자기 닮음의 프랙탈 도시 탐구
◆ 아름다운 프랙탈 도시를 구성하여 서로 스토리텔링할 수 있다.
• 대상의 확대와 축소에 대해서 설명할 수 있다.
• 자연에서 자기 닮음과 관련된 내용을 찾아서 말할 수 있다.
• NCTM TOOLS를 이용하여 나만의 눈을 만들 수 있다.
• 도시에서 자기 닮음 성질을 찾을 수 있다.
• 아름다운 도시를 자연의 자기 닮음 성질을 이용하여 설계할 수 있다.
나무로 만든 러시아 전통 인형인 마트로시카(Matriochka)는 인형 몸체 속에 조금 더 작은 또 다른 닮은 인형이 들어가 있는 상자 구조로 되어 있다. 즉, 큰 인형 안에 직은 다른 닮은 인형들이 있는 마트 로시카는 하나가 닮은 여러 개로 번져 나가는 형태를 통해 ‘다산과 풍요’를 상징하고 있으며, 오늘날에는
‘끊임없이 이어지는 행운’을 상징하는 인형으로 여겨진다.
마트로시카와 같은 자기 닮음의 형태는 고사리와 같은 식물의 잎이나 하늘에서 내리는 눈의 결정 모양과 같은 자연 현상에서도 찾을 수 있다. 즉, 정육각형 모양으로 이루어진 눈의 결정은 잘게 쪼개도 정육각형 모양으로 구성되어 있다. 이와 같이 부분과 전체가 닮음 모양을 하고 있는 것을 프랙탈이라고 부른다.
1970년대 수학자 만델브로트에 의해 프랙탈의 개념이 도입 된 후, 프랙탈의 어느 부분을 확대해도 전체 와 닮은 성질인 자기 유사성과 이 성질이 무한히 반복되는 것을 의미하는 순환성이라는 속성은 자연계 많은 대상에서 나타나며 더 나아가 프랙탈 개념이 그것들을
분석하는 도구로서 떠오르고 있다. 예를 들어, 프랙탈 차원은 소수차원의 개념으로 프랙탈 도형이 얼마나 복잡한가를 나타 내 주는 것으로 도형이 공간을 복잡하게 채워 갈수록 차원이 높아지게 된다. 간단한 프랙탈 도형인 시어핀스키 삼각형은 삼각형의 각 변의 중점을 서로 연결하여 네 개의 작은 삼각 형으로 나눈 뒤에 가운데 있는 작은 삼각형을 지우는 과정 을 되풀이하는 도형이고, 아래의 코흐 곡선은 정삼각형의 각 변을 삼등분한 뒤에 가운데 조각을 한 변으로 하는 정삼각 형을 그리는 과정을 되풀이 하는 도형으로 눈송이의 모양이 나 울퉁불퉁한 해안선의 모습을 나타내기도 한다.
시어핀스키 삼각형
코흐 곡선
Ⅰ 도형의 닮음과
자기 닮음 도형
생각열기 대상의 확대와 축소
생각펼치기 확대와 축소에 따른 도형의 닮음
생각다지기 실생활 문제의 해결
1. 눈송이 모델링
1차시 도형의 닮음과 자기 닮음 도형 생각열기 대상의 확대와 축소
■
다음 그림을 보고, 물음에 답해 보자.
[그림 1] 볼록 렌즈 [그림 2] 오목 렌즈
▶ 렌즈는 빛의 굴절을 이용한 도구로 렌즈의 모양에 따라 [그림 1]과 같은 볼록렌즈와 [그림 2]와 같은 오목 렌즈로 구분한다. 이 두 렌즈의 개략적인 모양, 상의 모습, 특징에 대해서 간단히 설명해 보자.
▶ 사진기를 이용하면 실제 대상인 물체를 축소해서 보여 준다. [그림 1]과 같은 볼록 렌즈를 사용하는 사진기의 렌즈에 의한 상의 작도 원리를 말해보자.
▶ 사진기와는 다르게 현미경을 이용하면 작은 세포를 적당한 크기로 확대해 볼 수 있다. 그렇 지만, 사진기와 같이 [그림 1]과 같은 볼록 렌즈를 사용하는 현미경은 초점거리가 짧은 대 물렌즈를 물체 가까이에 두고 대상을 1차로 확대한 뒤 이 상을 다시 접안렌즈로 확대하는 원리이다. 현미경을 사용하여 잎의 단면에서 각 세포의 모양과 배열된 모습을 간단히 말해 보자.
생각펼치기 확대와 축소에 따른 도형의 닮음
■
다음 그림을 보고, 물음에 답해 보자.한 도형을 확대 또는 축소하면 모양은 같지만 크기 가 다른 닮은 도형을 그릴 수 있다. 예를 들어 [그 림 1]에서 정사각형 사각형ABCD는 다른 사각형 EFGH를 2배만큼 확대한 것으로 서로 닮은 도형이 다.
서로 닮은 도형인 사각형ABCD와 사각형EFGH에서 대응하는 선분의 길이의 비인 닮음비는 : 이다.
또한, 이때, 닮음 두 도형은 대응하는 선분의 길이 의 비는 일정하고, 대응하는 각의 크기는 서로 같다.
[그림 1] 사각형ABCD ~ 사각형EFGH
▶ 다음 두 사면체는 서로 닮은 도형이다. 닮음비를 구 하고, 입체도형의 닮음 성질에 대해서 말해보자.
▶ 다음 두 닮음 도형에서 닮음의 중심을 찾아보고, 닮음의 중심에 대해서 알아보자.
▶ 삼각형의 닮음 조건 3가지를 알아보자.
생각다지기 실생활 문제의 해결
■
다음 그림을 보고, 물음에 답해 보자.세 평행선 이 임의의 다른 두 직선과 만날 때, 평행선 사이에는 성질
이 성립한다. 즉, 평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비는 같다.
