프로그램

1. 주제 소개

본 프로그램은 중학교 1학년의 자유학기제에서 프로젝트 협동학습과 문제해결학습으 로 진행할 수 있는 융합교육 프로그램이다. 중학교 수학에서 다루는 정수, 유리수, 무리 수, 실수와 2015개정 교육과정에서 초등학교급에서 중학교 과정으로 이동한 분수(유리 수)의 사칙연산에 대한 이해를 도모할 수 있도록, 각 수들과 이들의 연산에서 나타나는 관계를 탐구하여 반복적으로 나타나는 규칙(패턴)을 귀납적으로 찾아보도록 하였다. 또 한 발견한 이 규칙(패턴)으로 학습자들이 간단한 활동으로 자연 현상을 탐구하고, 색으 로 표현하거나 큐브 모형으로 직접 구성해 보는 과학 활동으로 연결하였고, 기술-공학 을 활용하여 시각적으로 확인할 수 있는 무늬를 만들어 보도록 하였다. 학습자들이 여 러 가지 규칙(패턴)으로 만든 다양한 무늬를 배경으로 하는 의상을 디자인함으로써 과 학, 수학의 원리를 공학적으로 풀어내고, 이를 미술적으로 표현하는 창의적이고 융합적 인 사고력을 기를 수 있다.

본 프로그램의 내용은 중학교 교육과정 상에 제시된 내용요소 및 성취기준을 기반으로 하여 과학, 미술, 수학, 공학의 일부 내용을 선정하였다. 중학교 교육과정은 자연 현상과 사물에 대하여 호기심과 흥미를 가지고, 교과의 핵심 개념에 대한 이해와 탐구 능력의 함양을 통하여, 개인과 사회의 문제를 융합적이고 창의적으로 해결하기 위한 소양을 요 구하고 있다. 본 프로그램의 자유학기제 적용을 통하여 중학교 학생들은 규칙을 찾고 공 학의 방법으로, 미술 표현 방법으로 나타내고 최종적으로 수학·과학을 주제로 내용을 통 합하는 융합 활동을 경험할 수 있다.

2. STEAM 요소

가. 관련 교과

•  과학: 물질의 상태변화

•  정보: 문제 해결과 프로그래밍

•  미술: 체험 / 사회: 사람이 만든 삶터, 도시 •  수학: 도형의 닮음

프로그램 개요

나. 단계 요소

본 프로그램의 진행 단계는 자기 닮음의 프랙탈 도시라는 주제 하에 크게 현장 수업 적용의 효과성을 위하여 2영역의 7개 차시로 구성되어 있다. 제 1영역인 눈송이 모델링 은 자기 닮음 도형의 일종인 코흐 눈송이를 공학적 소재를 통해 만들어 보는 활동에서 과학 교과의 내용인 물질의 상태를 도입하여 프로그램을 전개하고 있다. 제 2영역인 프 랙탈 도시 만들기에서는 자기 닮음의 성질과 엑셀의 3차원 차트 기능을 활용하여 도시 모 형을 구성하거나 주어진 도시 모형에서 모델링한 수치로 표현하는 활동을 전개하고 있 다. 숫자들을 일정한 규칙에 따라 그림으로 나타내는 활동과 본 프로그램의 주 활동 중 에 하나인 규칙을 추측하는 활동은 학생들의 미적 감각을 발현할 수 있는 좋은 기회와 함께 귀납적·실험적 사고를 기를 수 있는 좋은 계기가 될 것이다.

• 상황제시

- 먼저 상황제시를 통해 학습동기와 학습목표를 인식하게 하였으며 자기 닮음 도형(1 차시)을 주제로 문제로의 접근을 시도했다.

• 창의적 설계

- 창의적 설계 및 제작과정(개념 형성)에서는 ‘내 안에 나 있다(2차시)’, ‘자기 닮음 도 형 만들기(3차시)’, ‘물분자 모양 만들기(4차시)’, ‘내 안에 내가 또 있다(5차시)’, ‘내안 의 나를 확장하기(6차시)’수업을 통해 감성적 체험 과정의 산출물을 만들기 위해 높 은 수준의 개념과 과학적 방법, 아이디어를 갖을 수 있도록 했다.

• 감성적 체험

- 감성적 체험 단계에서는 자기 닮음 도형을 이용하여 프랙탈 도시 만들기(7차시)로 창

의적인 팀프로젝트 산출물을 만들도록 했다. 이 단계에서는 감성적 체험(지적인 희

열)을 통해 작은 성공의 기회를 갖게 했다.

3. 차시 구성

구분 소요시간 수업 개요

(학생 활동 내용) 학습 목표 관련 교과

성취기준 평가 준비물

1차시

준비 20

[도형의 닮음과 자기 닮음]

▪대상의 확대와 축소

- 렌즈의 원리 탐구를 통해 사진기와 현미경의 원리를 이해한다.

▪닮음의 성질

- 확대와 축소에 따른 도형의 닮음을 이해한다.

- 닮음 도형의 중심을 탐구하 고 도형의 닮음 조건을 스스 로 알아낸다.

▪실생활 문제의 해결(감성 체 험)

- 사진기의 렌즈 원리를 실생 활에 적용해 보고, 거미줄의 닮음 도형 성질을 탐구한다.

▪렌즈의 원 리 탐구를 통 해 사진기와 현미경의 원 리를 이해할 수 있다.

▪닮음 도형의 중심을 탐구하 고 도형의 닮 음 조건을 말 수 있다.

▪ 거 미 줄 의 닮음도형 성 질을 설명할 수 있다

▪과학

[9과06-03] 여러 가 지 거울과 렌즈를 통 해 나타나는 상을 관 찰하여 상의 특징을 비교하고, 평면거울 에서 상이 생기는 원 리를 설명할 수 있 다.

▪수학

[9수04-13] 도형의 닮음의 의미와 닮은 도형의 성질을 이해 한다.

▪관찰평가 - 사 진 기 와 현미경의 원 리를 탐구하 는 토의 활 동의 참여를 관찰한다.

▪수행평가 -닮음 도형 의 중심 탐 구와 거미줄 의 닮음도형 탐구 과정을 평가한다.

볼록렌즈, 오목렌즈, 사 진 기 , 간 단 한 현 미 경 , 자연속의 거 미 줄 , 닮음도형 교구 수업 45

2차시

준비 10

[내 안에 나 있다!]

▪자연에서 찾는 자기 닮음 - 자연에서 나이테와 지층, 무

지개, 나뭇잎, 앵무조개, 해안 선 등의 반복 무늬를 관찰한 다.

▪시어핀스키 삼각형에서 규칙 찾기

- 자기 닮음 도형인 시어핀스키 삼각형이 만들어지는 원리를 찾 아본다.

▪다양한 자기 닮음 도형 만들기 (감성 체험)

- 다양한 자기 닮음 도형 만들어 보고 그 원리를 발표한다.

▪ 자 연 에 서 자기 닮음 무 늬를 관찰하 고 그 특징을 설명할 수 있 다.

▪시어핀스키 삼 각 형 에 서 자기 닮음의 원리를 설명 할 수 있다.

▪나만의 다 양한 자기 닮 음 도형을 만 들 수 있다.

▪수학

[9수04-13] 도형의 닮음의 의미와 닮은 도형의 성질을 이해 한다.

▪미술

[6미02-04] 조형 원 리(비례, 강조, 반복, 통일, 균형, 대비, 대 칭, 변화 등)의 특징 을 탐색하고, 표현 의 도에 적합하게 활용 할 수 있다.

▪관찰평가 -자연에서 나 이테, 앵무조 개 등 반복 무늬를 관찰 하는 과정을 평가한다.

▪수행평가 - 시 어 핀 스 삼각형의 원 리 탐구와 자기만의 닮 음 도형을 창의적으로 만들어 보는 과정을 평가 한다.

