개념완성
미적분과 통계 기본
VITAEDU-ACADEMY
노박사수학교실
목차
제1장 함수의 극한과 연속 / 5 제2장 다항힘수의 미분법 / 45 제3장 다항함수의 적분법 / 107 제4장 확률 / 159 제5장 통계 /201
■ 해답편 / 별책부록
제1장
함수의 극한과 연속
01 함수의 극한 / 7
02 함수의 연속 / 33
01 함수의 극한
8
/ 제1장 함수의 극한과 연속
O
개념완성 01 함수의 극한
1. 함수의 수렴과 발산
(1) 함수의 극한(값)
① 함수 에서 가 와 다른 값을 취하면서
에 한없이 가까워질 때, 의 값이 일정한 값 에 한없이 가까워지면 ⇨ 는 에
⇨ → 일 때 의 → 일 때, → ⇨
② 함수 ( 는 상수) 일 때에는 임의의 실수 에 대하여 다음이 성립한다.
lim
→
(2) 함수의 발산
① 양의 무한대로 발산
의 값이 에 한없이 가까워질 때, 의 값이 한없이 커지면 ⇨ 는
→ 일 때, → ∞ ⇨
② 음의 무한대로 발산
의 값이 에 한없이 가까워질 때, 의 값이 음수이면서 그 절대값이 한없이 커지면
⇨ 는
→ 일 때, → ∞ ⇨
노박사수학 /
9
개념확인문제 01 함수의 극한
1.
다음 함수의 극한을 조사하시오.1) (1)lim
→
(2)
lim
→
(3)
lim
→
(4)
lim
→
(5)
lim
→
(6)lim
→cos
2.
다음 극한값이 옳지 않은 것은?2) ①lim
→
②
lim
→
③
lim
→
④
lim
→
⑤
lim
→
3.
다음 극한을 조사하여라. 3)⑴ lim
x→0
1
x2
⑵ lim
x→1
|x- 1|1
⑶ lim
x→1
{
- (x+ 1)1 2}
⑷ lim
x→1
{
(x- 2)1 2 -3}
10
/ 제1장 함수의 극한과 연속개념완성 01 함수의 극한
2. → ± ∞ 에서의 함수의 극한
(1) 함수의 극한
① 의 값이 한없이 커질 때
함수 의 값이 일정한 값 에 한없이 가까워질 때,
⇨
② 의 값이 음수이면서 그 절대값이 한없이 커질 때
의 값이 일정한 값 에 한없이 가까워질 때,
⇨
(2) → ± ∞ 에서의 발산
→ ± ∞
일 때, 함수 의 값이 양의 무한대나 음의 무한대로 발산할 때에도 각각 다음과 같은 기호를 써서 나타낸다.lim
→∞
∞ lim
→∞
∞
,lim
→ ∞
∞ lim
→ ∞
∞
▶
→ ∞
일 때의 극한은 수열의 극한과 같다.[ 수열 : 정의역이 자연수인 함수 ]
▶
→ ∞
일 때의 극한은
로 치환하면 → ∞
일 때의 극한과 같다.노박사수학 /
11
개념확인문제 01 함수의 극한
4.
다음 함수의 극한을 조사하시오.4) (1)lim
→∞
(2)
lim
→∞
(3)
lim
→ ∞
(4)
lim
→ ∞
5.
5)다음 극한을 조사하여라.⑴
lim
→∞
⑵
lim
→ ∞
⑶
lim
→∞
⑷
lim
→ ∞
6.
다음 극한값을 구하여라. 6)⑴
lim
→∞
⑵
lim
→∞
12
/ 제1장 함수의 극한과 연속개념완성 01 함수의 극한
3. 좌극한과 우극한
(1) 우극한(값)
함수 에서 의 값이 보다 크면서 에 한없이 가까워질 때, 의 값이 일정한 값 에 한없이 가까워지면
⇨ → 일 때 의 →
일 때, → ⇨
(2) 좌극한(값)
함수 에서 의 값이 보다 작으면서 에 한없이 가까워질 때, 의 값이 일정한 값 에 한없이 가까워지면
⇨ → 일 때 의 →
일 때, → ⇨
▶ → ⇨ → ⇨
노박사수학 /
13
개념확인문제 01 함수의 극한
7.
