복소수와 벡터

복소수와 벡터

• 복소수

• 허수란?

𝑥² = 1 → 𝑥 = ±1

𝑥² = −1 → 𝑥 = ± −1

이 때 −1 = 𝑖 라 하고 허수라 한다.

그러므로

𝑥² = −𝑎 𝑎 > 0 → 𝑥 = ± 𝑎𝑖

정의 1) a, b 가 실수일 때 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖(단, 𝑖 = −1)

인 모양의 수를 복소수라 하고, a를 실수부분, b를 허수부분이라 한다.

보기 1) 복소수 𝑧 = 6 에서 실수부분은 6이고 허수부분은 0이다.

정의 2) 두 복소수 𝑧₁ = 𝑎₁ + 𝑏₁𝑖, 𝑧₂= 𝑎₂ + 𝑏₂𝑖에서 𝑎₁ = 𝑎₂, 𝑏₁ = 𝑏₂ 일 때

두 복소수는 서로 같다고 한다.

보기 2) 𝑥 + 𝑦𝑖 = 5 − 3𝑖 일 때 𝑥 = 5, 𝑦 = −3이다.

문제 1) 다음 방정식을 만족하는 실수 x, y를 구하라.

𝑖𝑥² + 𝑖 + 1 𝑥 − 3𝑖𝑦 + 𝑖 − 1 = 0

(1) 사칙연산

I. 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖 II. 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖 III. 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 𝑖 IV.^{(𝑎+𝑏𝑖)}

(𝑐+𝑑𝑖) = (𝑎+𝑏𝑖)(𝑐−𝑑𝑖)

(𝑐+𝑑𝑖)(𝑐−𝑑𝑖) = ^{𝑎𝑐+𝑏𝑑}

𝑐²+𝑑² + ^{𝑏𝑐−𝑐𝑑}

𝑐²+𝑑²𝑖

문제 2) 𝑧₁ = 2 − 3𝑖, 𝑧₂= 5 + 2𝑖 일 때 𝑧₁+ 𝑧₂, 𝑧₁− 𝑧₂, 𝑧₁∙ 𝑧₂,^𝑧1

𝑧₂ 를 계산하 라.

문제 3) 다음을 계산 하여라.

^1+𝑖

2−𝑖

(1 − 𝑖)³

공액복소수

• 공액복소수란?

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 → 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖

(2) 공액복소수의 성질

I. 𝑧₁ + 𝑧₂ = 𝑧 + 𝑧₁ , . 𝑧_{2 1} − 𝑧₂ = 𝑧 − 𝑧_{1 2} II. 𝑧₁ ∙ 𝑧₂ = 𝑧 ∙ 𝑧₁ , ₂

III. 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖일 때, z + 𝑧 = 2𝑎, 𝑧 − 𝑧₁ = 2𝑏𝑖 ₂

문제 4) 𝑧 = 2 + 3𝑖일 때 𝑧 + 𝑧 와 𝑧 ∙ 𝑧 를 구하라.

문제 5) 𝑧 = 5 + 4𝑖 일 때 𝑧 − 𝑧 와 ^𝑧

𝑧 를 구하라.

문제 6) 𝑧₁ = 6 + 7𝑖, 𝑧₂= 4 − 3𝑖, 𝑧₂= 2 + 5𝑖 일 때 다음을 계산하라.

a) 𝑧₁ 𝑧₂ b) (𝑧₁+ 𝑧₂) + 𝑧₃ c) 𝑧₁ + ( 𝑧₂+ 𝑧₃)

복소수 평면

• 복소수 평면(또는 Gauss 평면)이란?

복소수와 평면의 각점이 1:1 대응할 때 x축을 실수축, y축을 허수축으로 하는 평면

문제 7) 복소수 𝑧₁ = 2 + 3𝑖, 𝑧₂= −2 + 2𝑖, 𝑧₃= 1 + 3𝑖, 𝑧₄= −3 − 3𝑖 를 복소수 평면 위에 나타내 라.

