http://dx.doi.org/10.3938/NPSM.67.1174
Energy Spectrum of a Magnetic Quantum Dot in Graphene
Nojoon Myoung
Department of Physics Education, Chosun University, Gwangju 61452, Korea
Gukhyung Ihm
∗Department of Physics, Chungnam National University, Daejeon 34134, Korea (Received 28 August 2017 : revised 18 September 2017 : accepted 18 September 2017)
We investigate the eigen energies of a magnetic quantum dot formed in graphene by using the inhomogeneous distributions of magnetic fields. The motivation of our study is to overcome the ex- isting difficulties in the formation of quantum structures in graphene via electrostatic confinements.
Strongly localized states on the magnetic quantum dot are observed in the quantum Hall region and can be understood by using magnetic edge states circulating either clockwise or counterclockwise along the boundary of the dot. The eigen energy spectra are shown to depend critically on the number of missing flux quanta in the magnetic quantum dot. The existence of localized magnetic edge states can be proven experimentally by measuring the two-terminal conductance of a small graphene conductor with a magnetic quantum dot formed in its center, which reflects resonant backscattering via the magnetic edge states.
PACS numbers: 73.22.Pr, 73.63.Kv
Keywords: Graphene, Quantum dot, Energy spectrum, Magnetic field
그래핀에 형성된 자기 양자점의 에너지 스펙트럼
명노준
조선대학교 물리교육과, 광주 61452, 대한민국
임국형
∗충남대학교 물리학과, 대전 34134, 대한민국
(2017년 8월 28일 받음, 2017년 9월 18일 수정본 받음, 2017년 9월 18일 게재 확정)
우리는 그래핀 위에 불균일 자기장을 인가하여 형성된 자기 양자점의 고유에너지에 대해 연구를 수행하 였다. 본 연구의 동기는 그래핀 위에 정전기 퍼텐셜을 이용하여 양자구조를 만드는데 존재하는 어려움들을 자기 퍼텐셜을 이용하면 극복할 수 있기 때문이다. 양자점에 강하게 국소 된 상태들이 양자홀 영역에서 발견되는데 이들은 양자점의 경계를 따라 시계 방향 또는 반시계 방향으로 도는 자기 끝머리 상태들로 이해할 수 있다. 고유 에너지 스펙트럼은 자기 양자점의 비균일한 자기장으로 말미암아 없어진 자기 선속 양자수에 크게 의존한다. 이러한 국소 상태들은 실험적으로 증명될 수 있는데 작은 그래핀 도체 위의 중앙에 자기 양자점을 형성하고 도체의 양 끝을 흐르는 두 단자 전기전도율을 측정하면 이들 국소 상태들을 통한 공명 후방산란 효과가 나타나게 된다.
This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.
PACS numbers: 73.22.Pr, 73.63.Kv
Keywords: 그래핀, 양자점, 에너지 스펙트럼, 자기장
I. 서 론
그래핀은 2004년에 안드레 가임과 콘스탄틴 노보셀로프 에 의해 발견된 이래로 불과 6년 뒤인 2010년에 이 두 사 람이 노벨물리학상을 수상할 만큼 많은 과학자들의 비상한 관심을 끌고 왔다 [1,2]. 그래핀은 그 어떤 물질보다 얇으면 서도 그 파괴강도는 현재까지 알려져 있는 가장 단단한 물질 중 하나인 강철보다 약 200배 이상 크며 탄성도 또한 여느 금속들 보다 뛰어나 약 20% 정도까지 늘어나거나 휘어질 수 있다 [3]. 그래핀의 전자이동도는 20만 cm/Vs로 저항이 아주 낮아 반도체로 주로 쓰이는 단결정 실리콘보다 100 배 이상 전자를 빠르게 이동시킬 수 있고 구리보다 100 배 이상 전기가 잘 통한다. 그래핀의 열전도도는 열전도도가 높은 구리나 은보다 약 열배 가량 크며 최고의 열전도성을 가진 다이아몬드 보다도 두 배 이상 크다 [4]. 그래핀의 이러한 뛰어난 전기전도도와 전자 이동도 때문에 많은 물리학자 들이 그래핀을 실리콘 기반의 현재 반도체 산업을 대체할 제 1 순위 물질로 여기고 있는 것은 사실이다. 그래핀의 뛰어난 탄성과 입사하는 빛의 97.7%를 투과시키는 성질을 이용한 플렉시블 디스플레이와 터치스크린의 핵심 부품인 터치 스크린을 대체하는 투명전극으로의 상용화는 눈앞에 다가온 현실이다 [5–7].
