‘나’형
2006학년도 대학수학능력시험 문제지
제 2 교시 수 리 영 역
성명 수험번호 3
1
◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.
◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.
◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시
‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.
◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.
◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.
◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.
1.
×
의 값은?1)
[2점][2006학년도 수능]
①
②
③
④ ⑤
2.
두 행렬
에 대하여 를 만족 시키는 행렬 는?2)[2점][2006학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
3.
등차수열
에 대하여 , 가 성립할 때, 의 값은?3)[2점][2006학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
4.
사건 전체의 집합 의 두 사건 와 는 서로 배반사건이고,∪, P A P B일 때, P A 의 값은?4)
[3점][2006학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
수 리 영 역
2 ‘나’형
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5.
확률변수 가 이항분포 B
을 따를 때, 확률변수 의 표준편차는?5)
[3점][2006학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
6.
다음 세 조건을 만족시키는 영행렬이 아닌 모든 이차정사각행 렬 에 대하여 과 항상같은 행렬은?6) (단, 는 단 위행렬이다.)[3점][2006학년도 수능]
[ 보 기 ] (가)
(나) (다)
① ② ③
④ ⑤
7.
수열
이 모든 자연수 에 대하여 ＜＜ 을 만족시 킬 때,lim
→ ∞ ⋯
의 값은?7)
[3점][2006학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
8.
8) 연속확률변수 가 갖는 값의 범위가 ≤≤ 이고, 확률밀 도함수의 그래프는 다음과 같다.P m ≤ X ≤ P ≤ X ≤ 일 때, 의 값은?
(단, ＜＜이다.)
[3점][2006학년도 수능]
①
②
③
④ ⑤
수 리 영 역
‘나’형 3
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9.
부등식 ＜＜＜을 만족시키는 양수 와 자연수 에 대하여 옳은 것은?9)[3점][2006학년도 수능]
① ＜＜, ＞ ② ＜＜, ＜
③ ＜＜, ＜ ④ ＜＜, ＞
⑤ ＜＜, ＜
10.
오른쪽 그림은 중심이 이 고 반지름의 길이가 각각
,
,
,
,
, 인 개의 반원을 그린 것이다.
세 함수 log
,
, 의 그래프가 반원과 만나는 교점의 개수를 각각 라 하 자. 의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은?10)
(단, ≧ 이고 반원은 지름의 양 끝점을 포함한다.)
[4점][2006학년도 수능]
① ＜＜ ② ＜＜ ③ ＜＜
④ ＜＜ ⑤ ＜＜
11.
양수 에 대하여 log의 지표와 가수를 각각 , 라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?11)[3점][2006학년도 수능]
[ 보 기 ] ㄱ.
ㄴ.
ㄷ. 이면 이다.
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
12.
좌표평면에서 두 점 A , B 에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 점 P 가 나타내는 도형 전체의 길이 는?12)[4점][2006학년도 수능]
(가)
(나) 선분 AB 위의 임의의 점 에 대하여 행렬
는 역행렬을 갖는다.①
②
③
④
⑤
수 리 영 역
4 ‘나’형
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P ≤≤
<표준정규분포표>
13.
두 수열
이 각각
cos
,
일 때,
<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?13)
[4점][2006학년도 수능]
[ 보 기 ]
ㄱ. 모든 자연수 에 대하여 ＜이다.
ㄴ. 모든 자연수 에 대하여 이다.
ㄷ.
∞
∞
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ
14.
어느 공장에서 생산되는 제품의 무게 가 정규분포 N 을 따른다고 하자.와 두 사람이 크기가 인 표본을 각 각 독립적으로 임의추출하였다. 와 가 추출한 표본의 평균이 모두 이상
이하가 될 확률을 오른쪽 표준정규분포표 를 이용하여 구한 것은?14)
[3점][2006학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
15.
그림과 같이 원점 O와 점 A 을 이은 선분 OA을 반지 름으로 하고, 중심각의 크기가 인 부채꼴 OAB을 그린다.점 B에서 축에 내린 수선의 발을 A라 하고, 반지름이 선분 OA이고 중심각의 크기가 인 부채꼴 OAB를 그린다.