문제 8) 다음 복소수를 복소수 평면 위에 나타내어라.

2 + 4𝑖, 2 − 3𝑖, −2 + 3𝑖, −4 − 5𝑖

• 복소수의 절대값이란?

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖라 하면 절대값은 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 이다.

𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎² + 𝑏²

문제 9) 다음 복소수의 절대값을 구하라.

a) 2 + 3𝑖 b) 4 − 5𝑖 c) 3 − 2𝑖

문제 10) 𝑧_1∙𝑧 = 𝑧₂ ² = 𝑧 ² 임을 밝혀라.

문제 11) 𝑧₁ + 𝑧₂ ² + 𝑧₁ − 𝑧₂ ² = 2( 𝑧₁ ² + 𝑧₁ ²) 임을 증명하라.

문제 12) 𝑧₂ = ^2−𝑧1

1−2𝑧₁, 𝑧₁ = 1 인 관계가 있다. 이 때 𝑧₂ ∙ 𝑧 를 구하₂ 라.

복소수의 극형식

• 복소수를 그 절댓값(r)과 편각(θ)의 크기를 써서 나타내는 식

𝑟² = 𝑎² + 𝑏², 𝑡𝑎𝑛𝜃 = ^𝑏 𝑎 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑏 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃)

문제 13) 𝑧 = 1 + 3𝑖 를 극형식으로 나타내라.

문제 14) 2 − 2𝑖, −𝑖 를 극형식으로 나타내라.

• 드.므와브르 (𝐷𝑒 𝑀𝑜𝑖𝑣𝑟𝑒)의 정리

𝑧₁ = 𝑟₁ 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃₁ , 𝑧₂ = 𝑟₂ 𝑐𝑜𝑠𝜃₂ + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃₂ 일 때, 𝑧_1∙𝑧₂ = 𝑟₁𝑟₂(𝑐𝑜𝑠𝜃₁ + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃₁)(𝑐𝑜𝑠𝜃₂ + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃₂)

=𝑟₁𝑟₂{ 𝑐𝑜𝑠𝜃₁𝑐𝑜𝑠𝜃₂ − 𝑠𝑖𝑛𝜃₁𝑠𝑖𝑛𝜃₂ + 𝑖(𝑠𝑖𝑛𝜃₁𝑠𝑖𝑛𝜃₂ + 𝑐𝑜𝑠𝜃₂𝑠𝑖𝑛𝜃₂) =𝑟₁𝑟₂{cos (𝜃₁ + 𝑐𝑜𝑠𝜃₂) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜃₁ + 𝜃₂)

𝑧 _1∙ 𝑧 _2∙ 𝑧 ₃ = 𝑟 ₁ 𝑟 ₂ 𝑟 ₃ {cos 𝜃 ₁ + 𝜃 ₂ + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃 ₁ + 𝜃 ₂ } 𝑐𝑜𝑠𝜃 ₃ + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 ₃

=𝑟 ₁ 𝑟 ₂ 𝑟 ₃ {cos 𝜃 ₁ + 𝜃 ₂ + 𝜃 ₃ + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃 ₁ + 𝜃 ₂ + 𝜃 ₃ }

• 𝑧_1∙𝑧_{2∙∙∙∙}𝑧_𝑛 = 𝑟₁𝑟_2∙∙∙𝑟_𝑛{cos 𝜃₁ + 𝜃₂ + ⋯ + 𝜃_𝑛 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃₁ + 𝜃₂ + ⋯ 𝜃_𝑛 }

만약 n 이 양의 정수이고,

𝑟₁ = 𝑟₂ = ⋯ . . = 𝑟_𝑛, 𝜃₁ = 𝜃₂ = ⋯ . . = 𝜃_𝑛 이면 {𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 }^𝑛= 𝑟^𝑛{𝑐𝑜𝑠𝑛𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑛𝜃}

