1. 왜 표본화정리가 필요한가?

표본화(sampling)

1

. 통신 시스템은 아래와 같이 크게 3부분으로 구성되는데 각 구성요소는 무엇일까요?

정답 : (1) 송신단, (2)채널, (3)수신단

송신단에서는 전기적 신호가 아닌 음성, 화상, 문자 등의 정보를 전기신호로 변환하며 채널은 전기적신호가 보 내어 지는 통로이고 수신단에서는 수신된 전기신호를 원래의 정보 형태로 변환한다.

2. 아래 그림은 디지털통신시스템의 전체 구성도 이다. 각 블록에 들어갈 구성요소들은 무엇일까요?

정답 : (1) 원천부호화 (2)원천복호화 (3) 채널부호화 (4) 채널복호화 (5) 통과대역변조 (6) 통과대역복조

학습목표

v 표본화간격(Sampling Interval), 표본화율(Sampling Rate) 및 나이퀴스트 율(Nyquist Rate)의 의미를 이해한다.

v 왜 표본화율을 나이퀴스트율 이상으로 설정하여야 만 원신호를 복원할 수 있는지를 이해한다.

v 에이리어징 현상은 어떠한 경우에 발생하는지를 이해한다.

v 임펄스표본화, 내추럴표본화, 샘플 앤드 홀드 표본화의 차이점을 이해한다.

아날로그신호를 디지털신호로 변환하여 디지털신호처리가 가능하도록 만드는 원천부호화(Source Coding)의 과정으로 제일 먼저 학습을 하여야 하는 과제는 표본화이며 본 강의에서는 표본화의 원리를 학습하며 주어진 아날로그 신호에 대하여 표본화정리를 테스트하기 위한 시뮬링크 블럭을 구성하고 시 간 영역 및 주파수 영역에서 신호를 분석하고 고찰한다.

1. 표본화정리 2. 실용적인표본화

1. 표본화란 아날로그 신호를 디지털신호로 변환시키는 A/D 과정이다.

아날로그 신호를 디지털신호로 변환시키는 A/D 과정을 수행하기 위하여 제일 먼저 수행하여야 하는 것이 표본화이다.

정답 : O

Lesson1. 표본화정리

1. 왜 표본화정리가 필요한가?

2. 표본화정리(Sampling Theorem)

3. 임펄스표본화(Impulse Sampling)을 통한 표본화정리 증명 4. 에일리어징 현상

5. Oversampling

6. 에일리어징 효과와 유사한 현상이 발생하는 경우 7. 예제

1. 왜 표본화정리가 필요한가?

•전송하고자 하는 신호가 아날로그 형태일 때 이를 디지털 방식으로 처리하여 전송하기 위해서는 디지털 신 호(비트 열)로 변환되어야 한다. 이를 위해 표본화 , 양자화, 부호화 과정을 거쳐 만들어진 비트열을 디지털 펄스 형태로 변환한 후 채널을 통해 전송하고 수신단에서는 양자화와 부호화의 역과정인 복호화와 표본화의 역과정인 저역통과여파기를 사용하여 아날로그 신호를 복원한다.

부호화

송신 (Transmit) 표본화 양자화 펄스변조

복조/검파

채널 Channel

수신 (Receive) 저역통과

여파기 복호화

비트열 펄스파형 Format

Format 디지털데이터

텍스트정보

아날로그 신호

아날로그 신호 텍스트정보 디지털데이터

•전송하고자 하는 데이터가 아날로그 신호가 아닌 텍스트정보나 이미 디지털데이터인 경우에는 표본화과정을 거칠 필요가 없다. 텍스트정보는 부호화과정을 거쳐 비트열로 변환되며 디지털데이터의 경우에는 이미 비트 열로 되어 있으므로 바로 펄스변조되어 전송된다. 텍스트정보는 부호화의 역과정인 복호화를 통해 복원되며 디지털데 이터의 경우는 펄스변조의 역과정인 복조/검파 블록을 통해 복원된다.

송신단

●모든 전송 신호에 대하여 표본화가 필요한가?

수신단

1. 왜 표본화정리가 필요한가?

è표본화정리 (Sampling Theorem)

•연속적인 아날로그 신호를PAM(Pulse Amplitude Modulated) 신호 로 변환시키는 표본화 과정은 수신단 에서 저역통과여파기를 사용하여 이산적인 형태의 신호를 아날로그 형태의 원 신호로 역 변환하여 복원 시킬 때 원 신호의 정보가 손실되지 않은 상태로 복원되어야 한다.