(기호로 표현하면 이면 이다.)
[그림 1] 선분의 길이의 비
▶ 사진기의 렌즈에 의한 상의 작도 원리와 삼각형의 닮음 조건을 이용하여 사진기 렌즈에서 학생까지의 거 리를 구해보자.
▶ 다음 그림과 같이 자연계의 거미줄에서 삼각형 모양과 평행선 을 찾을 수 있다. 거미가 사냥과 이동 등을 위해서 만드는 거 미줄에서 AB ： BC ：일 때, A′B′：B′C′를 구해보고, 성질에 대해서 말해보자.
▶ 다음 그림에서 △ABC의 어느 두 변의 중점을 찾아 연결하고, 이 선분과 대응하는 변과의 관계에 대해서 알아보자.
▶ 다음 그림에서 □PQRS는 평행사변형임을 증명해보자.
(단, 점 P, Q, R, S는 변 AB, BC, CD, DA의 중점이다.)
▶ 오늘 활동을 통해서 여러분이 공부한 내용을 정리하고, 느낀 점을 적어봅시다.
오늘의 활동
느낌 및 소감
Ⅱ 내 안에 나있다!
생각열기 자연에서 찾는 자기 닮음 현상
생각펼치기 시어핀스키 삼각형에서 규칙 찾기
생각다지기 다양한 자기 닮음 도형 만들기
2차시 내 안에 나있다!
생각열기 자연에서 찾는 자기 닮음 현상
■
자기 닮음(내 안에 나있다)에 대한 내용을 보고, 다음 물음에 답해 보자.자연은 복잡해 보이지만 나뭇가지, 식물의 잎, 손가락의 지문 등에서 알 수 있듯이 일정한 자 기 닮음의 규칙성을 지니고 반복되는 구조를 지니고 있다. 자기 닮음이란 미세한 부분이 번체 의 모양과 유사한 형태를 가지면서 무한히 되풀이 되는 형태를 말한다. 눈의 결정, 꽃, 조개껍 데기 등과 같은 자연의 여러 현상 중에서 자기 닮음의 구조를 발견할 수 있다.
▶ 사진은 나무 단면의 나이테를 찍은 것이다. 사진처럼 주변에서 볼 수 있는 자연물 중에서 동일한 모습이 반복되어 무늬를 만드 는 것은 어떤 것이 있는지 찾아서 발표해 보자(집필진 촬영 자 료).
▶ 나뭇잎이 붙어있는 세 종류의 사진을 비교하여 그 차이점을 써보자(집필진 촬영 자료).
가. 아카시아 나. 향천 다. 고사리
▶ 주변의 자연물이나 현상 중에서 자기 닮음의 성질을 가지는 것들을 찾아서 발표해 보자.
▶ 사진은 앵무조개의 외형과 단면의 모습이다. 어떤 모양이 반복되는지 설명해보자(집필진 촬 영 자료).
▶ 사진은 우리나라 서해안 갯벌에 나타난 물길을 인공위성에서 찍은 것이다. 왼쪽의 사진과 왼쪽 한 부분을 확대한 오른쪽 사진을 비교하여 그 모습을 설명해보자(구글지도 검색자료).
확대
생각펼치기 시어핀스키 삼각형에서 규칙 찾기
■
자기 닮음 도형인 시어핀스키 삼각형에 대해서 알아보고, 각 단계가 만들어지는 원 리를 찾아보자.0단계 1단계 2단계 3단계
▶ 자기 닮음의 성질을 지닌 시어핀스키 삼각형에서 단계별로 만들어지는 작은 색칠된 삼각형 들의 개수를 생각해 보자.
단계 0 1 2 3
개수 1
▶ 시어핀스키 삼각형에서 단계별로 만들어지는 색칠된 작은 삼각형 한 개의 넓이를 생각해 보자.
단계 0 1 2 3
한 개의 넓이 1
▶ 시어핀스키 삼각형에서 단계별로 만들어지는 작은 삼각형의 개수와 한 개의 넓이를 이용해 단계별 색칠된 전체 작은 삼각형들의 넓이의 합을 생각해 보자.
단계 0 1 2 3
개수 1
한 개의 넓이 1
단계별 넓이 합 1
▶ 다음 도형의 0단계에서 1 단계에 적용된 규칙을 말해보고, 2단계와 3단계를 만들어 보자.
0단계 1단계 2단계 3단계
▶ 위의 도형에서 단계별로 만들어지는 작은 색칠된 사각형들의 개수를 생각해 보자.
단계 0 1 2 3
개수 1
▶ 위의 도형에서 단계별로 만들어지는 색칠된 작은 사각형 한 개의 넓이를 생각해 보자.
단계 0 1 2 3
한 개의 넓이 1
▶ 위의 도형에서 단계별로 만들어지는 작은 사각형의 개수와 한 개의 넓이를 이용해 단계별 색칠된 전체 작은 사각형들의 넓이의 합을 생각해 보자.
단계 0 1 2 3
개수 1
한 개의 넓이 1
단계별 넓이 합
생각다지기 다양한 자기 닮음 도형 만들기
▶ 자기 닮음의 성질을 이용하여 0단계의 정사각형에서 각자의 방식과 규칙대로 자기 닮음 도 형을 만들고, 아래에 만든 방식과 규칙을 쓰고 그림으로 나타내 보자.
0단계 1단계 2단계 3단계
▶ 본인이 만든 자기 닮음 도형을 보면서 단계별 개수를 생각해 보고, 아래의 표에 나타내 보자.
단계 0 1 2 3
개수 1
▶ 본인이 만든 자기 닮음 도형을 보면서 단계별 도형 한 개의 넓이를 생각해 보고, 아래의 표 에 나타내 보자.
