복소수
목포해양대학교 김 용 화개요
2차 방정식 근의 공식
일 경우? a ac b b x c bx ax 2 4 0 2 2 − ± − = = + + 0 4 2− ac< b 4 36 2 0 5 2 2 2 − ± − = = + + x x x ? 36 = − 2복소수
복소수 정의
음의 제곱근을 다루기 위해 정의 실수에서는 제곱하여 음의 값을 얻을 수 없음 위에서 정의된 j를 “허수”로 정의 위와 같은 수를 “복소수 (complex number)”로 정의 “실수부 (real part)”와 “허수부 (imaginary part)”1
2=
−
j
j j 6 36 36 2 = × = − 2 3 1 4 6 2 4 36 2 0 5 2 2 2 j j x x x ± − = ± − = − ± − = = + + 3복소수
실수 집합 R
복소수 집합 C
예
( )
z
a
( )
z
b
C
z
R
b
R
a
bj
a
z
=
=
∈
∈
∈
+
=
Im
,
Re
,
,
( ) ( )
1
1
1
2 2 4 2 3=
−
×
−
=
×
=
−
=
×
=
j
j
j
j
j
j
j
4켤레 복소수
켤레 복소수 (complex conjugate)의 정의
의 켤레 복소수는다항 방정식 P(x)=0의 모든 계수가 실수이면,
모든 복소수 해는 항상 켤레 복소수 쌍 (complex conjugate
pair)로 나온다
bj
a
z
=
+
bj
a
z
=
−
2 3 1 4 6 2 4 36 2 0 5 2 2 2 j j x x x ± − = ± − = − ± − = = + + 5켤레 복소수
예
, 에서 하나의 근을 가짐 다른 근은?0
13
19
7
2 3−
+
−
=
x
x
x
x
=
1
(
)
(
)
(
) (
)(
)
(
)
(
)
j
j
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
3
2
4
6
2
52
36
6
,
1
0
13
6
1
13
6
1
1
13
19
6
1
13
19
6
13
19
7
2 2 2 2 2 2 3 2 3±
=
±
=
−
±
=
=
=
+
−
−
=
−
−
−
−
=
+
−
−
−
=
−
+
−
−
=
−
+
−
6복소수 연산
두 개의 복소수가 같을 조건
실수부가 서로 같고, 허수부가 서로 같아야 함덧셈과 뺄셈
두 복소수의 덧셈은 실수부끼리 더하고 허수부끼리 더함 두 복소수의 뺄셈은 실수부끼리 빼고 허수부끼리 뺌yj
j
x
+
6
=
3
−
6
3
−
=
=
y
x
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
j
j
j
j
z
z
j
j
j
j
z
z
j
z
j
z
6
1
2
4
4
3
2
4
4
3
2
7
2
4
4
3
2
4
4
3
2
4
,
4
3
2 1 2 1 2 1−
−
=
−
−
+
−
=
+
−
−
=
−
−
=
+
−
+
+
=
+
+
−
=
+
+
=
−
=
7복소수 연산
곱셈
복소수에 실수를 곱하는 경우 복소수끼리 곱하는 경우(
4 6j)
12 18j 3 − = −(
)(
)
( )
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
z
z
j
z
j
z
2
14
8
8
6
6
1
8
8
6
6
8
8
6
6
4
3
2
2
4
3
,
2
2
2 2 1 2 1+
=
+
+
−
=
−
−
+
−
=
−
+
−
=
+
−
=
+
=
−
=
8복소수 연산
켤레 복소수의 곱
공식
(
)(
)
13
4
6
6
9
4
6
6
9
2
3
2
3
2
3
2=
+
−
+
=
−
−
+
=
+
−
=
−
=
j
j
j
j
j
j
j
z
z
j
z
(
)(
)
2 2 2 2 2b
a
j
b
abj
baj
a
bj
a
bj
a
z
z
bj
a
z
+
=
−
−
+
=
−
+
=
+
=
9복소수 연산
나눗셈
분모의 켤레복소수를 분자와 분모에 곱함(
)(
)
(
)(
)
29 49 8 2 5 18 4 45 10 2 5 2 5 2 5 9 2 2 5 9 2 2 5 , 9 2 2 2 2 2 1 2 1 j j j j j j j j j j z z j z j z + − = + + + + = + − + + = − + = − = + =(
)(
)
(
)(
)
(
) (
)
2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 , y x y x y x j y y x x jy x jy x jy x jy x jy x jy x z z jy x z jy x z + − + + = − + − + = + + = + = + = 10복소수의 그래프 표현
복소평면 (complex plane)
복소수 가 주어졌을 때,
실수부를 수평축으로, 허수부를 수직축으로 좌표를 정함
x축을 실수축 (real axis), y축을 허수축 (imaginary axis)
그림 9.1, 그림 9.2 아르강 도표 (Argand diagram) bj a z= + j z j z j z j z 4 , 2 1 , 5 3 , 2 7 4 3 2 1 − = − − = + − = + = 11
복소수의 극 형식
직각좌표 (Cartesian coordinate)과 극좌표 (Polar
coordinate)
그림 9.3 r : 복소수 z의 절대값 (modulus), |z| θ: 복소수 z의 편각 (argument), arg(z)(
θ θ)
θ θ θ θ θ θ θ sin cos sin cos tan sin , cos sin , cos 2 2 j r jr r z b a r a b r b r a r b r a + = + = + = = = = = = 12복소수의 극 형식
정리
직각좌표 형식 극좌표 형식 켤레 복소수 bj a z= +(
θ+ θ)