함수 의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 극한값을 구하시오. 7)⑴
lim
→
⑵
lim
→
⑶
lim
→
⑷
lim
→
⑸
lim
→
⑹
lim
→
⑺
lim
→
⑻
lim
→
⑼
lim
→
8.
다음 극한을 조사하시오.8) (1)lim
→
(2)
lim
→
9.
함수 ∣ ∣
에 대하여
lim
→
,
lim
→
라 할 때, 두 상수 에 대하여 의 값을 구하시오. 9)
14
/ 제1장 함수의 극한과 연속개념완성 01 함수의 극한
4. 극한값의 존재
(1) (좌극한)
(우극한) :
lim
→
lim
→
⇨
(2) (좌극한)
≠(우극한) :
lim
→
≠ lim
→
⇨
▶ 좌극한 또는 우극한이 존재하지 않거나, 좌극한과 우극한이 존재하지만 서로 다른 값을 가질 때, 극한값은 존재하지 않는다.
▶ 극한값이 존재하지 않는 경우
좌극한 또는 우극한이 존재하지 않거나, 좌극한과 우극한이 존재하지만 서로 다른 값을 가질 때, 극한값은 존재하지 않는다.
lim
→
∞
lim
→
∞
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
[그림 ]은 극한값이 존재하지 않는 경우이다.
분수함수 [그림 ], 절대값 기호를 포함한 함수 [그림 ], 가우스함수 [그림 ] 극한값이 존재하지 않는 경우가 있으므로 반드시 좌극한과 우극한을 확인해야 한다.
노박사수학 /
15
개념확인문제 01 함수의 극한
10.
함수 의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 중 극한값이 존재하지 않는 것은?10)①
lim
→
②
lim
→
③
lim
→
④
lim
→
⑤
lim
→
11.
함수 의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 [보기]중 극한값이 존재하는 것의 개수는?11)
ㄱ.
lim
→
ㄴ.
lim
→
ㄷ.
lim
→
ㄹ.
lim
→
ㅁ.
lim
→
변
< 보 기 > * 배포 *helpmemath* 작성자 *
① 없다. ② 개 ③ 개 ④ 개 ⑤ 개
12.
함수 에 대하여lim
→
의 값이 존재하기 위한 실수 의 값을 구하시오. 12)(단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.)
16
/ 제1장 함수의 극한과 연속개념완성 01 함수의 극한
5.
꼴의 극한값
(1) 유리함수 ⇨ 분모, 분자를
(2) 무리함수 ⇨ 가 있는 쪽을
▶ 대학과정에서 함수의 극한에 대한 ε-δ 논법
임의의 ε> 0 에 대해 δ> 0 이 존재하여 0 < |x-a| < δ 이면
|f(x) - α| <ε 일 때, lim
x→af(x) = α 라 한다.
곧, 충분히 작은 양수 ε 를 생각한다 하여도 x 와 a 의 차이가 아주 작아지면
f(x) 와 α 의 차이가 ε 보다 더 작아질 수 있을 때, limx→af(x) 를 α 라고 한다는 뜻이다.
노박사수학 /
17
개념확인문제 01 함수의 극한
13.
다음 극한값을 구하시오.13)(1)
lim
→
(2)
lim
→
(3)
lim
→
(4)
lim
→
14. lim
→
의 값을 구하시오.14)
15.
다음 극한값을 구하시오.15)⑴
lim
→
⑵
lim
→
⑶
lim
→
⑷
lim
→
18
/ 제1장 함수의 극한과 연속개념완성 01 함수의 극한
6.