그런 반면에 그래핀 소자를 구현하는 데에 어려움 또한 존재하고 있다. 대표적인 어려움은 그래핀의 고유한 특징 중 하나인 손지기 (chirality) 보존으로부터 기인한 Klein 투과 효과 때문에 생기는 것인데, 디랙 (Dirac) 방정식을 따르는 그래핀 내의 운반자인 전자나 홀과 같은 페르미온 들은 마치 질량이 없는 것처럼 행동하며 정전기 퍼텐셜을 100% 의 확률로 투과할 수 있다. 따라서 기존의 반도체 소자들처럼 전기적인 방법으로는 운반자를 제어할 수 없게 되고, 그래핀을 기반으로 한 전계효과트랜지스터 (FET) 를 구성하는데 큰 걸림돌이 되고 있다 [8]. 이러한 어려움 때 문에 최근엔 기존의 평면적 FET가 아닌 그래핀/MoS2 이 질구조 (heterostuctures) 를 이용한 수직형 FET 등을 통해 투과전류를 효과적으로 제어하는 연구들이 제안되고 있는 실정이다 [9,10]. 또 다른 어려움으로는 그래핀에 에너지 갭을 인가하고 조절하는 것이 쉽지 않다는 것이다 [11,12].
왜냐하면 Klein 투과 효과가 여전히 남아있어 여전히 정전 기적인 방법으로는 에너지 갭을 조절할 수 없기 때문이다.
이러한 이유로 그래핀을 투명전극으로 사용하는 활용은
∗E-mail: [email protected]
눈앞에 다가왔지만 전계효과트랜지스터로의 활용은 아직 도 요원한 실정이다. 그래핀에 전기적 퍼텐셜을 이용하여 양자구조를 형성하는 것은 어려움이 많지만, 박편 (flake) 형태의 양자점은 최근에 보고된 바 있고 그래핀 양자점의 발광 메커니즘도 규명되고 있다 [6,7]. 그러나 이 또한 그래 핀의 전자 소자로의 활용에는 도움이 되지 않는다.
본 연구에서는 그래핀에 불균일 자기장을 인가함으로써 양자점을 형성할 수 있음을 제안하고자 하는데 이 경우 Klein 투과효과는 존재하지 않음으로 기존의 어려움들을 피할 수 있다는 큰 장점이 있다. 이러한 장점으로 말미암아 그래핀에 높은 자기장이 인가되면 높은 전자이동도를 가진 이차원 전자계에서 관측되는 양자홀효과가 고유의 특성을 가지고 분명하게 관측이 된다. 자기 효과를 활용한 투과전 류의 제어 방법은 최근에 활발히 제시되고 있는데 [13,14] 이 또한 본 연구가 매력적인 이유이다. 그래핀 위에서의 자기 양자점의 형성에 대해서는 본 연구가 처음이지만 그래핀이 아닌 기존의 2차원 반도체 양자구조 위에 형성된 자기 양자 점의 형성과 성질에 관해서는 이미 잘 알려져 있다 [15,16].
그래핀 위에서는 슈뢰딩거 방정식이 아닌 디랙 방정식을 따르기에 새로운 특성을 가진 양자점의 영차원적인 에너지 스펙트럼이 예상되고 본 연구를 통하여 관측이 되었다.