• 표본화(sampling)에 있어서 가장 중요한 점은 어떻게 하면 원 신호를 손상시키지 않고도 표본점들을 최 소화하여 디지털 신호로 변환할 수 있겠는가 하는 것이다.

는 연속인 신호

● 표본화과정

<표본화 과정>

2. 표본화정리(Sampling Theorem)

•fs를 이용하면 다음과 같이 표현

● 표본화정리

• f^m[Hz]로 주파수 대역이 제한되어 있는 아날로그 신호 x(t)는 아래의 조건을 만족하는 표본화간격으 로 표본화를 할 경우 이들 표본값들을 가지고 원 신호를 완전히 복원

Ts: 표본화 간격(sampling interval) fs=1/ Ts: 표본화율(sampling rate)

fs=2fm : 나이퀴스트 율(Nyquist Rate)

• 결론적으로, 표본화율은 나이퀴스율 이상으로, 다시 말해서 최대 주파수의 두 배 이상으로 설정하여야 함을 의미

표본화간격의 단위는 초(sec)

표본화율의 단위는 샘플/초(samples/sec, sps)

최대 주파수의 두 배에 해당 됨

최대 주파수의 두 배 이상으로 표본화율을 선택

3. 임펄스표본화(impulse Sampling)을 통한 표본화정리 증명

• 표본화된 신호 xs(t)는 아날로그 신호 x(t)와 임펄스 열 p(t)의 곱

● 시간영역해석

•아날로그 신호 x(t) 는 fm[Hz]로 대역 제한 (Bandlimited) 되어 있다고 가정

• 표본화간격은 나이퀴스율로 표본화 하였다고 가정

d(t) : 단위 충격파함수(unit impulse function) : 임펄스 열(impulse train)

하단의 이동특성(shift property)식을 이용 하여 해당 공식을 구한다.

3. 임펄스표본화(impulse Sampling)을 통한 표본화정리 증명

• 임펄스 열 함수 p(t)의 푸리에 변환을 P(f)라 하자.

●주파수영역해석

• 표본화된 아날로그 신호 xs(t)의 푸리에변환 Xs(f)는 다음과 같다.

시간영역에서 곱하기는 주파수영역에서 콘볼루션

이동특성

• 표본화된 신호 함수 x^s(t)의 주파수 스펙트럼 Xs(f)는 원 신호 x(t)의 주파수 스펙트럼 X(f)와 동일한 모 양이 fs 의 정수배의 위치에 주기적으로 반복된 형태임을 알 수 있다. 이는 표본화에 사용된 충격파함수 열과 원 신호의 주파수 스펙트럼의 콘볼루션에 의한 결과인데 충격파함수가 위치해 있는 곳에 원 신호의 주파수 스펙트럼이 복제되는 특성에 기인한 것이며 다만 크기가 (1/Ts) 배 변할 뿐이다.

fs의 정수배의 위치에 복제

3. 임펄스표본화(impulse Sampling)을 통한 표본화정리 증명

●주파수영역

x(t)

0 t

0 f

|Xs(f)|

-fs -fm fmfs

f 0

|Xp(f)|

-fs fs

0 f

|X(f)|

fm

-fm

0 t

xp(t)

Ts 2Ts

-Ts

-2Ts

0 t

xs(t)=x(t)p(t)

Ts

-Ts

(a)

(f) (e)

(d) (c)

(b)

저역통과여파기

●시간영역

표본화율을 나이퀴스트율 fs=2fm

로 설정한 경우 스펙트럼이 붙 어서 나타남.

이상적인 저역통과여파기(LPF) 를 사용하여야만 원신호를 복원

가능

4. 에일리어징 현상

에일리어징 현상이 발생 스펙트럼이 겹치는 현상이 발생

• 표본화율을 나이퀴스율 이하로 설정한 경우 어떠한 현상이 발생할 까?

또는 언더샘플링(Undersampling)

•나이퀴스율이하의 표본화율 (언더샘플링)을 가질 경우 복제 스펙트럼 간의 간격이 좁아져 스펙트럼이 서 로 겹치는 현상이 발생하는데 이를 에일리어징(aliasing)이라 한다.

• 에일리어징 현상이 발생하면 원신호를 복원할 수 없으므로 표본화 율을 나이퀴스트율보다 크게하여 이 를 방지하여야 한다.