∞
∞
꼴의 극한값
분모, 분자를 각각
▶ (분자의 차수) > (분모의 차수) ⇨
▶ (분자의 차수) = (분모의 차수) ⇨
▶ (분자의 차수) < (분모의 차수) ⇨
▶
→ ∞
일 때의 극한은 수열의 극한과 같다.[ 수열 : 정의역이 자연수인 함수 ]
▶
→ ∞
일 때의 극한은
로 치환하면 → ∞
일 때의 극한과 같다.▶ n=∞ 를 대입
①
∞ ∞ ∞
∞
②
＞
일 때,⋅∞ ∞
∞
∞
＜
일 때,⋅∞ ∞
∞
∞
③
＞
일 때,
∞
∞
＜＜
일 때,
∞
∞
노박사수학 /
19
개념확인문제 01 함수의 극한
16.
다음 극한을 조사하여라. 16)⑴
lim
→∞
⑵
lim
→ ∞
⑶
lim
→∞
⑷
lim
→∞
17. lim
→∞
의 값은? 17)
18. lim
→ ∞
의 값은? 18)
20
/ 제1장 함수의 극한과 연속개념완성 01 함수의 극한
7. ∞ ∞ 꼴의 극한값
(1) 다항함수 ⇨
(2) 무리함수 ⇨
▶
→ ∞
일 때의 극한은 수열의 극한과 같다.[ 수열 : 정의역이 자연수인 함수 ]
▶
→ ∞
일 때의 극한은
로 치환하면 → ∞
일 때의 극한과 같다.▶
lim
→∞
은 ∞ ∞ 꼴이지만 식을 변형하여
lim
→∞
에서 양의 무한대로 발산하는 것을 알 수 있다.이와 같이 다항함수로 주어진 수열은 최고차항으로 묶어내면 극한값은 최고차항에 따라 결정되는 것을 알 수 있다.
▶
lim
→∞
은 ∞ ∞ 꼴이지만 차수가 서로 같아서 계산할 수 없다.이 때는 근호를 없애고 [유리화]
∞
∞
꼴로 식을 변형한다.노박사수학 /
21
개념확인문제 01 함수의 극한
19.
다음 극한값을 구하여라. 19)⑴
lim
→∞
⑵
lim
→∞
⑶
lim
→∞
20. lim
→∞
의 값은?20)
① 12 ② 22 ③ 1
④ 2 ⑤ 2
21.
lim→ ∞
의 값은? 21)① -2 ② -1 ③ 0
④ 1 ⑤ 2
22
/ 제1장 함수의 극한과 연속개념완성 01 함수의 극한
8. ∞ × 꼴의 극한값
∞
∞
∞ × ∞
꼴로 변형한다.
▶
→ ∞
일 때의 극한은 수열의 극한과 같다.[ 수열 : 정의역이 자연수인 함수 ]
▶
→ ∞
일 때의 극한은
로 치환하면 → ∞
일 때의 극한과 같다.▶
lim
→∞
∞
lim
→∞
에서
lim
→∞
이 수렴하므로 ∞ × 꼴이 되어야 한다.따라서,
lim
→∞
lim
→∞
이라 할 수 있다.
노박사수학 /
23
개념확인문제 01 함수의 극한
22.
함수 가lim
→∞
∞ ,
lim
→∞
을 만족 시킬때,
lim
→∞
의 값을 구하시오.22)
23.
함수 가lim
→∞
을 만족할 때,lim
→∞
의 값을 구하시오.23)
24.
다음 극한값을 구하시오.24) (1)lim
→∞
(2)
lim
→ ∞
24
/ 제1장 함수의 극한과 연속개념완성 01 함수의 극한
9. 함수의 극한의 성질
(1) 극한값의 계산
lim
→
lim
→
( 는 상수) 일 때
①
lim
→
(는 상수)
② lim
→
± (복부호동순)
③
lim
→
⋅
④
lim
→
⇦
(2) 함수의 극한의 대소 관계
에 가까운 모든 에 대하여 항상
① , lim
→
lim
→
⇨
② , lim
→
lim
→
⇨
노박사수학 /
25
개념확인문제 01 함수의 극한
25.
