Wk03:보다 정도높은 예비사항들I.pdf

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기호논리학

세째 주: 보다 정도높은 예비사항들 I

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사용과 언급

I 사용-언급 구분: 우리는 주어진 언어적 표현이 언급되는 (그것 자체에 관해 말해지는) 경우와 그것이 (다른 어떤 것을

언급하기 위해) 사용되는 경우를 예리하게 구분할 수 있어야 한다. 이 구분은 이름과 이름을 지니는 대상 사이의 구분에 연계되어 있다.

I 한 대상에 관해 말하거나 언급하기 위해 우리는 그 대상의 이름이나 그 대상을 지칭하는 어떤 다른 방식의 언어적 표현을 흔히 사용한다. 대개 사용되는 이름이나 기타 표현은 그 이름을 사용하여 언급하는 대상과 같지 않다. (그러나 우리는 이름의 지시체로 그 이름 자체를 일부러 할당하는 예외적 경우를 나중에 살펴보게 될 것이다.)

I 예를 들어 캄파닐레에 관해 말할 때 우리는 ‘캄파닐레’란 단어를 사용하지 캄파닐레 자체를 사용하지는 않는다.

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수(number)와 숫자(numeral)

아무도 캄파닐레를 ‘캄파닐레’란 단어와 구별하는 데 어려움을 느끼지 않지만, 수(number)와 숫자(numeral) 혹은 수를 지칭하는 다른 언어적 표현을 혼동하는 경향이 있어 왔다. 이를테면 12 와 7 十5 가 서로 밀접하게 관계 맺고 있으나—예를 들어，동가(equal) 관계를 가지나— 똑같지 않은 (not identical) 두 수라고 믿기도 한다.

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언어적 표현과 그것의 이름/기술구

언급되는 것 자체가 언어적 표현일 때에도 역시 조심성이 요구된다. 한 단어 혹은 다른 언어적 표현에 관해 말할 경우, 우리는 언어 외적인 어떤 것에 관해 말할 때 적용하는 것과 같은 규칙을 그대로 따른다:

그 대상 자체를 사용하지 말고 그 대상의 이름이나 기술구를 사용하라.

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인용부호

주어진 언어적 표현의 이름을 형 성하는 가장 편리한 방법 중 하나는 그 언어적 표현을 인용부호 안에 넣는 것이다. 예를 들어

‘일리아드’

는 제목 일리아드

를지칭하며, 뒤의 것은 다시 호머의 위대한 서사시를 지칭한다.

우리가 이 제목에 관해 말하고자 한다면 우리는 그 제목의 이름을 사용해야지 그 제목 자체를 사용해서는 안 된다. 따라서 우리는

‘일리아드’는 짧은 제목이다.

라고 말할 수 있다.

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인용문

언어적 표현들에 이름을 붙이는 또 하나의 유용한 방법은 앞 단락의 세 예가 보여주는 바와 같이 행을 바꾼 다음 한 줄을 떼고 약간 안쪽에서부터 시작하는 것이다. 이미 잘 알고 있겠지만 이 방법은 이 책에서 자주 사용되고 있다. 예:

‘일리아드’는 짧은 제목이다.

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문맥과 상식

일상적 담화에서는 한 표현이 사용되는지 언급되는지 여부는 문맥과 상식에 의존하는 것이 자연스럽다. 우리가

셰익스피어의 진짜 이름은 베이컨이다.

라는 문장을 접하게 되면 그것을

셰익스피어의 진짜 이름은 ‘베이컨’이다.

의 의미로 이해해야 한다. 왜냐하면 다른 해석은 불합리하기 때문이다. 그러나 논리학을 공부하는 데 있어서는 대상을 언급하기 위해 그 대상의 이름 혹은 기술구를 사용해야지 그 대상 자체를 사용해서는 안 된다는 관습을 엄격히 따르는 것이 이롭다.

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뜻과 지시체 (optional)

I 매우 유용한 또 다른 구분은 언어적 표현의 뜻과지시체 (Sinn 과 Bedeutung) 에 관한 고틀롭 프레게의 구분이다. 그는 언어적 표현들에 이름, 기술구, 술어적 표현, 문장을 포함시키고 있다.

I 프레게에 따르면 그러한 표현의 뜻 (sense)은 그것의 의미 (meaning)이다. 언어적 표현이 사용될 때 그 표현을 이해하려면 그것의 뜻을 ‘파악해야’ 한다.