단계 0 1 2 3
한 개의 넓이 1
▶ 본인이 만든 자기 닮음 도형을 보면서 단계별 작은 도형의 개수와 한 개의 넓이를 이용해 단계별 색칠된 전체 작은 도형의 넓이를 생각해 보고, 아래의 표에 나타내 보자.
단계 0 1 2 3
개수 1
한 개의 넓이 1
단계별 넓이 합
▶ 오늘 활동을 통해서 여러분이 공부한 내용을 정리하고, 느낀 점을 적어보자.
오늘의 활동
느낌 및 소감
[읽고 생각하기]
인체에서도 프랙탈 원리가 발견되다!
프랙탈이 자연뿐 만 아니라 인체에서도 발견되고 있다. 파킨슨병 환자의 불안정한 걸음걸이, 심장의 불규칙한 박동, 그리고 우울증 환자의 뇌파가 프랙탈 구조를 갖 고 있어서 조만간 프랙탈은 인체 질환의 조기진단과 치료에 활발히 활용될 전망 이다. 최근 파킨슨병 환자들의 걷는 양상을 프랙탈 모델로 분석할 수 있는 휴대용 기기를 만들고 그 연구 내용을 미국 ‘신경공학지’ 온라인판에 게재했다.
파킨슨병 환자의 특이한 보법을 분석한 결과 몇 분 동안 관찰한 걸음걸이 양상이 하루 종일 관찰한 양상과 유사하다는, 즉 프랙탈 패턴이 관찰된다는 점은 이미 알려져 있었다. 연구진은 환자의 몸에 센서를 부착해 걷는 속도와 보폭 등에 관한 데이터를 모으고 이를 컴퓨터로 분석하는 장치를 개발했다. 또 불규칙한 정도에 따라 값이 증가하는 프랙탈 지수를 걸음걸이에 대해 계산했다. 그 결과 파킨슨병 환자의 경우 이 지수가 1.48로, 1.3의 값을 갖는 정상인에 비해 높게 나타났다. 이 연구결과를 이용하면 환자들의 증세가 심해지는 정도를 객관적인 수치로 표시할 수 있다. 이에 따라 약을 투여할 시간을 조절할 수 있어 약 복용에 따른 부 작용을 줄이는데 도움을 줄 전망이다. 참고: LG사이언스랜드, 2004.3.2
<심장의 구조 프랙탈 모형>
[고사리의 자기 닮음 탐구
1)]
양치 식물 중 고사리는 눈으로 보기에도 놀라울 정도로 확연히 자기 닮음을 띠고 있다. 눈으로만 고사 리의 자기 닮음을 확인하는 데 그치지 않고 직접 고사리 잎을 따와서 프랙탈 차원을 구해 보자.
1. 고사리 잎의 채취 및 프랙탈 차원 산정을 위한 가정
여러 가지의 다양한 크기의 고사리를 채취하여 고사리의 잎을 관찰한 결과 고사리 중앙 부분의 가지가 먼저 자라고 중앙 부분이 어느 정도 자라난 뒤 곁가지들이 밑에서부터 자라남을 알 수 있다.
2. 고사리의 길이 비, 개수 비의 측정을 통한 프랙탈 차원의 산정
프랙탈 차원을 산정하기 위해 차수간의 길이 비와 개수 비를 측정해야 하는데, 1차 가지(곁가지)와 2차 가지(중앙의 긴 가지)의 개수 비와 길이를 측정하여 비 값을 구한다. 곁가지의 길이는 각각의 곁가지의 길이를 측정하여 평균값을 사용한다.
<학교 주변에서 채집한 고사리 사례>
(1) 닮음의 개수비(1차 가지 : 2차 가지) ________________________
(2) 1차 가지(곁가지)의 길이 : ________________
(3) 2차 가지(중앙의 긴 가지)의 길이 : ________________
<탐구1> 1차 가지 측정 자료
밑 부 분 윗 부 분
좌 우
(4) 고사리의 프랙탈 차원 구하기
log
log
고사리의 프랙탈 차원은 1.67이다.
(5) 고사리의 프랙탈 차원이 가지는 의미 설명하기
1) 본 탐구는 ‘제46회 과학전람회’의 경남과학고 김민수와 손상현의 ‘자기닮음 현상에 나타나는 규칙성의 해석과 그 회절에 관한 연구’를 바탕으로 탐구활동지를 제작하였다.
반복의 역사에 숨은 과학 - 프랙탈
프랙탈은 나뭇 잎이나 해안선, 강하구의 모양 등 세부 구조가 끊임없이 전체구조를 되풀이 하고 있는 현상을 말한다. 나무는 자라면서 큰 줄기에서 잔가지로 뻗고, 잔가지는 더 작은 가 지로 뻗어나간다. 이런 패턴은 줄기 끝부분까지 수차례 반복된다. 흥미롭게도 프랙탈이란 개 념을 만드는데 영감을 준 것이 바로 해안선이다. 1967년 프랑스의 수학자 베노이트 만델브로 트 박사는 과학 잡지 ‘사이언스’에 ‘영국을 둘러싸고 있는 해안선의 총 길이는 얼마인가’라는 제목의 글을 발표했다. 그는 이 글에서 영국 해안선의 길이는 어떤 잣대로 재느냐에 따라 달 라질 수 있다는 재미있는 주장을 제기한다. 예로 기린과 생쥐가 해안선을 따라 달리기를 한다 고 가정해 보자. 생쥐는 걸음 폭이 짧아 세세한 곳까지 일일이 거쳐 가야 하는 반면, 기린은 걸음 폭이 길어 생쥐가 한참을 돌아돌아 간 길을 단번에 성큼성큼 지나갈 수가 있다. 그래서 생쥐의 입장에선 1km나 되는 먼 길이 기린에겐 채 100여 m도 되지 않는 짧은 거리가 될 수 있는 것이다. 또한 만델로브는 해안선이 아주 복잡한 구조를 지니고 있는 것처럼 보이지만, 단계적으로 확대해 들여 다 보면 마치 나뭇가지처럼 비슷한 모양이 계속 반복된다는 사실을 발견했다. 그는 이런 구조를 ‘쪼개다’라는 뜻의 그리스어 ‘프랙투스(Fractus)’에서 ‘프랙탈’이 라고 부른다. 이 같은 현상은 파도, 구름, 암석, 강, 나무 등 자연계 곳곳에서 쉽게 찾아볼 수 있다. 파도를 생각해보라. 물밀듯 몰아쳐 매우 복잡해 보이는 파도이지만, 그 내면을 뜯어보면 그렇지 않다. 파도의 어느 한 부분을 확대하면 전체 모습과 흡사하고, 전체를 축소하면 또 어 느 한 부분인 듯 보인다. 한마디로 말해서 전체와 부분의 구조가 같은 것이다.