다음 극한값을 구하시오. 25) (1)lim
→∞ cos
(2)
lim
→
cos
26.
임의의 실수 에 대하여 함수 가
를 만족한다.
이 때,
lim
→∞
의 값을 구하시오.26)
27. lim
→ ∞
의 극한값을 구하시오. 27)(단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.)26
/ 제1장 함수의 극한과 연속개념완성 01 함수의 극한
10. 합성함수의 극한
(1) 수렴하는 함수의 합성함수
일반적으로 모든 수렴하는 함수의 합성함수의 극한값은 다음과 같다.
lim
→
lim
→
⇨ lim
→
(2) 발산하는 함수의 합성함수
좌극한과 우극한이 다른 경우
lim
→
의 극한은
lim
→
에서 를 밝힌다.
▶ 그래프로 주어진 합성함수의 극한
의 과 에서의 극한값
① 일 때
→
→
□
□
→
→
□
□
② 일 때
→
→
□
□
→
→
□
□
노박사수학 /
27
개념확인문제 01 함수의 극한
28.
두 함수 에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은 ? (단, 는 를 넘지 않는 최대 정수이다)28)ㄱ .
lim
→
ㄴ.
lim
→
ㄷ.
lim
→
[ 보 기 ]
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ，ㄴ
④ ㄱ，ㄷ ⑤ ㄴ，ㄷ
29.
다음은 두 함수 와 의 그래프이다.
이 때 에서 극한값이 존재하는 함수만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?29)
<보기>
ㄱ. ㄴ. ㄷ.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ
30.
두 함수 와 의 그래프가 각각 다음 그림과 같을 때,다음 보기 중 극한값이 존재하는 것을 모두 고른 것은?30)
<보기>
ㄱ.
lim
→
ㄴ.
lim
→
ㄷ.
lim
→
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ
28
/ 제1장 함수의 극한과 연속개념완성 01 함수의 극한
11. 미정계수의 결정 /
꼴 lim
→
(
는 유한확정값) 일 때lim
→
⇨lim
→
⇨ ( 단, ≠
)▶ 증명
lim
→
이고
lim
→
일 때,
lim
→
lim
→
⋅
lim
→
⋅
lim
→
⋅
즉, 이다
▶ 로피탈(L‘Hospital) 정리
함수 f(x), g(x) 가 a 를 포함하는 구간에서 미분가능하고, f(a) = 0, g(a) = 0, g'(x) ≠ 0 일 때,
lim
→ ′
′
가 존재하면
lim
→
이는
∞
∞ 의 꼴 에서도 사용할 수 있다.
노박사수학 /
29
개념확인문제 01 함수의 극한
31.
다음 식을 만족시키는 상수 의 값을 구하시오. 31) (1)lim
→
(2)
lim
→
32.
삼차함수 에 대하여lim
→
이 성립할 때,
의 값을 구하시오. 32)
33.
에 대하여
lim
→
와
lim
→
이 이 아닌 극한 값을 가질 때,
의 값을 구하시오. 33)
30
/ 제1장 함수의 극한과 연속개념완성 01 함수의 극한
12. 미정계수의 결정 /
∞
∞
꼴의 극한값 lim
→∞
( 단,
≠) 일 때 분자, 분모의 차수가 같으면 ⇨
▶ (분자의 차수) > (분모의 차수) ⇨
▶ (분자의 차수) = (분모의 차수) ⇨
▶ (분자의 차수) < (분모의 차수) ⇨
▶
→ ∞
일 때의 극한은 수열의 극한과 같다.[ 수열 : 정의역이 자연수인 함수 ]
▶
→ ∞
일 때의 극한은
로 치환하면 → ∞
일 때의 극한과 같다.▶ 로피탈(L‘Hospital) 정리
함수 가 전 구간에서 미분가능하고,
lim
→∞
∞,
lim
→∞
∞, ′ ≠ 일 때, lim
→ ∞ ′
′ 가 존재하면
lim
→
노박사수학 /
31
개념확인문제 01 함수의 극한
34.
