 정의는 함 수를 광범위하게 정의한 것이고, 이전의 함수를 해석적인 식과 같은 것에 의해 출발시키려는 태도를 완전히 바꾸어서 두 집합 사이의 일대일 대응 관 계에 의하여 함수를 정의하려는 것이다. 오늘날 함수의 정의는 이 「대응의 생각」에 기본을 두고 있다.

이후 함수의 개념은 변수 _{x, y}를 실수에서 복소수까지 확장해 갔으며, 칸 토어(Cantor, G. ; 1845∼1918)의 집합론, 바이어슈트라스(Weierstrass, K. T

; 1815∼1897)의 함수론, 데데킨트(Dedekind, J. W. R.; 1831∼1916)의 대수 적 정수론 등에 힘입어 오늘날의 함수 이론이 만들어졌다.

나. 함수의 현대적 정의

1) 대응에 의한 방법

두 집합 A, B에서 A의 각 원소 x에 어떤 규칙에 의하여 B의 원소 y 가 단 하나 정해질 때, 그 대응 규칙을 함수라고 한다.

2) 순서쌍에 의한 방법

두 집합 _{A, B}에서 직적 _{A ×B}의 부분집합 _A에서 _B로의 관계라고 한 다. f가 A에서 B로의 관계일 때, 다음 조건

① ∀x∈A, ∃y∈B ; ( x,y) ∈f

② ( x,y), ( x,z) ∈f 이면 y = z

을 만족하면 f를 A에서 B로의 함수라 하며, 이것을 기호 f : A→B로 나타내고, ( x,y) ∈f 일 때 y = f( x)로 쓴다.