5. Oversampling

• 표본화율을 나이퀴스율 이하 (언더샘플링)로 설정한 경우 : 스펙트럼이 겹치는 에일리어징 현상이 발생하여 원 신호 복원 불가능

또는

• 스펙트럼 간에 여유 간격이 생기도록 표본화 율은 나이퀴스트 율 이상(Oversampling)을 선택

• 전화에서 음성신호를 표본화하는경우, 최대주파수 f^m = 3.4KHz 이나 표본화율 fs = 8KHz를 사용

• CD에 사용되는 디지털 오디오의 경우, 최대주파수 f^m = 15KHz 이나 표본화율 fs = 44.1KHz가 사용

• 표본화율을 나이퀴스율로 설정한 경우 : 이상적인 저역통과여파기 구현이 불가능하여 원 신호 복원 불가능

• 어떻게하면 구현 가능한 여파기를 사용하여 원 신호를 복원할 수 있을까?

=> 표본화율을 나이퀴스율 이상으로 설정

오버샘플링(Oversampling)

스펙트럼간에 공간이 생겨 구현 가능한 저역통과여파기로 원 신호 복원 가능

6. 에일리어징 효과와 유사한 현상이 발생하는 경우

1) 여파기 특성이 좋지 못해 발생하는 경우 : 여파기의 특성이 좋지 못해 인접 스펙 트럼 성분이 출력으로 나타나 원 신호를 복원할 수 없게 된다.

• 언더샘플링에 인해 발생하는 에일리어징 효과와 유사한 현상이 발생하는 경우

2) 원 신호의 주파수 스펙트럼이 제한되지 않은 경우

=> 표본화율을 높이므로써 해결

=> 전치여파기(prefilter)를 통해 원하는 대역폭 이외의 스펙트럼 성분을 제거한 후 오버샘플링을 수행

이 성분이 출력으로 나타남

7. 예제

아래와 같이 대역제한 된 신호 x(t)를 19샘플/초로 샘플하고 차단주파수가 10Hz인 저역통과 여파기를 통과 한 경우에 대하여 에일리어징 에러를 구하시오.

x(t)

10 f -10

H(f)

A B C

19sps

[풀이] A,B,C점에서 신호에 대한 푸리에변환은 다음과 같다.

10 f -10

HA(f)

1

10 f 9 HB(f)

1

0 2

10 f 9 HC(f)

1

0 2

C점에서 출력시간함수는 Hc(f)의 역푸리에변환에 해당된다, 즉

이다. 그러므로 위 식의 두 번째 항이 에일리어징 에러를 나타낸다.

돌발퀴즈

아날로그신호 에 대하여 다음에 물음에 답하시오.

정답 :

1) 1V 2) 5 Hz 3) fs=10 samples/sec 4) Ts=1/10 5) ① 6) 에이리어징 1) 진폭값 =

) 5 2 cos(

1 )

(

t t

x

p

2) 주파수 값 = 3) 나이퀴스율 =

4) 나이퀴스율에서 표본화간격 = 5) Ts=1/8은 다음 중 어느 것인가?

① 언더샘플링 ② 오버샘플링

6) 언더샘플링을 사용하는 경우 스펙트럼이 겹치는 현상을 ( ) 현상이라 부르며 이 때 원 신호를 복원할 수 없다.

Lesson2. 실용적인 표본화(Practical Sampling)

1. 실용적인 표본화의 종류

2. 내추럴표본화(Natural Sampling)

3. 샘플 앤드 홀드 표본화(Sample-and Hold Sampling)

1. 실용적인 표본화의 종류

•실용적인 표본화의 종류

- 내추럴 표본화(Natural Sampling) : 펄스의 폭은 일정하지만 펄스 구간 동안에 펄스의 진폭이 일정하지 않고 아 날로그 신호의 파형을 따라 변하도록 하는 방식

- 샘플 앤드 홀드 표본화(Sample-and Hold Sampling) : 펄스의 진폭이 표본화 순간의 아날로그 신호의 값으로 펄스 구간 동안 일정하게 유지되도록 하는 방식

•첫 번째 레슨에서는 임펄스열을 사용하는 임펄스표본화를 사용하여 표본화 정리의 증명하였으나 임펄스열 신호 는 구현할 수 없으므로 실용적인 표본화 과정에서는 임펄스열 대신 유한한 펄스폭을 가진 구형 펄스열을 사용한다.

t

t t Ts

Ts

Ts

(a)

(b)

(c)

임펄스샘플링

내추럴샘플링

샘플 앤드 홀드 샘플링

2. 내추럴표본화(Natural Sampling)

• 아날로그 신호 x(t)의 표본화는 x(t)와 펄스 열 p(t)의 곱이므로

● 시간영역해석

•아날로그 신호 x(t) 는 fm[Hz] 로 대역 제한 되어 있다고 가정하자.

