벡터 공간과 선형시스템 표현

벡터 공간과 선형시스템 표현

Vector Space and

Representations of Linear Systems

Keon M. Lee

 벡터와 벡터 연산

 벡터 공간

 선형 결합

 생성(span)

 선형시스템의 벡터 방정식 표현

 선형시스템의 행렬방정식 표현

 행렬과 벡터 곱

 동차 선형시스템

스칼라와 벡터

 스칼라(scalar)

 크기 정보만 보유

 질량, 면적, 부피, 온도 등

 소문자 이택릭으로 표현 : r, s, t, u

 벡터(vector)

 크기와 방향 정보

 힘, 속도(velocity), 풍속, 가속도 등

 굵은 소문자로 표현 : a, b, x, y 또는

 수 또는 기호의 1차원 배열

벡터의 표현

 그래프에 의한 표현

 유향 선분(directed segment) : 시점 P에서 종점 Q로 향하는 방향을 가 진 선분

 기하 벡터(geometric vector) : 크기와 방향만 같다면 등가(equivalent)

 좌표(coordinate)에 의한 표현

 위치 벡터(position vector) : 원점에서 좌표 (a,b)를 향하는 벡터

Q

P

 벡터 표현

 영벡터(zero vector, null vector)

 모든 성분이 0인 벡터

 스칼라 배 (scalar multiplication)

벡터 연산

Q

P

벡터 연산

 벡터의 덧셈(addition)

 평행사변형의 꼭지점에 대응

 벡터합의 유도

• u와 u’은 동일한 벡터

• 위치벡터(position vector)로 간주

벡터공간

 벡터공간 (Vector space)

 벡터 덧셈과 벡터-스칼라 곱셈에 의해 닫혀있는 벡터들의 집합

 벡터공간이 만족해야 하는 성질

• 영벡터(zero vector) 0의 존재

벡터공간의 예

 유클리드 벡터공간 R

(

…)

 유클리드(Euclid)의 공간에 방향있는 선분으로 표현되는 벡터들의 집합

• 벡터 u, v ∈ Rⁿ

u + v ∈ Rⁿ αu ∈ Rⁿ 0 ∈ Rⁿ

 벡터공간 C[a,b]

 닫힌 구간 [a,b]에서 정의되는 모든 실변수 연속함수의 집합

• 함수 f, g에 대해

(f+g)(x) = f(x) + g(x) ∈ C[a,b]

(αf)(x) = αf(x) ∈ C[a,b]

z(x) = 0 ∈ C[a,b] (영 함수)

벡터공간의 예

 벡터공간 P

 n보다 낮은 차수를 갖는 모든 다항식(polynomial)들의 집합

• n보다 낮은 차수의 다항식 p, q

p(x) = a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + … + a₁x + a₀ q(x) = b_n-1x^n-1 + b_n-2x^n-2 + … + b₁x + b₀

(p+q)(x) = p(x) + q(x) ∈ P_n (αp)(x) = α ∈ p(x)

z(x) = 0x^n-1 + 0x^n-2 + … + 0x + 0 (영 다항식) p(x) = (a_n-1, a_n-2, … , a₁, a₀)

z(x) = (0, 0, …, 0, 0)

선형결합(linear combination)

 선형결합(linear combination)

 v₁, v₂, …, v_p이 벡터공간 V에 속하는 벡터

 c₁, c₂, …, c_p이 스칼라(scalar)



• y는 v₁, v₂, …, v_p 의 선형결합

b는 a₁과 a₂의 선형결합인가?

선형시스템의 벡터 방정식 표현

 선형시스템의 벡터방정식(Vector Equation) 표현

 선형시스템은 행렬 A의 열벡터(column vector)의 선형결합(linear combination)으로 표현 가능

행렬방정식

벡터방정식

벡터들의 생성(span)

 생성(生成, span)

 v₁, v₂, …, v_p가 벡터공간 V에 속하는 벡터일 때,

 v₁, v₂, …, v_p의 생성(span), span(v₁

, v

, …, v

)

• v₁, v₂, …, v_p 의 모든 선형결합들의 집합

벡터들의 생성(span)



벡터공간의 생성집합

 벡터공간 V의 생성집합(spanning set)

 벡터공간 V에 속하는 모든 벡터를 v₁, v₂, …, v_p의 선형결합으로 표현할 수 있을 때,

집합 {v₁, v₂, …, v_p}를 V를 위한 생성집합이라 함.

 R³의 생성집합의 예

• {(1,0,0)^T, (0,1,0)^T, (0,0,1)^T}

• {(1,0,1)^T, (0,1,0)^T, (-1,0,1)^T}

행렬 방정식과 벡터 방정식

 Ax = b

A = [a₁, …, a_n]_mxn : a₁, …, a_n을 열(column)로 하는 mxn 행렬

x ∈ R

Ax : A와 x의 곱

A의 열과 이에 대응하는 가중치 x의 성분과의 선형결합

행렬과 벡터 곱 Ax

 Ax 계산 방법

 A의 열과 이에 해당하는 가중치 x의 성분과의 선형결합

 Ax의 i번째 성분은 A의 i번째 행과 벡터 x의 곱

행렬과 벡터 곱 Ax

 행렬과 벡터 곱의 성질

 A가 mxn 행렬이고, u, v ∈ Rⁿ 일 때

 A(u + v) = Au + Av

 A(cu) = cAu

 항등 행렬 (identity matrix) I

Ix = x

선형시스템 Ax = b의 표현

 선형시스템(연립방정식)

 행렬 방정식

 벡터 방정식

 세가지 표현방식 모두 동일한 내용 표현

선형시스템 Ax = b

 A가 mxn 행렬일 때, 다음 명제는 모두 참이거나 모두 거짓이다.

 모든 b ∈ R^m 에 대해서, Ax =b가 단일 해를 가진다.

 모든 b ∈ R^m 는 A의 열의 선형결합(linear combination)이다.

 A의 열이 R^m 을 생성(span)한다.

 A의 첨가행렬에 대한 기약 행 사다리꼴(reduced row echelon form)에 서 모든 행이 pivot (추축)을 갖는다.

동차선형시스템

 동차 선형시스템(Homogeneous linear system, 同次), Ax = 0

 적어도 하나의 해 존재 x = 0 : 자명한 해(trivial solution)

 자명하지 않은 해 (nontrivial solution) : 0 벡터가 아닌 해

 동차 선형시스템에서 자명하지 않은 해를 가질 필요충분조건

 방정식이 적어도 1개의 자유변수(free variable)를 가지는 것

 변수개수보다 방정식의 개수가 적거나, 첨가행렬의 기약 약 사다리꼴에 서 마지막 행에 pivot(추축)이 없는 것

Summary

 벡터 공간은 벡터 덧셈과 벡터-스칼라 곱에 의해 닫혀있는 벡터들의 집합이다.

 벡터들의 선형결합은 벡터들을 상수배하여 더하여 만든 것이다.

 어떤 벡터들의 생성(span)은 이들 벡터의 선형결합에 의한 모든 벡 터들의 집합이다.

 선형시스템은 행렬과 벡터의 곱의 방정식인 행렬방정식으로 표현될 수 있을 뿐만 아니라, 열벡터의 선형결합으로 즉, 벡터방정식으로도 표현할 수 있다.

 Ax = b인 선형시스템이 단일 해를 가지면, b가 A의 열벡터의 선형

결합으로 표현되고, 열벡터가 생성하는 공간에 b가 포함되고, 첨가

행렬의 기약 행 사다리꼴에서 모든 행이 pivot(추축)을 갖는다.