자연계뿐 만이 아니다. 이러한 징후는 사회와 역 사 속에서도 뚜렷이 나타난다. 흔히 우리는 역사는 반복된다는 말을 하곤 한다. 작은 단위로 보면 저마 다의 논쟁거리로 혼란스러워만 보이는 역사이지만, 큰 줄기로 보면 오묘하게도 일정한 주기와 패턴을 갖고 비슷한 유형의 사건들이 과거와 현대를 오가며 이어진다. 사람의 됨됨이나 조직 문화는 어떨까? 굳 이 전체를 세세히 파악하지 않더라도, 우리는 한 가 지 행동만 보고서 그 사람의 인격적 소양이나 조직
의 유연성 같은 큰 틀을 어느 정도 예측할 수 있다. ‘하나를 보면 열을 알 수 있다’는 속담은
‘부분은 전체이다’ 라는 프랙탈의 기본 원리와 일치하는 셈이다. 무질서하게 나열돼 있는 것처 럼 보이지만 사실 그 흐름 하나 하나가 정교하게 짜여 있는 자연현상에서 우리는 통계학적인 자연 원리를 알아야 한다.
출처 : KISTI의 과학향기(http://legacy.www.hani.co.kr)
<강과 해안선의 프랙탈>
Ⅲ Fractal Tool를 이용한 자기 닮음 도형 만들기
생각열기 Fractal Tool에 대해서 알아보기
생각펼치기 다양한 자기 닮음 도형 만들기
생각다지기 자신만의 자기닮음 도형 만들기
3차시 Fractal Tool를 이용한 자기 닮음 도형 만들기
생각열기 Fractal Tool에 대해서 알아보기
■
공학 도구인 Fractal Tool에 대해서알아
보고, 다음 물음에 답해보자.Fractal Tool은 자기 닮은 도형을 간단히 그려주고, 그 성 질을 파악할 수 있도록 도와주는 프로그램이다. 이 프로그 램은 사용법이 간단한 것이 장점으로, 그림과 같이 [1단계]
에서 를 누르면 [2단계]가 되고, [2단계]에서 를 누 르면 [3단계]가 된다. 이 Fractal Tool은
http://illuminations.
nctm.org/Activity.aspx?id=3513
에서 자유롭게 활용 가능하다.▶ 다음 그림은 자기 닮음 도형의 표현 도구인 Fractal Tool로 만든 시어핀스키 삼각형이다.
Fractal Tool의 명령어 상자인 를 누르면서 변화되는 시어핀스키 삼각형의 모양에 대해 서 말해 보자.
[0단계] [1단계] [2단계]
▶ 자기 닮음 도형을 만드는 과정에서 공학적 도구인 Fractal Tool를 사용할 때의 편의성에 대 해서 말해 보자.
생각펼치기 다양한 자기 닮음 도형 만들기
▶ 다음 그림은 Fractal Tool로 만든 자기 닮음 도형이다. 주어진 과정에 따라 자기 닮음 도형을 만들어 보고, 그 과정에서 쓰 였던 도구 상자들에 대해서 실행 형태를 설명해 보자.
과정
⓵ 를 누르면 백지 화면이 나타난다. Now가 선택돼 있다.
⓶ Now에 을 눌러서 사각
형을 만든다. ⓷ Next를 누른다.
⓸ 를 눌러서 Now를 크게 한다.
⓹ Now에 을 눌러서 사각 형을 만든다. 와 를 눌 러서 크기를 조정한다.
⓺ 에서 를 눌
러 다음 단계를 만든다. 를 눌러보자.
생각다지기 자신만의 자기 닮음 도형 만들기
▶ Fractal Tool을 이용하여 각자의 방식과 규칙대로 자기 닮음 도형을 만들어 보자.
0단계 1단계 2단계 3단계
▶ 본인이 만든 도형을 보면서 단계별 개수를 생각해 보자.
단계 0 1 2 3
개수 1
▶ 본인이 만든 도형을 보면서 단계별 도형 한 개의 넓이를 생각해 보자.
단계 0 1 2 3
한 개의 넓이 1
▶ 본인이 만든 도형을 보면서 단계별 작은 도형의 개수와 한 개의 넓이를 이용해 단계별 색 칠된 전체 작은 도형의 넓이를 생각해 보자.
단계 0 1 2 3
개수 1
한 개의 넓이 1
단계별 넓이 합 1
▶ 오늘 활동을 통해서 여러분이 공부한 내용을 정리하고, 느낀 점을 적어보자.
오늘의 활동
느낌 및 소감
Ⅳ 고체 상태의
물분자모양만들기
생각열기 물질의 상태
생각펼치기 Fractal Tool로 자기 닮음 도형 (코흐의 눈송이) 만들기
생각다지기 나만의 자기 닮음 도형 만들기
4차시 고체 상태의 물분자 모양 만들기 생각열기 물질의 상태
■
어떤 물질의 상태를 나타낸 아래 표에서, 다음 물음에 답해보자.구분 고체 액체 기체
분자 배열 모형 (가)
분자 배열 매우 규칙적임 (나) (다)
분자 사이의 거리 매우 가까움 비교적 가까움 (라)
분자 사이의 인력 매우 강함 (마) 거의 작용하지 않음
▶ 위의 빈칸에 들어갈 알맞은 것을 생각해 보자.