II. 자기 양자점의 모델과 계산
이차원 평면을 이루는 그래핀 위에 형성된 자기 양자점은 아래와 같은 불균일 자기장을 평면 위에 수직으로 인가하면 얻을 수 있다 :
B(r) =⃗
{0, for r < r0
B ˆz, for r≥ r0, (1) 여기서 B 는 자기장의 세기이고 r0는 자기 양자점의 반경 이다. 이러한 자기장 분포에 대응하는 자기 벡터퍼텐셜은
A(r) =⃗
{0, for r < r0 B(r2−r20)
2r θ for rˆ ≥ r0, (2) 으로 주어진다. 자기 양자점이 만족하는 디랙 방정식은 다음과 같다 :
(vF⃗σ· ⃗π + U) Ψ = EΨ , (3) Ψ =
(ψA ψB
)
, (4)
여기서 vF ∼= c/100 는 그래핀에서의 디랙 페르미온의 페 르미 속도, σ 는 파울리 행렬 이고 ⃗π = ⃗p + e ⃗A이다. 우리
문제에서는 정전기 퍼텐셜 U 는 영으로 두어 자기장 효과에 집중하고자 한다. Ψ 는 해밀토니언의 고유벡터로 2 성분 을 가진 디랙 스피너 (spinor) 로 표현되는데 ψA,B는 각각 벌집구조를 가진 그래핀 결정의 버금살창 (sublattice) 에
해당된다. 디랙 해밀토니언은 서로 결합되어 있는 버금살창 사이의 관계식, 즉 두 개의 1차 미분방정식으로 다시 쓸 수 있다. r≥ r0 일 때는 다음을 만족한다 :
{[
px−eB(r2− r02) 2r sin θ
]
− i [
py+eB(r2− r02) 2r cos θ
]}
ψB = E vF
ψA, (5)
{[
px−eB(r2− r20) 2r sin θ
] + i
[
py+eB(r2− r20) 2r cos θ
]}
ψA = E vF
ψB . (6)
식 (5) 와 (6) 은 분리시킬 수 있는데 슈뢰딩거 방정식과 흡사한 2차 미분방정식이 된다. 원통좌표계를 사용하여 표현하면 [
p2+e2B2
4r2 (r2− r02)2+pθeB(r2− r02)
r ± α
]
ψA,B=E2
vF2 ψA,B, (7)
으로 쓸 수 있다. 여기서 p2 = p2x+ p2y, pθ =(ℏ
i
) (1
r
) ∂
∂θ, 그리고 α = eBℏ 는 맞바꿈 관계 (commutation relation) [x, px] = iℏ 에서 나오게 된다. α 의 플러스와 마이너스 부호는 각각 ψA와 ψB에 해당된다. 이제
ψA(r, θ) = Rnm(r)eimθ, (8) 으로 놓고 모든 물리량을 무차원 변수로 표시하기로 하는
데 길이의 단위는 lB =√
2ℏ/(eB), 에너지 단위는 E0 = ℏvF/lB으로 잡는다. 위에서 양자수 n 과 m 은 각각 지름 양자수와 방위 양자수를 나타낸다. 이제부터 무차원 길이 변수와 무차원 에너지변수는 각각 r 과 ϵ = E/E0로 표현하 기로 한다. 식 (7) 에 식 (8) 을 대입하면 아래의 식으로 쓸 수 있다 :
[d2 dr2 +1
r d dr−m2
r2 + ϵ2 ]
Rnm(r) = 0 for r < r0, (9) [d2
dr2 +1 r
d
dr−(m− s)2
r2 − r2+ ϵ2− 2(m − s) − 2 ]
Rnm(r) = 0 for r > r0. (10)
위의 식에서 s = Bπr02/ϕ0이고 ϕ0= h/e는 자기선속 양자 에 해당된다. 다시 말하면 s 는 자기 양자점 안에 없어진 자 기선속 양자수 (number of missing magnetic flux quanta) 에 해당되어 중요한 물리적 의미와 함께 큰 역할을 하게 된 다. 식 (9) 와 식 (10) 의 해는 수리물리 책에 잘 나와 있는데 다음과 같이 주어진다 :
Rnm(r) =
{c1J|m|(ϵr) for r < r0, c2r|m−s|e−r2/2U (a, b; r2) for r > r0,
(11) 여기서 c1과 c2는 규격화 상수이고, J|m|(ϵr)는 Bessel 함수이고, U (a, b; r2)는 hypergeometric 함수인데 a =
−(ϵ/2)2+ [|m − s| + (m − s)]/2 + 1, b = |m − s| + 1
로 주어진다.
이제 우리가 원하는 고유에너지와 고유함수를 구하기 위해선 경계 조건이 필요하다. 경계 조건은 경계면 r = r0
에서 식 (5) 와 식 (6) 을 만족하면서 파동함수가 연속적이어 야 한다. 디랙방정식은 슈뢰딩거 방정식과 달리 일차미분 방정식이므로 파동함수의 일차 미분값이 연속적이란 보장 이 없다. 그러나 놀랍게도 우리의 경우 파동함수의 일차 미분 또한 연속적인 것으로 나타나 계산이 훨씬 간단해지는 것을 알 수 있는데 지금부터 잠깐 이것을 증명하고자 한다.
r < r0 일 때의 ψA의 해를 ψAI 이라 하고 r > r0 일 때의 해를 ψAII 라고 하자. 마찬가지로 ψBI 과 ψBII 또한 그러하다.