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뜻과 지시체 (계속) (optional)

I 다른 한편, 지시체는 (존재한다면) 그 표현이 지칭하는 대상 혹은 대상들이다. 따라서 ‘샛별(hesperous)’과 ‘개밥바라기 (phosphorus)’는 같은 지시체를, 즉 금성(Venus)을, 지칭하지만 그것들은 서로 다른 뜻을 가진다. 프레게에 의하면，전자의 표현은 ‘아침에 동쪽 하늘에서 밝게 빛나는 것’이란 뜻을 가지고, 후자는 이것과 다른 뜻을 가진다. (어떤 뜻일까?)

I 한 표현의 뜻이 주어지면 지시체는 단일하게 결정된다.

그러나, 위의 예에서처럼, 다른 뜻이 같은 지시체를 결정할 수 있다. (즉 이것은 아마도 다수-대-하나 관계이다.)

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변 항의 몰지시성(指示性)

변항(variable)은 단지 알파벳 문자로서 여겨지며 변하는 것으로서 (혹은 변하는 것의 이름으로서) 여겨지지 않는다. 변항의 중요한 목적은 일반화의 표현을 용이하게 하는 일이다. 예를 들어 법률가는 특정한 사람들의 이름 대신 문자들을 사용할 수 있다.

A는 B와 계약을 했는데, B는 그의 유일한 상속자로서 C 를 남겨놓고 나중에 죽었다. C 는 A가 그 계약상의 의무를 수행하기를 1년 동안 기다린 후, C 는 A를 고소하기로 결정했다. . . .

위 인용문이 어떤 알려지지 않은 사람들 A, B, C 가 있다는 것을 의미하는 것은 아니다. 또한 복잡한 거래에 관련된 세 명의 일정치 않은 (variable) 사람이 있다는 것을 의미하는 것도 아니다. 그것은 오직, 어떠한 (any) 세 명의 사람이라도, 위에 기술된 관계를 맺고 있다면, 위 인용문 다음에 계속 진술될 어떤 법적 관계도 역시 맺게 된다는 것을 의미할 뿐이다.

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변 항의 몰지시성(指示性) (계속)

또 수학자들은

6 · (4 + 3) = 6 · 4 + 6 · 3 와

8 · (1 + 9) = 8 · 1 + 8 · 9 가 그 대입예들인 일반 원리를 진술하고자 할 때，

x · (y + z) = x · y + x · z

라고 쓸 수 있다. 여기서도 “x,” “y ,” 또는 “z”가 어떤 변하는 것을 가리키는 것은 아니다.

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변항의 대입어(substituend)와 값(value)

변항이 사용될 때마다 대답할 준비가 되어 있어야 할 두 가지 물음이 있다. 하나는 그 변항의 대입어들 (substituends)이 무엇이냐는 것이고, 또 하나는 그것의 값들(values)이 무엇이냐는 것이다.

I 어떤 변항의 대입어들은 그 변항에 의미 있게 대입될 수 있는 모든 언어적 표현들이다.

I 어떤 변항의 값들은 대입어들에 의해 지칭되는 모든 대상들을 포함한다.

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변항의 대입어, 값, 그리고 문맥

만약 x가 대통령으로 당선된다면, x는 4년 동안 재임한다.

에서 변항 ‘x’의 대입어들 속에는 사람 이름들(이를테면 ‘골드워터,’

‘스티븐슨,’ ‘케네디,’ ‘록펠러’)이 가장 자연스럽게 포함될 것이다.

그리고 숫자나 다른 수를 가리키는표현(이를테면 ‘6,’ ‘3 + 4’)를 포함하지는 않을 것이다. 그 변항의 값들은 수들이 아니라 사람들일 것이다. 한편

x + y = y + x

에서 ‘x’나 ‘7’의 대입어는 숫자들이거나 다른 수를 가리키는 표현일 것이다. 그리고 ‘x’와 ‘y ’의 값은 수일 것이다. 이것은 물론 관습의 문제이다. 그리고 그 관습은 저자에 따라 그리고 문맥에 따라 변한다.