PC 또는 스마트폰,

나이테 사 진 , 지층사 진, 무 지개사 진, 나 뭇 잎 , 앵무조 개 샘플, 해안선 지도 등 수업 45

구분 소요시간 수업 개요

(학생 활동 내용) 학습 목표 관련 교과

성취기준 평가 준비물

3차시

준비 10 [Fractal Tool를 이용한 자기 닮 음 도형 만들기]

▪NCTM TOOLS에 대해서 알아 보기

- 자기 닮음 도형의 표현 도구 인 Fractal Tool에 대해 조사하 고 알아본다.

▪다양한 자기 닮음 도형 만들 기

- 자기 닮음 도형의 표현 도 구인 Fractal Tool의 사용법 을 배워서 적용해본다.

▪자신만의 자기 닮음 도형 만들 기(감성 체험)

- Fractal Tool을 이용하여 각 자의 방식과 규칙대로 자기 닮음 도형을 만들어 본다.

▪자기 닮음 도형의 표현 도 구 인 Fractal Tool 의 사용법을 배워서 적용 할 수 있다.

▪ F r a c t a l Tool을 이용 하여 각자의 방식과 규칙 대로 자기 닮 음 도형을 만 들 수 있다.

▪정보

[9정03-01] 실생활 문제 상황에서 문제 의 현재 상태, 목표 상태를 이해하고 목 표 상태에 도달하기 위해 수행해야 할 작업을 분석한다.

▪미술

[9미01-04] 미술과 다양한 분야의 융합 방안을 모색할 수 있다.

▪수행평가 - F r a c t a l Tool을 이용 하여 각자의 방식과 규칙 대로 자기만 의 닮음 도 형을 만드는 과정을 평가 한다.

Fractal Tool, PC 또는 스마트폰

수업 45

4차시

준비 10

[고체상태의물분자모양만들기]

▪물질의 상태

- 물질의 상태 변화를 분자 모형으로 설명할 수 있는 탐 구활동을 실시한다.

▪NCTM TOOLS로 자기 닮음 도형(코흐의 눈송이) 만들기 - Fractal Tool로 코흐의 눈송

이 모양들을 만들어 본다.

▪나만의 자기 닮음 도형 만들기 (감성 체험)

- Fractal Tool로 여러 형태의 눈송이 모양들을 만들어보고, 만든 방법을 설명할 수 있게 한다.

▪물질의 상 태 변화를 분 자 모형으로 설명할 수 있 다.

▪ F r a c t a l Tool로 자기 만의 여러 형 태의 눈송이 모양을 만들 어보고, 그 만 든 방법을 설 명할 수 있다.

▪과학

[9과05-02] 여러 가 지 물질의 상태 변 화를 관찰하고, 상 태 변화 시 나타나 는 현상을 입자 모 형으로 설명할 수 있다.

▪정보

[9정03-01] 실생활 문제 상황에서 문제 의 현재 상태, 목표 상태를 이해하고 목 표 상태에 도달하기 위해 수행해야 할 작업을 분석한다.

▪수행평가 -물질의 상 태 변화를 분자 모형으 로 설명할 수 있는지 평가한다.

- F r a c t a l Tool로 여러 형태의 눈송 이 모양들을 만드는 과정 을 평가한다.

물질의 상태변 화 탐구 자료, 분 자모형, Fractal Tool, PC 또는 스마트폰

수업 45

구분 소요시간 수업 개요

(학생 활동 내용) 학습 목표 관련 교과

성취기준 평가 준비물

5차시

준비 10 [내 안에 내가 또 있다!]

▪두개의 표에서 관계 알아보기 - 제시된 두 자료의 관련성과

규칙을 탐구한다.

▪규칙을 적용해서 다양한 디자 인 만들기

- 규칙을 적용해서 다양한 디자 인을 만들기 만들어 본다.

▪내 안에 내가 또 있다(감성체험) - ‘내 안에 나있다’의 규칙을 이용해서 다양한 디자인을 만들 고 그 원리를 설명할 수 있다.

▪관련된 두 자료를 분석 하여 그 규칙 을 말할 수 있다.

▪원리와 규 칙을 이용하 여 자신만의 다양한 디자 인을 만들 수 있고, 이를 설 명할 수 있다.

▪과학

[9과24-02] 과학을 활용하여 우리 생활 을 보다 편리하게 만드는 방안을 고안 하고 그 유용성에 대해 토론할 수 있 다.

▪정보

[9정03-01] 실생활 문제 상황에서 문제 의 현재 상태, 목표 상태를 이해하고 목 표 상태에 도달하기 위해 수행해야 할 작업을 분석한다.

▪수행평가 -두 자료를 비교하고 분 석하여 그 관련성과 규 칙을 찾는 과정을 평가 한다.

-자신만의 디 자인을 만들 고, 그 원리 와 규칙을 설 명하는 과정 을 평가한다.

관련성 과 규칙 을 갖고 있는 자 료 제시, Fractal Tool, PC 또는 스마트폰 수업 45

6차시

준비 10

[내 안의 나를 확장하기]

▪세 개의 표에서 관계 알아보기 - 제시된 세 자료의 관련성과

규칙을 탐구한다.

▪규칙적인 패턴 찾기

- 규칙을 적용해서 다양한 디자 인을 만들기 만들어 본다.

▪내 안의 나 확장하기(감성적 체험)

- 규칙을 이용해서 다양한 디 자인을 만들고 그 원리를 설 명할 수 있다.

- 과학자 피르호가 모든 세포 는 세포에서 생성된다(세포설) 는 주장을 자기 닮음 도형의 원리로 설명해 보자.

▪관련된 세 자료를 제시 하여 그 규칙 과 원리를 탐 구할 수 있도 록 한다.

▪원리와 규 칙을 이용하 여 자신만의 다양한 디자 인을 만들 수 있고, 세포설 을 자기 닮음 원리로 설명 할 수 있다.

▪과학

[9과24-02] 과학을 활용하여 우리 생활 을 보다 편리하게 만드는 방안을 고안 하고 그 유용성에 대해 토론할 수 있 다.

▪정보

[9정03-01] 실생활 문제 상황에서 문제 의 현재 상태, 목표 상태를 이해하고 목 표 상태에 도달하기 위해 수행해야 할 작업을 분석한다.

▪수행평가 -세 자료를

비 교 하 고 분 석 하 여 그 관련성 과 규칙을 찾는 과정 을 평가한 다.

- 자 신 만 의 디 자 인 을 만들고, 그 규칙을 설 명하는 과 정을 평가 한다.

관련성 과 규칙 을 갖고 있는 자 료 제시 ( 3가지 자료) , Fractal Tool, PC 또는 수업 45 스마트폰

구분 소요시간 수업 개요

(학생 활동 내용) 학습 목표 관련 교과

성취기준 평가 준비물

7차시

준비 10 [프랙탈 도시 만들기]

▪세 개의 표에서 관계 알아보기 - 세 개의 제시된 자료를 분

석하여 그 규칙을 탐구한다.

▪규칙을 적용하여 입체로 만들기 - 세 개의 제시된 자료에서

찾은 규칙을 적용하여 입체로 만들어 본다.

▪프렉탈 도시 만들기(감성적 체험) - 자신만의 프렉탈 도시를 만

들어 본다.

▪관련된 세 자료를 제시 하여 그 규칙 을 말 할 수 있다.

▪원리와 규 칙을 이용하 여 입체 모양 을 디자인하 고 만들 수 있다.

▪ 자 신 만 의 프렉탈 도시 를 구안하고 만들 수 있다.

▪과학

[9과24-02] 과학을 활용하여 우리 생활 을 보다 편리하게 만드는 방안을 고안 하고 그 유용성에 대해 토론할 수 있 다.

