2004년 11월 고2 모의고사 수학 정답&해설

• 2교시 수리 영역 •

[가형]

1

④

2

②

3

②

4

①

5

①

6

②

7

⑤

8

③

9

⑤

10

①

11

⑤

12

④

13

③

14

⑤

15

①

16

①

17

④

18

③

19

②

20

④

21

③

22

10

23

2

24

62

25

109

26

13

27

49

28

31

29

6

30

64 1. [출제의도] 로그 정의를 이해하고 식의 값 구하기 loga3 = 52 에서 3=a 5 2_{, 양변을 제곱하면 a}5₌₉  _④ 2. [출제의도] 행렬의 곱셈 성질 이해하기 (A+B)2_=A2_+AB+BA+B2 _이므로 A2_+B2_{= (A+B)}2_{-(AB+BA) 이다. 따라서,} A2_+B2₌

(

1 - 2

)

3 2

(

1 - 23 2

)

-

(

-6 -73 2

)

=

(

-5 -6_{9 -2}

)

-

(

-6 -7_{3 2}

)

=

(

1_{6 -4}1

)

 _② 3. [출제의도] 무한수열의 기본성질을 이용하여 극한 값 구하기 lim n→∞n( n + 1- n - 1) 2_{= lim} n→∞n(2n -2 n 2_{-1 )} = lim n→∞ 2n n+ n2_-1 n으로 나누면, lim n→∞ 2 1+ 1- 1_n2 =1 _② 4. [출제의도] 연립방정식의 해 존재조건 이해하기

(

a+ 5 0

)

2 a

( )

xy =

(

2x-y y

)

⇔

(

a+ 3_{2 a-1}1

)

( )

x_y =

( )

0₀ 이므로 연립방정식을 만족하는 해가 무수히 많으려면

(

a+3 1

)

2 a-1 이 역행렬을 갖지 않아야 한다. 따라서, (a+3)(a- 1)- 2 = 0인 실수 a값의 합 은 -2이다.  _① 5. [출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계 이해하기 Sn=n2이라 하면 an=Sn-Sn- 1(n≧2)이므로 a_n= 2n- 1(n≧2) 그런데 S₁=a₁= 1이므로 a_n= 2n- 1(n≧1) (준식) = (1-3)+(5-7)+⋯+(4005- 4007) = (-2) ×1002 =-2004  _① 6. [출제의도] 지수부등식 문제 계산하기 3± 5 = 6±2 5₂ = 5±1 2 임을 이용하면 주어진 부등식은 22x_{< 2} 32_{이 된다. 밑 2가 1보} 다 크므로 2x_{< 32 ∴}x_{< 34}  _② 7. [출제의도] 조합을 이용하여 경우의 수 구하기 a:5C2×5C2= 10×10 = 100 b:10C4-5C4= 210-5 = 205 c:8C2= 28 ∴c＜a＜b  ⑤ 8. [출제의도] 등비수열의 뜻을 알고 문제해결하기 원C1의 지름의 길이는 1이고 지름의 길이가 등비수 열을 이루므로 공비를 x라 하면 1+x+x2_+x3₌₁₅ x3_+x2_{+x-14 = 0에서} (x-2)(x2_{+3x+7)=0 ∴x= 2} 원C1, C2, C3, C4의 반지름은 12 , 1, 2, 4이고 넓이의 합은 π_{4 +}π_{+4π+16π= 85} 4 π이다. 원 C의 넓이는 π

(

15₂

)

2= 225₄ π 따라서, 어두운 부분의 넓이는 225₄ π_{- 85} 4 π= 35π _③ 9. [출제의도] 귀납적 정의를 이해하고 극한값 계산하기 a_n=1+n

∑

_k- 1_{= 1 (2k- 1)(2}1 _{k+ 1)} = 1+ 12 n

∑

- 1 k= 1

(

1 2k-1 -2k1+1

)

= 1+ 12

｛(

1- 13

)

+

(

1_{3 -}1₅

)