▶ 다음은 어떤 물질의 상태 변화를 나타낸 표이다. 빈칸에 들어갈 알맞은 것을 생각해 보자.
상태 변화 융해, 기화, 승화(고체 ⟶ 기체) 응고, 액화, 승화(기체 ⟶ 고체) 배열 변화 점점 불규칙적으로 변함 [ (가) ] 부피 변화 분자 사이의 거리가 멀어져서
부피가 [ (나) ]함
분자 사이의 거리가 가까워져서 부피가 감소함
인력 변화 인력이 약해짐 인력이 [ (다) ]해짐
질량 변화 모든 상태 변화에서 [ (라) ]가 변하지 않으므로 질량은 일정함
▶ 분자 모형은 눈으로 볼 수 없는 분자를 설명하기 위한 것이다. 분자 모형을 나타낼 수 있는 것들에 대해서 말해보자.
▶ 분자 모형은 어떤 특성을 가져야 할지를 생각해보자.
▶ 고체 상태의 물분자 구조를 그려보고, 각 상태(액체, 기체, 고체)에 따른 물분자 구조에 대해 서 말해 보자.
액체상태 기체상태 고체상태
생각펼치기 Fractal Tool로 자기 닮음 도형(코흐의 눈송이) 만들기
■ 코흐의 눈송이에 대해서 알아
보고, 다음 물음에 답해보자.수학자인 코흐(Koch)에 의해 만들어진 자기 닮음 도형 으로 눈송이와 유사한 모양이라고 해서‘코흐의 눈송이’
라고 불리어 진다. 이 코흐의 눈송이는 수학적으로 유 한한 넓이를 갖지만 단계가 커질수록 둘레의 길이는 무 한히 커지는 성질을 가지고 있으며, 굴곡진 해안선을 표현하는데 쓰이기도 한다. 코흐의 눈송이를 그리는 수 학적 절차는 다음과 같다.
⓵ 정삼각형을 그린 다.
⓶정삼각형의 각 변을 3등분하여 가운데의
을 삭제하고, 그 부분의 바깥쪽에 같은 길이를 두 변으로 하는 정삼각형을 그린다.
⓷ 만들어진 각 변에 대해서 앞서의 과정 ⓶ 를 반복한다.
위의 절차와 Fractal Tool을 이용하여 두 가지 방법으로 코흐의 눈송이를 만들어 보자.
▶ 첫 번째로 Fractal Tool의 메뉴 상자에 있는 코흐의 눈송이를 직접 그려주는 명령어 를 이용하여 다음과 같은 방법으로 만들 수 있다. 그림을 보고 간단히 방법을 말해 보자.
▶ 두 번째로 Fractal Tool에서 일반적인 도형을 그릴 수 있도록 초기 화면을 나타내 주는 명령 어 를 이용하여 다음과 같은 방법으로 코흐의 눈송이를 만들 수 있다. 사용한 명령어의 쓰임을 간단히 말해 보자.
⓵ 를 클릭 한 후에 직선을
그린다. ⓶ Next를 선택한다. ⓷ Next에 을 그린다.
⓸ 를 눌러서 다음 단계를 만든다.
⓹ 를 눌러서 다음 단계를 만든다.
⓹ 를 눌러서 다음 단계를 만든다.
[1단계] [2단계] [3단계]
▶ 코흐의 눈송이에서 다음 빈칸에 알맞은 수를 써보고, 구한 방법을 말해 보자.
단계 0 1 2 3
선분의 길이 한 개의 넓이 단계별 넓이 합
생각다지기 나만의 자기 닮음 도형 만들기
▶ Fractal Tool로 여러 형태의 눈송이 모양들을 만들어보고, 만든 방법에 대해서 말해 보자.
▶ Fractal Tool로 눈송이 모양의 프랙탈 도형을 만들어 보고, 규칙을 찾아보자.
단계 0 1 2 3
닮음 도형의 모양
도형의 개수 도형의 넓이
▶ 눈이 많이 내리는 알라스카 지역에 사는 에스키모인들은 눈을 부르는 이름의 종류가 수십 가지라고 한다. 왜 이렇게 눈을 부르는 용어들이 많은 걸까? 이는 에스키모인들이 본 눈의 모양이 한 가지가 아니고 다양하기 때문일 것이다. 눈의 결정은 어떤 모양을 하고 있는가 알아보자.
▶ 눈의 결정을 이루는 기본 형태는 육각형 모양이다. 그럼에도 눈의 모양이 각기 다른 이유를 말해 보자.
▶ 포근한 날과 추운 날에 내리는 눈의 모양이 각기 다른 이유를 말해 보자.
▶ 눈이 녹지 않고 계속 쌓여 만들어지는 두꺼운 얼음 덩어리를 무엇이라 하는지 말해보자.
▶ 다음은 빙하가 만들어지는 과정이다. 빈칸에 알맞은 용어들을 말해보자.
[ (가) ]이 쌓임 → 눈이 다져져 굳어짐→
[ (나) ]가 갇힘 → [ (다) ] 덩어리가 되어 낮은 곳으로 흐름
▶ 빙하를 통해 알 수 있는 사실들을 말해보자.
▶ 오늘 활동을 통해서 여러분이 공부한 내용을 정리하고, 느낀 점을 적어보자.
오늘의 활동
느낌 및 소감
눈송이 관찰하기
프랙탈의 구조로 정교한 대칭을 이루는 작은 눈송이 결 정의 현미경 사진을 보노라면, 누구나 쉽게 자연의 경이 를 느낄 만하다. 그림은 한밤중에 허공에서 떨어지는 눈 송이의 다양한 모양과 크기를 고속촬영 카메라로 촬영한 것이다.