▪정보: 엑셀 활용 [9정03-01] 실생활 문제 상황에서 문제 의 현재 상태, 목표 상태를 이해하고 목 표 상태에 도달하기 위해 수행해야 할 작업을 분석한다.

▪사회

[9사(지리)08-01] 세 계적으로 유명하거 나 매력적인 도시의 위치와 특징을 조사 한다.

▪수행평가 -세 자료를

비 교 하 고 분 석 하 여 그 관련성 과 규칙을 찾는 과정 을 평가한 다.

- 자 신 만 의 디자인으로 입체를 만 들고, 그 규칙을 설 명하는 과 정을 평가 한다.

- 자 신 만 의 플렉탈 도 시를 설계 하고 만드 는 과정을 평가한다.

관련성 과 규칙 을 갖고 있는 자 료 제시 ( 3가지 자료) , Fractal Tool, PC 또는 스마트폰 수업 45

4. 교육과정 분석 및 평가 계획

가. 교육과정 분석

수학(수학과 교육과정에서 닮음 도형, 프랙탈)과 정보(정보과 교육과정에서 문제 해결과 프로그래밍), 예술(미술과 교육과정에서 자신과 주변 대상, 환경, 현상의 관계를 탐색), 과학, 기술·가정 교과의 내용을 수평적, 수직적으로 융합하여 교육 프로그램으로 제시하 고자 하였다.

▪과학: [9과05-02] 여러 가지 물질의 상태 변화를 관찰하고, 상태 변화 시 나타나는 현상을 입자 모형으로 설명할 수 있다.

[9과06-03] 여러 가지 거울과 렌즈를 통해 나타나는 상을 관찰하여 상의 특징을 비

교하고, 평면거울에서 상이 생기는 원리를 설명할 수 있다.

[9과24-02] 과학을 활용하여 우리 생활을 보다 편리하게 만드는 방안을 고안하고 그 유용성에 대해 토론할 수 있다.

▪수학: [9수04-13] 도형의 닮음의 의미와 닮은 도형의 성질을 이해한다.

▪미술: [9미01-04] 미술과 다양한 분야의 융합 방안을 모색할 수 있다.

▪정보: [9정03-01] 실생활 문제 상황에서 문제의 현재 상태, 목표 상태를 이해하고 목표 상태에 도달하기 위해 수행해야 할 작업을 분석한다.

▪사회: [9사(지리)08-01] 세계적으로 유명하거나 매력적인 도시의 위치와 특징을 조사 한다.

나. 평가 계획

5. 학생생활기록부 예시자료

교과 학생생활기록부 기재 예시 자료 기재 상황 예시

과학

여러 가지 물질의 상태 변화를 관찰하고, 상태 변화 시 나타나는 현 상을 입자 모형으로 설명할 수 있음.

과학을 활용하여 우리 생활을 보다 편리하게 만드는 방안을 고안하 고 그 유용성에 대해 토론함.

자연 관찰에 흥미가 많고 실험 기구를 능숙하게 잘 다루고 주위 현 상에 대하여 흥미와 호기심이 많으며 탐구 능력이 우수함.

탐구활동 수행 중에서 유의미한 결과를 발견 한 경우

수학 도형의 닮음의 의미와 닮은 도형의 성질을 이해함

규칙과 패턴을 찾는 능력이 뛰어나고 귀납적 사고 능력이 탁월함.

뛰어난 성취를 보이거 나 스스로 원리를 발 견한 경우

정보

실생활 문제 상황에서 문제의 현재 상태, 목표 상태를 이해하고 목 표 상태에 도달하기 위해 수행해야 할 작업을 분석하며 작품 제작 활동에 열정적임

여러 가지 제작 활동 에 적극적으로 참여할 경우

연번 평가 기준 평가 방법

1 각 행에서 나타나는 패턴을 찾을 수 있는가? 관찰평가 2 행과 열의 차를 이용하여 규칙적인 무늬를 표현하는가? 수행평가 3 세 수의 합을 이용한 디자인을 할 수 있는가? 관찰평가

4 적극적인 자세로 활동에 참여하는가? 자기평가

자기 닮음의 프랙탈 도시 탐구

◆ 아름다운 프랙탈 도시를 구성하여 서로 스토리텔링할 수 있다.

• 대상의 확대와 축소에 대해서 설명할 수 있다.

• 자연에서 자기 닮음과 관련된 내용을 찾아서 말할 수 있다.

• NCTM TOOLS를 이용하여 나만의 눈을 만들 수 있다.

• 도시에서 자기 닮음 성질을 찾을 수 있다.

• 아름다운 도시를 자연의 자기 닮음 성질을 이용하여 설계할 수 있다.

나무로 만든 러시아 전통 인형인 마트로시카(Matriochka)는 인형 몸체 속에 조금 더 작은 또 다른 닮은 인형이 들어가 있는 상자 구조로 되어 있다. 즉, 큰 인형 안에 직은 다른 닮은 인형들이 있는 마트 로시카는 하나가 닮은 여러 개로 번져 나가는 형태를 통해 ‘다산과 풍요’를 상징하고 있으며, 오늘날에는

‘끊임없이 이어지는 행운’을 상징하는 인형으로 여겨진다.

마트로시카와 같은 자기 닮음의 형태는 고사리와 같은 식물의 잎이나 하늘에서 내리는 눈의 결정 모양과 같은 자연 현상에서도 찾을 수 있다. 즉, 정육각형 모양으로 이루어진 눈의 결정은 잘게 쪼개도 정육각형 모양으로 구성되어 있다. 이와 같이 부분과 전체가 닮음 모양을 하고 있는 것을 프랙탈이라고 부른다.

1970년대 수학자 만델브로트에 의해 프랙탈의 개념이 도입 된 후, 프랙탈의 어느 부분을 확대해도 전체 와 닮은 성질인 자기 유사성과 이 성질이 무한히 반복되는 것을 의미하는 순환성이라는 속성은 자연계 많은 대상에서 나타나며 더 나아가 프랙탈 개념이 그것들을 분석하는 도구로서 떠오르고 있다.

예를 들어, 프랙탈 차원은 소수차원의 개념으로 프랙탈 도 형이 얼마나 복잡한가를 나타내 주는 것으로 도형이 공간을 복잡하게 채워 갈수록 차원이 높아지게 된다. 간단한 프랙탈 도형인 시어핀스키 삼각형은 삼각형의 각 변의 중점을 서로 연결하여 네 개의 작은 삼각형으로 나눈 뒤에 가운데 있는 작은 삼각형을 지우는 과정을 되풀이하는 도형이고, 아래의 코흐 곡선은 정삼각형의 각 변을 삼등분한 뒤에 가운데 조 각을 한 변으로 하는 정삼각형을 그리는 과정을 되풀이 하 는 도형으로 눈송이의 모양이나 울퉁불퉁한 해안선의 모습 을 나타내기도 한다.

시어핀스키 삼각형

코흐 곡선

Ⅰ ^{도형의 닮음과}

자기 닮음 도형

생각열기 대상의 확대와 축소

생각펼치기 확대와 축소에 따른 도형의 닮음

생각다지기 실생활 문제의 해결

1. 눈송이 모델링

1차시 도형의 닮음과 자기 닮음 도형 생각열기 대상의 확대와 축소

■ 다음 그림을 보고, 물음에 답해 보자.

[그림 1] 볼록 렌즈 [그림 2] 오목 렌즈

▶ 렌즈는 빛의 굴절을 이용한 도구로 렌즈의 모양에 따라 [그림 1]과 같은 볼록렌즈와 [그림 2]와 같은 오목 렌즈로 구분한다. 이 두 렌즈의 개략적인 모양, 상의 모습, 특징에 대해서 간단히 설명해 보자.