다항함수 가lim
→
lim
→∞
를 만족할 때, 의 값을 구하시오.34)
35.
에 대한 다항식 가lim
→∞
,
lim
→
를 모두 만족할 때,
의 값을 구하시오.35)
36.
에 대한 다항식 가lim
→∞
,
lim
→
를 만족할 때, 상수 의 값을 구하시오.36)
02 함수의 연속성
34
/ 제1장 함수의 극한과 연속개념완성 02 함수의 연속
1. 함수의 연속
(1) 에서 연속
① 에서 함수 가 정의되어 있다. ⇨
② 극한값 lim
→
가 존재한다. ⇨
③ lim
→
⇨
(2) 구간에서의 연속
함수 가 어떤 구간의 모든 점에서 연속이면
는 그 구간에서 연속인 함수라 한다.
▶ 에서 불연속
▶ 구간 ( 는 실수, ＜) 구간 ⇨ ⇨ 구간 ⇨ ⇨ 실수 전체의 집합 ⇨
⇨ ≦ ＜ ⇨
⇨ ＜ ≦ ⇨
∞ ⇨ ＜ ⇨
∞ ⇨ ＞ ⇨
노박사수학 /
35
개념확인문제 02 함수의 연속
37.
37)함수 의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은?<보 기>
ㄱ. 에서 의 극한값이 존재한다.
ㄴ.
lim
→
이다.
ㄷ. 는 개의 점에서 불연속이다.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
38.
함수 의 그래프가 <보기>와 같이 주어질 때, 함수 이 에서 연속이 되는 경우만을 있는 대로 고른 것은?38)<보기>
ㄱ.
ㄴ.
ㄷ.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
39.
오른쪽 그림은 함수 의 그래프이다. 극한값이 존재하지 점의 개수를 , 불연속인 점의 개수를 라 할 때, 의 값을 구하시오.39)
36
/ 제1장 함수의 극한과 연속개념완성 02 함수의 연속
2. 여러 가지 함수의 연속성
(1) 다항함수 : ⇨ (2) 분수함수 :
⇨
(3) 무리함수 : ⇨ (4) 지수함수 : ＞ ≠ ⇨ (5) 로그함수 : log ＞ ≠ ⇨ (6) 삼각함수 : sin cos ⇨ tan ⇨
▶ 여러 가지 함수의 연속성
노박사수학 /
37
개념확인문제 02 함수의 연속
40.
다음 함수의 주어진 점에서의 연속성을 조사하시오. 40) (단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.)(1) ∣ ∣
(2)
(3)
≠
(4)
≠
41.
다음 함수 중 에서 불연속인 이유가 다른 하나는? 41) (단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.)①
≦ ②
∣∣
≠
③ ④
≦ ⑤
≠ 42.
다음 함수의 연속성을 조사하시오.42) (1) (2)
38
/ 제1장 함수의 극한과 연속개념완성 02 함수의 연속
3. 연속함수의 기본 성질
두 함수 가 또는 구간 에서 연속이면, 다음 각 함수도 또는 에서 연속이다.
(1) ±
(2) (단, 는 상수) (3) ⋅
(4)
⇨
▶ [네이버 지식백과] 함수의 연속성
직관적으로 함수의 연속은 그래프가 연결되어 있는 상태를 말한다.
그런데 그것을 수학적 기호로 어떻게 나타내면 좋을까?
y = f(x) 가 x = a 에서 연속 ⇨
이런 방식으로 연속이 정의되기까지는 많은 시행착오가 있었다.
시행착오라고 하는 것은 다양한 형태의 함수를 접하게 되면서 직관적으로는 연속을 정의하기가 힘든 경우를 이야기 할 것이다.
예를 들어보자.
라는 함수의 연속성은 어떻게 이야기 할 수 있을까?
x ≠ 0 에서는 f(x) 의 극한값이 존재하지 않는다.
즉, x = 0 한 점에서만 연속인 함수이다.
이런 현상을 직관적인 연속의 개념으로는 연속인지 불연속인지 구분하기가 쉽지 않다.