그러면 파동함수의 연속성을 만족해야 하므로
ψAI(r0, θ) = ψIIA(r0, θ) , (12) ψIB(r0, θ) = ψIIB(r0, θ) , (13) 을 만족해야 한다. 이제 식 (13) 의 좌변과 우변을 식 (6) 을 이용하여 ψIA(r0, θ)와 ψIIA(r0, θ)로 나타낼 수 있다. r = r0
에서는 식 (6) 에서 ψB= vEF(px+ ipy)ψA이고
px+ ipy= eiθℏ i
(∂
∂r −m r
)
, (14)
이므로 식 (13) 은 다음을 만족한다 :
∂ψAI
∂r |r=r0= ∂ψAII
∂r |r=r0 . (15) 따라서 경계조건 (12) 와 (15) 를 이용하면 고유함수와 에너 지 고유값을 구할 수 있다.
III. 자기 양자점의 에너지 스펙트럼
자기양자점이 형성되지 않은 경우 그래핀의 2차원 평면에 균일한 자기장이 인가되면 양자홀효과가 나타나고 이 경우 란다우 준위는 통상적인 이차원 전자계에서 보여주는 준위 들, 즉, Ei=ℏmeB∗(i +12)과 차이가 난다. 그래핀의 란다우 준위들은 식 (10) 에 s = 0 을 대입하면 얻을 수 있는데
Ei = 2E0
√|i| = 2ℏvF
lB
√|i| ,
or ϵi = Ei
E0 = 2√
|i| , (16)
으로 주어진다. 여기서 란다우 준위 지수 i = (2n +|m| + m)/2이다. 이뿐 아니라 그래핀의 골짜기 축퇴 때문에 란다 우 준위의 축퇴도 달라진다. 디랙 방정식의 특성상 에너지 준위 사이의 간격이 일정하지 않은 것을 제외하면 s = 0 일 때의 식 (10) 은 통상적인 2차원계가 만족하는 아래의 식 (17) 과 유사한 것을 알 수 있다 :
[d2 dr2+1
r d dr−m2
r2 − r2+ 2(ϵ− m) ]
Rnm(r) = 0 , (17)
여기선 E0 = ℏωL이고 lB = √
2ℏ/(eB), ωL = 2meB∗인데 m∗는 이차원계에 존재하는 전자의 유효질량이다. 통상적 인 전자계와 그래핀계를 비교하면 식 (17) 의 2ϵ → ϵ2− 2 로만 바꾸면 s = 0 일 때의 식 (10) 이 된다.
그래핀에 자기 양자점이 형성되면 양자점 안에 국소 된 구속 상태가 나타나는데 이들은 란다우 준위들과 다른 에너 지를 갖게 된다. 때로는 고전적인 그림이 이러한 준위들의
Fig. 1. (Color online) Eigen energy spectrum ϵnm of magnetic quantum dot in graphene for s = 5. Dashed lines represent the Landau levels.
이해에 많은 도움이 되는데 우리 경우가 이에 해당된다.
양자점 내에서 움직이는 전자 (또는 페르미온) 를 생각하면 양자점 내부는 자기장이 없으므로 힘을 받지 않아 직선 운동 을 하지만 양자점을 벗어나자마자 자기력을 받아 양자점의 경계면에서 휘게 되어 다시 양자점 안으로 들어오게 되어 양자점을 벗어나지 못하는 구속 상태가 나타난다. 이러한 비 균일 자기 경계면에서 나타나는 상태를 끝머리 상태 (edge state) 라고 하는데 양자점의 구속 상태에 중요한 역할을 하게된다. Fig. 1은 계산 결과 얻어진 우리 계의 에너지 스펙트럼을 보여주고 있다. 여기서 s = 5 로 고정하였는데 양자점의 크기 r0= lB
√s에 해당된다. 즉, vF ∼= 106ms−1, B = 2 T의 경우 E0 = 25.5 meV, lB = 0.026 µm, r0 = 0.057 µm에 해당된다.
Fig. 1은 양자점의 에너지 스펙트럼을 방위 양자수 m 의 함수로 보여주고 있다. 그림에서 n 은 지름 양자수이다.
그림의 점선은 그래핀의 란다우 준위들인데 m 이 음수로 커 지면 양자점의 준위가 란다우 준위와 같아짐을 알 수 있다.