[풀이]

볼록렌즈 오목렌즈

모양 · 렌즈의 가장자리보다 가운데 부분 이 두껍다.

· 렌즈의 가운데 부분보다 가장자리 가 두껍다.

상의 모습

· 멀리에서 보면 실제보다 작으며 거꾸로 선 상이다.

· 가까이에서 보면 실제보다 크고 바로 선 상이다.

· 위치에 관계없이 실제보다 작으며 바로 선 상이다.

특징

· 평행하게 광축에 들어온 빛을 한 점에 모으는 특징이 있다.

· 오목 거울과 성질이 비슷하다.

· 원시 교정용 안경, 굴절 망원경, 현미경 등에 이용한다.

· 평행하게 광축에 들어온 빛을 퍼 지게 하는 특징이 있다.

· 볼록 거울과 성질이 비슷하다.

· 근시 교정용 안경 등에 이용한다.

▶ 사진기를 이용하면 실제 대상인 물체를 축소해서 보여 준다. [그림 1]과 같은 볼록 렌즈를 사용하는 사진기의 렌즈에 의한 상의 작도 원리를 말해보자.

[풀이]

광축에 나란하게 입사한 빛은 렌즈를 통과한 후에 초점을 지난다. 그렇지만, 렌즈 중앙 을 향해 입사한 빛은 그대로 직진한다. 그리고 렌즈의 초점을 향해 입사한 빛은 렌즈를 통과하여 굴절한 후에 광축에 평행하게 나아간다.

▶ 사진기와는 다르게 현미경을 이용하면 작은 세포를 적당한 크기로 확대해 볼 수 있다. 그렇 지만, 사진기와 같이 [그림 1]과 같은 볼록 렌즈를 사용하는 현미경은 초점거리가 짧은 대 물렌즈를 물체 가까이에 두고 대상을 1차로 확대한 뒤 이 상을 다시 접안렌즈로 확대하는 원리이다. 현미경을 사용하여 잎의 단면에서 각 세포의 모양과 배열된 모습을 간단히 말해 보자.

[풀이]

얇고 납작한 세포가 위아래 가장자리에서 표피를 이루고 있다. 위쪽 표피의 아래에는 길 쭉한 모양의 초록색을 띤 세포가 배열되어 있으며, 그 아래에는 역시 초록색을 띤 세포 가 불규칙하게 배열되어 있다. 잎의 중앙에는 원형으로 된 여러 개의 관이 모인 잎맥이 있다.

생각펼치기 확대와 축소에 따른 도형의 닮음

■ 다음 그림을 보고, 물음에 답해 보자.

한 도형을 확대 또는 축소하면 모양은 같지만 크기 가 다른 닮은 도형을 그릴 수 있다. 예를 들어 [그 림 1]에서 정사각형 사각형ABCD는 다른 사각형 EFGH를 2배만큼 확대한 것으로 서로 닮은 도형이 다.

서로 닮은 도형인 사각형ABCD와 사각형EFGH에 서 대응하는 선분의 길이의 비인 닮음비는

:

이 다. 또한, 이때, 닮음 두 도형은 대응하는 선분의 길 이의 비는 일정하고, 대응하는 각의 크기는 서로 같다.

[그림 1] 사각형ABCD ~ 사각형EFGH

▶ 다음 두 사면체는 서로 닮은 도형이다. 닮음비를 구 하고, 입체도형의 닮음 성질에 대해서 말해보자.

[풀이]

평면도형과 같이 입체도형에서도 일정한 비율로 확대 또는 축소하여 모양은 같지만 크 기가 다른 두 도형을 서로 닮은 도형이라고 한다. 두 닮은 입체도형에서는 대응하는 모서리의 길이의 비는 닮음비로 일정하고, 대응하는 면은 서로 닮은 도형인 성질을 갖는다. 또한, 그림에서 두 사면체의 닮은비는 1:2이다.

▶ 다음 두 닮음 도형에서 닮음의 중심을 찾아보고, 닮음의

중심에 대해서 알아보자.

[풀이]

그림과 같이 두 닮은 도형의 대응점끼리 이은 직선이 모두 한 점 O를 지나고, 이 점 O 에서 두 닮은 도형의 각 대응점까지의 길이의 비가 모두 같을 때, 이들 두 도형은 닮음 의 위치에 있다고 한다. 그리고, 점 O를 닮음의 중심이라고 한다.

즉, 어느 한 점을 중심으로 닮은 두 도형 중에서 어느 한 도형을 일정한 비율로 확대 또 는 축소하여 다른 도형을 얻을 수 있을 때, 두 도형은 닮음의 위치에 있다고 하고, 중심 이 된 점을 두 닮은 도형의 닮음의 중심이라고 한다. 그림에서 보듯이 닮음의 중심은 닮 은 도형의 밖에 있을 수도 있고, 반대로 도형의 안에 있을 수도 있다.

▶ 삼각형의 닮음 조건 3가지를 알아보자.

[풀이]

삼각형의 모양은 세 변이나 세 각의 크기 중에서 일부만 알아도 하나로 결정되는 성질 이 있다. 즉, 세 쌍의 대응하는 변의 길이의 비와 각의 크기를 모두 비교하지 않아도 두 삼각형이 닮음인지 아닌지를 알 수 있다. 이때, 어느 두 삼각형이 닮음이 되도록 하는 각의 크기와 변의 길이에 대한 조건을 삼각형의 닮음조건이라고 한다.

약어 그림 설명

SSS

세 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같으면 두 삼각형은 닮음이다. 즉, 두 삼각형

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  ′    ′    ′

을 만족하면, 삼각형

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두 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같고, 그 끼인 각의 크기가 같으면 두 삼각형은 닮음이다. 즉, 두 삼각형

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두 쌍의 대응하는 각의 크기가 각각 같으면 두 삼각형은 닮음이다. 두 삼 각형

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

생각다지기 실생활 문제의 해결

■ 다음 그림을 보고, 물음에 답해 보자.

세 평행선

이 임의의 다른 두 직선과 만날 때, 평행선 사이에는 성질

      

이 성립한다. 즉, 평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비는 같다.

(기호로 표현하면

이면

이다.)

[그림 1] 선분의 길이의 비

▶ 사진기의 렌즈에 의한 상의 작도 원리와 삼각형의 닮음 조건을 이용하여 사진기 렌즈에서 학생까지의 거 리를 구해보자.

[풀이]

렌즈에서 양쪽으로 만들어진 두 삼각형은 서로 닮음이므로, 사진기 렌즈에서 학생까지의 거리를 라고 하면 3:168=5:이다. 따라서,   

 × 

으로   이다.

▶ 다음 그림과 같이 자연계의 거미줄에서 삼각형 모양과 평행선 을 찾을 수 있다. 거미가 사냥과 이동 등을 위해서 만드는 거 미줄에서

일 때,

를 구해보고, 성질에 대해서 말해보자.

[풀이]

평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비는 같다. 따라서,

일 때,

A′B′：B′C′  ：

이다.

▶ 다음 그림에서 △ABC의 어느 두 변의 중점을 찾아 연결하고, 이 선분과 대응하는 변과의 관계에 대해서 알아보자.

[풀이]

△ABC에서 두 변 AB, AC의 중점을 각각 M, N이라고 하자.

그러면 △ABC와 △AMN에서 AB ： AM  AC ：AN  ：이고, ∠A는 공통인 각이므로

△ABC ∽ △AMN이다. 이때, 두 닮음 삼각형에서 대응하는 변의 길이의 비는 같으므로

BC  MN    이다.

▶ 다음 그림에서 □PQRS는 평행사변형임을 증명해보자.

(단, 점 P, Q, R, S는 변 AB, BC, CD, DA의 중점이다.)