^𝑧1

𝑧₂ = ^{𝑟1(𝑐𝑜𝑠𝜃1+𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃1)}

𝑟₂(𝑐𝑜𝑠𝜃₂+𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃₂)

= ^{𝑟1(𝑐𝑜𝑠𝜃1+𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃1) (𝑐𝑜𝑠𝜃2−𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃2)}

𝑟₂(𝑐𝑜𝑠𝜃₂+𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃₂)(𝑐𝑜𝑠𝜃₂−𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃₂)

= ^{𝑟1 𝑐𝑜𝑠𝜃1𝑐𝑜𝑠𝜃2+𝑠𝑖𝑛𝜃1𝑠𝑖𝑛𝜃2 +𝑖 (𝑠𝑖𝑛𝜃1𝑐𝑜𝑠𝜃2−𝑐𝑜𝑠𝜃1𝑐𝑜𝑠𝜃2)}

𝑐𝑜𝑠²𝜃₂+𝑠𝑖𝑛²𝜃₂ = ^𝑟1

𝑟₂ {cos 𝜃₁ − 𝜃₂ + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜃₁ − 𝜃₂)

만약 𝑧₁ = 1 = cos 0 + 𝑖𝑠𝑖𝑛0, 𝑧₂ = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃) 이면 ¹

𝑧₂ = ¹

𝑟 {cos −𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛(−𝜃) 𝑧^−𝑛 = ¹

𝑧^𝑛 = ¹

𝑟𝑛(𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃+𝑖𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜃)

= ¹

𝑟^𝑛 {cos −𝑛𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 −𝑛𝜃 } 문제 15) (1 + 𝑖)¹⁰⁰ 을 계산하여라.

문제 16) 다음을 계산하라.

(¹

2 + ³

2 𝑖)⁶ ( ^1+𝑖

3+𝑖)¹²

복소수의 n제곱근

문제 17) 𝑧³ = 1 을 풀어라.

𝑧

= 𝑟

𝑐𝑜𝑠3𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛3𝜃 = 1 ∙ (𝑐𝑜𝑠0 + 𝑖𝑠𝑖𝑛0) ∴ 𝑟

= 1, 3𝜃 = 2𝑛𝜋 + 0 𝑛 = 0, ±1, ±2, …

𝑟 = 1, 𝜃 =

𝑛𝜋

^{𝑛 = 0, 𝑧}

= 𝑐𝑜𝑠0 + 𝑖𝑠𝑖𝑛0 = 1 𝑛 = 1, 𝑧

= 𝑐𝑜𝑠 2

3 𝜋 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 2 3 𝜋

3𝜋 + 𝑖𝑠𝑖𝑛4 3𝜋

문제 18) 𝑧

= 𝑖 을 풀어라.

문제 19) 𝑧

= −1 을 풀어라 .

• 일반적인 복소수

𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 , 𝑧₀ = 𝑟₀ 𝑐𝑜𝑠𝜃₀ + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃₀ 이면 𝑧^𝑘 = {𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 } ^𝑘

= 𝑟^𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑘𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑘𝜃) = 𝑟₀ 𝑐𝑜𝑠𝜃₀ + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃₀

∴ 𝑟 = 𝑟₀^𝑘1, 𝑘𝜃 = 2𝑛𝜋 + 𝜃₀, 𝜃 = ^{2𝑛𝜋+𝜃0}

𝑘

𝑧 = 𝑟₀(𝑐𝑜𝑠 ^{2𝑛𝜋+𝜃}_𝑘 ⁰ + 𝑖 𝑠𝑖𝑛^{2𝑛𝜋+𝜃}_𝑘 ⁰)(단, n = 0, 1, … . . , 𝑘 − 1) 문제 20) 다음 방정식을 풀어라.

𝑧⁶ = 1 𝑧⁴ = 8(−1 + 3 𝑖)