• 또한, 표본화간격은 나이퀴스율인 로 표본화를 수행한다고 가정 하자.

•펄스 열 p(t)는 주기를 갖는 주기함수이므로 이를 주파수영역으로 변환하 기 위하여 푸리에급수(Fourier Series)를 이용하여 전개하면

• 실제 시스템에서는 표본화 함수가 충격파함수의 열로 구성된 것이 아니고 유한한 크기와 시간 구간을 가진 구형파 함수의 열로 구성되어 있다고 보아야 한다.

•펄스열 함수 p(t)는 폭이 T이고 크기가 1/T인 펄스이다.

스펙트럼의 포락선 형태가 sinc 함수 모양

•표본화된 신호는 다음과 같다,

2. 내추럴표본화(Natural Sampling)

●주파수영역

• 표본화된 아날로그 신호 xs(t)의 푸리에변환 Xs(f)는 다음과 같다.

• 결국, 표본화된 신호 x^s(t)의 주파수 스펙트럼은 푸리에 계수 Cn 에 의해 sinc 함수 형태로 포락선의 크기가 변화 하지만 원 신호의 정보는 보존되어 있으므로 여파기를 이 용해 복원 가능하다.

●주파수영역

●시간영역

표본화율을 나이퀴스트율 fs=2fm

로 설정한 경우 스펙트럼이 붙어서 나타남.

이상적인 저역통과여파기 (LPF)를 사용하면 원신호를

복원 2. 내추럴표본화(Natural Sampling)

2. 내추럴표본화(Natural Sampling)

• 내추럴 표본화된 신호의 스펙트럼을 보면 원래의 아날로그 신호의 스펙트럼 모양이 주기적으로 반복되는 것을 알 수 있다. 이것은 이상적인 임펄스 표본화와 유사

• 차이점은 임펄스 표본화에서는 X^s(f)가 동일한 이득 fs 만큼 곱해져서 반복되는데 비해 내추럴표본화에서는 Xs(f)가 다른 이득 Cn 만큼 곱해져서 반복

• 그러나 표본화 정리가 계속 유효하여 표본화율이 가 되도록 선택하면 스펙트럼 중첩이 발생 하지 않으며, 저역통과 여파기를 사용하면 표본화된 신호로부터 원래의 아날로그 신호를 복원

3. 샘플 앤드 홀드 표본화(Sample-and Hold Sampling)

• 실제적인 표본화방법으로 내추럴표본화 방법보다 간단하면서도 일반적인 표본화방법은 샘플 앤드 홀드 표본화

• 샘플 앤드 홀드 표본화는 내추럴 표본화 방식과 유사하지만 차이점은 내추럴표본화의 경우 표본화 된 신호는 펄스의 크기값이 원래의 신호를 따라가지만 샘플 앤드 홀드 표본화에서는 표본화된 신호가 일정한 펄스 폭을 가지면서 끝이 평평한 펄스열이 된다는 것이다.

<내추럴표본화> <샘플 앤드 홀드 표본화>

돌발퀴즈

1) 임펄스표본화와 내추럴표본화의 차이점은 임펄스표본화는 임펄스열을 사용하여 표본화를 수행하며 내추럴표본화는 ( (1) )을 사용하여 표본화를 수행하는 것이다.

정답 : 1) (1) 펄스열

2) (1) 원래의 신호 (2) 끝이 평평한 펄스열

2) 내추럴표본화와 샘플 앤드 홀드 표본화의 차이점은 내추럴표본화의 경우 표본화된 신호는 펄스의 크기 값이 ( (1) )를 따라가지만 샘플 앤드 홀드 표본화에서는 표본화된 신호가 ( (2) ) 이 된다.

학습정리

1.

2 주어진 아날로그 신호 x(t)의 최대주파수가 fm[Hz]로 대역제한 되었다고 가정하면 표본화율로 최대 주파 수의 두 배 이상으로 설정하면 수신단에서 원 신호를 복원할 수 있음을 나타내어 주는 것이 표본화정리이다.

