3.4 벡터의 성분과 단위 벡터

3장. 벡터 (Vectors)

3.1 좌표계

3.2 벡터양과 스칼라양 3.3 벡터의 성질

3.4 벡터의 성분과 단위 벡터

1

3.1 좌표계

3.1 좌표계

직교 좌표계: 평면의 한 점을 (x, y)로 표시

평면 극좌표계: 평면의 한 점을 (r, θ)로 표시



 sin cos r

y

r x





2 2

tan

y x

r

x y







☆ 예제 3.1 극좌표

m y

x, ) ( 3.50, 2.50)

(    의 극좌표 (r, θ)?

Sol

m y

x

r  ²  ²  (3.5)²  (2.5)²  4.3 714

. 5 0

. 3

5 .

tan 2 



 

 m

m x

 y



  36

Θ =36°는 1사분면의 각, 실제 θ 는 3-사분면 이므로 답 작성시에는 Θ =-36° (3-사분면)

or Θ =36°+180°=216°

, , B

A

B A,

벡터의 표시 :

벡터의 크기 표시:

• 스칼라와 벡터

벡터의 그림 표시:

3.2 벡터량과 스칼라량

3.2 벡터량과 스칼라량

스칼라량(scalar quantity): 적절한 물리적 단위는 갖지만, 방향성이 없 는 하나의 단순한 수치로 완전하게 정의할 수 있다.

예: 길이, 부피, 질량, 속력, 시간 간격, 온도 등

벡터량(vector quantity): 스칼라량과 같이 적절한 물리적 단위를 가지 며, 크기와 방향을 동시에 갖는 양으로 정의한다.

예: 속도, 변위, 가속도, 힘, 운동량 등

3.3 벡터의 성질

(Some Properties of Vectors)

3.3 벡터의 성질

(Some Properties of Vectors)

▶ 벡터의 동등성(Equality of Two

)

▶ 벡터의 동등성(Equality of Two

)

두 벡터 A와 B가 동등하다는 것은 크기가 같고 방향이 같음을 의미한다

▶ 벡터의 덧셈 (Adding

Vectors

▶ 벡터의 덧셈 (Adding

Vectors

A

B

R R

B A

R B

A  

ㆍ평행사변형 법칙 ㆍ머리 꼬리 붙이기

A B

B

A   

) (

)

( A  B  C  A  B  C

o 결합법칙 (Associative Law)

 영벡터 – 크기가 영인 벡터

 0

 B A

+

o 교환법칙 (Commutative Law)

▶ 음의 덧셈 (Negative of a Vector)

▶ 음의 덧셈 (Negative of a Vector)

▶ 벡터의 뺄셈(Subtracting

Vectors

▶ 벡터의 뺄셈(Subtracting

Vectors

벡터 A에 더했을 때 그 합이 영이 되는 벡터

벡터 A와 -A는 크기는 같지만 서로 반대방향을 가리킨다

0 )

(  

 A

A ^{A -A}

) Α ( B

B

A    

▶ 벡터와 스칼라의 곱 (Multiplying a Vector by a Scalar)

▶ 벡터와 스칼라의 곱 (Multiplying a Vector by a Scalar)

▷B의 방향:

m<0 이면 A의 반대 방향

A 2A -2A

B A 

m

 A

 m B

A A

A   2

(예: )

▷B의 크기:

m>0 이면 A의 방향과 같다.

휴가 여행 예제 3.2

자동차가 북쪽으로 20.0 km 간 후에, 다시 북서쪽 60°의 방향으로 35.0 km를 더 갔다.

자동차의 합성 변위의 크기와 방향을 구하 라.