+… +

(

_2n1_{-3 -2n}1_-1

)｝

= 1+₂n_n-1_-1 ∴ lim n→∞an= 32  ⑤ 10. [출제의도] 거듭제곱근의 성질 이해하기 ㄱ. n이 홀수일 때, 양변을 n제곱하면 (n _-5)n_{= (-}n ₅₎n_{=-5 ∴ 참} ㄴ.n이 짝수일 때, n (-5)n_{= 5 ∴ 거짓} ㄷ.n이 홀수일 때,xn_=-5,실수x= n _{-5 ∴ 참} ㄹ.n이 짝수일 때, xn_{=5,실수x=±} n _{5 ∴ 거짓}  _① 11. [출제의도] 같은 것이 있는 순열의 수 구하기 f(a,b) = (a_a+_!bb_!)! 이므로 ㄱ. f(2,3) = 5!_{2!3! = 10 ∴ 참} ㄴ. f(a,b) = (a_a+_!bb_!)! = (b_b+_!aa_!)! =f(b,a) ∴ 참 ㄷ. f(1,2) = 3!_{2! = 3,} f(2,3) = 5!_{2!3! = 10} f(f(1,2),3) =f(3,3) = 6!_{3!3! = 20} f(1,f(2, 3)) =f(1, 10) = 11!_{10! = 11} f(f( 1,2),3)≠f(1,f( 2,3)) ∴ 거짓 ㄹ. 직선 x+y= 6 위의 점 (0. 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 0)에 대 해 f(0, 6) =f(6, 0) = 1, f(1, 5) =f(5, 1) = 6, f(2, 4) =f(4, 2) = 15,

f

(3, 3) = 20이므로 f(a, b) = 15를 만족하는 점은 2개다. ∴ 참  _⑤ 12. [출제의도] 수열의 극한에 관한 성질 이해하기 ① a_n= - 3_{n+1 이라 하면, lim}n n→∞

(

- 3n n+ 1

)

2 = 9 그러나, lim n→∞ -3n n+1 =- 3이다. ∴ 거짓 ② an= 1- 1_n , bn=1+ 1_n 이라 하면 lim n→∞

(

1- 1n

)

= limn→∞

(

1+ 1n

)

= 1이므로 성립하지 않는다. ∴ 거짓 ③ an= -_{n+1 이라 하면}n lim n→∞

|

-n n+1

|

= 1 그러나, lim n→∞ -n n+1 =- 1 ∴ 거짓 ④ lim n→∞nan= limn→∞ n 3n+ 1 (3n+ 1)an = lim n→∞ n 3n+1 limn→∞(3n+1)an= 13 ×6=2 ∴ 참 ⑤ lim n→∞an= 1≠0이므로

∑

∞ n= 1an는 발산한다.∴ 거 짓  _④ 13. [출제의도] 수열의 귀납적 정의 이해하기 (ⅰ) 2 이상의 모든 자연수 n에서 최소의 수는 2이므로 n= 2이다. (ⅱ) - 1_k+ 1 (k+1)2 =- (k+1) 2_-k k(k+1)2 =- k_k2+k+1 (k+1)2 =- k(_kk₍+1)+1_k+1)2 =- 1_{k+1 - k} 1 (k+1)2 이므로 - 1_k+ 1 (k+1)2 + 1_{k+1 =-k(k+1)}1 2  _③ 14. [출제의도] 무한급수의 합 구하는 과정 이해하기 [x]+

[

x_{+ 12}

]

= [2x]이므로

[

34 2n

]

+

[

3 4 2n + 12

]

=

[

2․ 3 4 2n

]

=

[

3 4 2n- 1

]

이다. S_n=

∑

n k= 1

[

34 2k+ 12

]

=

∑

n k= 1

{[

34 2k- 1

]

-

[

3 4 2k

]}

=

(

[34_]-

[

34 2

])

+

(

[

3 4 2

]

-

[

3 4 22

])

+ … +

([

34 2n- 1

]

-

[

3 4 2n

])

=[34_]-

[

34 2n

]