이러한 눈송이의 아름다운 모습은 17세기 케플러나 데 카르트 같은 눈썰미 뛰어난 자연 관찰자들에 의해 멋진 눈 결정의 연구물과 그림으로 남겼다. 19세기 이래 사진 의 발명과 망원경의 발전 이후에는 더욱 생생한 눈 결정 의 영상이 우리 눈을 즐겁게 한다. ‘눈 결정’ 관찰의 역사 와 자료만을 따로 모은 누리집도 있고, 눈 결정이 어떻게 형성되는지에 관한 흥미로운 연구 보고도 종종 나온다.
그런데 허공에서 떨어지는 눈송이를 오랜 동안 관찰해 온 관찰자들은 조금 다른 얘기를 한다. 완벽한 구조와 대 칭의 육각형 눈송이 결정은 흔히 사진 영상에서 볼 수 있 지만 자연 상태에서는 아무 때나 쉽게 볼 수 있는 게 아 니란다. 눈송이의 관찰자인 미국 유타대학 대기과학자 팀 개러트(Tim Garrett) 교수 연구팀은 “이처럼 (흔히 눈송 이를 대표하는) 완벽하게 대칭적인 육각형 눈송이는 아름 답기는 하지만 자연 상태에서는 극히 드물어, 많아야 1000번 중에 1번 나타날 것"이라고 말한다. 이 팀은 유타 주 알타(Alta) 지역의 고산지대에 관찰용 고속촬영 카메라 들을 설치해두고서 눈송이의 모양, 크기, 낙하속도의 데이 터베이스를 몇 년째 축적하고 있는 중이다.
실제로 이들이 누리집에 공개하고 있는 수많은 눈송이 사진을 보면, 그야말로 들쭉날쭉, 삐뚤빼뚤, 울퉁불퉁, 제멋대로 생긴 눈송이들로 가득하다. 대중적으로 널리 알려진 눈송이 사진과 이들이 촬영한 눈송이 사진이 크게 다른 이유와 관련해, 이들은 "전통적으로 사진들에서 우리가 보는 눈송이는 현미경 으로 관찰하기 좋은 특정 유형들이며, 또한 카메라 초점을 제대로 잡고 빛을 제대로 비춘 상태에서 촬 영하기 때문일 것"이라고 말한다.
이들은 허공의 눈송이들이 레이더의 마이크로파 통신에 어떻게 영향을 끼치는지 예측하는 시뮬레이 션 모델을 정교화하기 위해서, 미항공우주국(NASA)과 미육군 등의 지원을 받아서 몇 년째 눈송이의 데이터 수집을 계속하고 있다. 떨어지는 눈송이를 적외선 센서로 감지하는 순간 여러 각도로 고속 촬 영하는 특별한 카메라(다각도 눈송이 카메라:MASC)를 개발한 연구팀은 자연 상태에 있는 눈송이 모양, 크기, 낙하속도의 데이터베이스가 강설량을 예측하고 레이터 통신 영향을 분석하는 시뮬레이션 모형을 개선하는 데 좋은 자료가 될 것이라고 기대하고 있다.
출처: 사이언스온(http://scienceon.hani.co.kr/93848)
<하늘에서 떨어지는 눈송이 사진>
(출처 http://www.inscc.utah.edu/~tgarrett/Snowflakes/Gallery/)
<데카르트가 남긴 눈송이 그림>
Ⅴ 내 안에 내가
또 있다!
생각열기 두 개의 표에서 관계 알아보기
생각펼치기 규칙을 적용해서 다양한 디자인 만들기
생각다지기 나만의 자기 닮음 도형 만들기
2. 프랙탈 도시 만들기 5차시 내안에 내가 또 있다!
생각열기 두 개의 표에서 관계 알아보기
■
다음 두 개의 표를 만든 규칙에 대해서 알아보고, 다음 물음에 답해보자.다음 그림과 같이 왼쪽 표는 9개의 칸 으로 구성되어 있다. 그리고, 오른쪽 표는 크게 가로와 세로의 개수가 왼쪽 표와 같게 9개로 구성되어 있는데, 그 각각은 또한 9개의 칸으로 구성되어 있다. 그런데, 왼쪽 표만을 이용해서 만들어진 것이 오른쪽 표이다. 즉, 두 개의 표는 서로 관련성을 가지고 있다.
그 관련(규칙)에 대해서 생각해 보자.
1 0 2 1 0 2 0 0 0 2 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 4 3 0 4 0 0 0 6 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 6 0 0 0 4 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 12 0 0 0 12 0 16
▶ 위의 두 개의 표를 보면서 관계를 생각해 보면 다음과 같다. 먼저 왼쪽 표를 한 줄로 나타 내면 다음 ①과 같다.
1 0 2 0 0 0 3 0 4 ⋯① 그리고, 다음 ②는 ①의 숫자들과 처음 왼쪽 표의 숫자들을 곱하여 나열한 것이다.
1 0 2 0 0 0 2 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 6 0 0 0 4 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 4 0 0 0 6 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 12 0 0 0 12 0 16⋯②
이후 다시 재배열하면 처음 오른쪽 표의 모양이 나온다. 즉 위의 왼쪽 표에 있는 숫자들만 을 가지고, 일명 내 안에 내가 있는 규칙으로 오른쪽 표를 만든 것이다. 위의 과정을 도표로 나타내면 다음과 같다.
① 1 0 2 0 0 0 3 0 4
1 0 2 0 0 0 2 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 6 0 0 0 4 0 8
② 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 4 0 0 0 6 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 12 0 0 0 12 0 16
▶ 규칙을 발견했나요? 그렇다면 내안에 내가 있는 규칙에 따라 아래의 표를 완성해 보자.