Θ=180°-60°=120°이므로

북쪽으로부터 측정한 R의 방향을 구하기 위하여 사인 법칙을 이용하면

B A R

  







cos

A

R_x

 

 





sin

   















cos 2

) 180

cos(

2

sin cos

cos 2

sin cos

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2 2

2 2

AB B

A

B AB

A

B B

AB A

B B

A R

R

R _{x y}



































1 cos

sin

) ²  ²  cf



) cos 180

cos(

)    cf

크기

방향



 



sin

) 180

sin sin(

sin

R B

R B R

B R

B R

R_{y y}













 ^{cf ) sin(180)  sin}

보충)

3.4 벡터의 성분과 단위 벡터

3.4 벡터의 성분과 단위 벡터

벡터 덧셈의 그래프에 의한 방법은 정밀도가 요구되거나 3차원 문제를 다 루는 경우에 있어서는 부적합

좌표계와 연관된 성분의 개념을 도입하여 대수적인 방법으로 해결 가능.

y

x

A

A

A  





sin cos A

A

A A

y x





2 2

y

x

A

A

A  

o Vector의 성분 분해 (2차원)

) (

tan ¹

x y

A

 A



▶ 단위벡터 (Unit Vectors)

▶ 단위벡터 (Unit Vectors)

단위 벡터: 차원이 없고 크기가 1인 벡터

주어진 방향을 표시하기 위해 사용

1 ˆ |

| ˆ |

| ˆ |

| i  j  k 

) cos

ˆ ( A A 

A



 i A

) sin

ˆ ( A A 

A



 j

A

j i

A A

A

ˆ ˆ

y

x

A

A 







벡터를 좌표 성분 벡터의 합으로 표현 가능!

x x x 

 

ˆ

o Vector 성분의 합 (2차원)

B A R

  





y y

y A B

R

 

x x

x A B

R

 

j i

j j

i i

j i

j i

B B

A A

B A

R

y x

y x

)ˆ ˆ (

) (

ˆ) ( ˆ

ˆ) ( ˆ

ˆ) ( ˆ

ˆ) ( ˆ

) (

) (

y x

y x

y y

x x

y x

y x

B B

A A

B A

B A

B B

A A





































성분으로 분해 성분으로 표시

교환, 결합법칙 덧셈의 정의

 ²

 

2 2

y y

x x

y x

B A

B A

R R

R











 

x x

y y

x y

B A

B A

R R



 

  tan

k j

i

B B

B A

A A

B

A _{x y z x y z}

)ˆ ˆ (

) ˆ (

) (

) (

) (

z z

y y

x

x B A B A B

A     

















k j

i B

A   (A_x  B_x)ˆ (A_y  B_y)ˆ  (A_z  B_z)ˆ

3차원으로 표현하는 경우,

cf

) 3차원에서의 Vector의 성분 분해 :

z z y

y x

x

r  ˆ  ˆ  ˆ



 cos sin

r x 



 sin sin

r y 



cos

z



☆ 예제 3.3 두 벡터의 덧셈

Sol

m j i

A  (2ˆ 2 ˆ)

m j i

B  (2ˆ 4ˆ)

 ?



 A B R  

cf) A  A_xiˆ  A_y ˆj  A_zkˆ

⇒ A_x  2m A_y  2m A_z  0m j

i j

i B

A

R      (2 2)ˆ  (2 4) ˆ  4ˆ 2 ˆ m

R_x  4 R_y  2m

m R

R

R  _x²  _y²  4²  (2)²  20  4.5 5

. 4 0

tan    2   m

m R

R

x

 y









 tan^1( 0.5) 27

 (4-사분면)

∴   360 27  333 or 27° 4-사분면

도보 여행 예제 3.4

첫째 날: 승용차로부터 남동쪽으로 25.0 km를 감

둘째 날: 동북쪽으로 60.0°방향으로 40.0 km를 걸음. 산림 감시원 망루 발견 (A) 첫째 날과 둘째 날의 도보 여행가의 변위를 구하라.

(B) 도보 여행가의 합 변위 벡터 R의 성분을 구하라.

단위 벡터로 R을 나타내라.