Brown Bag Seminar (2008. 10. 16)
출자 중앙성, 어떻게 측정할 것인가?
- 아이겐벡터 중앙성의 한계와 대안 - 최충규 (한국경제연구원 연구위원)
□ 중앙성(centrality)의 개념
○ node(actor)들간의 관계(즉, 네트워크)에 있어서 각 node가 얼마나 중심 적인 역할을 하는지를 나타내는 지표
○ 중앙성에는 연결정도 중앙성(degree centrality), 인접 중앙성(closeness centrality), 사이 중앙성(betweenness centrality) 등이 있음.
○ 본 논의에서는 출자와 관련성이 높은 연결정도 중앙성에 초점을 둠.
－ 연결정도(degree): 한 노드가 다른 노드들과 맺고 있는 관계(line 또는 arc)의 수
－ 노드들간의 관계가 방향성을 갖는 경우 연결정도는 외향 연결정도 (outdegree)와 내향 연결정도(indegree)로 구분
□ 예시
<수직구조> <중핵구조> <혼합구조>
2
3
4 1
2
3 4
1
2
3 4
1
○ 외향 연결정도(outdegree) ○ 내향 연결정도(indegree) － 수직구조: (1, 1, 1, 0) － 수직구조: (0, 1, 1, 1) － 중핵구조: (1, 2, 0, 0) － 중핵구조: (0, 1, 1, 1) － 혼합구조: (1, 2, 1, 0) － 혼합구조: (0, 1, 1, 2)
□ 연결정도 중앙성(degree centrality)의 측정
○ 공식: C=(연결정도)/(최대 가능 연결정도) =(연결정도)/(전체 노드 수 - 1)
○ 외향 연결정도 중앙성 ○ 내향 연결정도 중앙성
－ 수직구조: (1/3, 1/3, 1/3, 0) － 수직구조: (0, 1/3, 1/3, 1/3) － 중핵구조: (1/3, 2/3, 0, 0) － 중핵구조: (0, 1/3, 1/3, 1/3) － 혼합구조: (1/3, 2/3, 1/3, 0) － 혼합구조: (0, 1/3, 1/3, 2/3)
□ 일반화
○ sociomatrix:
⋯
⋮ ⋱ ⋮
⋯
○ 계열사 i의 outdegree = i번째 행의 합계:
≠
○ 계열사 j의 indegree = j번째 열의 합계:
≠
□ 예시
<수직구조> <중핵구조> <혼합구조>
○ 외향: (1, 1, 1, 0) (1, 2, 0, 0) (1, 2, 1, 0)
○ 내향: (0, 1, 1, 1) (0, 1, 1, 1) (0, 1, 1, 2)
□ 문제제기 1: 지분율에 대한 고려 無
○ matrix of cross-shareholding:
⋯
⋮ ⋱ ⋮
⋯
∈
○ 계열사 i의 outdegree =
≠
<= 지분율의 가중합 －
는 계열사 j의 자본총계,
는 그룹전체의 자본총계의 합계 －
= (계열사 i의 출자총액)/(그룹전체의 자본총계의 합계) = 계열사 i의 그룹전체에 대한 출자지분율○ 계열사 j의 indegree =
≠
<= j번째 열의 합계 = 계열사 j의 (그룹내) 피출자지분율□ 문제제기 2: 직접적인 출자 건수만 고려할 뿐, ‘어떤 계열사에 출자했 는지’에 대한 고려 無
(1) 대안 1: rank centrality (eigenvector centrality)
○ 계급 중앙성 (rank centrality):
= 계열사i
의 계급 중앙성
⋯
⋮ ⋮ ⋮
⋯
=>
⋮
⋯
⋮ ⋱ ⋮
⋯
⋮
=>
=>
: characteristic equation,
: 항등행렬(identity matrix)=>
: 계급 중앙성 벡터(eigenvalue가 1인 경우의 eigenvector)○ 문제점: 1의 eigenvector가 존재하지 않을 가능성 또는 영(0)의 행진으로 이어질 가능성
(2) 대안 2: Katz status
○ 직접적인 출자뿐만 아니라 간접적인 출자도 고려
⋯
=>
⋯
－ 위 식에서
는 attenuation factor(희석계수) ○ 응용－ sociomatrix x대신 출자행렬 s를 사용
－ 이때 희석계수는 불필요(즉,
= 1). 왜냐하면, 간접출자시 지분율의 곱 자체가 희석과정○ 문제점
－
의 행(출자지분율)은 OK, but
의 열(피출자지분율)은 NOT OK!－ 전술한 수직구조를 예로 들면,
=>
=> 동일 계열사에 대하여 직접출자와 간접출자가 공존하는 경우 직접출 자에 대한 적절한 “희석(attenuation)”이 이루어지지 않음.
(3) 대안 3: 실효지분율 접근방법 (실효 중앙성, Effective Centrality)
○ 각 계열사의 타 계열사에 대한 ‘실효지분율’을 산출함으로써 직접출자에 대하여 적절히 희석(attenuation)
⋯
=>
－
는 출자행렬 s의 i열의 합계로 구성된 열벡터 － .*는 원소간의 곱(element-by-element product)○ 예시
－ 전술한 수직구조를 예로 들면,
=>
○ 실효 중앙성 (Effective Centrality)
－ 계열사 i의 outdegree =
≠
≠
≠
－ 계열사 i의 실효 중앙성 =
= (계열사 i의 실효 출자액)/(출자대상기업의 자본총액의 합계) = 계열사 i의 그룹전체에 대한 실효 출자지분율
○ 실효 위세 (Effective Prestige)
－ 계열사 j의 indegree = 계열사 j의 실효 위세 <=>
≠
=
≠
