1 장 벡터 해석

(1)

제 1강. 벡터해석 1

(2)

1 장 벡터 해석

1-1



1) 전기회로와 자기회로

(3)

2)

- 벡터 분석은 공간의 문제에 대한 수식 유도를 간결하게 처리할 수 있도록 고안 - 전기자기학, 물리학 등 기타 학문에 사용되어 문제를 용이하게 처리

1-2 스칼라량과 벡터량



1) 스칼라량 : 크기

- 온도, 길이, 체적, 에너지, 일, 전위, 전하, 속력 등

- 표시 : A, B, C,



^







^







^



2) 벡터량 : 크기와 방향

- 힘, 속도, 가속도, 전계, 자계, 변위 - 표시 : A, B, C (볼드체),   

(4)

1-3 표시



(1) 단위벡터와 기본벡터

- 벡터량 표시 : 벡터의 기준방향에 대해 어떤 방향으로 얼마만큼의 크기로 표시 - 단위벡터 (ao) : 크기가 1이고, 방향만을 나타내는 벡터

- 벡터 A를 단위벡터로 표현하면,

a_  

A  A  a_ ··· (1-1)

a

P

0

q

1-1 벡터의 표시

(5)

- x, y, z 기본벡터(방향 표시)를 i, j, k라 하고 각 축의 스칼라 값을 _^_^_라 하면, 벡터와 단위벡터는

A _i_j _k ··· (1-2)

a_ 

A  

_

i 

_

j  

_

k ··· (1-6)

z

y

x

O a

b g

A

iA_x

jA_y kA_z

1-2 직각 좌표계의 기본벡터

- 스칼라 A는 벡터 A의 크기이므로,

  A  



^^

_^^_^ ··· (1-3)

(6)

- A와 각 축 (x, y, z) 사이의 각을    라 하면, 벡터의 각 축의 방향성분(크기)은



_

 cos_ ^ cos



_

 cos_ ^ cos ··· (1-4)



_

 cos_ ^ cos

- 여기서, cos cos cos를 벡터 A의 방향여현이라 하며, 벡터 각 축의 방향성분을 나타냄

  cos  

_

 



^^

_^^_^

_

  cos  

_

 



^^

_^^_^

_

··· (1-5)

  cos  

_

 



^^

_^^_^

_

- 벡터 A의 단위벡터를 방향여현으로 나타내면, a_ 

A  

_

i 

_

j  

_

k ··· (1-6)

a_  cos cos cos ··· (1-7)

(7)



점 A(2, -1, 2)[m]로 향하는 벡터 A의 단위 벡터와 방향 여현 l, m , n을 구하시오.



[풀이] 원점에서 점 A(2, -1, 2)에 이르는 성분 벡터 A는 A=2i-j+2k이므로, A의 크기는   A  



^^

_^^_^ ··· (1-3)

A  



^_^_{  }^_{ }^ _{ }

이므로, 단위 벡터 a0는

a_  A│

A  

 i 

 j  

 k

A의 방향여현은

  cos  │A │

_

 



  cos  │A │

_

  



  cos  │A │

_

 



1.1

(8)



A(1, 2, 3)에서 점 B(-3, 6, -4)로 향하는 단위벡터를 구하여라.



[풀이] 점 A, B를 표시하는 벡터는

A  i j  k B   i j  k

가 된다. 따라서 점 A에서 B로 향하는 변위벡터 AB는 B-A이므로 AB     i   j     k   i j  k

단위벡터는

a_   A

이므로 점 A에서 B로 향하는 단위벡터는

a_  AB │

AB  



^ ^ ^  ^

 i j  k

  

 i 

j   k

1.2

(9)

1-4 가감법



- 두 벡터의 합은 평행사변형의 법칙과 삼각형의 법칙을 따름

A A A

B

B C C

C

(a) (b) (c)

1-4 두 벡터의 합

- 두 벡터의 합은 교환 법칙, 결합법칙 및 분배법칙이 성립

A B  B A  C ··· (1-8)

A B  C  A B C ··· (1-9)

A B  A B ··· (1-10)

(10)

- 벡터의 차는 벡터 A와 벡터 B의 방향을 반대로 한 것의 합 A B  A  B

A

B

A-B A

B A-B

-B

1-5 두 벡터의 차

- 두 벡터를 직교좌표계 성분으로 합과 차를 나타내면 A _i_j _k

B _i_j _k ··· (1-11) A± B  _±_i _±_j  _±_k ··· (1-12)

(11)



점 A(2, -3, 1)[m]에서 점 B(3, 1, 2)[m]의 위치로 이동하였을 때 변위 벡터를 구하라.



[풀이] 변위벡터 RAB는 B-A이므로

R_AB  B A  i j  k  i j  k

   i   j    k  i j  km 

A점에서 B점까지 이동한 거리 | RAB |는

 R_AB  



^^ ^ ^  ^ m 

1.3

(12)

1-5 스칼라적(scalar product, 내적)



(1) 두 벡터의 스칼라적

- 두 벡터 A, B의 스칼라 곱 또는 내적은 A와 B의 코사인 각과 두 벡터의 크기의 곱으로 정의

A․B  A ․B cos  cos ··· (1-13) - 스칼라 곱은 교환법칙이 성립

∙^ ∙^    ··· (1-14)

Acosq q

x y

A

B

1-6 벡터의 내적

(13)

(2) 사이의 관계

- 그림 1-6에서 각 벡터성분을 직각 좌표계로 표시하면

 ^ ___

 ^ ___ ··· (1-15)

- 한편 직각 좌표상에서 단위벡터 사이에는 다음과 같은 성질을 갖는다.

․  ․  ․   ×  × cos°  

․  ․  ․   ×  × cos°   ··· (1-16) - 따라서 두 벡터의 스칼라곱을 표시하면

^․ ^{ }___․___

 ․__ ․__ ․__  ․__ ․__ ․__

 ․__ ․__  ․__ ··· (1-17)

- (1-17)에 (1-16)의 단위벡터 관계식을 적용하면,

^․ ^ __^__^__ ··· (1-18)

(14)

- 벡터 사이의 각

cos  A ││B │

A․B ^ A․B  A ․B cos  cos

_{ }



^^

_^^_^⋅



^^

_^^_^

__^__ ^__

··· (1-19)

- 어떤 물체에 힘 F가 일정하게 작용하여 직선 변위 l을 일으킬 때, 힘 F가 한 일은   ∙ 

- 따라서 힘 F가 행한 전체적인 일은

W 



^^{cos  }



^^․ ··· (1-20)

(15)



F=5i+6j+7k[N] 힘으로 물체를 점 A(1, 2, 3)[m]에서 점 B(5, 3, 4) [m]로 이동시킬 때 힘이 행한 일을 구하시오



[풀이] 점 A, B의 위치 벡터는 각각

A    m  B    m 

로 표시되며 이동거리를 나타내는 변위벡터는

  ^    

따라서 힘이 행한 일은 스칼라곱으로 계산 가능하며, 식(1-20)에서

 ^∙     ․  

       J 

1.4

(16)



A=-7i-j, B=-3i-4j 벡터가 이루는 각은 몇 도인가?



[풀이] A․B  A ․B cos  cos

cos   ^{ }^

^․

 



^^



^^

__^__

_{ }



^_{ }^_{  }^



^_{ }^_{  }^

  ×      ×  

_{ }

^ × 

  

 ^

  ^



^{  cos}^{ }_

^

  °

1.5

(17)

※ 참고문헌

1. 최수열 외 4인 공저, “전기/전자/통신 공학도를 위한 현대전기자기학”, 복두출판사