[풀이]

□ABCD의 대각선 AC를 그으면 △ABC에서 점 P, Q는 각각 변 AB, BC의 중점이므로, 삼각형의 중점 연결 정리에 의하여 P Q // AC , P Q  

 AC 이다.

또한, △ACD에서 점 S, R는 각각 변 AD, DC의 중점이므로 SR // AC , SR   AC 이 다.

즉, P Q // SR , P Q  SR 임을 알 수 있다. 따라서 사각형 PQRS는 평행사변형이다.

▶ 오늘 활동을 통해서 여러분이 공부한 내용을 정리하고, 느낀 점을 적어봅시다.

오늘의 활동

느낌 및 소감

오늘의 활동

· 볼록렌즈와 오목렌즈에 대한 이해

· 확대와 축소에 따른 도형의 닮음에 대해서 알아보는 활동

· 다양한 문제해결 활동

느낌 및 소감

Ⅱ _{내 안에 나있다!}

생각열기 자연에서 찾는 자기 닮음 현상

생각펼치기 시어핀스키 삼각형에서 규칙 찾기

생각다지기 다양한 자기 닮음 도형 만들기

2차시 내 안에 나있다!

생각열기 자연에서 찾는 자기 닮음 현상

■ 자기 닮음(내 안에 나있다)에 대한 내용을 보고, 다음 물음에 답해 보자.

자연은 복잡해 보이지만 나뭇가지, 식물의 잎, 손가락의 지문 등에서 알 수 있듯이 일정한 자기 닮음의 규칙성을 지니고 반복되는 구조를 지니고 있다. 자기 닮음이란 미세한 부분이 번체의 모양과 유사한 형태를 가지면서 무한히 되풀이 되는 형태를 말한다. 눈의 결정, 꽃, 조개껍데기 등과 같은 자연의 여러 현상 중에서 자기 닮음의 구조를 발견할 수 있다.

▶ 사진은 나무 단면의 나이테를 찍은 것이다. 사진처럼 주변에서 볼 수 있는 자연물 중에서 동일한 모습이 반복되어 무늬를 만 드는 것은 어떤 것이 있는지 찾아서 발표해 보자(집필진 촬영 자료).

[풀이]

예 반복되는 모양과 특징

지층 무지개

나란한 층들이 반복되어 지층을 이룬다.

아치형의 모양이 반복되어 무지개를 형성한다.

▶ 나뭇잎이 붙어있는 세 종류의 사진을 비교하여 그 차이점을 써보자(집필진 촬영 자료).

가. 아카시아 나. 향천 다. 고사리

[풀이]

아카시아는 잎 가장자리가 둥글고 줄기의 양쪽에 하나의 잎들이 마주보며 붙어있지만 향천이나 고사리는 줄기에 또 다른 줄기가 마주보며 붙어있고 그 줄기에 잎들이 붙어있 는데 전체 모습과 하나의 잎 모습이 유사하다

▶ 주변의 자연물이나 현상 중에서 자기 닮음의 성질을 가지는 것들을 찾아서 발표해 보자.

[풀이]

예 닮음의 모양과 특징

구름 번개 눈 결정 고사리 잎

커다란 뭉게구름은 자세히 보면 작은 물방울들이 뭉쳐져 있음.

불규칙하게 뻗어가는 번개는 자세히 봐도 불규칙한 모양이 반복됨 육각형의 눈 결정은 자세히 보면 모서리가 불규칙함

고사리 잎은 뾰족한 돌기들이 잎 가장자리에 나있으며 전체적으로 도 뾰족한 모습이 반복됨

▶ 사진은 앵무조개의 외형과 단면의 모습이다. 어떤 모양이 반복되는지 설명해보자(집필진 촬 영 자료).

[풀이]

시계 반대 방향으로 나선을 그리는 모습이 계속 반복된다.

▶ 사진은 우리나라 서해안 갯벌에 나타난 물길을 인공위성에서 찍은 것이다. 왼쪽의 사진과 왼쪽 한 부분을 확대한 오른쪽 사진을 비교하여 그 모습을 설명해보자(구글지도 검색자료).

확대

[풀이]

왼쪽 사진의 물길 모습이 오른쪽 확대한 사진에도 비슷하게 나타난다.

생각펼치기 시어핀스키 삼각형에서 규칙 찾기

■ 자기 닮음 도형인 시어핀스키 삼각형에 대해서 알아보고, 각 단계가 만들어지는 원 리를 찾아보자.

0단계 1단계 2단계 3단계

▶ 자기 닮음의 성질을 지닌 시어핀스키 삼각형에서 단계별로 만들어지는 작은 색칠된 삼각형 들의 개수를 생각해 보자.

단계 0 1 2 3

개수 1

[풀이]

단계 0 1 2 3

개수 1 3 9 27

▶ 시어핀스키 삼각형에서 단계별로 만들어지는 색칠된 작은 삼각형 한 개의 넓이를 생각해 보자.

단계 0 1 2 3

한 개의 넓이 1

[풀이]

단계 0 1 2 3

개수 1 

 

 



▶ 시어핀스키 삼각형에서 단계별로 만들어지는 작은 삼각형의 개수와 한 개의 넓이를 이용해 단계별 색칠된 전체 작은 삼각형들의 넓이의 합을 생각해 보자.

단계 0 1 2 3

개수 1

한 개의 넓이 1

단계별 넓이 합 1

[풀이]

단계 0 1 2 3

개수 1 3 9 27

한 개의 넓이 1 

 

 



단계별 넓이 합 1  × 

  × 

  × 



▶ 다음 도형의 0단계에서 1 단계에 적용된 규칙을 말해보고, 2단계와 3단계를 만들어 보자.

0단계 1단계 2단계 3단계

[풀이]

0단계 1단계 2단계 3단계

▶ 위의 도형에서 단계별로 만들어지는 작은 색칠된 사각형들의 개수를 생각해 보자.

단계 0 1 2 3

개수 1

[풀이]

단계 0 1 2 3

개수 1 4 16 64

▶ 위의 도형에서 단계별로 만들어지는 색칠된 작은 사각형 한 개의 넓이를 생각해 보자.

단계 0 1 2 3

한 개의 넓이 1

[풀이]

단계 0 1 2 3

개수 1 

^ 

^ 

 ^

▶ 위의 도형에서 단계별로 만들어지는 작은 사각형의 개수와 한 개의 넓이를 이용해 단계별 색칠된 전체 작은 사각형들의 넓이의 합을 생각해 보자.

단계 0 1 2 3

개수 1

한 개의 넓이 1

단계별 넓이 합

[풀이]

단계 0 1 2 3

개수 1 4 16 64

한 개의 넓이 1 

^ 

^ 

 ^

단계별 넓이 합 1  × 

  × 

  × 



생각다지기 다양한 자기 닮음 도형 만들기

▶ 자기 닮음의 성질을 이용하여 0단계의 정사각형에서 각자의 방식과 규칙대로 자기 닮음 도 형을 만들고, 아래에 만든 방식과 규칙을 쓰고 그림으로 나타내 보자.

0단계 1단계 2단계 3단계

[풀이]

0단계 1단계 2단계 3단계

▶ 본인이 만든 자기 닮음 도형을 보면서 단계별 개수를 생각해 보고, 아래의 표에 나타내 보자.

단계 0 1 2 3

개수 1

[풀이]

단계 0 1 2 3

개수 1 8 64 512

▶ 본인이 만든 자기 닮음 도형을 보면서 단계별 도형 한 개의 넓이를 생각해 보고, 아래의 표 에 나타내 보자.

단계 0 1 2 3

한 개의 넓이 1

[풀이]

단계 0 1 2 3

개수 1 

 

 



▶ 본인이 만든 자기 닮음 도형을 보면서 단계별 작은 도형의 개수와 한 개의 넓이를 이용해 단계별 색칠된 전체 작은 도형의 넓이를 생각해 보고, 아래의 표에 나타내 보자.