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메타변항

앞으로 인공언어를 기술함에 있어 우리는 특정한 기호들(symbols) 뿐만 아니라 그러한 기호들로 이루어진 식들 (formulae)이나 그 밖의 표현들을 지청할 필요가 있을 것이다. 특정한 기호나 표현을 언급할 때 보통 그 기호나 표현에 인용부호를 붙여 만든 이름 (quotation-name) 이 그 역할을 충분히 잘 해낼 것이 다. 이를테면

‘∨’는 논리상항이다.

라고 말할 수 있다. 그러나 때때로 어떤 형식의 모든 표현에 대해 일반화시켜 말해야 할 필요가 있다. 그런 경우에 변항을 사용하는 것이 편리하다. 이 책에서는 언제나 그리스어 문자가 메타변항으로 사용된다.

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메타함수

다음으로 우리는 메타함수의 개념, 즉 어떤 표현들을 입력값으로 받아 또 다른 표현을 출력값으로 돌려주는 함수를 생각할 수 있다.

특히 이른바 접합연산(concatentaion operation)의 개념이 유용하게 쓰일 수 있다. 우리는 접합연산자로서 “_”을 사용할 것이다.

접합연산 _은 이항연산으로서 두 문자열을 입력값들로서 받아 그 둘을 순서대로 붙인 것을 출력값으로 돌려준다. 예를 들어,

‘카네기’_‘ ’_‘멜론’=‘카네기 멜론’

이라는 사실이 성립한다.

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메타변항과 메타함수

이제 우리가 다음 사실을 간결하게 표현하기를 원한다고 해보자:

반드시 서로 다를 필요가 없는 어떠한 두 식들(formulae) 에 대해서도, 왼쪽 괄호 뒤에 첫번째 식을 접합하고, 그 다음에 기호 ‘∨’를 접합하고，그 다음에 두 번째 식을 접합하고, 그 다음에 오른쪽 괄호를 접합한 결과도 역시 식이다.

메타변항들과 메타함수를 함께 사용하여 이것을 다음같이 진술할 수 있다:

(1*) 만일 φ와 ψ가 식이면, ‘(’ _ φ _ ‘ ∨ ’ _ ψ _ ‘)’도 식이다.

이 문장을 자세히 살펴보면 무슨 얘기인지는 알 수 있겠지만, 아마 당신은 그 뜻을 파악하는데 오랜 시간이 걸릴 것이다.

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메타변항과 메타함수 (계속)

(1*)의 예로서

(2*) 만일 ‘F¹a’와 ‘G¹b’가 식이면,

‘ ’ _ ‘F¹a’ _ ‘ ∨ ’ _ ‘G¹b’ _ ‘ ’도 식이다.

를 들 수 있다. 이것은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다는 점에 주목하자:

(2) 만일 ‘F¹a’와 ‘G¹b’가 식이면, ‘ F¹a ∨ G¹b’도 식이다.

그렇다면 (1*)도 깔끔하게 다시 쓸 수 없을까?

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메타변항과 메타함수 (계속)

원하는 결과를 얻기 위해 우리는 다음 규약들을 채택할 것이다:

1. 우리 인공언어의 논리상항들(예를 들어 ‘∨’나 괄호)이 그 언어의 표현을 지칭하는 이름 혹은 그것들을 값으로 가지는 메타변항과 함께 접합연산자들의 인자로 함께 나타날 때 그 논리상항들은 그 자신의 이름들로 간주된다;

2. 접합연산자는 생략한다.

규약 1에 따르면 논리상항과 변항들을 연이어 써서 얻어진 표현에서 논리상항은 —그 자체의 인용부호가 없어도— 그 상항 자체를 가리킨다. 반면, 그 변항들 (이하 메타변항)은 언어적 표현을 대입어로 가진다.

규약 2에 따르면 우리 인공언어의 논리상항 또는 그 언어의 표현을 값으로 가지는 메타변항을 늘어놓기만 하면 그 논리상항과 그런 표현을 순서대로 접합한 기호를 가리키거나 값으로 가지는 표현이 얻어지고 사용된다.

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메타변항과 메타함수 (계속)

이 규약 하에서 (1*)은 다음과 같이 다시 쓰여질 수 있다:

(1) 만일 φ와 ψ가 식이면, (φ ∨ ψ)도 식이다.

여기서 “(φ ∨ ψ)”은 “ ‘(’ _ φ _ ‘ ∨ ’ _ ψ _ ‘)’ ”을 편의상 줄여쓴 것이다. 덜 엄밀하기는 하지만 (1)이 (1*)보다는 이해하기 쉽다.