0 1 0
2 3 4
0 5 0
▶ ‘내안에 나있다’의 규칙을 다시 한번 더 정리해 보자.
생각펼치기 규칙을 적용해서 다양한 디자인 만들기
■
‘내안에 나있다’의 규칙을 적용해서 만든 오른쪽 표에서 0보다 큰 수에 색을 칠 해보자.1 1 1
1 0 1
1 1 1
생각다지기 나만의 자기 닮음 도형 만들기
▶ 왼쪽 표를 0과 1의 숫자로 채우고, ‘내안에 나있다’의 규칙과 일정한 룰에 따라 색을 칠해서 자기 닮음 도형 형태로 자신 만의 무늬를 만들어 보자.
▶ 오늘 활동을 통해서 여러분이 공부한 내용을 정리하고, 느낀 점을 적어보자.
오늘의 활동
느낌 및 소감
Ⅵ 내안의 나를
확장하기
생각열기 세 개의 표에서 관계 알아보기 생각펼치기 규칙적인 패턴 찾기
생각다지기 나만의 자기 닮음 도형 만들기
6차시 내안의 나를 확장하기 생각열기 세 개의 표에서 관계 알아보기
■
다음 내용에 따라 아래 물음에 답해 보자.다음 그림은 세 개의 표에서 1단계 를 이용해서 2단계와 3단계를 만드 는 과정을 나타낸 것이다.
1단계 2단계
1
01
1 0 1 0 0 0 1 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
01
1 0 1 0 0 0 1 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 1 0 1
3단계
1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1
▶ ‘내안에 나있다’의 규칙을 확장한 세 개의 표 사이의 관계에 대해서 정리해 보자.
생각펼치기 규칙적인 패턴 찾기
▶ 위의 생각열기 에서 찾은 세 개의 표 사이의 관계를 다음의 1단계와 2단계, 3단계에 적 용해서 3단계의 표에 들어갈 알맞은 수를 찾고, 규칙에 따라 적절한 색을 칠해보자.
1단계 2단계
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0
1 1
01 1
01 1
01 1
1
01 1
01 1
01 1
01
0 0 0
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0
1 1
01 1
0 0 0
1
01 1
01
1 1 1
0 0 01 1 1
0
1 1
0 0 0 01 1
1
01
0 0 01
01
3단계
생각다지기 나만의 자기 닮음 도형 만들기
▶ 다음 1단계에서 2단계와 3단계를 만들어보고, 만든 자기 닮음 도형의 성질을 찾아보자.
1단계 2단계
0 1 0
1 1 1
0 1 0
3단계
▶ 위의 자기 닮음 도형을 만드는 과정에서 단계별로 색칠한 칸의 개수를 구해보자. 그리고 규 칙을 찾아보자.
단계 1 2 3
개수
▶ 각자의 방식대로 1 단계를 만들어 보고, 이에 따라 2단계와 3단계를 구성해 보자.
1단계 2단계
3단계
▶ 본 차시에서 내안의 나를 확장하는 형태로 위의 [표]들을 구성한 것과 같이 과학자인 피르 호는 모든 세포는 세포에서 생성된다는 세포설을 주장하였다. 세포의 기본 구조인 핵, 세포 막, 세포질, 미토콘드리아에 대해서 알아보자.
▶ 동물 세포와 식물 세포의 구조를 비교하여 다음 [표]에 정리해 보자.
구분 핵 세포질 세포막 엽록체 세포벽 액포
동물세포 식물세포
▶ 오늘 활동을 통해서 여러분이 공부한 내용을 정리하고, 느낀 점을 적어보자.
오늘의 활동
느낌 및 소감
Ⅶ 자기 닮음 도형을 이용하여 프랙탈
도시 만들기
생각열기 세 개의 표에서 관계 알아보기
생각펼치기 규칙을 적용하여 입체로 만들기
생각다지기 나만의 자기 닮음 도형 만들기
7차시 자기 닮음 도형을 이용하여 프랙탈 도시 만들기 생각열기 세 개의 표에서 관계 알아보기
■
다음 내용에 따라 아래 물음에 답해 보자.자기 닮음은 일종의 프랙탈 디자인이라고 할 수 있다. 프랙탈 디자인은 부분과 전체가 같은 모양을 이루고 있는 자기 닮음과 기본 도형이 끊임없이 반복되는 순환성을 통해 전체 구조를 완성한다. 자연계의 대상들은 어떻게 보면 불규칙하고 복잡해 보이지만, 이 가운데에서 프랙탈 디자인과 같은 규칙과 질서를 찾을 수 있다. 이는 예술적 감성의 측 면인 디자인에 자연 현상을 표현하는 수학·과학적 원리가 담겨 있음을 알려주는 것이다.
▶ 위의 6차시에서 다룬 ‘내안의 나를 확장하기’ 단원의 표를 만드는 공학적 방법을 알아보자.
윈도우에 기본으로 내장된 엑셀 프로그램을 활용하면 자동으로 표를 만들 수 있다. 다음의 예를 통해서 1단계에서 엑셀을 이용하여 2단계와 3단계를 만드는 방법에 대해 알아보자.
1단계 2단계 3단계
▶ 엑셀을 다루기 위해서 요구되는 기본적인 명령어들에 대해서 조사하고 말해보자.
생각펼치기 규칙을 적용하여 입체로 만들기
▶ 위의 생각열기 에서 다룬 자기 닮음 도형을 엑셀의 조건부 서식 기능을 이용하여 색칠하는 방법을 알아보자.
색칠한 자기 닮음 도형
▶ 1단계가 다음과 같을 때, 확장된 ‘내안에 나있다’의 규칙에 따른 2단계와 3단계의 모양을 예 측해 보고, 실제로 엑셀을 활용하여 구해보자.