단계 0 1 2 3

개수 1

한 개의 넓이 1

단계별 넓이 합

[풀이]

단계 0 1 2 3

개수 1 8 64 512

한 개의 넓이 1 

 

 



단계별 넓이 합 1  × 

  × 

  × 



▶ 오늘 활동을 통해서 여러분이 공부한 내용을 정리하고, 느낀 점을 적어보자.

오늘의 활동

느낌 및 소감

오늘의 활동

· 자연에서 찾는 자기 닮음(내 안에 나 있다) 현상에 대한 이해

· 시어핀스키 삼각형에 대해서 알아보는 활동

· 자신만의 자기닮음 도형을 만드는 활동

느낌 및 소감

[읽고 생각하기]

인체에서도 프랙탈 원리가 발견되다!

프랙탈이 자연뿐 만 아니라 인체에서도 발견되고 있다. 파킨슨병 환 자의 불안정한 걸음걸이, 심장의 불규칙한 박동, 그리고 우울증 환자 의 뇌파가 프랙탈 구조를 갖고 있어서 조만간 프랙탈은 인체 질환의 조기진단과 치료에 활발히 활용될 전망이다. 최근 파킨슨병 환자들 의 걷는 양상을 프랙탈 모델로 분석할 수 있는 휴대용 기기를 만들 고 그 연구 내용을 미국 ‘신경공학지’ 온라인판에 게재했다.

파킨슨병 환자의 특이한 보법을 분석한 결과 몇 분 동안 관찰한 걸

음걸이 양상이 하루 종일 관찰한 양상과 유사하다는, 즉 프랙탈 패턴이 관찰된다는 점은 이미 알 려져 있었다. 연구진은 환자의 몸에 센서를 부착해 걷는 속도와 보폭 등에 관한 데이터를 모으고 이를 컴퓨터로 분석하는 장치를 개발했다. 또 불규칙한 정도에 따라 값이 증가하는 프랙탈 지수를 걸음걸이에 대해 계산했다. 그 결과 파킨슨병 환자의 경우 이 지수가 1.48로, 1.3의 값을 갖는 정 상인에 비해 높게 나타났다. 이 연구결과를 이용하면 환자들의 증세가 심해지는 정도를 객관적인 수치로 표시할 수 있다. 이에 따라 약을 투여할 시간을 조절할 수 있어 약 복용에 따른 부작용을 줄이는데 도움을 줄 전망이다.

참고: LG사이언스랜드, 2004.3.2

<심장의 구조 프랙탈 모형>

[고사리의 자기 닮음 탐구 ¹⁾ ]

양치 식물 중 고사리는 눈으로 보기에도 놀라울 정도로 확연히 자기 닮음을 띠고 있다. 눈으로만 고 사리의 자기 닮음을 확인하는 데 그치지 않고 직접 고사리 잎을 따와서 프랙탈 차원을 구해 보자.

1. 고사리 잎의 채취 및 프랙탈 차원 산정을 위한 가정

여러 가지의 다양한 크기의 고사리를 채취하여 고사리의 잎을 관찰한 결과 고사리 중앙 부분의 가지 가 먼저 자라고 중앙 부분이 어느 정도 자라난 뒤 곁가지들이 밑에서부터 자라남을 알 수 있다.

2. 고사리의 길이 비, 개수 비의 측정을 통한 프랙탈 차원의 산정

프랙탈 차원을 산정하기 위해 차수간의 길이 비와 개수 비를 측정해야 하는데, 1차 가지(곁가지)와 2차 가지(중앙의 긴 가지)의 개수 비와 길이를 측정하여 비 값을 구한다. 곁가지의 길이는 각각의 곁가지의 길이를 측정하여 평균값을 사용한다.

<학교 주변에서 채집한 고사리 사례>

(1) 닮음의 개수비(1차 가지 : 2차 가지) 43 : 1 (2) 1차 가지(곁가지)의 길이 : 3.83cm(평균값) (3) 2차 가지(중앙의 긴 가지)의 길이 : 36.2cm

<탐구1> 1차 가지 측정 자료

밑 부 분 윗 부 분

좌 18.8 14.5 12.0 8.0 6.0 4.5 3.5 2.7 2.0 1.8 1.5 1.1 1.0 0.9 0.8 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 우 15.0 14.5 11.5 9.0 7.5 5.5 4.0 3.4 2.2 2.0 1.7 1.3 1.2 1.1 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.1

(4) 고사리의 프랙탈 차원 구하기

D

log

(

)

(5) 고사리의 프랙탈 차원이 가지는 의미 설명하기

‘걸리버 여행기’에서 걸리버는 자신의 키보다 12분의 1밖에 안 되는 소인국에 가게 되었다. 소인 국 사람은 걸리버에게 옷과 음식을 제공하는 데 어느 정도의 옷감과 식량을 준비해야 할까? 단지 소인국 사람이 소비하는 양의 12배만큼만 해주면 될까? 문제는 그렇게 간단하지 않다. 우선 옷감 은 12배가 아니라 12×12배만큼 준비해야 한다. 그리고 식사량은 12×12×12배가 되어야 한다고 저자인 스위프트는 말한다. 이처럼 옷감과 식사량의 계산법이 달라진 것은 차원이 다르기 때문이 다. 옷감의 양은 평면적인 2차원적이고, 음식은 밥그릇에 담겨진 밥을 보면 알 수 있듯이 3차원 적이다. 그래서 걸리버의 몸의 표면적은 소인국 사람보다 12×12배 넓고, 몸의 부피는 12×12×12 배가되어야 한다. 이처럼 차원이 다르면 그의 양, 즉 면적이나 부피를 나타내는 수치 역시 달라져 야 한다. 결국 고사리의 경우에도 고사리의 크기가 커짐에 따라 필요한 에너지량을 계산하는 데 프랙탈 차원이 유용하게 쓰일 수 있다.

1) 본 탐구는 ‘제46회 과학전람회’의 경남과학고 김민수와 손상현의 ‘자기닮음 현상에 나타나는 규칙성의 해석과 그 회절에 관한 연구’를 바탕으로 탐구활동지를 제작하였다.

반복의 역사에 숨은 과학 - 프랙탈

프랙탈은 나뭇 잎이나 해안선, 강하구의 모양 등 세부 구조가 끊임없이 전체구조를 되풀이 하고 있는 현상을 말한다. 나무는 자라면서 큰 줄기에서 잔가지로 뻗고, 잔가지는 더 작은 가 지로 뻗어나간다. 이런 패턴은 줄기 끝부분까지 수차례 반복된다. 흥미롭게도 프랙탈이란 개 념을 만드는데 영감을 준 것이 바로 해안선이다. 1967년 프랑스의 수학자 베노이트 만델브로 트 박사는 과학 잡지 ‘사이언스’에 ‘영국을 둘러싸고 있는 해안선의 총 길이는 얼마인가’라는 제목의 글을 발표했다. 그는 이 글에서 영국 해안선의 길이는 어떤 잣대로 재느냐에 따라 달 라질 수 있다는 재미있는 주장을 제기한다. 예로 기린과 생쥐가 해안선을 따라 달리기를 한다 고 가정해 보자. 생쥐는 걸음 폭이 짧아 세세한 곳까지 일일이 거쳐 가야 하는 반면, 기린은 걸음 폭이 길어 생쥐가 한참을 돌아돌아 간 길을 단번에 성큼성큼 지나갈 수가 있다. 그래서 생쥐의 입장에선 1km나 되는 먼 길이 기린에겐 채 100여 m도 되지 않는 짧은 거리가 될 수 있는 것이다. 또한 만델로브는 해안선이 아주 복잡한 구조를 지니고 있는 것처럼 보이지만, 단계적으로 확대해 들여 다 보면 마치 나뭇가지처럼 비슷한 모양이 계속 반복된다는 사실을 발견했다. 그는 이런 구조를 ‘쪼개다’라는 뜻의 그리스어 ‘프랙투스(Fractus)’에서 ‘프랙탈’이 라고 부른다. 이 같은 현상은 파도, 구름, 암석, 강, 나무 등 자연계 곳곳에서 쉽게 찾아볼 수 있다. 파도를 생각해보라. 물밀듯 몰아쳐 매우 복잡해 보이는 파도이지만, 그 내면을 뜯어보면 그렇지 않다. 파도의 어느 한 부분을 확대하면 전체 모습과 흡사하고, 전체를 축소하면 또 어 느 한 부분인 듯 보인다. 한마디로 말해서 전체와 부분의 구조가 같은 것이다.