이 때 아날로그 신호의 최대 주파수의 두배와 동일한 표본화율을 나이퀴스트 율이라 부른다.

3. 표본화율이 나이퀴스트 율 이하인 경우를 언더샘플링하였다고 하고, 이 경우 스펙트럼이 서로 겹치는 현 상이 발생하는데 이를 에일리어징(aliasing) 현상이라 한다. 에일리어징 현상이 발생하면 원신호를 복원할 수 없으므로 표본화 율을 나이퀴스트율 이상으로 하여 이를 방지하여야 한다. 표본화율이 나이퀴스트 율 이상인 경우를 오버샘플링하였다고 한다.

4. 표본화과정에서 임펄스열 신호는 구현할 수 없으므로 실용적인 표본화 과정에서는 임펄스열 대신 유한한 펄스폭을 가진 구형 펄스열을 사용한다. 이러한 실용적인 표본화에는 두 종류가 있다. 내추럴 표본화의 경우 펄스의 폭은 일정하지만 펄스 구간 동안에 펄스의 진폭이 일정하지 않고 아날로그 신호의 파형을 따라 변하 도록 하는 방식이다. 샘플 앤드 홀드 표본화의 경우는 펄스의 진폭이 표본화 순간의 아날로그 신호의 값으로 펄스 구간 동안 일정하게 유지되도록 하는 방식이다.

26 실습하기

학습목표 :

주어진 아날로그 신호에 대하여 표본화정리를 테스트하기 위한 Simulink Block를 구성하고 시간 영역 및 주파수 영역에서 신호를 분석하고 고찰한다.

실습과제 :

실습 #1-1 : 표본화정리를 실습하기 위한 Simulink Block을 구성 실습 #1-2 : 시간/주파수 영역에서 신호 관찰

주어진 조건 :

① 아날로그 신호 : s(t)=Acos(2pft)=1cos2p5t (진폭=1, 주파수(f)=5)

② 샘플링 시간 : 1) Ts=1/20 2) Ts=1/8

③ 아날로그 필터 : Low Pass Filter(LPF) - Butterworth Type LPF

- Filter order=8

- Pass band edge frequency : f=10

27

•Ts=1/20 에서 시간 영역 신호 • 주파수 영역 신호

아래와 같이 대역제한된 신호 x(t) 를 샘플하고 저역통과여파기를 통과한 경우에 대하여 답하시오.

1) 주파수영역에서 신호 X(f)를 도시하시오.

2) 나이퀴스트 표본화율을 구하시오.

최대주파수가 8Hz이므로 이 최대주파수의 두 배에 해당되는 것이 나이퀴스트 표본화율에 해당된다.

[samples/sec]

3) 표본화를 10[sps]로 하고 차단주파수가 B=8Hz인 저역통과여파기를 통과한 경우 출력 Y(f)를 구하시오.

차단주파수가 8Hz인 저역통과여파기를 통과한 경우 5Hz와 -5Hz에있는 임펄스들은 서로 상쇄되고 다음과 같은 출력이 나타난다.

표본화율이 10Hz이므로 10Hz의 정수배 위치에서 스펙트럼이 반복된다. 저역통과여파기(LPF)

4) 3)에 대한 에일리어징 에러를 도시하고 구하시오.

저역여파기의 출력은 두 개의 성분으로 나눌 수 있으며 좌측의 그림은 원신호이며 우측의 그림이 에일리어징 에러에 해당된다. 이를 식으로 표현하면 다음과 같다.

5) 표본화를 20[sps]로 하고 차단주파수가 B=10Hz인 저역통과여파기를 통과한 경우 출력 Y(f)를 구하시오.

표본화율이 20Hz이므로 20Hz의 정수배 위치에서 스펙트럼이 반복된다.

차단주파수가 10Hz인 저역통과여파기를 통과한 경우 다음과 같은 출력이 나타난다.

저역통과여파기(LPF)

이번 강의에서는

표본화 1. 표본화정리

2. 실용적인표본화

다음 강의에서는

양자화 1. 균일양자화

2. 불균일양자화

관련사이트 및 참고문헌

-시뮬링크를 이용한 디지털통신시스템설계, 김한종, 미래컴출판사 -아날로그와 디지탈통신, 진년강, 청문각출판사

-디지털통신(기초와응용), 이문호, 영일출판사 -아날로그 및 디지털 통신이론, 김명진, 생능출판사