∴ lim n→∞Sn= 3 4_{=81  ⑤} 15. [출제의도] 여러 가지 수열에 관한 문제해결하기 (1) ,(2 , 3) ,(4 , 5 , 6),…에서 101이 들어 있는 군 을 제n군이라 하면 첫째항부터 제n군까지 항의 개수는 1+2+3+ …+n= n(n₂+ 1) n(n- 1) 2 < 101≦ n(n2+ 1) n(n- 1) < 202 ≦n(n+ 1) 을 만족하는 n은 14이다. 13군까지 항의 개수는 13⋅14₂ = 91 따라서, 14군은 92부터 105이고, 짝수번째 군이므로 ①번과 같이 배열된다.  _① 16. [출제의도] 지수함수를 이용하여 문제해결하기 곡선 y= 2⋅3x_{과 기울기 1인 직선이 만나는 두 점} A (a, 2⋅3a_{) , B(b, 2⋅3}b_{) 라 하면} 2( 3b_{- 3}a₎ b-a = 1, b-a= 2( 3b- 3a)이다. AB = (b-a)2_{+ 4(3}b_{- 3}a₎2 = (b-a)2_{+ (b-a)}2 _{= (b-a) 2 = 2 에서} b-a= 1 이므로 b=a+1 따라서, 기울기는 2(3_bb_--3_a a) = 1 , 2(3b_-3a_{) = 1} 2(3a+ 1_{- 3}a_{) = 4⋅3}a_{= 1 , 3}a = 14 , 3b = 34 ∴ 3a₊₃b_{= 1  ①} 17.[출제의도]수열의 성질을 이해하고 최소값 구하기 a x1 _=by1 _=c 1z _=k에서 a=kx_{, b=k}y_{, c=k}z _{x,y,z가 등차수열이므로,} a, b, c는 등비수열을 이룬다. b2_{=ac, 4}a+c 3b ≧ 2 4₉acb2 = 43 (단, 등호는 4₃a_b = ₃c_b 일때 성립한다.)  _④ 18. [출제의도] 상용로그를 활용하여 문제해결하기 현재 가격을 a라 하고, n년후 처음으로 3배 이상이 된다고 하면 a(1+0.15)n_{≧ 3a,} nlog 1.15≧ log 3 n≧ log3_{log1.15 =}0.4771_{0.0607 = 7.8××} 8년 후 처음으로 3배 이상이 된다.  _③ 19. [출제의도] 로그함수의 합성과 그래프 이해하기 f(x) =

{

-2 (x (-2 ≦x＜ -2,x＜ 0)x＞ 2) x ( 0 ＜x≦ 2) log2f(x)=

{

1 (x＜ -2,x＞ 2) log2(-x) (- 2 ≦x＜ 0) log2x ( 0 ＜x≦ 2)  _② 20. [출제의도] 무한등비급수의 합 구하기 27n_x2_-(9n_+2⋅3n_{)x+2 =0} (3n_x-1)(9n_{x-2)= 0 ∴x= 1} 3n, 2₉n l_n= 1 3n- 2₉n 이므로

∑

∞ n= 1ln =

∑

∞ n= 1

(

1 3n - 2₉n

)

=

∑

∞ n= 1 1 3n -

∑

∞ n= 1 2 9n

= 1 3 1- 13 -2 9 1- 19 = 14  _④ 21. [출제의도] 조건에 맞는 순서도 완성하기

∑

50 k= 12 k- 1_{= 1+2+2}2_+…+249_이므로 N= 1, S=1+2 N=2, S= 1+2+22 ……… N=49, S= 1+2+22_+⋅⋅⋅+250 ∴ S← 2S+1,N= 49?  _③ 22. [출제의도] 서로 같은 두 행렬 이해하기 tan θ = 24_k , sec θ = 13_{5 , sin}θ_{= 12}

13 이다. 그러므로 cosθ = 5_{13 , tan}θ_{= sin}θ

cos θ = 125 ∴ k=10  ₁₀ 23. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 계산하기 2 x5_{= 20, 2} y7_{= 5, 2} 5x_÷2 7y_{= 2} 5x- 7y_{= 2}2 이므로 ∴ 5_x- 7_y = 2  ₂ 24. [출제의도] 행렬의 연산법칙으로 문제해결하기 A

( )

4 3 =

( )

54 의 양변에 행렬A를 곱하면 A2

( )

4 3 =A

( )

54 =

( )

3 ,4 A

( )

4 53 4 =

( )

5 44 3 A=

( )

5 4_{4 3}

( )

4 5_{3 4} - 1=

(

8 - 9_{7 - 8}

)

A

( )

3 - 1 =

(

8 -97 - 8

)

( )

- 13 =

( )

2933 ∴ 33+29 = 62  ₆₂ 25. [출제의도] 행렬의 연산을 활용하여 문제해결하기 A=

(

1_{3 - 1 이고}2

)

B=A2_{+A+8E이므로} B=

(

1 2

)