자연계뿐 만이 아니다. 이러한 징후는 사회와 역 사 속에서도 뚜렷이 나타난다. 흔히 우리는 역사는 반복된다는 말을 하곤 한다. 작은 단위로 보면 저마 다의 논쟁거리로 혼란스러워만 보이는 역사이지만, 큰 줄기로 보면 오묘하게도 일정한 주기와 패턴을 갖고 비슷한 유형의 사건들이 과거와 현대를 오가며 이어진다. 사람의 됨됨이나 조직 문화는 어떨까? 굳 이 전체를 세세히 파악하지 않더라도, 우리는 한 가 지 행동만 보고서 그 사람의 인격적 소양이나 조직

의 유연성 같은 큰 틀을 어느 정도 예측할 수 있다. ‘하나를 보면 열을 알 수 있다’는 속담은

‘부분은 전체이다’ 라는 프랙탈의 기본 원리와 일치하는 셈이다. 무질서하게 나열돼 있는 것처 럼 보이지만 사실 그 흐름 하나 하나가 정교하게 짜여 있는 자연현상에서 우리는 통계학적인 자연 원리를 알아야 한다.

출처 : KISTI의 과학향기

<강과 해안선의 프랙탈>

Ⅲ Fractal Tool를 이용한 자기 닮음 도형 만들기

생각열기 Fractal Tool에 대해서 알아보기

생각펼치기 다양한 자기 닮음 도형 만들기

생각다지기 자신만의 자기닮음 도형 만들기

3차시 Fractal Tool를 이용한 자기 닮음 도형 만들기

생각열기 Fractal Tool에 대해서 알아보기

■ 공학 도구인 Fractal Tool에 대해서 알아 보고, 다음 물음에 답해보자.

Fractal Tool은 자기 닮은 도형을 간단히 그려주고, 그 성 질을 파악할 수 있도록 도와주는 프로그램이다. 이 프로그 램은 사용법이 간단한 것이 장점으로, 그림과 같이 [1단계]

에서 를 누르면 [2단계]가 되고, [2단계]에서 를 누 르면 [3단계]가 된다. 이 Fractal Tool은 http://illuminations.

nctm.org/Activity.aspx?id=3513 에서 자유롭게 활용 가능하다.

▶ 다음 그림은 자기 닮음 도형의 표현 도구인 Fractal Tool로 만든 시어핀스키 삼각형이다.

Fractal Tool의 명령어 상자인 를 누르면서 변화되는 시어핀스키 삼각형의 모양에 대해 서 말해 보자.

[0단계] [1단계] [2단계]

[풀이]

시어핀스키 삼각형은 하나의 정삼각형에서 시작해서, 이 정삼각형의 세 변의 중점을 이 으면 원래의 정삼각형 안에 작은 정삼각형이 만들어지고, 만들어진 이 작은 정삼각형을 제거한 후에, 위의 과정을 남은 정삼각형들에 대해서도 무한히 반복해서 실행하는 방법 으로 만들어진다. 이때 만들어진 시어핀스키 삼각형은 처음 정삼각형의 둘레의 길이를 1이라 할 때, 다음 단계에서의 변의 길이의 합은 이전 단계의 1.5배가 된다. 따라서 이 를 무한대 반복하면 길이는 한없이 커지게 된다. 반면에 시어핀스키 삼각형의 넓이는 처 음 정삼각형의 넓이를 1이라 할 때, 다음 단계에서의 넓이의 합은 이전 단계의 

 배로 감 소한다. 따라서 이를 무한대 반복하면 넓이는 한없이 작아지게 된다.

▶ 자기 닮음 도형을 만드는 과정에서 공학적 도구인 Fractal Tool를 사용할 때의 편의성에 대 해서 말해 보자.

[풀이]

공학 도구인 Fractal Tool은 프랙탈 도형의 자기 닮음의 성질을 탐구하고, 프랙탈 도형 을 만드는 규칙을 시각적으로 파악하는데 도움을 준다. 또한, 그림을 실제로 그리지 않 고, 자동화된 절차를 통해 그려줌으로써 그림을 그리는데 요구되는 시간과 노력을 프랙 탈의 개념과 성질의 탐구에 집중할 수 있도록 해준다.

생각펼치기 다양한 자기 닮음 도형 만들기

▶ 다음 그림은 Fractal Tool로 만든 자기 닮음 도형이다. 주어진 과정에 따라 자기 닮음 도형을 만들어 보고, 그 과정에서 쓰 였던 도구 상자들에 대해서 실행 형태를 설명해 보자.

과정

⓵ 를 누르면 백지 화면이 나타난다. Now가 선택돼 있다.

⓶ Now에 을 눌러서 사각

형을 만든다. ⓷ Next를 누른다.

⓸ 를 눌러서 Now를 크게 한다.

⓹ Now에 을 눌러서 사각 형을 만든다. 와 를 눌 러서 크기를 조정한다.

⓺ 에서 를 눌

러 다음 단계를 만든다. 를 눌러보자.

[풀이]

(Initial)은 만들어진 프랙탈의 0단계를 보여준다.

(Now)와 (Next)는 프랙탈을 만드는 과정에서 사용하는 도구로, Now는 현재 단계 의 프랙탈 도형을, Next는 다음 단계의 프랙탈 도형을 말한다.

생각다지기 자신만의 자기 닮음 도형 만들기

▶ Fractal Tool을 이용하여 각자의 방식과 규칙대로 자기 닮음 도형을 만들어 보자.

0단계 1단계 2단계 3단계

[풀이]

0단계 1단계 2단계 3단계

▶ 본인이 만든 도형을 보면서 단계별 개수를 생각해 보자.

단계 0 1 2 3

개수 1

[풀이]

단계 0 1 2 3

개수 1 1+1=2 1+2=3 1+1+2=4

▶ 본인이 만든 도형을 보면서 단계별 도형 한 개의 넓이를 생각해 보자.

단계 0 1 2 3

한 개의 넓이 1

[풀이]

단계 0 1 2 3

개수 1 

 

 



▶ 본인이 만든 도형을 보면서 단계별 작은 도형의 개수와 한 개의 넓이를 이용해 단계별 색 칠된 전체 작은 도형의 넓이를 생각해 보자.

단계 0 1 2 3

개수 1

한 개의 넓이 1

단계별 넓이 합 1

[풀이]

단계 0 1 2 3

개수 1 1+1=2 1+2=3 1+1+2=4

한 개의 넓이 1 

 

 



단계별 넓이 합 1  × 

 

  × 

 

 

   × 



▶ 오늘 활동을 통해서 여러분이 공부한 내용을 정리하고, 느낀 점을 적어보자.

오늘의 활동

느낌 및 소감

오늘의 활동

· Fractal Tool로 시어핀스키 삼각형 등의 다양한 프랙탈 도형을 만 들어 보는 활동

· Fractal Tool의 명령어 습득 활동

· Fractal Tool로 자신만의 자기닮음 도형을 만드는 활동

느낌 및 소감

· 공학 도구인 Fractal Tool을 이용해서 다양한 프랙탈 도형을 만들 어 보고, 이를 통해서 자기닮음 현상을 탐구하는 과정에서 융합적 사고를 할 수 있었다.