점 B에서 축에 내린 수선의 발을 A이라 하고, 반지름이 선 분 OA이고 중심각의 크기가 인 부채꼴 OAB을 그린다.
이와 같이 시계 방향으로 축과 축에 번갈아 수선의 발을 내 리는 과정을 계속하여 얻은 부채꼴 OAB의 호 AB의 길이 를 이라 하자.
∞ 일 때, sin의 값은?15 ) (단, ＜＜이다.)
[4점][2006학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
수 리 영 역
‘나’형 5
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16.
다음은 모든 자연수 에 대하여
⋯
이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.
[ 증 명 ]
(1) 일 때, (좌변) , (우변) 이므로 주어진 등식은 성립한다.
(2) 일 때 성립한다고 가정하면
⋯
이다. 일 때 성립함을 보이자.
⋯
⋯
㈎
⋯ ㈏
㈎
㈐
그러므로 일 때도 성립한다.
따라서 모든 자연수 에 대하여 주어진 등식은 성립한다.
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?1 6)
[4점][2006학년도 수능]
(가) (나) (다)
①
②
③
④
⑤
17.
다음 그림과 같이 크기가 같은 정육면체 모양의 투명한 유리 상자 개로 직육면체를 만들었다.이 중에서 개의 유리 상자를 같은 크기의 검은 색 유리 상자 로 바꾸어 넣은 직육면체를 위에서 내려다 본 모양이 (가), 옆 에서 본 모양이 (나)와 같이 되도록 만들 수 있는 방법의 수는?17) [4점][2006학년도 수능]
(가)
(나)
① ② ③
④ ⑤
단답형 18. lim
→ ∞
⋅
의 값을 구하시오.18 )
[3점][2006학년도 수능]
수 리 영 역
6 ‘나’형
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19.
수열
에서 이고, 수열
은 등비수열일 때, 의 값을 구하시오.19)[3점][2006학년도 수능]
20.
두 양수 에 대하여
log
가 성립할 때, log log의 값을 구하시오.20)
[3점][2006학년도 수능]
21.
방정식 ∙ 의 두 근을 라 할 때, 의 값을 구하시오.21)
[3점][2006학년도 수능]
22.
다음은 확률변수 의 확률분포표이다. 계
P
가 이 순서로 등비수열을 이루고 의 평균이 일 때,
의 값을 구하시오.2 2)
[3점][2006학년도 수능]
23.
각 면에 의 숫자가 하나씩 적혀 있 는 정사면체 모양의 상자가 있다. 이 상자를 던 져서 밑면에 적힌 숫자가 이면 오른쪽 그림의 영역 A에, 숫자가 이면 영역 B에 색을 칠하 기로 하였다. 두 영역에 색이 모두 칠해질 때까 지 이 상자를 계속 던질 때, 번째에 마칠 확률을
라 하자.
의 값을 구하시오.(단, 는 서로소인 자연수이다.) 23) [4점][2006학년도 수능]
수 리 영 역
‘나’형 7
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24.
정의역이 ≤ ≤ 인 함수 log log
log 의 최댓값을 , 최솟값을 이 라 할 때, 의 값을 구하시오.24)
[4점][2006학년도 수능]
25.
어느 물탱크에 서식하고 있는 박테리아를 제거하기 위하여 약품을 투여하려고 한다. 물탱크에 있는 물 mL당 초기 박테리 아 수를 , 약품을 투여한 지 시간이 지나는 순간 mL당 박 테리아 수를 라 할 때, 다음 관계식이 성립한다고 하자.log
(는 양의 상수)
물 mL당 초기 박테리아 수가 × 이고, 약품을 투여한 지
시간이 지나는 순간 mL당 박테리아 수는 × 이 된다고 한다. 약품을 투여한 지 시간 후에 처음으로 mL당 박테리아 수가 × 이하가 되었다. 의 값을 구하시오.25 )
(단, log 으로 계산한다.)
[4점][2006학년도 수능]
오지선다형
26.
어느 학급은 남학생 명, 여학생 명으로 이루어져 있다.이 학급의 모든 학생은 중국어와 일본어 중 한 과목만 수업을 받는다고 한다. 남학생 중에서 중국어 수업을 받는 학생은 명 이고, 여학생 중에서 일본어 수업을 받는 학생은 명이다. 이 학급에서 선택된 한 학생이 중국어 수업을 받는다고 할 때, 이 학생이 여학생일 확률은?2 6)
[3점][2006학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
27.