이런 함수 때문에 보다 수학적으로 연속을 정의하게 되었고 일 때, 연속이라는 정의로 귀결되었다.
노박사수학 /
39
개념확인문제 02 함수의 연속
43.
두 함수 , 에 대하여 다음 함수 중 실수 전체에서 연속함수가 아닌 것은?43)① ② ③
④
⑤ ․
44.
두 함수 에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?44)ㄱ.
lim
→
와
lim
→
가 모두 존재하지 않으면
lim
→
도 존재하지 않는다.
ㄴ. 가 에서 연속이면 도 에서 연속이다.
ㄷ. 가 에서 연속이면 도 에서 연속이다.
[ 보 기 ]
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
45.
서로 다른 두 다항함수 , 에 대하여 함수
＜
≧
가 모든 실수에서 연속이 되도록 하는 상수 의 개수를 라 하자. <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?45)
ㄱ. , 이면 이다.
ㄴ.
ㄷ. 이면 ∘ ∘ 이다.
[ 보 기 ]
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄴ, ㄷ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
40
/ 제1장 함수의 극한과 연속개념완성 02 함수의 연속
4. lim
→ ∞
을 포함한 함수의 연속
＜ ＞ 인 경우로 나누어 조사한다.
▶ lim
→ ∞
을 포함한 수열의 극한
(1) ＜ ＞ 인 경우로 나누어 조사한다.
① ＞ 일 때 ⇨
② 일 때 ⇨
③ 일 때 ⇨
④ 일 때 ⇨
(2) lim
→∞
의 극한
거듭제곱이 나오면 밑수의 절대값이 가장 큰 지수로 묶어 낸다.
①
＞＞일 때 lim
→∞
lim
→∞
②
＞＞일 때 lim
→∞
lim
→∞
노박사수학 /
41
개념확인문제 02 함수의 연속
46.
함수 lim
→∞
의 그래프를 그리고, 불연속인 점이 있으면 구하시오.46)
47.
함수 lim
→∞
이 모든 실수 에 대하여 연속이 되도록 상수 의 값을 정할 때, 의 값을 구하시오.47)
48.
함수 lim
→∞
이 에서 연속이 되도록 자연수 , 의 값을
정할 때, 의 값을 구하시오. 48)
42
/ 제1장 함수의 극한과 연속개념완성 02 함수의 연속
5. 무한등비급수로 주어진 함수의 연속
무한등비급수가 수렴할 조건을 고려하여 힘수를 정한 다음 연속을 확인한다.
∞
⇨
▶무한등비급수
(1) 무한등비급수
첫째항이 ≠ 이고 공비가 인 무한등비수열
에서 얻은 무한급수
⋯
⋯
………… (*)을 라고 한다.
무한등비급수 : ⋯ ⋯ 에 대하여
(2) 수렴하기 위한 조건 ⇨ (3) 수렴할 때
∞
(4) ≧ 일 때 ⇨
▶ 위 무한등비급수 (*) 의 제 항까지의 부분합을 이라 하면
ⅰ) 일 때 ⋯ 이므로
lim
→∞
⇨
ⅱ) ≠ 일 때 ⋯
에서 ① ⇨ 일 때
lim
→∞
이므로
lim
→∞
lim
→∞
⇨② 일 때
lim
→∞
∞ ≺ 이므로
lim
→∞
또는
lim
→∞
⇨ ④ ≦ 일 때 수열
은 발산하므로lim
→∞
⇨
노박사수학 /
43
개념확인문제 02 함수의 연속
49.
함수
⋯의 그래프를 그리고, 연속성을
조사하시오.49)
50.
구간 에서 정의된 함수
∞ sinsin가 불연속이 되는 의 값을 구하시오.50)51.
실수 전체의 집합에서 정의 된 함수
∞ 에 대하여 함수 가 연속함수가 되도록 하는 자연수 의 최솟값을 구하시오.51)44
/ 제1장 함수의 극한과 연속개념완성 02 함수의 연속
6. 합성함수의 연속
(1) 연속함수의 합성함수
일반적으로 모든 연속함수의 합성함수는 연속이다.