3 -1

(

13 -12

)

+

(

13 -12

)

+8

( )

1 00 1 =

(

16 2_{3 14 따라서,점}

)

O, P(16, 3), Q(2, 14) 를 꼭지점으로 하는 삼각형의 넓이는 1 2 |16×14-3×2| = 109 109 26. [출제의도] 로그함수 그래프의 평행이동 이해하기 y= log32x의 그래프를 x축 방향으로m만큼, y축 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프는 y= log32(x-m) +n이다. 이 때, y= log3(6x- 72) = log36(x- 12) = log33⋅2(x-12) = 1+ log32(x-12)이므로 m=12, n= 1이다. ∴ m+n= 13  ₁₃ 27. [출제의도] 등차수열을 이용하여 미정계수 구하기 f(x) =a2_(x-1)2_{+ 7a(x+ 1)+ 1} x-1,x+1,x+2 로 나눈 나머지 f(1) = 14a+ 1 ,f(-1) = 4a2_{+ 1 ,} f(-2) = 9a2_{- 7a+ 1 가 차례대로} 등차수열을 이루므로 2(4a2_{+ 1) = (14a+ 1) + (9a}2_{-7a+ 1)} a2_{+7a= 0 ,a=- 7(a≠0) ∴a}2_{=49  49} 28. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 지수 계산하기 양수 a를 연산장치에 입력하면 4 _{a a}3 _이 출력되므로 4 _{a a}3 _=a 58 _{에서 a대신} a3 _=a 23_{을 대입하면 (a} 23₎ 58 _=a 1615 _=a mn 이므로 m= 16,n= 15 ∴ m+n= 31  31 29. [출제의도] 원순열을 이해하고 조합의 수 구하기 n가지 색에서 4가지 색을 골라 타일에 칠하는 방 법 의 수는 nC4×(4-1)! = 90 n(n- 1)(n-2)(n- 3) 4! ×3! = 90 n(n- 1)(n-2)(n- 3) 4! = 15 n(n- 1)(n-2)(n- 3) = 6×5×4×3 ∴n= 6  ₆ 30. [출제의도] 중복순열을 이해하고 경우의 수 구하기 화살표 ↗와 ↘의 2개에서 중복을 허용해 6개 뽑는 순열의 수이므로 2∏6= 26= 64  64

[나형]

1

④

2

②

3

②

4

①

₅

_①

6

④

7

②

8

③

9

⑤

10

①

11

⑤

12

④

13

③

14

⑤

15

①

16

③

17

④

18

③

19

⑤

20

④

21

①

22

10

23

2

24

62

25

109

26

98

27

49

28

31

29

165

30

450 1～2. 수리‘가’형 1번～2번과 같음 3. [출제의도] 유리수 지수 계산하기 (25₎ 53 +(54₎- 14_{= 2}3₊₅- 1_{= 41} 5  _② 4～5. 수리‘가’형 4번～5번과 같음 6. [출제의도] 행렬의 실수배를 이해하고 계산하기 xA+yB=C에서

(

2x+y -x+2y

)

5x+3y -4x-y =

(

3 -47 -7

)

두 행렬이 서로 같으므로 x=2, y=-1 ∴ x+y= 1  _④ 7. [출제의도] 행렬의 거듭제곱의 성질 이해하기 A=

(

_{-5 -3 이므로}3 2

)

A2_{=-E, A}4_=E A105_{= ( A}4₎26_⋅A=A 따라서, 구하고자 하는 성분의 합은 -1이다.  _② 8. 수리‘가’형 8번과 같음 9. [출제의도]

∑

정의를 이해하고 최대․최소값구하기 f(x)= |x-1 |+|x-2 | +|x-3 | (0≦x≦4) 0≦x＜1, f(x) = -3x+ 6 1≦x＜2, f(x) = -x+4 2≦x＜3, f(x) =x 3≦x≦4, f(x) = 3x- 6 ∴ 2 ≦f(x)≦ 6 최대값과 최소값 합은 8  _⑤ 10. 수리‘가’형 10번과 같음 11. [출제의도] 상용로그 활용, 최고 자리수 구하기 log103111= 111 log103 = 52.9581이므로 log103111의 지표는 52, 가수는 0.9581이다. log109 = 2 log103 = 0.9542이므로