두 행렬
에 대하여 집합를
∣
은 자연수
,
∣
은 자연수
라 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?27)
[4점][2006학년도 수능]
[ 보 기 ] ㄱ.
∈이면
∈이다.ㄴ.
∈
∈이면
∈이다.ㄷ.
∈
∈이면 행렬
는 역행렬을 갖는다.① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
수 리 영 역
8 ‘나’형
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28.
부터 까지의 홀수 중에서 서로 다른 두 수를 선택할 때, 두 수의 합이 의 배수가 되는 경우의 수는?28)[4점][2006학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
29.
≥ 인 자연수 에 대하여 수열
이 다음 세 조건을 만 족시킨다.(가)
(나) ( ≤ ≤ ) (다) ( ⋯) <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?29)
[4점][2006학년도 수능]
[ 보 기 ] ㄱ.
ㄴ. ⋯
ㄷ. ⋯
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
단답형
30.
다항식 의 전개식에서 의 계수와 다항식 의 전개식에서 의 계수가 같게 되는 모든 순서쌍 에 대하여 의 최댓값을 구하시오.30)
(단, 는 자연수이고, 은 ≥ 인 자연수이다.)
[4점][2006학년도 수능]
※ 확인 사항
문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.
수 리 영 역
‘나’형 9
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2006학년도 수능기출 나형 해설지 1) ②
×
×
×
2) ②
에서
3) ③
는 이 순서로 등차수열을 이루므로
∴
이 때, 공차를 라 하면 이므로
∴
∴
4) ①
두 사건 는 서로 배반사건이므로 P ∩ 또, ∪이므로 P ∪ P 따라서 확률의 덧셈정리에 의해
P ∪ P P P ∩ P P P
∴ P
∴ P P
5) ①
이항분포 B
을 따르는 확률변수 의 표준편차는
× × ∴
6) ⑤
(나)에서
∴ ⋯⋯ ㉠
∴
또,
lim
→∞
lim
→∞
그런데
이므로
∴
lim
→∞
8) ④
P ≤≤ 이고 P ≤≤ 이므로 P ≤≤
이다.
∴
··
∴ (∵ ) 9) ①
주어진 조건에서 ≠ ≠ 이다.
자연수 에 대하여 이므로
또는 일 때, i) 이면 , 이고, ii) 이면 , 이다.
그런데, i), ii)는 모두 주어진 조건에 모순이다.
∴
주어진 조건에서 이므로 이어야 하고, 이 때 이 성립한다.
∴
이상에서 이다.
10) ④ 세 함수 log
,
, 의 그래프는 다음 그림과 같다.
O 1 1 2 3
수 리 영 역
10 ‘나’형
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ㄴ. log log의 가수는 각각 log log이므로
log log이다.
또, ×이므로 log의 가수는 log이다.
∴ log
∴ log log
log log (참) ㄷ. 임의의 양수 에 대하여
log 지표 가수 이므로 log , log 이고 log 이다.
그런데, log log log이므로
이다.
따라서 이면
이다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
12) ④
행렬
가 역행렬을 가질 조건은 ≠ 즉, ≠ 이다.따라서 점 P 는 원점을 지나고 기울기가 인 직선 위에 있지 않은 점이다.
따라서 점 P 가 나타내는 도형은 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가 인 개의 호이다.
O
60〬
따라서 구하는 도형의 길이는 × 〬
〬×
13) ⑤
ㄱ. (반례)
에 를 대입하면
․ (거짓)
ㄴ.
,
이므로
(참) ㄷ.
⋯이므로
∞
⋯이므로
∞
따라서
․
이므로
∞
∞
(참) 이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
14) ②
크기가 인 표본의 표본평균 는 정규분포 N
즉,N 을 따른다.
∴ P
≤ ≤
P
≤
≤
P ≤≤
P ≤≤ P ≤≤
이 때, , 두 사람이 각각 독립적인 표본을 임의추출하였으므로 두 사람이 뽑은 표본의 표본평균이 이상 이하일 확률은 모두 로 같고, 두 사건은 서로 독립이다.
