수학

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Ⅱ. 문자와 식

청담초등학교 홍길동

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1. 선우는 인터넷을 통해 크기가 10Mb 인 파일을 내려받으 려고 한다. 이 파일을 1 초에 5×2¹⁷bytes 씩 모두 내려받 을 때 걸리는 시간은? (단, 1Mb 는 2²⁰bytes 이다.)

① 8 초 ② 10 초 ③ 12 초

④ 14 초 ⑤ 16 초

(답) ⑤

(풀이) 1 Mb 는 2²⁰bytes 이므로 10 Mb = 10×2²⁰ bytes 이다. 따라서, 파일을 내려받을 때 걸리는 시간은

10×2²⁰

5×2¹⁷ = 2×2³= 16 (초)

(오답 피하기) 2 의 거듭제곱의 지수만 비교하여 2²⁰

2¹⁷ = 2³= 8 (초)라고 답하지 않도록 주의한다.

2. 7²⁰¹²의 일의 자리의 숫자를 m 이라 하고, 49×7²⁰¹²의 일의 자리의 숫자를 n 이라고 할 때, m n 의 값을 구하여라.

(답) 9

(풀이) 7¹= 7 , 7²= 49 , 7³= 343 , 7⁴= 2401 , 7⁵= 16807 , …이므로 7 의 거듭제곱의 일의 자리의 숫 자는 7 , 9 , 3 , 1 의 순서로 반복된다.

이때, 2012 = 4×503 이므로 7²⁰¹²의 일의 자리의 숫자 는 4 번째로 반복되는 숫자인 1 이다. ∴ m = 1 또, 49×7²⁰¹²= 7²×7²⁰¹²= 7²⁰¹⁴이고

2014 = 4×503 + 2 이므로

49×7²⁰¹²의 일의 자리의 숫자는 2 번째로 반복되는 숫 자인 9 이다. ∴ n = 9

∴ m n = 1 ×9 = 9

3. n 이 자연수 일 때, ( - 1)^{n + 1}×( - 1)ⁿ×( - 1)^{2n - 1}을 간단히 하면?

① 0 ② 1 ③ - 1

④ n ⑤ 2n- 1

(답) ②

(풀이) ( -1)^{n + 1}×( - 1)ⁿ×( - 1)^{2n - 1}

= ( -1)^{2n + 1}×( - 1)^{2n - 1}= ( - 1)⁴ⁿ n 이 자연수이므로 4n 은 짝수이다.

∴ ( - 1)⁴ⁿ = 1

4. ( - 2x⁴y²)^□= □x¹²y^□에서 □ 안에 알맞은 값을 구하 여 합을 구하여라.

(답) 1

(풀이) 다음과 같이 빈 칸을 순서대로 a, b, c 라 하자.

( - 2x⁴y²)^a= bx¹²y^c ( - 2)^ax^4ay^2a= bx¹²y^c 따라서, 4a = 12 이므로 a = 3

2a = c 이므로 c = 6 ( - 2)^a= ( - 2)³=- 8= b

∴ a + b+ c = 3 +( -8) + 6= 1

5. 2^{a + 2}×3^{a + 2}= 6^□에서 □ 안에 알맞은 식은?

① a +1 ② a +2 ③ 2a + 1

④ 2a +2 ⑤ 2a +4

(답) ②

(풀이) 2^{a + 2}×3^{a + 2}= ( 2 ×3)^{a + 2}

= 6^{a + 2} 따라서, □ 안에 알맞은 식은 a +2

6. 다음 중 가장 큰 수는?

① 6⁴⁰ ② 25²⁰ ③ 36²¹

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④ 576¹⁰ ⑤ 125¹³

(답) ③

(풀이) ① 6⁴⁰

② 25²⁰= ( 5²)²⁰= 5⁴⁰

③ 36²¹= ( 6²)²¹= 6⁴²

④ 576¹⁰= ( 24²)¹⁰= 24²⁰

⑤ 125¹³= ( 5³)¹³= 5³⁹ 따라서 가장 큰 수는 ③이다.

7. 두께가 0.6 mm 인 직사각형 모양의 종이가 있다. 이 종이 를 반으로 접는 과정을 반복하여 두께가 2 cm 이상이 되 게 하려면 최소한 몇 번 접어야 하는지 구하여라.

(답) 6 번

(풀이) 종이를 반으로 한 번 접을 때마다 두께는 2 배가 되므로 종이를 n 번 접는다고 하면 두께는

( 0.6×2ⁿ) mm (단, n 은 자연수)

2 cm = 20 mm 이므로 종이를 n 번 접었을 때 두께가 2 cm 이상이 되게 하려면

0.6×2ⁿ≥ 20

이때 종이를 5 번 접으면

0.6×2⁵= 0.6×32 = 19.2 ( mm) 종이를 6 번 접으면

0.6×2⁶= 0.6×64 = 38.4 ( mm) 이므로 최소한 6 번을 접어야 한다.

8. 다음 □ 안에 들어갈 수 중 가장 큰 수를 구하여라.

ㄱ. a⁴÷a²= a^□ ㄴ. x⁷÷x^□÷x = x³ ㄷ. a⁵×b⁷÷b²= a⁵×b^□ ㄹ. y⁶×y ÷y³= y^□

(답) 5

(풀이) ㄱ. 2 ㄴ. 3 ㄷ. 5 ㄹ. 4

9. 다음 □ 안에 알맞은 수를 써라.

2³×2⁶= 2^□

(답) 9

(풀이) 2³×2⁶= 2^{3 + 6}= 2⁹

10. 자연수 a 에 대하여 a 의 일의 자리의 숫자를

＜a ＞ 라고 하자. 예를 들어, ＜ 3 ＞ = 3 ,

＜ 20 ＞ = 0 이다. 이때, ＜ 8²⁰¹¹+ 8²⁰¹²＞ 의 값을 구하여라.

(답) 8

(풀이) ＜ 8¹＞ = 8 , ＜ 8²＞ = 4 , ＜ 8³＞ = 2 ,

＜ 8⁴＞ = 6 , ＜ 8⁵＞ = 8 , …이므로 임의의 자연수 n 에 대하여 8ⁿ의 일의 자리의 숫자는 8 , 4 , 2 , 6 이 반복됨을 알 수 있다.

2011 = 4×502 + 3 , 2012 = 4×503 이므로 8²⁰¹¹과 8²⁰¹²의 일의 자리 숫자는 각각 2 , 6 이다.

∴ ＜ 8²⁰¹¹+8²⁰¹²＞ = ＜ 2 + 6 ＞ = ＜ 8 ＞ = 8