1단계 2단계
0 1 0
1 1 1
0 1 0
3단계
▶ 2단계의 자기 닮음 도형의 모양을 그대로 이용하여 만든 입체 도형에서 정면, 위쪽, 오른쪽 에서 보았을 때 2단계의 모양과 같은 모양이 되도록 쌓기나무로 완성해서 그려보고, 필요 한 쌓기나무 조각의 개수를 구해 보자.
2단계 정면 위쪽 오른쪽
자기 닮음도형
조각의 개수 49 49 49
생각다지기 나만의 자기 닮음 도형 만들기
▶ 1단계가 다음과 같을 때 위의 규칙에 따라 2단계와 3단계의 모양을 예측해 보고, 엑셀로 구해보자.
1단계 2단계
1 2 1
0 2 3
2 2 1
3단계
▶ 위에서 구한 디자인을 엑셀의 차트 기능을 활용하여 다양한 형태의 그림으로 나타내 보자.
▶ 위의 그림 1(프랙탈 도시)은 엑셀의 3차원 세로 막대형 차트 기능을 이용하여 만든 디자인 이다. 2단계에서 3차원 세로 막대형 차트로 만든 입체 도형에 대해서 정면, 위쪽, 오른쪽에 서 보았을 때를 쌓기나무로 간단하게 만들어 보고, 형태에 대해서 설명해 보자.
2단계 정면 위쪽 오른쪽
자기 닮음도형
▶ 1단계가 다음과 같을 때, 위의 규칙에 따라 2단계와 3단계의 모양을 예측해 보고, 엑셀로 구해보자.
1단계 2단계
3 0 1
2 0 2
1 5 3
3단계
▶ 위의 엑셀 자료를 3차원 세로 막대형 차트 기능을 이용하여 만든 디자인(프랙탈 도시)을 만 들어 보자.
▶ 각 단계가 다음과 같을 때, 프랙탈 도시의 모양을 예측해 보고, 엑셀의 차트로 그려보자.
단계
▶ 1단계가 다음과 같은 정수로 되어있을 때, 엑셀로 최종 3단계와 프랙 탈 도시의 모양을 구해보자.
▶ 본인이 1단계의 수를 입력하여 규칙에 따라 3단계의 모양을 예측해 보고, 엑셀로 프랙탈 도 시의 모양을 구해 보자.
1단계 프랙탈 도시
1단계 프랙탈 도시
1단계
3 -4 1
-2 0 2
-1 4 -3
▶ 엑셀을 이용하여 다음과 같은 프랙탈 도시를 디자인 할 수 있는 1단계를 예측해보자.
프랙탈 도시 1 1단계
프랙탈 도시 2 1단계
▶ 오늘 활동을 통해서 여러분이 공부한 내용을 정리하고, 느낀 점을 적어보자.
오늘의 활동
느낌 및 소감
부 록
Fractal Tool의 활용
fractal-snowflake-generator 로
눈 결정 만들기 심화 학습지.
3개의 표에 의한 다양한 디자인
F
ractal Tool의 활용
01
웹주소
http://illuminations.nctm.org/Act ivity.aspx?id=3513
02
코흐 눈송이 만들기
① 코흐 눈송이를 클릭하고 플러스(+)키를 누른다.
02
프랙탈 나무 만들기
① 프랙탈 나무를 클릭하고 플러스(+)키를 누른다.
02
정사각형 프랙탈 만들기
① 정사각형 프랙탈을 클릭하고 플러스(+)키를 누른다.
02
시어핀스키 삼각형 만들기
① 시어핀스키 삼각형을 클릭하고 플러스(+)키를 누른다.
f
ractal-snowflake-generator 로 눈 결정 만들기
01
다운로드 웹주소
http://downloads.informer.com/f ractal-snowflake-generator/1.4/
02
눈 결정 찾아보기
(1) General Properties에서
① Number of rays 는 3이다. 그림에서 3개의 가지가 있다.
② Complexity 는 1이다.
03
눈 결정 찾아보기
③ Complexity를 2로 변경해 보자. 두 개의 가지가 나타난다.
04
눈 결정 찾아보기
(2) Sub-ray Proprrties에서
① Scaling을 50% 로 조정해 보자. 2단계에서 나타나는 가지의 길이가 50%가 된다.
②Position은 50 이다. Number of rays의 50%에 위치한다.
③ Angle 는 60 도 이다.
05
눈 결정 찾아보기
④ Number of rays를 4로 고쳐보자.
06
눈 결정 찾아보기
(3) Numberof rays 4,
① Complexity 1
07
눈 결정 찾아보기
② complexity 2
08
눈 결정 찾아보기
② complexity 3
09
눈 결정 찾아보기
② complexity 4
10
눈 결정 찾아보기
② complexity 5
11
눈 결정 규칙성 찾기
(1) Number 3
① 단계별 길이
단계별 그림 Number of
ray 3 3 3 3 3 3
complexity 1 2 3 4 5 6
단계 n 1 2 3 4 5 6
부분 가지 0 3*2 3*2*2 3*2*2*2 3*2*2*2*2 3*2*2*2*2*2 부분가지
규칙 0 × × × × × 부분가지 한
개의 길이 1
추가되는 길이
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
심화학습지. 3개의 표에 의한 다양한 디자인
단계별 프랙탈 도형
1단계에서 네 개의 모양에 대한 표
1단계 2단계 3단계
1단계에서 다섯 개의 모양에 대한 표
1단계 2단계 3단계
1단계에서 여섯 개의 모양에 대한 표
1단계 2단계 3단계
1단계에서 일곱 개의 모양에 대한 표
1단계 2단계 3단계
1단계에서 여덟 개의 모양에 대한 표
1단계 2단계 3단계
- 이 보고서는 2017년도 교육부의 재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물임 - This work was supported by the Korea Foundation for the Advancement of
Science and Creativity(KOFAC) grant funded by the Korea government(MOE)