따라서 두 표본평균이 모두 이상 이하일 확률은
× 이다.
15) ⑤
은 반지름의 길이가 중심각의 크기가 인 호의 길이이므로
이다.
또, 는 반지름의 길이가 sin, 중심각의 크기가 인 호의 길이이므로
sin이다.
마찬가지로 sin sin ⋯이다.
따라서 수열
은 첫째항이 이고 공비가 sin인 무한등비수열이다.∴
∞ sin ∴ sin
16) ③
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
수 리 영 역
‘나’형 11
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따라서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은 차례로 이다.
17) ④
주어진 조건을 만족하려면 개의 가로 행에는 각각 적어도 하나의 검은 색 유리상자가 들어가야 하고, 개의 세로 열에도 각각 적어도 하나의 검은 상자가 들어가야 한다.
따라서 개의 가로 행 중에서 개의 검은 색 유리상자가 포함될 개의 행을 택하는 방법의 수는 가지이고, 이 행의 개의 유리 상자 중에서 검은 색 유리상자로 바뀔 개의 상자를 택하는 경우는 수는
(가지)이다.
이제 위의 × 가지 경우의 수 중의 하나가 아래의 그림과 같다고 하자.
a c
b d
이제 중에서 한 행을 택하고 중에서 나머지 한 행을 택하는 방법의 수는 × (가지)이다.
따라서 구하는 방법의 수는 ×
18)
lim
→∞
․
lim
→∞
․
lim
→∞
․
․
19)
,
·
․
․
∴
20)
log log log log , log
log log
따라서 log , log 라 하면
이고 이므로
22)
확률의 합은 이므로
⋯⋯ ㉠
가 이 순서로 등비수열을 이루므로
⋯⋯ ㉡
․
․ ․
⋯⋯ ㉢
㉠, ㉡을 연립하면
,
(∵ )
이것을 ㉢에 대입하면
23)
영역에 색을 칠하게 될 확률은
,
영역에 색을 칠하게 될 확률은
이다.
이 때, 번째 시행에서 마치는 경우는 의 순서로 칠하거나,
의 순서로 칠하게 되는 경우이다.
이 때, 위의 각 경우의 확률은 각각
․
․
,
․
․
이므로
구하는 확률은
∴
24)
log ≤ ≤ 로 놓으면 ≤ ≤ 이고,
log log log
이 때, 일 때 최댓값 ,
일 때 최솟값 를 갖는다.
∴
25)
log
에 × , , × 을 대입하면
log
∴ log
log
따라서 log
에
×, , ×을 대입하면 log
log
수 리 영 역
12 ‘나’형
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남학생 여학생 계
중국어
일본어
계
이제 위의 표를 완성하면 다음과 같다.
남학생 여학생 계
중국어
일본어
계
이 학급에서 선택된 한 학생이 중국어 수업을 받을 사건을 , 여학생일 사건을 라 하면 구하는 확률은
P
∩
27) ③
이므로
∴
은 자연수
,
은 자연수
따라서 자연수 에 대하여
ㄱ.
∈이면
∈ (참) ㄴ.
∈,
∈이면 ≠ 이므로
∉ (거짓) ㄷ.
∈,
∈이면
이다.이 때, ≠ 이므로 역행렬을 갖는다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
28) ⑤
부터 까지의 홀수 중에서 으로 나눈 나머지가
( )인 집합을 라 하면
,
,
이 때, 두 수의 합이 이 되는 경우는 다음과 같다.
i) (의 원소)+(의 원소)인 경우 × × (가지) ii) (의 원소)+(의 원소)인 경우
× (가지)
이상에서 구하는 경우의 수는 (가지) 29) ④
ㄱ. (반례) 이면
≠ (거짓) ㄴ. (가), (나)에서
,
⋯
∴ ⋯ ⋯
(참) ㄷ. (다)에 를 대입하면
,
, ⋯
∴ ⋯ (참) 이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
[참고]
일 때 수열 {}은 다음과 같다.
⋯ 30)
의 전개식에서 의 계수는
의 전개식에서
의 계수는
이 때,
즉,
이어야 하므로
∴
㉠을 만족하는 모든 경우는 다음과 같다.
따라서 구하는 의 최댓값은 이다.