는 에서 연속이고
는 에서 연속 ⇨ ∘ :
(2) 불연속함수의 합성함수
에서 가 연속
❶ 에서 함수 가 정의되어 있다. ⇨
❷ 극한값
lim
→
가 존재한다. ⇨ ❸
lim
→
⇨
▶ 그래프로 주어진 합성함수의 연속
의 과 에서의 연속성 (1) 일 때 ⇨
→
→
→
□
□
□
→
→
→
□
□
□
(2) 일 때 ⇨
→
→
→
□
□
□
→
→
→
□
□
□
노박사수학 /
45
개념확인문제 02 함수의 연속
52.
두 함수 에 대하여 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은? 52) (단, 의 치역은 의 정의역에 포함된다.)<보기>
ㄱ. 와 가 연속함수이면 도 연속함수이다.
ㄴ. 와 가 연속함수이면 도 연속함수이다.
ㄷ. 와 가 연속함수이면 도 연속함수이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
53.
두 함수 , 에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?53)ㄱ.
＜ ≧ , 일 때, ∘ 는 에서 연속이다.ㄴ. ∘ 가 에서 연속이면 는 에서 연속이다.
ㄷ. ∘ 가 에서 연속이면 는 에서 연속이다.
[ 보 기 ]
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
54.
≦ ≦ 에서 정의된 함수 와 의 그래프가 다음 그림과 같다.54)보기의 함수 중 에서 연속인 것을 모두 고르면?
<보 기>
ㄱ. ㄴ. ㄷ.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
46
/ 제1장 함수의 극한과 연속개념완성 02 함수의 연속
7. 연속함수의 정리
(1) 최댓값․최솟값의 정리
함수 가 폐구간 에서 연속이면
함수 는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.
▶ 개구간에서는 최댓값과 최솟값이 존재하지 않을 수도 있다.
(2) 중간값의 정리
함수 가 폐구간 에서 연속이고
≠ 이면, 와 사이의 임의의 값 에 대하여 인 가
와 사이에 적어도 하나 존재한다.
▶ 중간값의 정리의 활용
함수 가 폐구간 에서 연속이고 이면, 방정식 은 에서 적어도 하나의 실근을 가진다
▶ 불연속함수는 최대․ 최소의 정리, 중간값의 정리가 성립하지 않는다.
다음 그림과 같이 폐구간 에서 정의되고 에서 불연속인 두 함수 가 있다.
노박사수학 /
47
개념확인문제 02 함수의 연속
55.
방정식 cos 이 오직 하나의 실근을 가질 때, 다음 중 실근이 존재하는 구간은?55)①
②
③
④
⑤
56.
두 함수 lim
→ ∞
, 에 대하여
방정식 이 단 하나의 실근을 갖는 의 최댓값을 구하시오.56)
57.
연속함수 에 대하여 , , 가 성립한다.방정식 이 구간 , 에서 각각 한 개의 실근을 갖도록 하는 모든 정수 의 값의 합을 구하시오.57)
제3장
다항함수의 미분법
01 변화율과 도함수 / 51
02 미분계수의 활용 / 65
03 증가와 감소 / 79
04 도함수의 활용 / 93
05 속도와 가속도 / 101
01 변화율과 도함수
52
/ 제2장 다항함수의 미분법 평균변화율 평균변화율
낙하 시간 t (초)
낙하거리 r (m)
평균낙하속도 Vav (m/초)
평균가속도 Aav (m/초2)
0 0 - -
1 5 -
2 20
3 45
… … … …
t
t+△t
개념완성 01 변화율과 도함수
1. 평균변화율
(1) 평균변화율
[ 함수
에서
의 증분
에 대한
의 증분
의 비율 ]을
의 값이
에서
까지 변할 때의 ( 구간
에서의 ) 함수
의 평균변화율이라 한다.