log10(9×1052)＜ log103111＜ log101053

9×1052_{＜ 3}111_＜1053 _{∴ 3}111_{의 최고자리수는 9}  _⑤ 12. [출제의도] 로그의 뜻을 이해하고 계산하기 log39 = 2 이므로 ㄱ. log316 log34 = 2 log34 log34 = 2 ㄴ . log 1 2 1 8 + log 1 33 = log 2 - 12- 3+ log ₃- 13 = 2 ㄷ. log460 ＞ log416 = 2이므로 거짓 ㄹ. 13 log10 11⋅10 6 11 = 13 log10106=2  ④ 13. 수리‘가’형 13번과 같음 14. [출제의도] 수열의 일반항 구하는 과정 이해하기 a_n+ 1+bn+ 1=5 (an+bn)에서 an+bn은 첫째항 이 a1+b1, 공비가 5인 등비수열이므로 a_n+b_n=5n a_n+ 1-bn+ 1=3 (an-bn)에서 an-bn 은 첫째항이 a1-b1, 공비가 3인 등비수열이므로 a_n-b_n= 3n- 1 _{이를 정리하면 2a} n= 5n+ 3n- 1 ∴a_{n= 12 (5}n_{+ 3}n- 1_{)  ⑤} 15. 수리‘가’형 15번과 같음 16. [출제의도] 귀납적 정의를 이해하고 일반항 구하기 준식을 a_{n+ 1- 52 =3}

(

a_{n- 52}

)

꼴로 변형하면 수열

{

a_{n- 52}

}

는 첫째항이 a1- 52 =-3_{2 ,} 공비가 3인 등비수열을 이루므로 a_{n- 52 =-}3_{2 ⋅3}n- 1 ∴a_{n= 52 +}

(

_{- 32}

)

⋅3n- 1 _따라서, a100-a99=-399  ③ 17～18. 수리‘가’형 17번～18번과 같음 19. [출제의도] 행렬의 뜻 이해하고 행렬로 표현하기 a11= a22= a33=2, a12= a21=4 a13= a31=4, a 23= a 32=3  ⑤ 20. [출제의도] 상용로그를 활용하여 자리수 구하기 2n_{이 일곱자리의 자연수이므로} 6 ≦ log102n＜ 7, _log6 102 ≦n＜ 7 log102 19.93×× ≦ n ＜ 23.25×× 2n_{의 값 중 가장 큰 값은 2}23_이다. ∴ log2223= 23 따라서, 223을 이진법으로 나타내면 24자리수이다.  _④ 21. [출제의도] 역행렬 구하기 2AB-A+2B+E=E, (A+E)(2B-E) = (2B-E)(A+E) =E 이므로 (A+E)- 1_{= 2B-E  ①} 22～25. 수리‘가’형 22번～25번과 같음 26. [출제의도] 상용로그 지표를 활용한 문제해결하기 log10(x-y)의 지표가 4이므로 4 ≦ log10(x-y) ＜ 5 ∴ 104_{≦x-y＜ 10}5_{, 또 log} 10xy의 지표가 3이므로 3 ≦ log10xy＜ 4 ∴ 103≦xy＜ 104 나누면 1＜ x-_xyy ＜ 102 _{∴1＜ 1} y- 1x ＜ 102 ∴ 100-1-1 = 98  98 27～28. 수리‘가’형 27번～28번과 같음 29. [출제의도]

∑

의 성질을 이용하여 식 계산하기 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여 α_{+β = 3, αβ= 1이므로} α2_+β2_{= (α+β)}2_{-2αβ = 7} (준식) =

∑

_k5_{= 1}(k2_{+7k+ 1) = 165  165} 30. [출제의도] 등차수열 성질 활용하여 문제해결하기 15층부터 1층까지 벽돌의 수를 순서대로 a1,a2,a3, … ,a15라 하자. a1= 9 이므로 a_n= 9 + (n- 1)d이다. 탑에 사용된 벽돌 전체의 개수는 a13의 10배이므로

∑

15 k= 1ak= 10a13,

∑

15 k= 1{9+ (k- 1)d} = 10 (9+ 12d) 135+ 15⋅16₂ d-15d= 90+120d 15d= 45, ∴d= 3 , a_n= 3n+6 이므로

∑

15 k= 1(3k+6 ) = 3⋅ 15⋅162 + 6⋅15 = 450  ₄₅₀