= ∠θ =r j r z cos sin a b r b r a b a r z = = = + = = θ θ θ, sin , tan cos 2 2( )
(
( )
( )
)
(
)
( )
θ θ θ θ θ θ θ − ∠ = − = ∠ = + = = − = − + − = − ∠ r bj a z r bj a z z j r j r r , sin cos sin cos 13복소수의 극 형식
예
그림 9.4 그림 9.5( )
− ∠ = − − = = − + = − = 4 2 4 45 2 1 1 1 2 2 π π θ z or r j z( ) ( )
− ∠ = − = = − + − = − − = 4 3 2 4 3 4 5 2 1 1 1 2 2 π π π θ z or r j z 14복소수의 극 형식
극 형식에서의 곱셈
곱셈은 두 복소수의절대값은 곱하고, 편각은 더함극 형식에서의 나눗셈
나눗셈은 두 복소수의절대값은 나누고, 편각은 뺌(
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
{
}
(
)
(
)
{
}
(
1 2)
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos , sin cos θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ + ∠ = + + + = + + − = + + = + = + = r r j r r j r r j r j r z z j r z j r z(
)
(
)
(
1 2)
2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 11 cos sin , cos sin
θ θ θ θ θ θ − ∠ = + = + = r r z z j r z j r z 15
벡터와 복소수
x-y 평면에서의 복소수와 벡터
그림 9.6 그림 9.7, 그림 9.8 두 복소수의 합과 차는 평행사변형의 j z j z1=2+ , 2=1+3 16복소수의 지수형
멱급수 전개
실수 x 대신 복소수 z를 적용 ... ! 4 ! 2 1 cos ... ! 5 ! 3 sin ! ... ! 3 ! 2 1 4 2 5 3 0 3 2 − + − = − + − = = + + + + =∑
∞ = x x x x x x x n x x x x e n n x ... ! 3 ! 2 1 3 2 + + + + = z z z ez 17복소수의 지수형
복소수 극 형식의 변형
(
)
... ! 3 ! 2 1 ... ! 3 ! 2 1 ... ! 5 ! 4 ! 3 ! 2 1 ... ! 5 ! 3 ... ! 4 ! 2 1 sin cos 3 2 3 3 2 2 5 4 3 2 5 3 4 2 + − − + = + + + + = − + + − − + = − + − + − + − = + = θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ j j j j j e j j j r j r j r z j(
)
θθ
θ
j re j r z = + = cos sin 18복소수의 지수형
지수형 (exponential form)
예
(
)
θ θ θ j re j r z = + = cos sin(
)
θ θ θ θ θ θ θ θ θ j j j re j r z j e j e − − = − = − = + = sin cos sin cos , sin cos j e e e ej j j j 2 sin , 2 cos θ θ θ θ θ θ = + − = − −( )
(
)
( )(
)
(
)
( )
(
(ω φ))
φ ω ω φ ω φ φ ω + + = + + + = + = t j t j e A t f t j t e t A t f Re sin cos cos 19드무아브르 정리
드무아부르 정리 (De Moivre’s Theorem)
(
cosθ+ jsinθ)
n=cosnθ+ jsinnθ, n∈N(
)
(
) (
)(
)
(
)
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 2 sin cos sin 2 , 2 cos sin cos 2 sin 2 cos cos sin 2 sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos 1 sin 1 cos sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 1 = = − + = + − = + + + = + + = + + = + j j j j j j j j j j 20드무아브르 정리
드무아부르 정리 (De Moivre’s Theorem)
(
θ θ)
θ θ q p j q pjsin p q cos sin
cos + / = +
(
)
3 sin 3 cos sin cos sin cos 1/3 3 θ θ θ θ θ θ j j j + = + = + 21드무아브르 정리
예제
1의 세제곱근을 찾는 것 1의 극 형식 그림 9.16 절대값은 1, 편각은 0, ±2π, ±4π, … 1 3= z(
cos2nπ jsin2nπ)
1 1= +(
cosθ jsinθ)
r z= + 22드무아브르 정리
그림 9.17 n=0일 때 n=1일 때 n=2일 때 n>2일 때는 위의 해가 반복됨(
θ j θ)
nπ j nπ rz3= 3 cos3 + sin3 =cos2 + sin2 1 , 1 3= ∈ → = r R r r Z n n n → = ∈ = , 3 2 2 3θ π θ π 3 2 sin 3 2 cos nπ j nπ z= + 1 0 sin 0 cos + = = j z 2 3 2 1 3 2 sin 3 2 cos j j z= π + π =− + 2 3 2 1 3 4 sin 3 4 cos j j z= π + π =− − 23