(2) 평균변화율의 기하학적 의미
의 평균변화율은 오른쪽 그림에서
▶ 미분의 개념을 이해하기 위해 높은 다리위에서 손에 쥐었던 농구공을 가만히 놓아 떨어뜨리는 것을 예로 들어보자. 공기의 저항이나 바람의 영향 같은 것이 없다고 생각하면 농구공의 자유낙하는 다음과 같은 결과를 얻을 것이다.
표에서 낙하시간이 지남에 따라 나타나는 낙하 거리의 변화율, 즉 평균 낙하 속도를 구할 수 있다. 평균변화율
은 평균속도 Vav 에 해당함을 알 수 있다.
노박사수학 /
53
개념확인문제 01 변화율과 도함수
58.
함수 에서 의 값이 다음과 같이 변할 때의 평균변화율을 구하시오.58)⑴ 에서 까지 변할 때
⑵ 에서 까지 변할 때
59.
함수 에 대하여 의 값이 에서 까지 변할 때의 평균변화율이 일 때, 의 값을 구하시오. 59)(단, )60.
함수 에 대하여 폐구간 에서 평균변화율을 로 나타내시오.60)54
/ 제2장 다항함수의 미분법
평균변화율
⇨
에서의 미분계수 개념완성 01 변화율과 도함수
2. 변화율
(1) 변화율
함수
에 대하여
의 값이
에서
까지 변할 때의평균변화율에서
가
에 한없이 가까워질 때의 극한값을 함수
의
에서의 변화율 또는 미분계수라 한다.함수 의 에서의 미분계수 ⇨
′ ′
(2) 변화율의 기하학적 의미
함수 의 에서의 미분계수 ′ 는 곡선
위의 점 에서의
▶ 평균변화율과 미분계수 이차함수 에 대하여
′
⇩
노박사수학 /
55
개념확인문제 01 변화율과 도함수
61.
함수 에 대하여 의 값이 에서 까지 변할 때의 평균변화율과 에서의 미분계수가 같을 때, 상수 의 합 의 값을 구하시오.61)
62.
함수 에 대하여 의 값이 에서 까지 변할 때의평균변화율과 에서의 미분계수와 같을 때, 의 값을 구하시오. (단, )62)
63.
함수 의 구간 에서의 평균 변화율과 에서의 미분계수가 같을 때, 상수 의 값을 구하시오.63) (단, 56
/ 제2장 다항함수의 미분법개념완성 01 변화율과 도함수
3. 미분계수의 여러 가지 표현 (1) lim
□→ □
□
′
lim
→
lim
→
lim
→
(2) lim
□ → △ □ △
□ △
′△
노박사수학 /
57
개념확인문제 01 변화율과 도함수
64.
함수 에서 ′ 일 때, 다음 극한값을 구하시오.64)⑴
lim
→
⑵
lim
→
65.
미분가능한 두 함수 에 대하여 다음이 성립한다.(가) ′ , (나)
lim
→
이 때, ′의 값을 구하시오.65)
66.
다항함수 에 대하여lim
→
일 때,
lim
→
의 값을 구하시오.66)
58
/ 제2장 다항함수의 미분법 에서의 미분계수
⇨
의 도함수 개념완성 01 변화율과 도함수
4. 도함수
(1) 도함수의 정의
미분가능한 함수
의 정의역에 속하는 임의의 원소
에 대하여 새로운 함수 ′
를 ′
라 정의한다.함수 ′ 를 함수 의 라 하고,
′ ′
로 나타낸다.
의 도함수 ′
를 구하는 것 ⇨ 도함수 ′
를 구하는 계산법 ⇨(2) 도함수의 기하학적 의미
도함수
′
는
의 그래프 위의 임의의 점 에서곡선에 그은 를 뜻한다.
▶ 도함수 기호 ′ 는 『 프라임(prime) 』 로 읽고,
는 ｢ ｣
이는 나눈다는 뜻이 아니라 를 에 관하여 미분한다는 뜻이다.
는 ｢ ｣ 로 읽는다.