Ⅳ ^{고체 상태의}

물분자모양만들기

생각열기 물질의 상태

생각펼치기 Fractal Tool로 자기 닮음 도형 (코흐의 눈송이) 만들기

생각다지기 나만의 자기 닮음 도형 만들기

4차시 고체 상태의 물분자 모양 만들기 생각열기 물질의 상태

■ 어떤 물질의 상태를 나타낸 아래 표에서, 다음 물음에 답해보자.

구분 고체 액체 기체

분자 배열 모형 (가)

분자 배열 매우 규칙적임 (나) (다)

분자 사이의 거리 매우 가까움 비교적 가까움 (라)

분자 사이의 인력 매우 강함 (마) 거의 작용하지 않음

▶ 위의 빈칸에 들어갈 알맞은 것을 생각해 보자.

[풀이]

구분 고체 액체 기체

분자 배열 모형

분자 배열 매우 규칙적임 약간 흐트러짐 매우 불규칙적임

분자 사이의 거리 매우 가까움 비교적 가까움 매우 멀리 떨어짐 분자 사이의 인력 매우 강함 고체보다 약함 거의 작용하지 않음

▶ 다음은 어떤 물질의 상태 변화를 나타낸 표이다. 빈칸에 들어갈 알맞은 것을 생각해 보자.

상태 변화 융해, 기화, 승화(고체 ⟶ 기체) 응고, 액화, 승화(기체 ⟶ 고체) 배열 변화 점점 불규칙적으로 변함 [ (가) ] 부피 변화 분자 사이의 거리가 멀어져서

부피가 [ (나) ]함

분자 사이의 거리가 가까워져서 부피가 감소함

인력 변화 인력이 약해짐 인력이 [ (다) ]해짐

질량 변화 모든 상태 변화에서 [ (라) ]가 변하지 않으므로 질량은 일정함

[풀이]

상태 변화 융해, 기화, 승화(고체 ⟶ 기체) 응고, 액화, 승화(기체 ⟶ 고체) 배열 변화 점점 불규칙적으로 변함 점점 규칙적으로 변함

부피 변화 분자 사이의 거리가 멀어져서 부피가 [ 증가) ]함

분자 사이의 거리가 가까워져서 부피가 감소함

인력 변화 인력이 약해짐 인력이 [ 강 ]해짐

질량 변화 모든 상태 변화에서 [ 분자수 ]가 변하지 않으므로 질량은 일정함

▶ 분자 모형은 눈으로 볼 수 없는 분자를 설명하기 위한 것이다. 분자 모형을 나타낼 수 있는 것들에 대해서 말해보자.

[풀이]

분자 모형을 나타낼 수 있는 모형으로 사용하는 것은 일반적으로 공, 구슬 등이다.

▶ 분자 모형은 어떤 특성을 가져야 할지를 생각해보자.

[풀이]

쉽게 깨지거나. 변형되지 않고, 같은 종류의 분자는 같은 모양으로 나타내어야 한다.

▶ 고체 상태의 물분자 구조를 그려보고, 각 상태(액체, 기체, 고체)에 따른 물분자 구조에 대해

서 말해 보자.

액체상태 기체상태 고체상태

[풀이]

물분자는 두 개의 수소와 한 개의 산소원자로 이루어진다. 고체, 액체, 기체 상태에 따 라 분자의 구조가 다르게 나타난다. 고체 상태의 물분자는 6각형모양을 가진다. 또한, 닮음 도형으로 이루어지는 것을 알 수 있다.

물분자 모형 고체 상태

생각펼치기 Fractal Tool로 자기 닮음 도형(코흐의 눈송이) 만들기

■ 코흐의 눈송이에 대해서 알아 보고, 다음 물음에 답해보자.

수학자인 코흐(Koch)에 의해 만들어진 자기 닮음 도형 으로 눈송이와 유사한 모양이라고 해서‘코흐의 눈송이’

라고 불리어 진다. 이 코흐의 눈송이는 수학적으로 유 한한 넓이를 갖지만 단계가 커질수록 둘레의 길이는 무 한히 커지는 성질을 가지고 있으며, 굴곡진 해안선을 표현하는데 쓰이기도 한다. 코흐의 눈송이를 그리는 수 학적 절차는 다음과 같다.

⓵ 정삼각형을 그 린다.

⓶정삼각형의 각 변을 3등분하여 가운데의



을 삭제하고, 그 부분의 바깥쪽에 같은 길이를 두 변으로 하는 정삼각형을 그린다.

⓷ 만들어진 각 변에 대해서 앞서의 과정

⓶를 반복한다.

위의 절차와 Fractal Tool을 이용하여 두 가지 방법으로 코흐의 눈송이를 만들어 보자.

▶ 첫 번째로 Fractal Tool의 메뉴 상자에 있는 코흐의 눈송이를 직접 그려주는 명령어 를 이용하여 다음과 같은 방법으로 만들 수 있다. 그림을 보고 간단히 방법을 말해 보자.

[1단계] [2단계] [3단계]

[풀이]

▶ 두 번째로 Fractal Tool에서 일반적인 도형을 그릴 수 있도록 초기 화면을 나타내 주는 명령 어 를 이용하여 다음과 같은 방법으로 코흐의 눈송이를 만들 수 있다. 사용한 명령어의 쓰임을 간단히 말해 보자.

⓵ 를 클릭 한 후에 직선을

그린다. ⓶ Next를 선택한다. ⓷ Next에 을 그린다.

⓸ 를 눌러서 다음 단계를 만든다.

⓹ 를 눌러서 다음 단계를 만든다.

⓹ 를 눌러서 다음 단계를 만든다.

[풀이]

를 누르면 초기 화면이 나타난다.

는 다음 단계를 보여주는 명령어이다.

(Now)와 (Next)는 프랙탈을 만드는 과정에서 사용하는 도구로, Now는 현재 단계 의 프랙탈 도형을, Next는 다음 단계의 프랙탈 도형을 말한다.

▶ 코흐의 눈송이에서 다음 빈칸에 알맞은 수를 써보고, 구한 방법을 말해 보자.

단계 0 1 2 3

선분의 길이 한 개의 넓이 단계별 넓이 합

[풀이]

단계 0 1 2 3

선분의 길이 1 

 

 



한 개의 넓이 0 



× 

^ 



× 

^ 



× 

 ^

단계별 넓이 합 0  × 



× 

^  × 



× 

^  × 



× 

 ^

생각다지기 나만의 자기 닮음 도형 만들기

▶ Fractal Tool로 여러 형태의 눈송이 모양들을 만들어보고, 만든 방법에 대해서 말해 보자.

[풀이]

▶ Fractal Tool로 눈송이 모양의 프랙탈 도형을 만들어 보고, 규칙을 찾아보자.

단계 0 1 2 3

닮음 도형의 모양

도형의 개수 도형의 넓이

[풀이]

단계 0 1 2 3

닮음 도형의 모양

도형의 개수 1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10

도형의 넓이 1 3 6 10

▶ 눈이 많이 내리는 알라스카 지역에 사는 에스키모인들은 눈을 부르는 이름의 종류가 수십 가지라고 한다. 왜 이렇게 눈을 부르는 용어들이 많은 걸까? 이는 에스키모인들이 본 눈의 모양이 한 가지가 아니고 다양하기 때문일 것이다. 눈의 결정은 어떤 모양을 하고 있는가 알아보자.

[풀이]

기둥 판 나뭇가지

모양

▶ 눈의 결정을 이루는 기본 형태는 육각형 모양이다. 그럼에도 눈의 모양이 각기 다른 이유를

말해 보자.