식 (10) 과 (17) 의 유사성을 감안하면 기존의 란다우 준위와 관련된 분석을 적용할 수 있다 [15]. 균일한 자기장이 걸려 자기 양자점이 없는 경우에는 에너지 준위의 고유값 ϵnm은 란다우 준위가 되고 란다우 준위 지수 i = (2n +|m|+m)/2 에 해당되는데 원점에서 rj 떨어진 곳에 중심을 두고 반경 ri의 반경을 그리는 원운동들의 앙상블 평균에 해당하는 에너지로 볼 수 있다. 여기서
ri = 1 2
√|ϵ2nm− 2| , (18)
rj =
√|ri2− m| , (19)
이다. 우리는 Fig. 1에서 m 이 음수값이 되어 커질수록 rj
는 양자점으로부터 멀어지게 되어 란다우 준위로 접근하게
되는 것 (그림의 점선) 을 알 수 있다. 자기 양자점이 형성된 경우엔 m→ mef f ≡ m − s로 식 (10)에서와 같이 바뀌게 되고
ri = 1 2
√|ϵ2nm− 2| , (20)
rj =
√|r2i − mef f| , (21)
이 된다. 양자수 (n, m) 상태의 고전적 운동은 양자점 밖 에선 원점에서 rj 떨어진 곳에 중심을 두고 ri의 반경으로 원운동을 하고, 양자점 안에선 직선 운동을 하는 앙상블 평균에 해당된다. 흥미롭게도 중심의 위치를 정확히 알 수 없는 것은 불확정성 원리 때문이다. Fig. 1로부터 관측하는 중요한 사실은 m 의 변이에 따른 에너지 준위들의 극소값은 언제나 m = 0 에서 일어난다는 것이다. 이는 m 이 0 일 때는 θ 의존이 없는 등방성의 파동함수의 해를 가지는 것과 관련이 있는데 고전적 운동은 언제나 원점을 통과하게 되어 상태확률밀도는 양자점 중심에 있을 확률이 가장 높게 된다.
그러므로 가장 낮은 에너지, 즉 강하게 양자점에 구속된 상 태가 된다. 또한 한 가지 예를 들면 (n, m) = (1, 2) 상태는 그림에서 보듯 ϵ ∼= 2.0 이므로 ri ∼= 0.8, rj ∼= 1.9 가 된다.
우리의 경우 s = 5 이므로 양자점의 반경 r0 =√
s ∼= 2.24 이다. 우리는 이로부터 쉽게 운동을 예측할 수 있다. 방위 양자수 m 이 양수가 되어 증가할수록 란다우 준위 지수가 증가하므로 에너지가 증가하는 것은 자연스러우나 자기 양 자점의 존재로 말미암아 에너지 스펙트럼은 란다우 준위와 분명하게 다름을 알 수 있다. 실제로 양자점 주위에 국소된 상태는 확률전류 [15] Inm=h1∂E∂mnm로 주어지는데 m > 0 일 때는 Inm> 0이 되어 페르미온은 반시계 방향으로 돌고, m < 0일 때는 시계 방향으로 돌게 된다.
Fig. 1의 에너지 스펙트럼 중 흥미로운 것은 ϵ = 0 에 해당 하는 상태이다. 자기 양자점이 없는 균일한 자기장이 걸린 그래핀 계에서는 란다우 준위 지수 i = 0 에 해당하는 란다 우 준위이다. 하지만 우리의 경우 자기 양자점이 설치되어 있으므로 n = 0 상태는 란다우 준위와는 다른 상태가 된다.
그럼에도 불구하고 에너지는 여전히 ϵ = 0 을 가지는 것이 흥미롭다. 이 상태는 식 (5) 와 (6) 에 E = 0 을 놓고 풀면 쉽게 구할 수 있는데 (n = 0, m≤ 0) 상태는 전자의 버금 살창 ψB = R0,m≤0(r)eimθ에서 얻어지고 (n = 0, m≥ 0) 상태는 홀의 버금살창 ψAhole에서 얻어진다 :
R0,m(r) = c1r|m|, for r < r0 (22) {R0,m≤0(r) = c2e−r2/2r−mef f
R0,m≥0(r) = c3e−r2/2rmef f , for r≥ r0(23) mef f = m− s 이다. 여기서 c1, c2, c3는 파동함수의 규격 화와 r = r0에서의 연속 조건에서 결정된다.
마지막으로 Fig. 1 에서 보여주는 양자점 주위의 국소 상태들은 실험적으로 관찰할 수 있음을 제안하고자 한다.
작은 그래핀 도체의 중앙에 자기 양자점을 형성하고 도체 의 양 끝을 흐르는 두 단자 전기전도율을 측정하면 이들 국소 상태들을 통한 공명 후방산란 효과가 나타나게 된 다. 자기장을 양자홀 플래토 영역으로 인가하며 자기전도도 (magneto-conductance) 를 측정하면 후방산란으로 인한 딥 (dip) 이 관측되고 이를 조사하면 국소 상태의 고유 에너지 값을 얻을 수 있을 것이다.
IV. 결 론
본 연구를 통하여 그래핀에 불균일 자기장을 인가함으 로써 양자점을 형성할 수 있음을 보였다. 이 경우 Klein 투과효과는 존재하지 않음으로 기존의 어려움들을 피할 수 있다는 큰 장점이 있다. 그래핀에 자기 양자점이 형성되면 양자점 안에 국소 된 구속 상태가 나타나는데 이러한 상태 에서 움직이는 전자들은 양자점 내부는 자기장이 없으므로 힘을 받지 않아 직선 운동을 하지만 양자점을 벗어나자마자 자기력을 받아 양자점의 경계면에서 휘게되어 다시 양자점 안으로 들어오게 되어 양자점을 벗어나지 못하는 끝머리 상 태로 이해할 수 있다. 본 구조에 대한 고유에너지 스펙트럼 계산을 통해 m 의 변이에 따른 에너지 준위들의 극소값은 언제나 m = 0 에서 일어나는데 이는 m 이 0일 때는 θ 의 존이 없는 등방성의 파동함수의 해를 가지는 것과 관련이 있음을 보였다. 또한 스펙트럼을 좌우하는 중요한 변수는 자기 양자점 안에 없어진 자기선속 양자수 s 임과 국소된 상태가 양자점에서 멀어질수록 고유에너지는 그래핀의 란 다우 준위들로 접근함을 확인하였다.
감사의 글
본 연구는 2015년 충남대학교 자체연구과제에 의하여 수행되었습니다.
REFERENCES
[1] K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D.
Jiang and M. I. Katsnelson et al., Nature 438, 197 (2005).
[2] Y. Zhang, Y.-W. Tan, H. L. Stormer and P. Kim, Nature 438, 201 (2005).
[3] C. Lee, X. D. Wei, J. W. Kysar and J. Hone, Science 321, 385 (2008).
[4] A. A. Balandin, S. Ghosh, W. Z. Bao, I. Calizo and D. Teweldebrhan et al., Nano Lett. 8, 902 (2008).
[5] Y. Park, S. Park, I. Jo, B. H. Hong and Y. Hong, Org. Electr. 27, 227 (2015).
[6] F. Liu, M.-H. Jang, H. D. Ha, J.-H. Kim and Y.-H.
Cho et al., Adv. Mater. 25, 3748 (2013).
[7] S. Ham, Y. Kim, M. J. Park, B. H. Hong and D.-J.
Jang, RSC Adv. 6, 24115 (2016).
[8] M. I. Katsnelson, K. S. Novoselov and A. K. Geim, Nat. Phys. 2, 620 (2006).
[9] L. Britnell, R. V. Gorbachev, R. Jalil, B. D. Belle and F. Schedin et al., Science 335, 947 (2012).
[10] N. Myoung, K. Seo, S. J. Lee and G. Ihm, ACS Nano 7, 7021 (2013).
[11] Y.-W. Son, M. L. Cohen and S. G. Louie, Phys.
Rev. Lett. 97, 216803 (2006).
[12] M. Y. Han, B. Ozyilmaz, Y. B. Zhang and P. Kim, Phys. Rev. Lett. 98, 206805 (2007).
[13] N. Myoung and G. Ihm, Physica E 42, 70 (2009).
[14] N. Myoung, G. Ihm and S. J. Lee, Phys. Rev. B 83, 113407 (2011).
[15] H.-S. Sim, K.-H. Ahn, K. J. Chang, G. Ihm and N.
Kim et al., Phys. Rev. Lett. 80, 1501 (1998).
[16] S. J. Lee, S. Souma, G. Ihm and K.-J. Chang, Phys.
Rep. 394, 1 (2004).
